Stochastik. 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1

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1 Stochastik 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Laplace-Experimente Grundtatsachen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ergebnisse und Ereignisse Empirische Zufallsexperimente Theoretische Zufallsexperimente Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten Pfadregeln Testaufgaben Bedingte Wahrscheinlichkeiten Kombinatorik Das Zählprinzip Das Urnenmodell Zufallsgrössen Zufallsgrössen und Verteilungen Erwartungswert und Streuung Binomialverteilungen 21 5 Tests 23 6 Normalverteilung Binomial- und Normalverteilung Der zentrale Grenzwertsatz Chi-Quadrat-Test Ich danke Felix Steiner für das Eintippen und Layouten einiger Definitionen und Sätze

2 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 2 1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung In der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es um Experimente, deren Ausgang nicht voraussagbar ist. Solche Experimente heissen Zufallsexperimente. Beispiele dafür sind Versuche in der Physik (meist gibt es eine Formel, dazu gibt es aber noch Messfehler, und die sind nicht voraussagbar 2, Meinungsumfragen und Glücksspiele wie zum Beispiel Würfeln. Glücksspiele haben schon früh zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten angeregt. Beim werfen von zwei Würfeln ist es wichtig zu wissen, ob alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind oder ob die Augensumme 8 vielleicht häufiger auftritt als die 9. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat sich zu grossen Teilen aus den Glücksspielen heraus entwickelt. Ein grosser Teil der einfach zugänglichen Beispiele und Aufgaben stammt denn auch aus diesem Bereich. Wichtig ist sie heutzutage aber vor allem auch in den Geistes- uns Sozialwissenschaften: Statistik. Vorausgesetzt werden sollte dabei, dass es sich bei den einzelnen Würfeln um ideale Würfel handelt. Das sind Würfel, bei denen alle Augenzahlen zwischen 1 und 6 gleich häufig auftreten. Solche idealen Würfel heissen zu Ehren von Laplace ( , ein Mensch der sehr viel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung beigetragen hat Laplace Würfel, oder kurz L Würfel. Wenn wir heute Würfelspiele spielen, gehen wir davon aus, dass es sich um L Würfel handelt. 1.1 Laplace-Experimente Experimente, bei denen alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, werden Laplace Experimente genannt. Diese beschränken sich nicht auf Würfel. Es gibt auch Laplace Münzen, Laplace Roulette und so weiter. Wahrscheinlichkeiten bezeichnen wir im Folgenden mit P wie probability. Mit P(1 bezeichnen wir also die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 fällt. Beim 6-seitigen L-Würfel gilt also P(1 = P(2 =... = P(6 = 1/6. Bei einer L-Münze ist P(Kopf = P(Zahl = 0,5 = 1/2. Bei Zufallsexperimenten kann uns auch ein Ereignis interessieren, das aus mehreren Ausgängen zusammengesetzt ist. Zum Beispiel könnten wir bei einem Würfelspiel eine Ergebnis brauchen, das grösser als 4 ist. Es ist P(Augenzahl grösser als 4 = P(5 oder 6 = 2/6 = 1/3, denn von 6 Ausgängen sind 2 für uns günstig. Dahinter steckt ein wichtiges Prinzip 2 Nehmt einmal ein (elektisches oder Ohren- Fieberthermometer und messt drei Mal hintereinander eure Temperatur

