Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Henze Dipl.-Math. V. Riess

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1 Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Henze Dipl.-Math. V. Riess Name: Vorname: Matrikelnummer: Lösungsvorschlag zur Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Stochastik) Datum: 07. Februar 203 Dauer: 80 Minuten Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 a b c d a b c d e a b c a b Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 a b c d e a b c a b c Note ACHTUNG: Alle Antworten sind zu begründen bzw. herzuleiten, soweit nicht anders angegeben! Vereinfachen Sie die Ergebnisse soweit wie möglich. Geben Sie die Ergebnisse so exakt wie möglich an (z.b. als Bruch), runden Sie ggf. auf 3 Nachkommastellen. Als Hilfsmittel sind zugelassen: Skriptum zur Vorlesung, Vorlesungsmitschrift, Taschenrechner (nicht vernetzbar), Wörterbuch Hinreichend zum Bestehen der Klausur sind 30 Punkte. VIEL ERFOLG!

2 Verteilungsfunktion Φ(x) der Standard Normalverteilung N (0, ) x

3 p-quantile χ 2 k;p der χ2 Verteilung mit k Freiheitsgraden p k p-quantile der t-verteilung mit s Freiheitsgraden In der Zeile zu s = stehen die Quantile Φ (p) der N (0, )-Verteilung. p s

4 Aufgabe (0 Punkte) Gegeben sei eine Urliste mit den folgenden Paaren (x, y ),..., (x 0, y 0 ) : j x j y j a) Berechnen Sie die Stichprobenmittel x, ȳ, die Stichproben-Standardabweichungen s x, s y und den empirischen Korrelationskoeffizienten r xy. Hinweis: 0 j= x j = 28.5, 0 j= y j = 8.7, 0 j= x 2 j = 86.33, 0 j= y 2 j = 37.7, 0 j= x j y j = b) Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade y = a + b x von y auf x. c) Bestimmen Sie das 0.22-getrimmte Stichprobenmittel von (y,..., y 0 ). d) Bestimmen Sie den Median, das untere und obere Quartil sowie den Quartilsabstand von (x,..., x 0 ). Lösungsvorschlag: a) Es ist (mit den Hinweisen und n = 0) x = n x i = 0 x i = 28.5 = 2.850, ȳ = y i = y i = 8.7 =.870, n 0 0 s x = ( ) (x i x) n 2 = x 2 i n n x2 = s y = ( ) (y i ȳ) n 2 = yi 2 n nȳ2 = ( n ) (x n i x)(y ȳ)) x n i y i n xȳ r xy = = = s x s y s x s y 9 ( ) 0.753, 9 ( ) 0.552, ( ) b) Es gilt b s y = r xy = s x , a = ȳ b x =.87 ( 0.732) c) Die geordnete Stichprobe ist y () = (0.9,.4,.5,.6,.6, 2.0, 2.3, 2.4, 2.4, 2.6) und k = [nα] = [0 0.22] = [2.2] = 2. Damit ist das 0.22-getrimmte Mittel ȳ 0.22 = ( ) =

5 d) Der Median ist das 0.5-Quantil. Da k = [nα] = [5] = 5 und nα N gilt x 0.5 = 2 (x (5) + x (6) ) = Da und / N, berechnen sich das obere und untere Quartil zu x 0.75 = x (8) = 3.3, x 0.25 = x (3) = 2.2, und der Quartilsabstand ist x 0.75 x 0.25 = =.. 4

