Zufallsvariable, Verteilung, Verteilungsfunktion

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1 Kapitel 5 Zufallsvariable, Verteilung, Verteilungsfunktion 5.1 Zufallsvariable Sei (Ω, A, P ) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum. Häufig interessiert nicht ω selbst, sondern eine Kennzahl X(ω), d.h. wir betrachten eine Abbildung ω X(ω) Beispiel würfeln Ω = {(i, j) i, j {1, 2..., 6}} X(ω) = X((i, j)) = i + j Augensumme Sei X : Ω R Wir möchten jetzt dem Ereignis X B = {ω Ω X(ω) B}, B R eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Also muss {ω X(ω) B} A sein. Definition 5.1 Sei (Ω, A) ein beliebiger Messraum. Eine Abbildung X : Ω R heißt Zufallsvariable, falls X 1 (B) = {ω Ω X(ω) B} A, B B Diese Bedingung nennt man auch (A, B)-Messbarkeit von X. Satz 5.1 Eine Abbildung X : Ω R ist genau dann Zufallsvariable, wenn X 1 ((, a]) = {ω X(ω) a} =: {X B} =: (X B) A, a R Beweis Sei X Zufallsvariable. (, a] B Behauptung X 1 ((, a]) A Definiere A 0 = {B R X 1 (B) A}. A 0 ist eine σ-algebra über R: (i) X 1 (R) = Ω A R A 0 (ii) X 1 (B c ) = {ω X(ω) / B} = {ω X(ω) B} c = (X 1 (B)) c Also B A 0 B c A 0 21

2 22 KAPITEL 5. ZUFALLSVARIABLE, VERTEILUNG, VERTEILUNGSFUNKTION (iii) X 1 ( B n ) = n=1 X 1 (B n ) Nach Voraussetzung ist E = {(, a], a R} A 0 A 0 σ(e) = B Behauptung n=1 Bemerkung 5.1 a) Satz 5.1 bleibt richtig, wenn wir E = {(, a], a R} durch ein anderes Erzeugendensystem von B ersetzen. b) Bei Anwendungen ist oft (Ω, A) = (R, B) Wann ist eine Abbildung X : R R messbar (ZV)? Satz 5.2 Sei (R, B) gegeben, X : R R ist z.b. messbar, falls X stetig oder (schwach) monoton wachsend oder fallend. Beweis Sei X stetig. Dann ist X 1 (U) offen, falls U offen. Sei X wachsend {ω R X(ω) a} ist von der Gestalt (, b) B oder (, b] B Bemerkung 5.2 Es sei X(ω) = c ω Ω, c R. Dann ist X eine Zufallsvariable. Satz 5.3 Seien X : Ω R und Y : R R Zufallsvariablen, dann ist Y X : Ω R wieder eine Zufallsvariable. Satz 5.4 Sei (Ω, A) ein Messraum und X,Y Zufallsvariablen darauf. a) {X < Y } = {ω Ω X(ω) < Y (ω)},{x Y }, {X = Y } A b) Sind α, β R, so sind αx + β, X + Y, X Y, X Y = min{x, Y }, X Y = max{x, Y } Zufallsvariablen c) Ist (X n ) n N eine Folge von Zufallsvariablen, so sind auch sup n N X n, inf n N X n, lim sup n X n, lim inf n X n Zufallsvariablen, falls sie R-wertig sind. Gilt X n (ω) X(ω) ω Ω, so ist auch X eine Zufallsvariable. Beweis a) {X < Y } = q Q {X }{{ < q } {Y > q} }}{{} A A {X Y } = {X > Y } c A,{X = Y } = {X Y } {X Y } A b) (i) x αx + β ist stetig