3 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 3 Satz 1 (Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten Bezeichne mit A ein Ereignis, dass mehrere Ausgänge des Laplace-Experimentes zusammenfasst. Diese Ausgänge werden günstig genannt. Dann gilt P(A = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Mit dieser Regel lassen sich nun viele Wahrscheinlichkeiten berechnen. Beispiel 1 Eine Lotterie umfasst 400 Lose, darunter 10 Hauptgewinne, 90 Trostpreise und 300 Nieten. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: Ereignis A: Das Los ist ein Hauptgewinn P(A= Ereignis B: Das Los ist ein Trostpreis P(B= Ereignis C: Das Los ist ein Gewinn P(C= Aufgabe 1 In einer Urne liegen Kugeln, die mit den Zahlen 10 bis 50 beschriftet sind. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Ereignis: die gezogene Kugel hat eine Zahl, die durch drei teilbar ist und nicht gerade ist. Aufgabe 2 Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 8 ist. Zusatzfrage: ändert sich die Wahrscheinlichkeit, wenn die Würfel nicht unterscheidbar sind? Zusatzfrage: Handelt es sich bei der Frage nach der Augensumme um ein Laplace-Experiment? Aufgabe 3 Aus dem Wort KOMBINATORIK wird auf gut Glück ein Buchstabe gewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Buchstabe ein N ist? ein O ist? Aufgabe 4 Leibniz ( dachte, es sei ebenso leicht mit zwei Würfeln eine 11 wie eine 12 zu werfen. Entscheide ob er recht hatte. Aufgabe 5 Welche Augensumme ist beim Wurf zweier Würfel am wahrscheinlichsten? Aufgabe 6 In einem Bridge Kartenspiel hat jede Karte einen Wert und eine Farbe. Es gibt die 13 Werte: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König und die 4 Farben Kreuz, Pik, Herz, Karo. Insgesamt gibt es also 52 Karten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: A Die gezogene Karte ist eine Herzkarte B Die gezogene Karte ist ein König C Die gezogene Karte ist ein Herz-König D Die gezogene Karte ist eine Herzkarte oder ein König Bemerkung: oder ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer ein einschliessendes oder. Die Karte darf sowohl Herz als auch König sein. Im Gegensatz dazu steht entweder... oder. Hier darf es nicht beides sein. E Die gezogene Karte ist entweder eine Herzkarte oder ein König F Die gezogene Karte ist eine Herzkarte, aber kein König G Die gezogene Karte ist eine Schilte

4 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 4 Die Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten läuft immer auf das Zählen von Ereignissen heraus. Das kann leicht einmal kompliziert werden. Glücklicherweise gibt es dazu die Kombinatorik, die Wissenschaft vom Zählen. In der Kombinatorik werden Ereignisse gezählt. Ihr werdet lernen, wie viele Möglichkeiten es gibt, einen Lottozettel auszufüllen oder wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass von 25 Personen keine 2 am gleichen Tag Geburtstag haben. Vorher müssen noch einige Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelernt werden. 1.2 Grundtatsachen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ergebnisse und Ereignisse Die Unterscheidung zwischen Ergebnis und Ereignis scheint zunächst mühsam, später brauchen wir aber genau diese Unterscheidung, um uns richtig über die Probleme in der Wahrscheinlichkeitsrechnung unterhalten zu können. Definition 1 (Ergebnisraum Eine Menge Ω = {ω 1,ω 2,ω 3,...,ω n } heisst Ergebnisraum eines Zufallsexperiments, wenn jedem Versuchsausgang höchstens ein Element ω i aus Ω zugeordnet ist. Die ω i heissen dann die Ergebnisse des Zufallsexperiments. Definition 2 (Ereignisraum Jede Teilmenge des endlichen Ergebnisraums Ω heisst Ereignis. A tritt genau dann ein, wenn sich ein Versuchsergebnis ω einstellt, das in A enthalten ist. Die Menge aller Ereignisse heisst Ereignisraum. Definition 3 Die Ereignisse A und B heissen unvereinbar oder auch disjunkt genau dann, wenn A B =. Definition 4 Mit Ā wird das Gegenereignis zu A bezeichnet. Ā umfasst ω ohne A. Also Ā A = Ω und Ā A =. Beispiel 2 Beim Werfen eines 4-seitigen (tetraederförmigen Würfels lautet der Ergebnisraum=Ω= {1,2,3,4} und der Ereignisraum= {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2, 3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2, 3, 4}, {1,2,3,4}} Insbesondere gehören das leere Ereignis {} = und das sichere Ereignis {1,2,3,4} = Ω zum Ereignisraum. Regel Die Ergebnisse eines n-stufigen Zufallsexperiments sind n-tupel (a 1 a 2 a 3... a n, kurz auch a 1 a 2 a 3...a n, wobei a i irgendein Ergebnis des i-ten Teilexperiments ist. Ω ist dann die Menge aller dieser n-tupel. Beispiel 3 Zwei Münzen werden gleichzeitig geworfen. Dann lautet der Ergebnisraum Ω = kk,kz,zz. Beachte, dass dies kein Laplace-Experiment ist. Es gilt: Ereignisraum= {{}, {kk}, {kz}, {zz}, {kk,zk}, {kk,zz}, {kz,zz}, {kk,kz, zz}}

