2.6 Lokale Extrema und Mittelwertsatz

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1 2.6. Lokale Etrema und Mittelwertsatz Lokale Etrema und Mittelwertsatz In diesem Kapitel bezeichne f stets eine reellwertige Funktion, definiert auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b]. Unter einem lokalen Etremum von f versteht man folgendes: Definition Man sagt, f habe an der Stelle 0 (a,b) ein lokales Maimum, falls ein δ > 0 eistiert, so dass f( 0 ) f() für alle ( 0 δ, 0 +δ). Entsprechend liegt in 0 (a,b) ein lokales Minimum vor, falls ein δ > 0 eistiert, so dass f( 0 ) f() für alle ( 0 δ, 0 +δ). Gilt sogar die Ungleichung f( 0 ) > f() für alle mit 0 < 0 < δ, dann spricht man von einem isolierten lokalen Maimum. Ein isoliertes lokales Minimum ist entsprechend definiert Satz Hat f in 0 (a,b) ein lokales Etremum und ist f an der Stelle 0 differenzierbar, so gilt: f ( 0 ) = 0. Man nennt die Nullstellen der Ableitung von f auch die kritischen Stellen von f. Beweis. Nehmen wir zunächst an, f habe in 0 ein lokales Maimum, und δ > 0 sei so gewählt, dass f( 0 ) f() für alle ( 0 δ, 0 +δ). Für < 0 gilt dann f() f( 0) 0 Zusammen folgt 0 und für > 0 gilt f ( 0 ) = lim 0 f() f( 0 ) 0 = 0. q.e.d. f() f( 0 ) Beispiele Das Polynom p() = die kritischen Stellen 1 = 0 und 2 = 2. Denn p () = = 3( 2). An der Stelle 1 hat p ein isoliertes lokales Maimum und bei 2 hat p ein isoliertes lokales Minimum. Hier ist eine differenzierbare Funktion, die auf einem ganzen Intervall ihr Minimum annimmt, aber nicht überall konstant ist: 2 +1 für < 0 f() = 1 für 0 1. ( 1) 2 +1 für > 1 Die kritischen Stellen dieser Funktion liegen nicht isoliert, sondern sie bilden ein Intervall, nämlich das Intervall [0, 1].

2 50 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Schliesslich kann es auch vorkommen, dass die kritischen Stellen zwar kein Intervall bilden, sich aber an einer Stelle häufen, wie im folgenden Beispiel: { f() = 2 sin( 1) für 0 0 für = 0. Die Funktion f ist auch bei = 0 differenzierbar und f (0) = 0. Ausserdem hat die Ableitung f unendlich viele weitere Nullstellen, die sich bei = 0 häufen Satz (von Rolle) Sei jetzt f auf [a,b] differenzierbar und seien 1, 2 [a,b], 1 < 2 mitf( 1 ) = f( 2 ).Danneistiertein 0 ( 1, 2 )mitf ( 0 ) = 0.Dasheisst also insbesondere: zwischen je zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion liegt mindestens eine kritische Stelle. Beweis. Ist f auf [ 1, 2 ] konstant, so ist f () = 0 für alle und daher nichts zu zeigen. Nehmen wir jetzt an, f sei nicht konstant. Dann über- oder unterschreiten die Funktionswerte auf [ 1, 2 ] den Wert f( 1 ) = f( 2 ) = c. Weil f stetig ist, nimmt f auf [ 1, 2 ] sowohl Maimum als auch Minimum an, und mindestens eine dieser Stellen muss von 1 und 2 verschieden sein. Also hat f zwischen 1 und 2 mindestens ein lokales Etremum und damit auch eine kritische Stelle. q.e.d Folgerung (Mittelwertsatz)Sei f auf[a,b] differenzierbar undseien 1 < 2 [a,b]. Dann eistiert ein 0 ( 1, 2 ) mit f ( 0 ) = f( 2) f( 1 ) 2 1. Mit anderen Worten: Es gibt eine Stelle 0 zwischen 1 und 2, an der die Tangente an den Graphen von f parallel ist zu der Sekante durch die Punkte ( 1,f( 1 )) und ( 2,f( 2 )). Beweis. Der Mittelwertsatz folgt durch Anwendung des Satzes von Rolle auf die Funktion g auf [a, b], definiert durch g() := f() f( 2) f( 1 ) 2 1 ( 1 ). q.e.d. Nun können wir folgendes schliessen: Bemerkung Sei wiederum f auf I = [a, b] differenzierbar. Dann gilt: Ist f () > 0 für alle I, so ist f auf I streng monoton wachsend. Ist f () = 0 für alle I, so ist f auf I konstant.