6 Aufgabe 2 ( Punkte) Seien X und Y zwei diskrete Zufallsvariablen mit gemeinsamer Zähldichte f(i, j) := P(X = i, Y = j). In folgender Tabelle sind die Werte von f(i, j), i = 0,, 2, j =, aufgeführt: j = j = i = 0 i = i = a) Bestimmen Sie die Zähldichten von X und Y. b) Berechnen Sie E[X], E[Y ], E[XY ] und C(X, Y ). c) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kreuzen Sie die richtige Antwort an. Begründungen sind NICHT erforderlich. Die Zufallsvariablen X und Y sind unkorreliert. korreliert. Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig. nicht unabhängig. d) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X > 0 Y < 0). e) Geben Sie in der folgenden Tabelle die Zähldichte von min(x, Y ) an. Begründungen sind NICHT erforderlich. k 0 P(min(X, Y ) = k) Lösungsvorschlag: a) Es ist P(X = 0) = P(X = 0, Y = ) + P(X = 0, Y = ) = 6. Analog berechnet man Weiter gilt P(X = ) = 3 24 und P(X = 2) = P(Y = ) = P(X = 0, Y = ) + P(X =, Y = ) + P(X = 2, Y = ) = 2 5

7 und analog P(Y = ) = 2. b) Es ist E[X] = 0 P(X = 0) + P(X = ) + 2 P(X = 2) = 9 8 E[Y ] = ( ) P(Y = ) + P(Y = ) = 0. Außerdem gilt E[XY ] = 0 ( ) P(X = 0, Y = ) + 0 P(X = 0, Y = ) + ( ) P(X =, Y = ) + P(X =, Y = ) + 2 ( ) P(X = 2, Y = ) + 2 P(X = 2, Y = ) = 24 und damit C(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = E[XY ] = 24. c) Die Zufallsvariablen X und Y sind unkorreliert. korreliert. Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig. nicht unabhängig. d) Es ist P(X > 0 Y < 0) = = P(X > 0, Y < 0) P(Y < 0) /6 + 5/24 = 3 /2 4. = P(X =, Y = ) + P(X = 2, Y = ) P(Y = ) e) Es ist P(min(X, Y ) = ) = P(Y = ) = 2, P(min(X, Y ) = 0) = P(X = 0, Y = ) = 24, P(min(X, Y ) = ) = P(X =, Y = ) + P(X = 2, Y = ) = 24. 6

8 Aufgabe 3 (7 Punkte) Tom will im Karlsruher Zoo zur Eisbärenanlage. Er kann hierfür nach rechts (richtiger Weg) oder nach links (falscher Weg) gehen. Fragt er einen Besucher des Zoos mit Tageskarte nach dem Weg dorthin, so erhält er mit Wahrscheinlichkeit 2/3 die richtige Antwort und mit Wahrscheinlichkeit /3 eine falsche Antwort. Fragt er einen Dauerkartenbesitzer nach dem Weg dorthin, so erhält er stets die richtige Antwort. Antworten und Eintrittskarten von verschiedenen Personen sind unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig angesprochene Person eine Dauerkarte besitzt, sei /0. a) Tom fragt einen Besucher B nach dem Weg zur Eisbärenanlage. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er eine richtige Antwort? b) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Besucher B eine Dauerkarte besitzt, wenn er die richtige Antwort gegeben hat? c) Tom fragt einen weiteren Besucher B2 nach dem Weg zur Eisbärenanlage. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben B und B2 dieselbe Antwort? Hinweis: Sie dürfen die wie folgt definierten Ereignisse verwenden: R := {Tom erhält die richtige Antwort}, F := {Tom erhält die falsche Antwort}, D := {befragte Person ist Dauerkartenbesitzer}, T := {befragte Person besitzt eine Tageskarte}. Lösungsvorschlag: Es seien die Ereignisse R, F, T, D wie folgt definiert: R := {Tom erhält die richtige Antwort} F := {Tom erhält die falsche Antwort} D := {befragte Person ist Dauerkartenbesitzer} T := {befragte Person hate eine Tageskarte} Die bekannten Wahrscheinlichkeiten sind dann: P(R T ) = 2/3, P(F T ) = /3, P(R D) =, P(F D) = 0, P(D) = /0, P(T ) = 9/0. a) Gesucht ist P(R). Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man P(R) = P(R T )P(T ) + P(R D)P(D) = 2 3 b) Gesucht ist P(D R). Mit der Bayes-Formel erhält man P(D R) = P(R D)P(D) P(R) = /0 7/ = 7 0. c) Seien R, R 2, F, F 2 die Ereignisse, dass B bzw. B 2 die richtige bzw. falsche Antwort gibt. Dann ist = 7 P(gleiche Antwort) = P(R R 2 ) + P(F F 2 ) = (P(R)) 2 + (P(F )) 2 ( ) 2 ( ) = + =

