Übungen zu Physik I für Physiker Serie 12 Musterlösungen

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1 Übungen zu Physik I für Physiker Serie 1 Musterlösungen Allgemeine Fragen 1. Warum hängt der Klang einer Saite davon ab, in welcher Entfernung von der Mitte man sie anspielt? Welche Oberschwingungen fehlen im Klang einer Saite, die in der Mitte angezupft wird? Die relative Intensität der Obertöne hängt davon. Die Obertöne, welche am Ort der Anregung einen Bauch haben, werden bevorzugt. Beim Anzupfen in der Mitte der Saite fehlen dann z.b. alle Obertöne, welche an dieser Stelle einen Knoten haben, das sind alle ungeraden Oberschwingungen (1., 3., 5.,...).. Was ist Resonanz? Wo kommen Resonanzphänomene im Alltag vor? Unter dem Einfluss einer periodischen Anregung erreicht die Amplitude eines schwingungsfähigen Systems sehr hohe Werte und hat ein Maximum bei der Resonanzfrequenz ω R. Beispiele: (a) Wenn man mit einer Tasse mit heissem Tee durch den Irchelpark läuft und die Schrittfrequenz den Tee zum Überlaufen bringt. (b) Die Tacoma Narrows Bridge in Washington, welche durch den externen Wind resonant angeregt wurde und dann in die Brüche ging. (c) Ein Federpendel, dass wir am oberen Ende halten und anregen. 3. Wovon hängt die Form einer Resonanzkurve ab? Wie lassen sich Resonanzkatastrophen verhindern? Die Form der Resonanzkurve wird in erster Linie von der Dämpfung bestimmt. Für ein Federpendel wird folgende Bewegungsgleichung gelöst: m d x dx = kx β + Acosωt (1) dt dt wobei β der Dämpfungsterm und A die externe Anregung darstellen. Es gelten dann zum Beispiel folgende Gleichungen: Resonanzfrequenz des ungedämpften Oszillators: ω 0 = k m Resonanzfrequenz mit Dämpfung: ω R = ω 0 τ mit Abklingkonstante τ = m β und Gütefaktor Q = τω 0 1

2 Resonanzkatastrophen lassen sich einerseits natürlich durch genügend starke Dämpfung verhindern. Soll das System aber schwingungsfähig bleiben muss man darauf achten, dass die Eigenfrequenzen sehr viel kleiner oder sehr viel grösser als alle anregenden Frequenzen sind. Aufgaben 1. Schwebung [ Punkte] Eine angezupfte Saite von 87.4 cm Länge erzeugt den gleichen Ton wie eine Stimmgabel. Verlängert man die Saite bei gleichbleibender Saitenspannung um 0.6 cm, so erzeugen die Töne von Saite und Stimmgabel in ihrer Überlagerung eine Schwebung mit der Schwebungsfrequenz f s = 3 Hz. Mit welcher Frequenz schwingt die Stimmgabel? Die Grundschwingung einer Saite der Länge l ist gegeben durch f = σρ 1 l mit der Saitenspannung σ und ihrer Dichte ρ. Im vorliegenden Fall ist und l 1 = 87.4 cm l = l 1 + l = 88 cm. Für das Verhältnis der Frequenzen erhält man f 1 f = l 1 + l l 1. () Die Überlagerung zweier Wellen mit leicht unterschiedlicher Frequenz führt zum Phänomen der Schwebung mit der Schwebungsfrequenz f s = f 1 f (3) eingesetzt in (8): f 1 f 1 f s = l l 1 (4) l l l1 f 1 = f s l l 1 1 = f s = 440 Hz. (5) l. Stehende Wellen [ Punkte] Ein oben offenes Rohr ist teilweise mit Wasser gefüllt. Von oben gelangt Schall mit einer Frequenz von 1000 Hz in das Rohr. Die Schallgeschwindigkeit in Luft sei 340 m/s. (a) Wie gross ist die Wellenlänge? (b) Das Rohr ist zunächst völlig mit Wasser gefüllt. Beim Ablassen des Wassers tritt siebenmal Resonanz auf, das siebente Mal genau dann, wenn das Rohr völlig geleert ist. Wie lang ist das Rohr? (c) Wo befinden sich im Falle der Resonanz immer Schwingungsknoten bzw. Schwingungsbäuche der stehenden Welle? Zeichne die entsprechenden Schwingungsmoden bei Resonanz im Rohr. Macht es einen Unterschied, ob man die Auslenkung der Moleküle oder den Druck betrachtet?

3 (a) Aus folgt: f λ = v L λ = v L f = 0.34 m. (b) Die Resonanzbedingung für ein einseitig offenes Rohr lautet: (n 1) l = λ, n = 1,,... 4 mit n = 7 : l max = 13 v L 4 f = m. (c) Für Luftdruck: an der Wasseroberfläche ein Knoten (Druck konstant) und am offenen Ende ein Schwingungsbauch. Für die Auslenkung der Moleküle vertauschen sich die Rollen der beiden Ende gerade. Abb. 1: Skizze für die Schwingungsmoden, wobei hier die Auslenkungsamplitude der Moleküle skizziert ist. 3. Violine [ Punkte] (a) Die G-Saite einer Violine ist l 0 = 30 cm lang. Wenn sie ohne Griff gespielt wird, schwingt sie mit einer Frequenz f 0 = 196 Hz. Als nächsthöhere Schwingungsmoden folgen die Violinnoten a (0 Hz), h (47 Hz), c (6 Hz) und d (94 Hz). Wie weit vom Saitenende entfernt muss jeweils der Finger gesetzt werden, damit jede dieser Noten gespielt werden kann? (b) Eine andere angezupfte Saite der Violine erzeugt den gleichen Ton wie eine Stimmgabel. Die Zugkraft von ursprünglich Z 1 = 10 N wird um Z = 4.8 N erhöht. Nun erzeugen die Töne von Saite und Stimmgabel in ihrer Überlagerung eine Schwebung mit der Schwebungsfrequenz f s = 5 Hz. Mit welcher Frequenz schwingt die Stimmgabel? 3