3 2.6. Lokale Etrema und Mittelwertsatz 51 Ist f () < 0 für alle I, so ist f auf I streng monoton fallend. Aus dieser Beobachtung ergeben sich folgende Kriterien für die Bestimmung lokaler Etrema einer vorgelegten Funktion Satz Sei f:d R differenzierbar, und 0 D mit f ( 0 ) = 0. Wechselt f bei 0 das Vorzeichen von nach +, das heisst, ist f () < 0 < f (y) für alle < 0 < y, die nahe genug bei 0 liegen, dann hat f an der Stelle 0 ein isoliertes lokales Minimum. Wechselt f bei 0 das Vorzeichen von + nach, das heisst, ist f () > 0 > f (y) für alle < 0 < y, die nahe genug bei 0 liegen, dann hat f an der Stelle 0 ein isoliertes lokales Maimum. Wechselt f bei 0 das Vorzeichen nicht und ist f () f (y) > 0 für alle < 0 < y, die nahe genug bei 0 liegen, dann hat f an der Stelle 0 einen Sattelpunkt. Wir wenden dies nun an, um den qualitativen Verlauf einiger Funktionen zu bestimmen, also Kurvendiskussionen zu machen Beispiele 1. Sei f() = ep( 2 ) (für R). 2 Mit der Kettenregel ergibt sich f () = e 2 2 für R. Da die Werte der Eponentialfunktion stets positiv sind, folgt f () > 0 für < 0 und f () < 0 für > 0. Also ist f auf dem Bereich (,0] streng monoton wachsend und auf [0, ) streng monoton fallend. An der Stelle = 0 hat f sein Maimum. Zugleich ist dies die einzige kritische Stelle von f, denn f hat nur eine Nullstelle. Ausserdem ist lim ± f() = 0, die -Achse ist also eine Asymptote des Graphen. Der Graph dieser Funktion f ist unter dem Namen Gausssche Glockenkurve bekannt. 2. Betrachten wir das Polynom vierten Grades, definiert durch p() = für R. Hier ist p () = 12( 1) 2 ( + 1). Die Nullstellen der Ableitung sind also = ±1,undp () 0füralle > 1undp () < 0für < 1.Dasbedeutet, dass die Funktion auf dem Bereich (, 1] monoton fallend ist, und auf dem Bereich [ 1, ) monoton steigend. Bei = 1 liegt also ein (sogar absolutes) Minimum vor, der Funktionswert ist p( 1) = 13. Bei = 1 haben wir einen Sattelpunkt, weil p dort nicht das Vorzeichen wechselt, der Funktionswert ist hier p(1) = 3. Ausserdem ist lim ± p() = lim ± 4 ( ) =. Mit diesen Angaben können wir nun den Funktionsgraphen 3 4 skizzieren.