9 Aufgabe 4 (0 Punkte) Die stetige Funktion f sei gegeben durch { 3 4 f(x) = (x2 4x + 3), x 3, 0, sonst. a) Zeigen Sie: Die Funktion f ist die Dichte einer Zufallsvariablen, also eine Wahrscheinlichkeitsdichte. b) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f. i) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F X von X. ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(0 < log X ). iii) Geben Sie den Median von X an. (Sie müssen hier nicht rechnen!) Lösungsvorschlag: a) Damit f eine Dichte ist, muss gelten f(x) dx =, () f(x) 0 für alle x R. (2) Die Bedingung (2) ist erfüllt. Wir zeigen nun (). Es ist 3 f(x) dx = 3 4 (x2 4x + 3) dx = 3 [ 4 3 x3 2x 2 + 3x = 3 ( ) = 3 ( 4 4 ) =. 3 b) i) Es ist F X (t) = t f(x) dx. Also gilt F (t) = 0 für t < und F (t) = für t > 3. Für t 3 gilt F X (t) = 3 t x 2 4x + 3 dx = 3 [ ] t x3 2x 2 + 3x = 3 ( 4 3 t3 2t 2 + 3t 4 ) = 3 4 t t2 9 4 t +. Zusammengefasst ii) Es ist 0, t < F X (t) = 4 t t2 9t +, t 3 4, t > 3. P(0 < log X ) = P(e 0 < X e) = F X (e) F X () = F X (e) = 4 e e2 9 4 e + iii) Da f symmetrisch zur Geraden x = 2 ist, gilt F (/2) = 2. ] 3 8

10 Aufgabe 5 (4 Punkte) Ein Quader mit quadratischer Grundfläche (siehe Bild) hat die Solllängen a = 50 und b = 70. b a a Man weiß, dass die bei der Herstellung entstehenden zufälligen Abweichungen X, Y zwischen den tatsächlichen Längen A := a + X, B := b + Y und den Solllängen hinreichend genau normalverteilt sind, nämlich X N (0, ) und Y N (0, 4). Die zufälligen tatsächlichen Längen A und B sind dabei unabhängig. a) Bestimmen Sie die Verteilung von A, B und der Gesamtlänge L := 8A + 4B aller Kanten. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtlänge L um mehr als deren Standardabweichung von der Solllänge 680 abweicht. c) Berechnen Sie die Kovarianz C(2A, A + 2B). d) Die zufällige Oberfläche des Quaders ist O := 2A 2 + 4AB = 2A(A + 2B). Berechnen Sie den Erwartungswert E[O]. e) Frau Bern hat leider die Parameter der Verteilung der Abweichung von b vergessen. Sie weiß nur, dass Y N (µ, σ 2 ), µ R und σ 2 > 0 unbekannt, gilt. Um Näheres über den Erwartungswert herauszufinden, misst sie 0 Längen verschiedener (unabhängig voneinander hergestellter) Quader und erhält als Stichprobe der Abweichungen y = ( 2.25, 0.68, 0.20,.09,.90, 0.9, 0.69,.67,.9, 2.53). Hinweis: 0 y i =.530 und 0 (y i ȳ) i) Geben Sie für diese Situation ein zweiseitiges ( α) Konfidenzintervall für den Erwartungswert von Y an. ii) Helfen Sie Frau Bern, indem Sie das 0.95-Konfidenzintervall aus i) für die Stichprobe y berechnen. Lösungsvorschlag: a) Es ist also A N (a, ), B N (b, 4), L N (8a + 4b, ), A N (50, ), B N (70, 4), L N (680, 28). b) Es ist P( L 680 > 28) = P( L EL > V (L)) = P( L EL V (L)) = (2Φ() ) = 2 2Φ() =