4 (a) Für die Grundschwingung einer Saite mit festen Enden ist die Wellenlänge λ = l. Entsprechend erhält man für den Grundton f 0 = v l 0 bzw. l 0 = v f 0. Die höhren Noten entsprechen ebenfalls Grundschwingungen, aber mit einer verkürzten Saite der Länge Der Abstand vom Saitenende ist dann natürlich l = v f = v f 0 f 0 f = l 0 f 0 f (6) l = l 0 l ( = l 0 1 f ) 0 f (7) Die Frequenzen in (7) eingesetzt erhält man für die Noten folgende Abstände: a: 3.7 cm h: 6.19 cm c: 7.56 cm d: 10 cm. (b) Die Grundschwingung einer Saite der Länge l ist gegeben durch Z 1 f = µ l mit der Zugkraft Z und Masse pro Länge µ der Saite. Für das Verhältnis der Frequenzen erhält man mit f 1 Z1 =, (8) f Z Z = Z 1 + Z. Die Überlagerung zweier Wellen mit leicht unterschiedlicher Frequenz führt zum Phänomen der Schwebung mit der Schwebungsfrequenz eingesetzt in (8): Es wurde also die A-Saite angezupft. f s = f 1 f f 1 Z1 = f 1 + f s Z 1 + Z f 1 = f s Z1 Z 1 + Z 1 Z1 Z 1 + Z 440 Hz. 4

5 4. Resonanz [4 Punkte] (a) Leiten Sie aus der Formel für die Amplitude einer angeregten Schwingung A/m f (ω) = ( ) (9) ω0 ω + β ω m die Beziehung für die Resonanzfrequenz ω R her (A: Kraftamplitude der Anregung mit Kreisfrequenz ω, β : Koeffizient der viskosen Reibung, m: Masse des schwingenden Körpers). (b) Ein Weinglas wird zunächst resonant in eine Schwingung mit der Frequenz f R = 600 Hz versetzt. Die Schwingungsamplitude nimmt danach auf Grund der Dämpfung mit einer Zeitkonstanten von τ = s ab. Wie genau muss bei einer erneuten resonanten Anregung die Resonanzfrequenz getroffen werden, damit die Intensität der resultierenden stehenden Welle des Weinglases mindestens 50% des Maximalwertes erreicht? (a) Die Resonanzfrequenz ω R bestimmt man aus der Bedingung d f (ω) dω = 0, dass der Nenner von f minimal werden muss: ω R = ω0 β m (10) Ein sehr schwach gedämpftes System (β /m ω0 ) schwingt bei Resonanz praktisch mit der Frequenz ω 0, also der Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators, es ist jedoch immer ω R < ω 0. (b) Beim schwach gedämpften Oszillator, fällt die Amplitude mit e βt/m ab, somit ist τ = m/β. Für die Kreisfrequenz ω 1/ bei halber Intensität gilt: I (ω 1/ ) = I (ω R ) Und weil I f gilt für die Amplitude bei ω 1/ : (11) f (ω 1/ ) = f (ω R ) (1) Mithilfe von (10) folgt: ω1/ 4 ω Rω 1/ + ωr 4 ωr 4 τ 4 τ 4 = 0 (13) Daraus folgen zwei positive Lösungen für ν 1/ = π/ω 1/ : ω 1/ = ωr ω ± R 4 τ + 4 τ 4 ν + 1/ ν 1/ Also eine Genauigkeit von (ν R ν 1/ )/ν R = 0.013% Hz (14) Hz 5

6 5. Exakte Differentialgleichung [ Punkte] Gegeben sei die Differentialgleichung y = x+y 1 xy. (a) Ist diese Differentialgleichung exakt? (Begründen sie ihre Antwort) (b) Lösen sie die Differentialgleichung (a) Nach Umformen der Gleichung erhalten wir (x + y )dx + (xy 1)dy = 0. Wir setzen A(x,y) = x + y, B(x,y) = xy 1. Es gilt: A y = y und B x = y Somit ist die Integrabilitätsbedingung A y = B x erfüllt und die Gleichung exakt. (b) Wir suchen eine Funktion U(x,y) mit U x U(x,y) = mit h(y) eine beliebige Funktion. Weiter ist: = A(x,y) und U y = B(x,y). Es gilt: A(x,y)dx = (x + y )dx = 1 x + xy + h(y), U y = xy + h (y) = B(x,y) = xy 1. Also h (y) = 1 und h(y) = y + C mit C einer Konstanten. Die allgemeine Lösung in impliziter Form ist also: 1 x + xy y = c, wobei c eine weiter Konstante ist. 6