4 52 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen 3. Sei f() = arctan(1/) für 0. Hier ist f () = , es gibt also keine lokalen Etrema. Die Ableitung ist stets negativ, also ist f sowohl im Bereich < 0 also auch im Bereich > 0 streng monoton fallend. Die Grenzwerte sind lim f() = 0, lim f() = π ±infty ր0 2, limf() = π ց0 2, lim 0 f () = 1. Also hat f keine stetige Fortsetzung nach = 0, obwohl die Ableitung sich fortsetzen liesse. 4. Sei f() = ln() für > 0. Diese Funktion hat eine Nullstelle bei = 1 und eine kritische Stelle bei 0 = 1 e. Denn f () = ln()+1 = 0 genau dann, wenn ln() = 1. Ausserdem lesen wir ab, dass f () > 0 für > 0 und f () < 0 für < 0. Darausfolgt, dass f auf dem Bereich (0, 0 ] streng monoton fallend und auf [ 0, ) streng monoton steigend ist. An der Stelle = 0 nimmt f also sein Minimum an. Wir könnten die Funktion sogar stetig nach 0 fortsetzen, denn wir haben bereits mit der l Hospitalschen Regel gezeigt, dass lim( ln()) = 0. 0 Also liefert die Festsetzung f(0) := 0 eine stetige Fortsetzung. Allerdings ist f an der Stelle = 0 dann nicht mehr differenzierbar. Die Tangente an den Graphen von f im Nullpunkt ist die y-achse, hat also unendliche Steigung, denn lim 0 f() = lim 0 ln() =. Schliesslich ist lim f() =. 2.7 Höhere Ableitungen, Konveität, Newtonverfahren Ist f:i R differenzierbar auf einem Intervall I, so erhalten wir eine neue Funktion auf I, nämlich f. Ist f an der Stelle 0 I wiederum differenzierbar, so sagt man, f sei in 0 zweimal differenzierbar und schreibt f ( 0 ) = d d f ( 0 ). Eistiert die zweite Ableitung in jedem Punkt von I, heisst f zweimal differenzierbar. Entsprechend definiert man durch Iteration die n-te Ableitung (n N) und notiert dafür f (n) ( 0 ) = d d f(n 1) ( 0 ) = dn d nf( 0). Folgende Bezeichnungen sind gebräuchlich und gelegentlich nützlich: C n (I) := {f:i R f n-mal differenzierbar und f (n) stetig auf I} Das folgende Symbol schliesslich bezeichnet die beliebig oft differenzierbaren Funktionen C (I) := n NC n (I) = {f:i R f C n (I) für alle n N}.

5 2.7. Höhere Ableitungen, Konveität, Newtonverfahren 53 Zu den C -Funktionen gehören zum Beispiel die Polynome, die Eponentialfunktion, die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus und Produkte dieser Funktionen. Es gibt aber auch differenzierbare Funktionen, deren Ableitung nicht mehr überall differenzierbar ist. Hierzu einige Beispiele: Die Betragsfunktion ist stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle = 0. Also liegt sie in C 0 (R), aber nicht in C 1 (R). { Die Funktion f() = 2 für 0 ist überall differenzierbar, auch bei 3 für < 0 { = 0. Die Ableitung von f lautet f 2 für 0 () = 3 2. Allerdings hat für < 0 die Funktion f nun eine Knickstelle bei = 0 und ist deshalb dort nicht 3 differenzierbar, denn lim 2 ր0 = 0 2 = lim ց0 2. Also liegt die Funktion f in C 1 (R), aber nicht in C 2 (R). Die folgende schon mehrfach erwähnte Funktion liefert ein Beispiel dafür, dass die Ableitung einer differenzierbaren Funktion nicht überall stetig zu sein braucht. Sei nämlich f:r R definiert durch { f() = 2 sin( 1) für 0 0 für = 0 Für 0 ergibt sich die Ableitung aus Produkt- und Kettenregel als f () = 2sin( 1 ) cos(1 ). Für = 0 können wir die Regeln nicht anwenden, sondern müssen auf den Differenzenquotienten zurückgreifen: f (0) = lim ց0 f() = lim ց0 sin(1 ) = 0. Dies folgt aus dem Vergleichssatz, da 0 sin( 1 ) für alle > 0. Also ist f überall differenzierbar. Aber die Ableitung f ist an der Stelle = 0 nicht stetig,denndergrenzwert lim ց0 f ()eistiert nicht, weillim ց0 cos( 1 )nicht eistiert. Die zweite Ableitung kann bei Kurvendiskussionen hilfreich sein Satz Seif:D Rzweimal stetig differenzierbar, und 0 D mitf ( 0 ) = 0. Ist f ( 0 ) < 0, so hat f bei 0 ein isoliertes lokales Maimum. Ist f ( 0 ) > 0, so hat f bei 0 ein isoliertes lokales Minimum. Ist f ( 0 ) = 0 und ist f () in der Nähe von 0 immer positiv (oder immer negativ), dann hat f bei 0 einen Sattelpunkt. Beweis. Wir begründen nur die erste Behauptung: Weil f nach Voraussetzung stetig ist, muss es ein δ > 0 geben mit f () < 0 für alle D mit 0 δ. Also ist f auf dem Abschnitt [ 0 δ, 0 + δ] streng monoton fallend, wechselt also bei der Nullstelle 0 das Vorzeichen, und zwar von + nach. Nach Satz 2.51 hat f also bei 0 ein isoliertes lokales Maimum. q.e.d.