11 c) Es ist C(2A, A + 2B) = 2C(A, A) + 4C(A, B) = 2V (A) + 0 = 2. d) Mit C(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = E[XY ] = C(X, Y ) + E[X]E[Y ] ergibt sich ALTERNATIV: E[O] = E[2A(A + 2B)] = C(2A, A + 2B) + E[2A] E[A + 2B] = 2 + 2E[A](E[A] + 2E[B]) = ( ) = 9002 E[O] = 2E[A 2 ] + 4E[A]E[B] = 2(V (A) + E[A] 2 ) + 4E[A]E[B] = 2 ( ) = 9002 e) Wir sind hier in der Situation Y,..., Y n unabhängig und Y i N (µ, σ 2 ), wobei die Parameter unbekannt sind. i) Dann ist laut Vorlesung ein ( α) Konfidenzintervall für µ gegeben durch [ ] ˆσ n ˆσ C(Y ) = Ȳ n t n ; α/2 n, n Ȳn + t n ; α/2, n wobei t n ; α/2 das ( α/2) Quantil der t Verteilung mit n Freiheitsgraden ist. ii) In der Situation von Frau Bern ist nun ȳ 0 = 0.53, ˆσ und t 9;0.975 = Damit ergibt sich C(y) = [ 0.946;.252]. 0

12 Aufgabe 6 (0 Punkte) Eine Zufallsvariable X habe die Dichte x f ϑ (x) := { 0, x 0, x e x ϑ 2 ϑ, x > 0, wobei ϑ > 0 ein unbekannter Parameter ist. Hinweis: Sie können ohne Nachweis verwenden, dass E ϑ [X] = 2ϑ und V ϑ (X) = 2ϑ 2 gilt. a) Es sei x = (x,..., x n ), wobei x i > 0 für alle i =,..., n. Zeigen Sie, dass für die unabhängigen Stichprobenvariablen X,..., X n mit der Dichte f ϑ ein Maximum-Likelihood- Schätzwert für ϑ zur Stichprobe x gegeben ist durch n ˆϑ(x,..., x n ) = x i. b) Ist der Schätzer ˆϑ aus Teilaufgabe a) erwartungstreu für ϑ? Begründen Sie Ihre Antwort und kreuzen Sie an! erwartungstreu: ja nein c) Ist die Schätzfolge (ˆϑ n ) konsistent für ϑ? Begründen Sie Ihre Antwort und kreuzen Sie an! konsistent: ja nein Lösungsvorschlag: a) Zur Bestimmung des Maximum-Likelihood-Schätzers stellen wir zunächst die Likelihood- Funktion auf. Es ist n n x i L x (ϑ) = f ϑ (x i ) = ϑ x i 2 e ϑ n = x i e n ϑ x i. Als nächstes wird die Log-Likelihood-Funktion bestimmt. M x (ϑ) = log(l x (ϑ)) = log(x i ) log ϑ ϑ ϑ Diese Funktion wird nun maximiert. Hierzu fordern wir M x(ϑ) = ϑ +! x ϑ 2 i = 0. Damit ist der Kandidat für den Maximum-Likelihood-Schätzer ˆϑ(X,..., X n ) = X i. Da M x(ϑ) = ϑ 2 ( ϑ + ) x i x= 0 x i. x i ϑ, ist ˆϑ wirklich eine Maximumsstelle und ˆϑ der Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ.

