Eigenschaften von Funktionen
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- Eleonora Salzmann
- vor 6 Jahren
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1 Eigenschaften von Funktionen Mag. Christina Sickinger HTL v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 1 / 48
2 Gegeben sei die Funktion f (x) = 1 4 x 2 1. Berechnen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle: x = 4 x = 1 Was fällt Ihnen auf? y = 4 x = 1 x = 0 v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 2 / 48
3 Lösung f ( 4) = 8 f ( 1) = 2 f (1) = 2 f (4) = 8 Wo wäre die 1. Ableitung noch positiv? Wo wäre sie negativ? GeoGebra v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 3 / 48
4 Monotoniesatz Aus den eben gemachten Beobachtungen können wir den Monotoniesatz herleiten: Satz (Monotoniesatz) Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit a, b D. Dann gilt: f (x) > 0 für alle x ]a, b[ f ist in [a, b] streng monoton wachsend f (x) 0 für alle x ]a, b[ f ist in [a, b] monoton wachsend und f (x) < 0 für alle x ]a, b[ f ist in [a, b] streng monoton fallend f (x) 0 für alle x ]a, b[ f ist in [a, b] monoton fallend v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 4 / 48
5 Übung Geben Sie die Intervalle der Funktion an, an denen die erste Ableitung positiv/negativ ist. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 5 / 48
6 Wiederholung Minimum und Maximum Definition (lokales/relatives Maximum) Sei D R und f : D R eine Funktion. x 0 D nennt man ein lokales/relatives Maximum von f wenn es ein Intervall (a, b) D (das x 0 enthält) gibt, sodass für alle x (a, b) gilt: f (x 0 ) f (x). Definition (lokales/relatives Minimum) Sei D R und f : D R eine Funktion. x 0 D nennt man ein lokales/relatives Minimum von f wenn es ein Intervall (a, b) D (das x 0 enthält) gibt, sodass für alle x (a, b) gilt: f (x 0 ) f (x). v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 6 / 48
7 Von einem lokalen/relativen Maximum spricht man, wenn der Graph links von diesem Punkt streng monoton steigt und rechts davon streng monoton fällt. Von einem lokalen/relativen Minimum spricht man, wenn der Graph links von diesem Punkt streng monoton fällt und rechts davon streng monoton steigt. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 7 / 48
8 GeoGebra v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 8 / 48
9 Gegeben sei f (x) = 2x 4 3x 2 1. Wir berechnen nun die Steigungen an den beiden lokalen Minima der Funktion: 1 x = 3 2 x = 3 2 2
10 Lösung I Zuerst leiten wir die Funktion f (x) = 2x 4 3x 2 1 ab: f (x) = 8x 3 6x Nun können wir unsere Punkte x = 3 2 und x = 3 1 f ( 3 2 ) = 8( = 0 2 f ( 3 2 ) = 8( 3 2 )3 6( 2 )3 6( 3 2 einsetzen: 2 ) = ( 3 3) = 3 2 ) = (3 3) = = 0 Wo würde die 1. Ableitung noch 0 werden? GeoGebra v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 10 / 48
11 Zusammenfassung Wir fassen also zusammen: Bei lokalen Extrempunkten gilt: f (x) = 0 Dies liegt daran, dass bei Extrema waagrechte Tangenten anliegen. Dies sind konstante Funktionen mit der Steigung k = 0 Will man also wissen, wo lokale Extremstellen liegen, muss man die Gleichung f (x) = 0 lösen! v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 11 / 48
12 Beispiel Wir haben die Funktion f (x) = 3x 2 + x 1 gegeben. 1 Berechnen Sie die Steigung an den Stellen -1 und 7. 2 Geben Sie lokale Extremstellen der Funktion an. 3 Geben Sie an, ob lokale Minima oder Maxima vorliegen. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 12 / 48
13 Die zweite Ableitung Wir wissen bereits, dass ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, wenn f (x) = 0 ist. Um zu entscheiden, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, benötigen wir die 2. Ableitung Die 2. Ableitung einer Funktion erhält man, wenn man die 1. Ableitung erneut ableitet. Für die 2. Ableitung der Funktion f schreibt man f (x) Beispiel: 1 f (x) = 2x 4 3x f (x) = 8x 3 6x 3 f (x) = 24x 2 6 v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 13 / 48