5 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 5 Aufgabe 7 Bestimme Ergebnis- und Ereignisraum, wenn eine Münze zwei Mal hintereinander geworfen wird und uns die Reihenfolge interessiert. Aufgabe 8 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen eines Würfels die folgende Augenzahl zu erreichen? a mindestens 3 b Vielfaches von 3 c zwischen 1 und 6 d Primzahl e 1 oder 6 f gerade Zahl, kleiner als 4 Aufgabe 9 Zwei Glücksräder mit je 10 Sektoren, die jeweils von 0 bis 9 nummeriert sind, werden gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis a Punktsumme genau 9 b Pasch c 7 <Punktsumme <15 d 20<Punktprodukt<60 e Summe 10 f 2<Punktsumme< Empirische Zufallsexperimente Definition 5 (Relative Häufigkeit Tritt ein Ereignis A bei n Versuchen k-mal ein, so heisst h n (A = k n die relative Häufigkeit des Ereignisses A in dieser Versuchsfolge. Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit sind grundsätzlich verschiedene Begriffe: Wahrscheinlichkeiten dienen der Prognose. Sie geben Auskunft über Chancen in bevorstehenden Zufallsversuchen. Dagegen machen relative Häufigkeiten immer Aussagen über durchgeführte Zufallsversuche. Satz 2 (Eigenschaften der relativen Häufigkeiten ω A 0 h n (A 1 h n (A = h n (ω Das Zeichen heisst Summenzeichen. Hier bedeutet es: es werden alle relativen Häufigkeiten h n (ω von Ergebnissen ω, die zum Ereignis A gehören zusammengezählt. h n ( = 0 h n (Ω = 1 h n (A B = h n (A + h n (B h n (A B A B = h n (A B = h n (A + h n (B h n (Ā = 1 h n(a Satz 3 (Empirisches Gesetz der grossen Zahlen Die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisiert sich mit zunehmender Versuchszahl um einen festen Wert.

6 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Theoretische Zufallsexperimente Definition 6 (Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Funktion P heisst Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Ergebnisraum Ω, wenn sie auf dem Ereignisraum definiert ist und die folgenden Eigenschaften hat: 1. Die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses ist eine Zahl aus dem Intervall [0, 1], das heisst für alle ω Ω gilt 0 P(ω Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist 1, das heisst P(ω = 1 ω Ω 3. Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0, das heisst P( = Die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse, das heisst P(A = ω AP(ω Für Voraussagen werden oft Wahrscheinlichkeitsverteilungen angenommen: ich nehme an, es handelt sich bei meinem Würfel um einen L Würfel, also sage ich bei 600 Würfelwürfen in etwa 100 Mal die 6 voraus. Ob meine Annahme stimmt, lässt sich dann mit Tests herausfinden, indem ich den Zufallsversuch einige Male konkret durchführe und relative Häufigkeiten berechne und beurteile, ob sie zur angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung passen. Das Kapitel 5, Tests sind ein spannendes Thema in der Statistik. Satz 4 (Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Eine Funktion P heisst Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie die folgenden Eingenschaften hat: 1. Nichtnegativität Die Funktion P ist nicht negativ, d. h.: Für alle Ereignisse gilt: P(A Normiertheit Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1, das heisst P(ω = Additivität Wenn A B =, so ist P(A B = P(A + P(B. 4. Gegenereignis P(Ā = 1 P(A Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten Satz 5 Sind je zwei der Ereignisse A 1,A 2,... A n unvereinbar, so gilt n n P( A k = P(A i k=1 i=1