13 b) Es ist [ E ϑ [ ˆϑ(X,..., X n )] = E ϑ ] X i x= = = 2 E ϑ[x ] = 2ϑ = ϑ. 2 E ϑ [X i ] Damit ist der Schätzer erwartungstreu für ϑ. c) Die Schätzfolge ist konsistent, denn es gilt mit dem Gesetz großer Zahlen ( ) ( lim P ϑ X i ϑ n ε [ ] ) X i = lim P ϑ n n 2 E X ϑ 2 ε = 0. Alternativ lässt sich die Konsistenz mit Hilfe der Tschebyschev-Ungleichung zeigen: ( ) ( [ ] ) P ϑ X i ϑ ε = P ϑ X i E ϑ X i ε ( ) ε V 2 ϑ X i = V ε 2 4n 2 ϑ (X i ) = V ϑ(x ) 4nε 2 = 2ϑ2 4nε 2 n 0. 2

14 Aufgabe 7 (3 Punkte) Ein Kreisel mit fünfeckiger Grundfläche (siehe Bild) wird n mal in unabhängiger Folge gedreht (n N) Dabei bezeichne X i die Zahl, die bei der i ten Drehung unten ist. Die Zufallsvariable Y n := bezeichne die nach n Drehungen erzielte Zahlen-Summe. Nehmen Sie zunächst an, dass die Grundfläche ein regelmäßiges Fünfeck ist. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y n. b) Approximieren Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg-Lévy die Wahrscheinlichkeit P(275 < Y 00 < 325). c) Herr Franz glaubt nicht an die mit dem regelmäßigen Fünfeck verbundene Laplace-Annahme und führt deshalb ein Experiment durch. Er dreht den Kreisel 50 mal in unabhängiger Folge. Dabei treten die Zahlen,..., 5 in den Häufigkeiten 22, 36, 40, 24, 28 auf. Nun möchte Herr Franz einen Test durchführen, um seine Behauptung, der Kreisel habe KEIN regelmäßiges Fünfeck als Grundseite, statistisch nachzuweisen. i) Wie wählt Herr Franz die Hypothese bzw. Alternative? Welchen aus der Vorlesung bekannten Test muss Herr Franz nun anwenden? ii) Wie lautet die Testgröße? Berechnen Sie die Testgröße aus den Daten. iii) Wie lautet der Testentscheid zum Niveau α? iv) Kann Herr Franz die Hypothese der Regelmäßigkeit des Fünfecks verwerfen, wenn er eine Wahrscheinlichkeit von 0.05 für den Fehler. Art toleriert? X i Lösungsvorschlag: Da wir zunächst annehmen, dass das Fünfeck regelmäßig ist, gilt P(X i = k) =, für k =,..., 5 und i N. 5 a) Es ist [ ] E[Y n ] = E X i = E[X i ] = n E[X ] = n ( ) = 3n 5 3

15 und da die X i unabhängig sind ( ) V (Y n ) = V X i = V [X i ] = n V (X ) = n (E(X 2 ) E[X ] 2 ) = n ( 3 2 ) =. b) Es gilt ( P(275 < Y 00 < 325) = P < Y ) < ( ) ( 25 Φ 0 Φ 25 ) 2 0 Φ(.768) Φ(.768) 2 = Φ(.768) ( Φ(.768)) = 2Φ(.768) = = c) i) Wir sind hier in der Situation eines Chi-Quadrat-Anpassungstests, der aus der Vorlesung bekannt ist. Da Herr Franz die Behauptung P(X i = k) statistisch nachweisen 5 möchte, ist die Hypothese bzw. Alternative H 0 : p j = 5 H : p j 5. ii) Die Testgröße ist χ 2 n(k,..., k s ) = s (k i n π i ) 2 n π i. Mit n = 50, s = 5, (k,..., k 5 ) = (22, 36, 40, 24, 28) und π i = 5 sich 5 χ 2 (k i 30) 2 50(22, 36, 40, 24, 28) = = iii) Der Test zum Niveau α lautet für i 5 ergibt H 0 wird verworfen, falls χ 2 n(k,..., k s ) χ 2 s ; α kein Widerspruch zu H 0, falls χ 2 n(k,..., k s ) < χ 2 s ; α wobei χ 2 s ; α das ( α) Quantil der χ 2 Verteilung mit s Freiheitsgraden ist. iv) Es ist χ 2 4;0.95 = 9.49 > 8 = χ 2 50(22, 36, 40, 24, 28). Damit stehen die Daten nicht im Widerspruch zu H 0. 4