Klassische und Relativistische Mechanik

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1 Klassische und Relativistische Mechanik Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Ensemble von Massenpunkten Anordnung von Massenpunkten

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Ensemble von Massenpunkten Postulat: Die Gravitationskräfte sind additiv. Damit sind auch die Gravitationsfelder additiv. Deshalb gilt n r r k g (r) = G m k r r k 3 φ (r) = G k=1 n k=1 m k 1 r r k Da die einzelnen Teilfelder konservativ sind, ist auch das Gesamtfeld konservativ. Bei Kräften zwischen Atomen und Molekülen gibt es viele Beispiele nichtadditiver Kraftfelder.

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gravitationsfeld einer homogenen Kugel Gravitationsfeld einer homogenen Kugel

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gravitationsfeld einer homogenen Kugel r > R g (r) = G m r 2 φ (r) = Gm r r = R g (R) = G m R 2 φ (r) = Gm R r < R g (r) = G m R 3 r φ (r) = G m R 3 ( 3 2 R2 1 2 r 2) Tabelle: Gravitationsfeld als Funktion der Distanz

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gravitationsfeld einer homogenen Kugel 0 Gravitationsfeldvektor 0 Gravitationspotential g/(m/s 2 ) φ/(j/kg) r/m r/m Links wird der Verlauf des Gravitationsfeldvektors gezeigt, rechts der des dazu gehörigen Gravitationspotentials. Beide sind für eine massive homogene Kugel mit dem Radius 1 gerechnet.

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gravitation im Inneren einer Hohlkugel Kräfte auf eine Punktmasse im Inneren einer Hohlkugel.

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gravitation Auf Massenpunkte im Inneren einer Hohlkugel mit einer homogenen Massenverteilung wirken keine Kräfte. Ausserhalb einer Massenverteilung wirkt die Gravitationskraft immer so, wie wenn sie vom Massenmittelpunkt käme.

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gravitationsfeldvektor an der Erdoberfläche Im Labor ist und. F G m = g (r = R) = GM R R 3 g = konst E pot = mgh = mφ

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Freier Fall d 2 r dt 2 = dv dt = g mit r (t = 0) = r 0 und v (t = 0) = v 0 bekommt man r (t) = r 0 + v 0 t gt2

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Mathematisches Pendel Mathematisches Pendel

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Mathematisches Pendel F a beschleunigt die Masse, also gilt: Beschleunigung: Bewegungsgleichung F a = F G sin φ a = l φ m a = ml φ = mg sin φ mit g φ + l sin φ = 0 = φ + ω 2 0 sin φ ω 2 0 = g l Kleine Auslenkungen: also harmonische Schwingung: sin φ = φ φ3 3! φ + ω 2 0 φ = 0 + φ5... 5! φ (t) = φ 0 cos (ω 0 t α)

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Schwere und träge Masse von m T träge Masse (Beschleunigung) m S schwere Masse (Gravitation) M s F = m t a = Gm s R 3 R a = G m s m t ( Ms R 3 ) R Beobachtung α = ms m t = const ist unabhängig vom Material Experimentell: α 1 < 10 12

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Keplersches Gesetz Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes, mit Kreisbahnen Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Keplersches Gesetz Zentripetalkraft F z = mv 2 1 r 1 F z = mv 2 2 r 2 F z = F Graviation! Gm s m 1 r 2 1 = m 1 v 2 1 r 1 nun ist die Umlaufszeit T 1 = 2πr 1 v 1 oder v 1 = 2πr 1 T 1 also ist Gm s r 2 1 = 4πr 2 1 T 2 1 r 1 T 1 2 r1 3 Dies ist das 3. Keplersche Gesetz. = 4π2 Gm s

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Maximale Höhe eines Satelliten E pot = Gmem r Energiesatz: wobei R der Erdradius ist. 1 2 mv2 0 Gmem = 1 R 2 mv2 (r) Gmem r ) v 2 (r) = v 2 0 2Gme ( 1 R 1 r r (v) = Gm e 1 (v + R v2) r max = R 2Gme 2Gm e v 0 2R r max divergiert wenn v0 2 = 2Gme R oder mit Gme R 2 = g bekommt man die Fluchtgeschwindigkeit v 0 = 2gR = 11,2km/s

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gesamtenergie eines Satelliten Zentripetalkraft E pot = Gm em r m v 2 r Kinetische Energie = Gm em r 2 mv 2 = Gm em r E kin = 1 2 mv 2 = 1 Gm e m = 1 2 r 2 E pot E total = 1 2 E pot

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Klassische Relativität 2 Koordinatensysteme

19 Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gleichförmig rotierende Bezugssysteme Winkelgeschwindigkeitsvektor

Formelsammlung. Physik. [F] = kg m s 2 = N (Newton) v = ṡ = ds dt. [v] = m/s. a = v = s = d2 s dt 2 [s] = m/s 2. v = a t.

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