7 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 7 Satz 6 P(A B = P(A + P(B P(A B Satz 7 (Formel von Sylvester für n=3 P(A B C = P(A + P(B + P(C P(A B P(A C P(B C + P(A B C Aufgabe 10 Aus einer Urne mit 100 gleichartigen Kugeln, die von 1 bis 100 durchnummeriert sind, wird eine Kugel zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. A: Zahl ist durch 9 teilbar B: Zahl ist durch 12 teilbar C: Zahl ist durch 17 teilbar D: Zahl ist durch 9 und 12 teilbar E: Zahl ist durch 9 und 17 teilbar F: Zahl ist durch 9 oder 12 teilbar G: Zahl ist durch 9 oder 17 teilbar Aufgabe 11 Berechne zu obiger Aufgabe die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. a A F b B C c A G d B F Aufgabe 12 Ein Würfel wird zwei Mal geworfen. Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis: Der eine oder der andere Würfel zeigt a Augenzahl 6 b eine Augenzahl grösser als 4 c eine gerade Augenzahl Aufgabe 13 [Gegenereignis] Ein Würfel wird drei Mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse a Augensumme grösser als 4 b Summe kleiner als 9 c Augenprodukt grösser als 6 d Mindestens einmal Augenzahl 3 Aufgabe 14 Ein Würfel wird zwei Mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse a Augensumme grösser als 4 b Summe kleiner als 16 c Augenzahl 2 tritt höchstens 3 Mal auf d Augenzahl 4 tritt mindestens 1 Mal auf Pfadregeln Mehrstufige Zufallsexperimente können mit Hilfe von Baumdiagrammen dargestellt werden. Ergebnisse eines mehrstufigen Versuchs werden durch Streckenzüge (Pfade im Baumdiagramm dargestellt. Zu jedem Ergebnis gehört ein Pfad. Beispiel 4 Dreimaliges Werfen einer Münze Beispiel 5 Gleichzeitiges Werfen einer Münze und eines Würfels Satz 8 (1. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Elementarereignis führt. Satz 9 (2. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

8 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 8 Aufgabe 15 Bei einer Produktionskontrolle werden in drei Prüfungsgängen Länge, Breite und Höhe eines Metallstücks geprüft. Diese sind erfahrungsgemäss mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2 bzw. 0,1 bzw. 0,15 ausserhalb vorgegebener Toleranzgrenzen. Ein Metallstück wird nicht ausgeliefert, wenn mindestens zwei der Kontrollen negativ ausgehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein kontrolliertes Werkstück Ausschussware? Aufgabe 16 Bei der Produktion von Tongefässen gibt es erfahrungsgemäss 20 Prozent Ausschuss. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Herstellung von 4 Gefässen drei (zwei brauchbar sind? Aufgabe 17 Eine Münze wird drei Mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse a mehr als zwei Mal Wappen b höchstens zwei Mal Wappen c mindestens 1 Mal Zahl Aufgabe 18 Ein Multiple-Choice Test mit 3 Fragen lässt jeweils 4 Antworten zu. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dass a genau zwei Antworten b nur eine Antwort c mindestens 1 Antwort richtig geraten werden? Testaufgaben Aufgabe 19 (4 Punkte Bei einem Zufallsversuch gibt es drei Ergebnisse: a, b und c. Es gilt P({b} = 0.2 und P({c} = 0.6. a Wie gross ist P({a}? b Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für alle Elemente des Ereignisraumes. Aufgabe 20 (4 Punkte Bei einem Zufallsversuch gibt es die vier Ergebnisse a 1, a 2, a 3 und a 4. Welche der folgenden Wahrscheinlichkeiten sind gemeinsam möglich, welche sind nicht möglich? Begründe Deine Aussage. a P({a 1,a 2 } = 0.5 und P({a 3,a 4 } = 0.4 b P({a 3,a 4 } = 0.6 und P({a 3 } = 0.4 c P({a 1,a 2 } = 0.6 und P({a 2,a 3,a 4 } = 0.5 d P({a 4 } = 0.3 und P({a 2,a 3 } = 0.2 und P({a 1,a 2 } = 0.6 Aufgabe 21 (3 Punkte Betrachtet werden Würfel, die keine Laplace-Würfel sind. Vielmehr gelten die folgenden Wahrscheinlichkeiten p Es werden drei dieser Würfel gleichzeitig geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen 8 ist?

