Thema der Stunde. I. Die Form der Stichprobenkennwerteverteilung. II. Schlüsse von der Stichprobe auf die Population

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1 Thema der Stunde I. Die Form der Stichprobenkennwerteverteilung II. Schlüsse von der Stichprobe auf die Population III. t-test für unabhängige und abhängige Stichproben

2 Stichprobenkennwerte Population Sampling Stichprobe Kennwerte Theoretische Statistik Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben, Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt? Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter. Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen

3 Stichprobenkennwerte Population Verteilung von Stichprobenmittelwerten Stichprobe des Umfangs Tue dies k - mal: ( ) k Kennwerteverteilung Kennwert (Erwartungswert) E{ } = μ Erwartungswert E{ } = μ Die Kennwerteverteilung hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu. Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters μ 3

4 Stichprobenkennwerte Population Varianz Verteilung von Stichprobenvarianzen ( ) Stichprobe des Umfangs s s s Bias { } = Tue dies k - mal: s = E s k Erwartungswert der Stichprobenvarianzen { } E s = = Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz 4

5 { } E s Korrektur = = Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Korrektur: { } E s = = ˆ = s = i i= ( ) Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang - ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz 5

6 Varianz der Stichprobenmittelwerte Population Verteilung von Stichprobenmittelwerten Stichprobe des Umfangs Tue dies k - mal: ( ) k Kennwerteverteilung Varianz Varianz = Der Faktor / bezieht die Populationsvarianz auf die Varianz der Stichprobenmittel Für = sind beide Varianzen gleich Für geht die Varianz der Mittelwerte gegen ull. 6

7 Form der Verteilung von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f () μ Zentraler Grenzwertsatz: Die Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben der Größe 30 geht mit wachsendem Stichprobenumfang in eine ormalverteilung über, unabhängig von der Verteilungsform der Werte in der Population. Es gilt:.. { } = μ = E{ } E = pop Der zentrale Grenzwertsatz ermöglicht die Schätzung von Parametern unter Angabe statistischer Sicherheiten 7 [Math-Beispiel]

8 Form der Verteilung von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f () μ Schätzung des Standardfehlers ˆ ˆ pop s ˆ = = da ˆ pop = i = s i ( ) Der Standardfehler wird geschätzt über die Schätzung der Populationsvarianz aus der Stichprobenvarianz 8

9 Konfidenzintervalle in der Verteilung der Mittelwerte Fragestellungen:. Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter μ mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwarten?. Der Populationsparameter μ sei bekannt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ein Mittelwert wie der beobachtete oder ein etremerer auftreten?.. ( ) P z μ + z = α α/ α/ ( ) P μ z μ+ z = α α/ α/ Konfidenzintervalle geben Intervalle um einen Kennwert an, in denen ein gesuchter Wert mit einer bestimmten WK liegt. 9

10 Hypothesen Wissenschaftliche Vermutung über einen Sachverhalt Aussage Gegenaussage (komplementär) A: eue Unterrichtsmethode ist besser als die alte A: eue Unterrichtsmethode ist schlechter oder gleich gut Statistisch: H : μ > μ H : μ μ : 0 H 0: μ μ0 H μ μ (gerichtet) = (ungerichtet) Hypothesen als Aussagen über Populationsparameter 0

11 Entscheidungsregeln (ungerichtet) Sei α ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: α = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Regel (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wenn ( ) P z z < α verwerfe H 0 0 Regel (Kritischer Wert z -α/ ): Wenn z0 z α / > verwerfe H 0 Grundlage: ( 0 z α /) ( 0 z α /) P z P z = α > = α Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau

12 Entscheidungsregeln (gerichtet) Sei α ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: α = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Regel (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wenn ( ) P z z < α verwerfe H 0 0 Regel (Kritischer Wert z -α ): Wenn z0 > z α verwerfe H 0 Grundlage: ( 0 z α ) ( z ) P z P z 0 α = α > = α Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau

13 Fehler. und. Art H 0 H In der Population gilt H 0 H Correct Miss Rejection P H H Entscheidung für ( 0 0) (Fehler. Art) P H H False Alarm Hit (Fehler. Art) H ( 0 ) P( H 0) P( H H) [Entscheidungsaufgabe] Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn 3