14 Interpretation der 2. Ableitung Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 14 / 48
15 konkav und konvex Die linke Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konkav oder rechtsgekrümmt ist. Die rechte Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konvex oder linksgekrümmt ist. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 15 / 48
16 Merksatz Konkav und Konvex Merksatz Konkav/Konvex Konkav ist der Buckel vom Schaf v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 16 / 48
17 Krümmung einer Funktion Krümmung einer Funktion Definition (Konkavität) Für f (x) < 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich ab. Der Graph der Funktion ist also konkav oder rechtsgekrümmt. Definition (Konvexität) Für f (x) > 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich zu. Der Graph der Funktion ist konvex oder linksgekrümmt. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 17 / 48
18 Übung Buch S. 65 Nr v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 18 / 48
19 Lokale Minima und Maxima berechnen Problem: Angenommen wir wollen die lokalen Minima und Maxima einer Funktion f berechnen. Wir machen nun einige Beobachtungen mit GeoGebra um zu verstehen, wo lokale Minima bzw. Maxima vorliegen: GeoGebra v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 19 / 48
20 Sätze über lokale Extrema Aus den Beobachtungen können wir nun folgende Sätze ableiten Satz Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit x 0 D. Dann gilt: f (x 0 ) = 0 und f (x) 0 x 0 ist eine lokale Extremstelle. weiters gilt: Satz Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit x 0 D. Dann gilt: f (x 0 ) = 0 und f (x) > 0 x 0 ist eine lokale Minimumstelle. f (x 0 ) = 0 und f (x) < 0 x 0 ist eine lokale Maximumstelle. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 20 / 48
21 Rezept lokale Extrema Für die Berechnung der Extrempunkte gibt es ein einfaches Rezept: 1 Erste und zweite Ableitung berechnen 2 Nullstellen der ersten Ableitung berechnen 3 Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen ist die zweite Ableitung dann kleiner Null, handelt es sich um ein lokales Maximum ist die zweite Ableitung hingegen größer Null, handelt es sich um ein lokales Minimum 4 y-koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 21 / 48
22 Übung Mithilfe der Extrema können wir also auch das Monotonieverhalten der Funktion erkennen: Gegeben Sei die Funktion f (x) = x 3 3x Geben Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte an. 2 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 22 / 48
23 Lösung I Geben Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte an 1 Erste und zweite Ableitung berechnen f (x) = 3x 2 3 f (x) = 6x 2 Nullstellen der ersten Ableitung berechnen f (x) = 3x 2 3 = 0 x 1 = 1 x 2 = 1 Wir wissen nun: f ( 1) = 5 und f (1) = 1 sind Kandidaten für Extremstellen! 3 Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen f ( 1) = 6 < 0 Hier liegt ein Maximum vor! f (1) = 6 > 0 Hier liegt ein Minimum vor! 4 y-koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen f ( 1) = 5 lokales Maximum: ( 1, 5) f (1) = 1 lokales Minimum: (1, 1) v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 23 / 48
24 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. Zeichnen wir uns die Extremstellen auf: Ohne viel zu rechnen sieht man sofort, dass im Intervall ( 1, 1) die Funktion streng monoton fallend sein muss. Im Intervall (, 1) ist die Funktion streng mon. wachsend. Im Intervall (1, ) ist die Funktion streng mon. wachsend.