9 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 9 Aufgabe 22 (3 Punkte Die Kontrolle eines Produkts wird mehrfach durchgeführt. Die letzte Kontrolle ist dabei besonders grünlich. 65 Prozent der Fehler werden entdeckt und korrigiert. Bei den ersten beiden Kontrollen werden nur 50 beziehungsweise 30 Prozent der Fehler gefunden (und jeweils korrigiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Fehler entdeckt? Aufgabe 23 (2 Punkte Handelt es sich bei dem nebenstehenden Baumdiagramm um die Beschreibung eines Zufallsexperiments? Warum nicht? k z g r b g r b Aufgabe 24 (4 Punkte Von einem Kartenspiel werden in dieser Aufgabe nur ein Bube, eine Dame und ein König verwendet. Es werden zwei Karten gezogen. Welche Elemente enthält der Ergebnisraum a wenn nach dem Ziehen der ersten Karte diese zurückgelegt wird, b wenn die beiden Karten nacheinander gezogen werden, die erste aber nicht zurückgelegt wird. c beide Karten gleichzeitig gezogen werden. d Nun werden zwei aus Bube, Dame, König bestehende Spiele verwendet. Aus jedem der beiden Spiele wird eine Karte gezogen; es wird nicht notiert, welche Karte aus welchem Spiel stammt. Beschreibe auch hier den Ergebnisraum. Aufgabe 25 (5 Punkte Formuliere das Gegenereignis in Worten und auch als Menge. Bestimme die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis. Die Aufgabenteile beziehen sich auf die Aufgabenteile von Aufgabe 24. a Teil a, Ereignis Weder ein Bube noch ein König werden gezogen. b Teil b, Ereignis An erster Stelle wird weder ein König noch ein Bube gezogen. c Teil c, Ereignis Weder ein Bube noch ein König werden gezogen. Aufgabe 26 (4 Punkte Nun werden den drei Karten Werte zugewiesen. Bube=0, Dame=1 und König=2. Berechne bei allen vier Teilaufgaben der vorletzten Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Werte gleich 3 ist. Aufgabe 27 (5 Punkte Beschreibe die Zufallsexperimente a und b aus der ersten Aufgabe mit Hilfe von Baumdiagrammen (inklusive Wahrscheinlichkeiten an den Pfeilen. Aufgabe 28 (3 Punkte Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis Dame und König der Teilaufgaben d und c der ersten Aufgabe. Dabei müssen die Baumdiagramme aus der letzten Aufgabe verwendet werden. (Ja, das geht, obwohl es andere Teilaufgaben sind.

10 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beispiel 6 Die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel eine 6 zu erzielen, ist p({6} = 1/6. Nun würfelt jemand mit geschlossenen Augen und der Person wird gesagt, dass eine gerade Zahl gewürfelt wurde dann wird die würfelnde Person die Wahrscheinlichkeit einer 6 mit p g ({6} = 1/3 ansetzen. Dabei bezeichnet g das Ereignis gerade Zahl gewürfelt und damit p g ({6}, die Wahrscheinlichkeit einer 6 unter der Voraussetzung, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird. In diesem Abschnitt geht es darum, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wenn schon etwas über den Versuchsausgang bekannt ist. Beispiel 7 Es werden 4700 Frauen gefragt, ob sie eine Sehhilfe tragen, 2120 antworten mit ja. Von 4800 Männern beantworten 2080 diese Frage mit ja. Wir betrachten die folgenden Ereignisse: S=Tragen einer Sehhilfe und M=Mann wurde befragt Die relative Häufigkeit einer Sehhilfe ist damit h(s = 4200/9500 = Die relative Häufigkeit des Tragens einer Sehhilfe, wenn bereits klar ist, dass ein Mann befragt wurde, ist h M (S = 2080/4800 = Die Bezeichnung h M soll dabei klar machen, dass von der Zahl der Männer als Grundgesamtheit ausgegangen wurde. Interessanterweise ist = 9500 h M (S = = = h(s M h(m Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten haben ähnliche Eigenschaften. In der Tat, im Beispiel 6 ist: p g ({6} = 1 3 = = p({6} p(g Hier ist die Schnittmenge g {6} = {6}. Beispiel 8 Wir betrachten einen gezinkten Würfel mit Augenzahl Wahrscheinlichkeit Auch hier können wir die Wahrscheinlichkeiten unter der Bedingung g=gerade Augenzahl betrachten. Es muss gelten P g ({2} + P g ({4} + P g ({6} = 1