3 5.2. VERTEILUNGEN 23 (ii) {X + Y a} = {X a Y } = {X a Y } A a R, da a Y Zufallsvariable + Teil a) (iii) X Y = 1 4 ((X + Y )2 (X Y ) 2 ) (iv) {X Y a} = {X a} {Y a} A c) {sup n N X n a} = n=1 {X n a} A inf n N X n = sup n N ( X n ) lim sup n X n = inf n N sup m n X m lim inf n X n = sup n N inf m n X m Im Falle der Konvergenz ist X = lim sup n X n Bemerkung 5.3 Teil c) ist ohne Einschränkung gültig, wenn man R = R { } {+ } betrachtet und B zu B(R) = σ(b {{ }, {+ }}) erweitert. 5.2 Verteilungen Definition 5.2 Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine Zufallsvariable. Die Verteilung der Zufallsvariablen ist die Mengenfunktion P X : B [0, 1] mit P X (B) = P ({ω Ω X(ω) B}) B B Bemerkung 5.4 a) P X ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Messraum (R, B), denn: P X (R) = P (Ω) = 1 (Normiertheit) Für B 1, B 2,... B paarweise disjunkt gilt: (σ-additivität) P X ( B i ) = P (X 1 ( B i )) = P ( X 1 (B i )) = P (X 1 (B i )) = b) Die Abbildung P P X nennt man Maßtransport vom Messraum (Ω, A) in den Messraum (R, B) 5.3 Verteilungsfunktion Eine Verteilung P X : B [0, 1] kann durch eine einfachere Funktion F X : R [0, 1] beschrieben werden. Definition 5.3 Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine Zufallsvariable. Die Funktion F X : R [0, 1] mit F X (x) = P (X x) = P ({ω Ω X(ω) x}) = P X ((, x]) heißt Verteilungsfunktion von X. Bemerkung 5.5 Da die Mengen (, x], x R einen -stabilen Erzeuger von B bilden, wird P X durch F X eindeutig festgelegt (siehe Satz 4.4) P X (B i )

4 24 KAPITEL 5. ZUFALLSVARIABLE, VERTEILUNG, VERTEILUNGSFUNKTION Satz 5.5 Sei X : Ω R eine Zufallsvariable und F X : R [0, 1] ihre Verteilungsfunktion. Dann gilt: a) lim F X(x) = 0, x lim F X(x) = 1 x b) F X ist (schwach) monoton wachsend. c) F X ist rechtsseitig stetig. Beweis b) folgt aus der Monotonie von P X a) Sei (x n ) eine reellwertige Folge mit lim n x n = Setze y n := sup m n x m Dann gilt y n, also (, y n ] Da P X stetig in ist (Satz 1.4) folgt: 0 F X (x n ) = P X ((, x n ]) P X ((, y n ]) 0 für n Andere Grenzwertaussage mit Stetigkeit von unten von P X c) Sei x R, x n x n N und lim x x n = x Setze y n = sup m n x m, also y n x und F X (x) = P X ((, x]) P X ((, x n ]) = F X (x n ) P X ((, y n ]) n P X ((, x]) = F X (x) weil P X stetig von oben. Umgekehrt gibt es zu jeder Funktion F : R [0, 1] mit den Eigenschaften a),b),c) aus Satz 5.5 eine Zufallsvariable X, so dass F = F X. Definition 5.4 Es sei F : R [0, 1] eine Funktion mit den Eigenschaften a),b),c) aus Satz 5.5. Die Quantilfunktion F 1 zu F ist: Bemerkung 5.6 F 1 (0, 1) R, F 1 (y) = inf{x R F (x) > y} a) Ist F stetig und streng monoton wachsend, so ist F 1 die übliche Umkehrfunktion. b) Für 0 < α < 1 heißt F 1 X (x) α-quantil zu X Lemma 5.6 y F (x) F 1 (y) x, y (0, 1), x R Beweis Definition von F 1 F (x) < y F (x + 1 n ) < y für ein n N (F ist rechtsseitig stetig)

5 5.3. VERTEILUNGSFUNKTION 25 F 1 (y) x + 1 n F 1 (y) > x (F monoton wachsend) Satz 5.7 Es sei F : R [0, 1] eine Funktion mit den Eigenschaften a),b),c) aus Satz 5.5. Dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und eine Zufallsvariable X : Ω R mit Verteilungsfunktion F. Beweis Wähle Ω = [0, 1), A = B [0,1), P = Unif[0, 1) (Gleichverteilung). Definiere X : Ω R durch X(ω) := F 1 (ω) Offenbar ist F 1 monoton wachsend, also X eine Zufallsvariable und F X (x) = P (X < x) = P ({ω Ω F 1 (ω) x}) L.5.6 = P ({ω Ω ω F (x)}) = P ([0, F (x)]) = F (x)

6 26 KAPITEL 5. ZUFALLSVARIABLE, VERTEILUNG, VERTEILUNGSFUNKTION