6 54 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Beispiel Sei f() = 3 e für R. Diese Funktion hat nur eine Nullstelle bei = 0. Es ist f () = (3 2 3 )e = (3 ) 2 e und f () = ( )e. Also hat f die Nullstellen 1 = 0 und 2 = 3. Weil f (0) = 0 ist und f () > 0 für kleine 0, liegt bei 1 = 0 ein Sattelpunkt vor. Weiter ist f (3) = 9e 3 < 0, also hat f bei 2 = 3 ein isoliertes lokales Maimum. Ausserdem hat f noch zwei weitere Wendepunkte. Das sind Stellen, an denen der Graph von einer Seite der Tangente auf die andere wechselt. Die Wendepunkte sind Nullstellen der zweiten Ableitung, wie wir gleich sehen werden, also hier = 3 ± 3. Schliesslich gilt lim f() = lim 3 = 0 (nach der l Hospitalschen Regel), und e lim f() = lim 3 e =. Mit diesen Angaben können wir den Verlauf der Funktion skizzieren. Die folgende Funktion beschreibt eine sogenannte Normalverteilung und wird in der Statistik häufig verwendet Beispiel Seien 0,σ > 0 vorgegeben. Die Funktion f() = ep( ( 0) 2 ) für R 2σ 2 ist eine Modifikation der Gaussschen Glockenkurve. Sie hat ihr Maimum an der Stelle 0. Ausserdem gibt es zwei Wendepunkte bei = 0 ±σ. Aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung können wir Rückschlüsse darüber ziehen, ob der Graph der Funktion in einem bestimmten Abschnitt nach oben oder unten gewölbt ist Definition Eine Funktion f, definiert auf einem Intervall I, heisst strikt konve (bzw. strikt konkav), wenn für jede Wahl von 1 < 2 < 3 I der Punkt ( 2,f( 2 ))desfunktionsgraphenstrikt unterhalb(bzw. oberhalb) dersekantedurch ( 1,f( 1 )) und ( 3,f( 3 )) liegt. Ist f differenzierbar, so kann man dies auch so ausdrücken, dass der Graph von f echt oberhalb (bzw. unterhalb) jeder Tangenten an den Graphen liegt Satz Sei f auf I = [a,b] zweimal differenzierbar und f () > 0 für alle. Dann ist f strikt konve. Ist dagegen f () < 0 für alle, so ist f konkav. Beweis. Angenommen f () > 0 für alle. Dann ist f streng monoton wachsend. Betrachten wir nun drei Stellen 1 < 2 < 3 im Intervall I und verbinden wir die entsprechenden Punkte auf dem Funktionsgraphen mit drei Sekanten. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Stellen ζ 1 ( 1, 2 ) und ζ 2 ( 2, 3 ) mit f (ζ 1 ) = f( 2) f( 1 ) 2 1 und f (ζ 2 ) = f( 3) f( 2 ) 3 2.