11 1 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 11 Ausserdem muss das Verhältnis der drei Wahrscheinlichkeiten wieder 3:1:2 sein. Diese Bedingungen werden erfüllt durch P g ({2} = P({2} : P(g = 0.5 P g ({4} = P({4} : P(g = 1/6 P g ({6} = P({6} : P(g = 1/3 (Rechne nach. Im Prinzip handelt es sich um Dreisatzrechnungen. Definition 7 Sind A, B beliebige Ereignisse mit P(A 0, so bezeichnet P A (B die durch A bedingte Wahrscheinlichkeit von B. Es gilt P A (b = P(B A P(A Beispiel 9 Die obige Formel soll nun noch einmal für Laplace-Versuche begründet werden. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eintritt. Dabei interessieren uns die Ergebnisse, die sowohl in A als auch in B liegen. Diese Zahl der Ergebnisse in A B bezeichnen wir mit b. Wir bezeichnen mit n die Zahl der möglichen Ergebnisse und mit a die Zahl der Ergebnisse, die zu A gehören. Für unsere bedingte Wahrscheinlichkeit wird jetzt die Zahl der Ergebnisse in A zur Zahl der möglichen Ergebnisse. Es ergibt sich P A (B = günstige Ergebnisse mögliche Ergebnisse = b a = b n a n = b n a n = P(A B P(A Aufgabe 29 Bei einer Verkehrskontrolle waren von 500 kontrollierten Autos 75 LWs und 425 PWs. 20 der LWs wurden beanstandet, davon 12 wegen Überladung. Bestimme die relative Häufigkeit (verwende die Schreibweise für bedingte relative Häufigkeiten wie im Beispiel 7, finde geeignete Bezeichnungen für die Ereignisse LW, PW, beanstandet, überladen a der LWs bez. aller Autos (auch ein LW ist hier ein Auto b der PWs bez. aller Autos c der beanstandeten LWs bez. aller Autos d der beanstandeten LWs bez. aller LWs

12 2 KOMBINATORIK 12 e der überladenen LWs bez. aller LWs. f der überladenen LWs bez. aller beanstandeten LWs. Aufgabe 30 Das Ergebnis einer Untersuchung über die Farbenblindheit bei 1000 Personen zeigt die nebenstehende Tabelle. Darin bedeutet A= Person ist farbenblind und B= Person ist männlich. B B A 36 6 A Gib an a h A (B b h A (B c h B (A d h B (A e h A (B f h A (B Aufgabe 31 In einem 100m-Lauf schätzen die Experten die Siegeswahrscheinlichkeit der Läufer A, B und C mit 40 Prozent, 30 Prozent und 10 Prozent ein. Kurz vor dem Start verletzt sich Läufer A, er wird also nicht siegen. Wie gross sind nun die Siegeswahrscheinlichkeiten von B bzw C? Aufgabe 32 Eine Fliesenfabrik sondert Fliesen als unbrauchbar aus, wenn sie sowohl einen Form- als auch einen Farbfehler haben. Sie verkauft Fliesen als II. Wahl, wenn sie nur einen Farbfehler aufweisen. Die Erfahrung zeigt, dass eine produzierte Fliese mit der Wahrscheinlichkeit von 5 Prozent unbrauchbar ist und mit 20 Prozent Wahrscheinlichkeit als II. Wahl verkauft werden muss. Mit welcher Wahrschinlichkeit hat eine Fliese mit einem Farbfehler ausserdem einen Formfehler? Aufgabe 33 In einer Urne befinden sich 5 schwarze, 3 grüne und 2 weisse Kugeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen im 2. Zug eine weisse Kugel zu ziehen, wenn a im 1. Zug eine weisse Kugel gezogen wurde? b im 1. Zug eine grüne Kugel gezogen wurde? 2 Kombinatorik 2.1 Das Zählprinzip Beispiel 10 Drei Parallelklassen haben 19, 22 bzw. 17 Schülerinnen und Schüler. Aus jeder Klasse wird ein Klassensprecherin oder ein Klassensprecher gewählt. Wieviele Möglichkeiten der Zusammensetzung der Konferenz der Klassensprechenden gibt es? Antwort Satz 10 (Zählprinzip Gegeben sind k Mengen. Die erste Menge hat n 1 Elemente, die zweite Menge hat n 2 Elemente, und so weiter bis zur letzten Menge, die n k Elemente hat. Aus jeder dieser Mengen wird ein Element ausgewählt. Dann erhalten wir die Gesamtzahl der möglichen Auswahlen, indem wir die Anzahlen der Elemente der Mengen miteinander multiplizieren.