25 Lösung III Mit diesem Wissen können wir die Funktion nun skizzieren: v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 25 / 48
26 Übung I Gegeben Sei die Funktion f (x) = 3x 2. 1 Suchen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte. 2 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 26 / 48
27 Krümmung einer Funktion Definition (Konkavität) Für f (x) < 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich ab. Der Graph der Funktion ist also konkav oder rechtsgekrümmt. Definition (Konvexität) Für f (x) > 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich zu. Der Graph der Funktion ist konvex oder linksgekrümmt. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 27 / 48
28 Merksatz Konkav/Konvex Konkav ist der Buckel vom Schaf v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 28 / 48
29 Beispiel Konkav Beispiel einer rein konkaven Funktion: f (x) = x 2 1 f (x) = x 2 2 f (x) = 2x 3 f (x) = 2 Folglich ist die Funktion f (x) = x 2 immer konkav, da ihre 2. Ableitung immer kleiner als 0 ist. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 29 / 48
30 Beispiel Konvex Beispiel einer rein konvexen Funktion: f (x) = x 2 1 f (x) = x 2 2 f (x) = 2x 3 f (x) = 2 Folglich ist die Funktion f (x) = x 2 immer konvex, da ihre 2. Ableitung immer größer als 0 ist. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 30 / 48
31 Beispiel Konvex UND Konkav I Beispiel einer Funktion, die konkav und konvex ist: f (x) = x 3 x 2. f (x) = x 3 x 2 f (x) = 3x 2 2x f (x) = 6x 2 Wann ist die 2. Ableitung kleiner (bzw. größer) Null? 6x 2 < 0 x < 1 3 Daraus folgt: Für x < 1 3 Für x > 1 3 ist die Funktion konkav. ist die Funktion konvex. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 31 / 48
32 Beispiel Konvex UND Konkav II Um den Übergang von konkav zu konvex zu verdeutlichen, wurde bei x = 1 3 eine gestrichelte Linie eingezeichnet. Dieser Punkt heißt Wendepunkt der Funktion! v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 32 / 48
33 Wendepunkte I Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Betrachten wir dies nun wieder anhand unserer GeoGebra Simulation. GeoGebra v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 33 / 48
34 Wendepunkte II Die Beobachtungen führen uns zu folgendem Satz: Satz (Wendepunkte) Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit x D. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: f (x) = 0 und f (x) 0 Wichtige Bemerkung; Wenn wir Wendepunkte bestimmen, suchen wir eigentlich Extrema in der 1. Ableitung! v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 34 / 48
35 Wendepunkte III Für die Berechnung der Wendepunkte gibt es ein einfaches Rezept: 1 Zweite Ableitung berechnen 2 Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen 3 Dritte Ableitung berechnen 4 Die in Schritt 2 berechneten x-werte in die dritte Ableitung einsetzen ist die dritte Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt 5 Die berechneten x-werte in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-koordinaten der Wendepunkte zu berechnen. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 35 / 48
36 Beispiel Angenommen wir wollen die Funktion f (x) = x 3 auf Wendepunkte hin untersuchen. 1 Zweite Ableitung berechnen f (x) = 3x 2 f (x) = 6x 2 Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: f (x) = 6x = 0 x = 0 3 Dritte Ableitung berechnen: f (x) = 6 4 Die in Schritt 2 berechneten x-werte in die dritte Ableitung einsetzen: f (0) = 6 0 im Punkt x = 0 liegt ein Wendepunkt vor! 5 Die berechneten x-werte in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-koordinate des Wendepunktes zu berechnen: f (0) = 0 3 = 0 Wendepunkt bei (0, 0) v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 36 / 48
37 Beispiel II Die Funktion besitzt an der Stelle (0, 0) einen Wendepunkt. Im Koordinatensystem ist die Funktion f (x) = x 3 eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert. Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt oder konkav. Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt oder konvex. Es wird deutlich, dass der Wendepunkt x = 0 der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 37 / 48