7 2.7. Höhere Ableitungen, Konveität, Newtonverfahren 55 Weil ζ 1 < ζ 2 und f monoton wachsend ist, folgt f (ζ 1 ) < f (ζ 2 ). Das bedeutet aber gerade, dass der Punkt ( 2,f( 2 )) unterhalb der Sekante von ( 1,f( 1 )) nach ( 3,f( 3 )) liegt wie behauptet. q.e.d Folgerung Hat f an der Stelle 0 eine isolierte Nullstelle und wechselt f bei 0 das Vorzeichen, dann wechselt der Graph an der Stelle 0 von einer Seite der Tangenten auf die andere. Deshalb werden diese Punkte auch als die Wendepunkte von f bezeichnet. Beispielsweise ist die Parabelfunktion, gegeben durch f() = 2, auf jedem abgeschlossenen Intervall konve. Dasselbe gilt auch für die Eponentialfunktion. Dagegen sind die Quadratwurzelfunktion und die Logarithmusfunktion nicht konve, sondernkonkav. DieebenstudierteFunktionf() = ln()(für > 0)istwiederum konve, denn die Ableitung f () = ln()+1 ist streng monoton wachsend. Zum Abschluss dieses Kapitels sei noch kurz ein Algorithmus zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen stetig differenzierbarer Funktionen beschrieben, das sogenannte Newtonverfahren. Wir beschränken uns hier auf den Fall einer konveen Funktion und halten zuerst folgendes fest: Bemerkung Eine strikt konvee Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall sein Minimum an genau einer Stelle an. Hier nun das Newtonverfahren: Satz Sei f:[a,b] R eine zweimal differenzierbare Funktion mit f(a) < 0 < f(b) und f () > 0 für alle [a,b]. Wir definieren rekursiv eine Folge durch 0 := b und n+1 := n f( n) f ( n ) für n N 0. Dann konvergiert die Folge der n in [a,b] gegen eine Nullstelle von f. Entsprechendes gilt auch, wenn f(a) > 0 > f(b) und f () > 0 für alle [a,b]. Hier muss man allerdings mit dem Startwert 0 = a beginnen und die Nullstelle von links approimieren. Beweis. Die Idee zu diesem Verfahren ist die folgende: Ausgehend von einer Stelle 0 wird die Tangente an den Graphen von f bei 0 gebildet und der Schnittpunkt 1 mit der -Achse berechnet. Dann bildet man die Tangente bei 1 und schneidet diese Tangente wiederum mit der -Achse, um 2 zu erhalten, und so weiter. Die Gleichung der Tangente bei n lautet y = f( n )+f ( n )( n ). Also erfüllt der Schnittpunkt n+1 mit der -Achse die Gleichung 0 = f( n ) + f ( n )( n+1 n ). Wenn man dies umformt, erhält man genau die angegebene Rekursionsformel.

8 56 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Kommen wir nun zur Begründung dafür, warum das Verfahren funktioniert. Nach Voraussetzung ist f strikt konve, das heisst, die Ableitung f ist streng monoton wachsend. Ausserdem wechselt die Funktion f auf dem Intervall [a, b] das Vorzeichen. Der Minimalwert von f auf [a,b] ist f(a) < 0, wird also an einer Stelle m < b angenommen. Die Funktion f fällt von a bis m und wächst streng monoton von m bis b, denn f () > 0 für alle > m. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also genau eine Nullstelle t von f zwischen m und b, und f() > 0 für alle > t. Also ist die Rekursion wohldefiniert, solange n das Intervall [t,b] nicht verlässt, und die Folge n ist streng monoton fallend. Die Folge bleibt im Intervall [t,b], denn angenommen n [t,b]. Weil f strikt konve ist, liegt der Graph von f echt oberhalb der Tangente bei n. Also schneidet diese Tangente die -Achse an einer Stelle rechts von t und das heisst, auch n+1 [t,b]. Nun wissen wir, dass die Folge der n monoton fällt und nach unten beschränkt ist, sie hat also einen Grenzwert. Für diesen Grenzwert c ergibt sich aus der Rekursionsformel und der Stetigkeit von f und f : c = lim n n+1 = lim n n lim n f( n ) lim n f ( n ) = c f(c) f (c). Also muss f(c) = 0 sein, das heisst c = t. q.e.d Beispiel Mankann dasnewtonverfahren auf diefunktion f() = anwenden, um näherungsweise eine Nullstelle im Intervall [1, 2] zu berechnen. Denn f(1) = 2 < 0 und f(2) = 25 > 0, f wechselt also auf dem Intervall das Vorzeichen. Ausserdem ist f () = und f () = 20 3, also f (1) = 1 > 0 und f () > 0 für alle [1,2]. Das Verfahren liefert hier im sechsten Schritt 6 1,3435, und diese Näherung der Nullstelle ist bereits bis auf 3 Kommastellen genau. Allgemeiner funktioniert das Newtonverfahren auch dann, wenn auf [a, b] ein Vorzeichenwechsel von f stattfindet und f () 0 ist für alle, solange man den Startwert auf der passenden Seite der vermuteten Nullstelle wählt.