13 2 KOMBINATORIK 13 Anzahl der Möglichkeiten=n 1 n 2...n k Hört sich kompliziert an, ist aber genau das was wir oben gemacht haben. Diese Art, Anzahlen zu berechnen nennt sich das Zählprinzip. Es liegt der ganzen Kombinatorik zugrunde. Beispiel 11 An einem Pferderennen nehmen 20 Pferde teil. Bei einem Wettabschluss sollen die ersten drei Plätze richtig angegeben werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Besetzung der ersten drei Plätze? Für den ersten Platz haben wir 20 Möglichkeiten, für den zweiten dann noch 19, für den dritten noch 18. Insgesamt also =6840 Möglichkeiten. Beispiel 12 Beim Würfeln mit 4 (verschiedenen Würfeln gibt es je 6 Möglichkeiten, insgesamt also =1296 Beispiel 13 Ein Ergebnisraum habe n Elemente. Dann hat der Ereignisraum 2 n Elemente. Spezialfall zum Zählprinzip: Es gibt n Mengen. Die erste Menge hat n Elemente, die zweite Menge eines weniger und so weiter bis die letzte Menge nur noch ein Element hat. Dann müssen zur Ermittlung der Gesamtzahl alle natürlichen Zahlen zwischen 1 und n miteinander multipliziert werden. Das ist so wichtig, dass es in der Mathematik eine eigene Bezeichnung bekommen hat: n! (sprich n Fakultät bezeichnet das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen. Beispiel 14 Wie viele Möglichkeiten gibt es, 8 Türme auf einem Schachbrett so anzuordnen, dass sie sich nicht gegenseitig bedrohen? Aufgabe 34 Wie viele Möglichkeiten der Platzierung gibt es in einem Turnier an dem 16 Teams teilnehmen? Aufgabe 35 Drei Karten eines Bridgespiels werden nacheinander gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A Alle drei Karten sind Herzkarten B Alle drei Karten sind Damen C Herzbube, Herzdame, Herzkönig (in dieser Reihenfolge 2.2 Das Urnenmodell Fast alle Probleme in der Kombinatorik lassen sich auf das sogenannte Urnenmodell zurückführen. Wie das geht werdet ihr später sehen. Zunächst einmal geht es darum, das Modell kennenzulernen: In einer Urne liegen n verschieden bezeichnete Kugeln. Davon werden k gezogen. Es sind verschiedene Zugtechniken möglich