38 Übung I Untersuchen Sie die Funktion f (x) = 3 3x + x 3 auf Wendepunkte! v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 38 / 48
39 Übung III Gegeben Sei f (x) = 1 4 x 3 3x 4. 1 Suchen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte. 2 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. 3 Wo schneidet der Graph die x- bzw. y-achse? 4 Berechnen Sie die Wendepunkte 5 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 39 / 48
40 Tangente bestimmen Wir können die Gleichung einer Tangente der Funktion f an den Punkt P = (x 0 f (x 0 ) relativ einfach bestimmen. Dazu nützen wir die Eigenschaften einer Tangente: 1 Die Tangente ist eine lineare Funktion und hat somit die Grundgleichung g(x) = kx + d. 2 Die Steigung der Funktion f stimmt im Punkt P mit der Steigung der Tangente g überein. Es gilt somit k = f (x 0 ) 3 Die Funktion f und die Funktion g haben den Punkt P gemeinsam. Es gilt also f (x 0 ) = g(x 0 ) v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 40 / 48
41 Beispiel Wir wollen die Tangente g(x) = kx + d der Funktion f (x) = x 3 im Punkt P = (1/f (1)) bestimmen. Es gilt: k = f (1) = = 3 Somit können wir schreiben g(x) = 3x + d. Darüber hinaus wissen wir: f (1) = g(1) = 1. g(1) = 3 + d = 1 d = 2 Die Tangente ist somit g(x) = 3x 2. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 41 / 48
42 Wendetangente bestimmen Wir wissen: Grafisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Die Wendetangente ist die Tangente durch den Wendepunkt. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 42 / 48
43 Übung Gegeben sei f (x) = x 3 3x Finden Sie die Wendepunkte und die Wendetangente! Gegeben sei f (x) = x 3 Finden Sie die Wendepunkte und die Wendetangente! v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 43 / 48
44 Interpretation des Ergebnisses Die Wendetangente w(x) ist in diesem Fall eine waagrechte (horizonale) Gerade in Höhe des Ursprungs. Liegt an einem Wendepunkt eine waagrechte Wendetangente an, so bezeichnet man den Wendepunkt auch als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 44 / 48
45 Für einen Sattelpunkt gelten folgende Bedingungen: f (x) = 0 f (x) = 0 f (x) 0 Ein Sattelpunkt ist ein Punkt der Funktion, für welche gilt f (x) = 0, die Steigung also Null ist, jedoch kein Extremum (Minimum oder Maximum) vorliegt. Dies liegt daran, dass die Steigung vor und nach dem Sattelpunkt gleich ist. Ist also die Funktion beispielsweise vor dem Sattelpunkt streng monoton steigend, so auch danach. Darüber hinaus gilt f (x) = 0. Wir erinnern uns: Für ein Extremum muss gelten: f (x) = 0 und f (x) 0, somit kann ein Sattelpunkt kein Extremum sein. Für einen Sattelpunkt gilt: f (x) 0, somit ist ein Sattelpunkt auch immer ein Wendepunkt. Anders ausgedrückt: liegt ein Wendepunkt vor und ist zusätzlich f (x) = 0, so ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt. v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 45 / 48
46 Zusammenfassend kann man folgende Übersicht angeben: 1. Ableitung 2. Ableitung 3. Ableitung Eigenschaft f (x) = 0 f (x 0 ) < 0 lokales Maximum f (x) = 0 f (x 0 ) > 0 lokales Minimum f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 Wendestelle f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 Sattelstelle v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 46 / 48
47 Ableitungen von Polynomfunktionen f (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + cx + d f (x) = 5ax 4 + 4bx 3 + 3cx 2 + 2dx + c f (x) = 20ax bx 2 + 6cx + 2d Wir sehen: Wenn wir eine Polynomfunktion ableiten, vermindert sich der Grad der Funktion immer um 1. Darüber hinaus gilt: Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen. Daraus kann man folgern: Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen (f (x) = 0, f (x) Grad n) höchstens n 1 Extrema (f (x) = 0, f (x) Grad n 1) höchstens n 2 Wendepunkte (f (x) = 0, f (x) Grad n 2 v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 47 / 48
48 Wichtiger Zusammenhang Sei s(t) eine Funktion, die den zurückgelegten Weg zu einem Zeitpunkt t angibt Dann gilt: s(t) s (t) = v(t) Weg-Zeit-Funktion Geschwindigkeits-Zeit-Funktion s (t) = v (t) = a(t) Beschleunigungs-Zeit-Funktion v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 48 / 48
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