14 2 KOMBINATORIK 14 Nach jeder Ziehung wird die Kugel zurückgelegt, oder nicht zurückgelegt. (Im ersten Fall kann bei verschieden farbigen Kugeln das Ergebnis rot, rot, grün lauten, im zweiten Fall nicht Es kommt auf die Reihenfolge an, oder auch nicht (im ersten Fall sind rot, schwarz, grün und grün, rot, schwarz verschiedene Ereignisse, im zweiten Fall nicht. Die folgende Tabelle fasst die Möglichkeiten zusammen. Vorweg noch eine Definition. Definition 8 (Binomialkoeffizienten ( n k = n! k!(n k! Das Urnenmodell von n Kugeln werden unter Beachtung ohne Beachtung k gezogen der Reihenfolge der Reihenfolge ( n + k 1 mit Wiederholung n k k ohne Wiederholung ( n! n (n k! k Bei den folgenden Beispielen liegen in einer Urne jeweils 4 Kugeln, nummeriert von 1 bis 4. Es werden 3 gezogen. Beispiel 15 Ziehen mit Zurücklegen, unter Beachtung der Reihenfolge: 4 3 Möglichkeiten. Beispiel 16 Ziehen ohne Zurücklegen, unter Beachtung der Reihenfolge: In einer Urne liegen vier Kugeln, nummeriert von 1 bis 4. Es werden nacheinander 4 Kugeln entnommen. Mögliche Ergebnisse sind: (1,2,3; (1,3,2; (2,1,3; (2,3,1; (3;1;2; (3;2;1 (1,2,4; (1,4,2; (2,1,4; (2,4,1; (4;1;2; (4;2;1 (1,4,3; (1,3,4; (4,1,3; (4,3,1; (3;1;4; (3;4;1 (4,2,3; (4,3,2; (2,4,3; (2,3,4; (3;4;2; (3;2;4 Beispiel 17 Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge: In einer Urne liegen vier Kugeln, nummeriert von 1 bis 4. Es werden gleichzeitig 4 Kugeln entnommen. Mögliche Ergebnisse sind: (123; (124; (134; (234 Aufgaben zur Kombinatorik Aufgabe 36 Eine Aufgabe zur Bruchrechnung: Beweise die Additionsformel ( n k ( n + k + 1 = ( n + 1 k + 1

15 2 KOMBINATORIK 15 Aufgabe 37 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Zahl zwischen 1000 und 9999 vier verschiedene Ziffern auftreten? Aufgabe 38 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass vier Zahlen zwischen 1000 und 9999 verschiedenen sind? Aufgabe 39 Für eine Runde des Sporttotos werden 11 Fussballspiele bekanntgegeben. Die Mitspielenden müssen für jedes Spiel tippen ob der Gastgeber oder der Gast gewinnt oder ob es ein Unentschieden gibt. Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es? Aufgabe 40 Es sollen 4 blaue und 3 rote Kugeln in sieben verschiedene Vertiefungen gelegt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, das zu tun? Aufgabe 41 Einer Gruppe von 18 Schülerinnen und Schülern werden 3 Theaterkarten angeboten. Auf wie viele Arten können die Karten verteilt werden, wenn sie a drei nummerierte Sitzplätze sind, b drei unnummerierte Sitzplätze sind? Dabei müssen wir noch jeweils unterscheiden, ob ein Schüler (oder eine Schülerin α genau eine Karte oder β mehrere Karten nehmen kann. Aufgabe 42 Beim Rennquintett müssen die ersten 3 ins Ziel einlaufenden Pferde eines Rennens von 18 Pferden vorhergesagt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Folgendes erraten: a die ersten drei Pferde in richtiger Reihenfolge b die ersten drei Pferde c 2 der ersten 3 Pferde? Aufgabe 43 Ein Arzt macht Hausbesuche bei 7 Patientinnen. Wie viele Möglichkeiten, sie zu besuchen, gibt es insgesamt? Aufgabe 44 Aus einer Aus einer Urne mit 100 durchnummerierten Kugeln werden 10 Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind keine 2 Nummern gleich? Aufgabe 45 Auf einem Kreis werden 4 Punkte markiert und miteinander verbunden. Wie viele Kreissehnen sind so entstanden? Aufgabe 46 Eine Klasse besteht aus 7 Schülerinnen und 13 Schülern. Zur Vorbereitung einer Studienfahrt wird ein Dreierausschuss ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a wird die Klassenchefin in den Ausschuss gelost b besteht der Ausschuss nur aus Schülern c enthält der Ausschuss höchstens einen Schüler

16 2 KOMBINATORIK 16 d enthält der Ausschuss einen Schüler und eine zusätzliche Schülerin, wenn vorher festgelegt wurde, dass die Klassenchefin auf jeden Fall dem Ausschuss angehören muss? Aufgabe 47 In einem Parlament gibt es 80 Frauen 70 Männer. Es wird ein Ausschuss mit 15 Mitgliedern gebildet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a wird die Parlamentspräsidentin in den Ausschuss gelost b besteht der Ausschuss nur aus Männern c enthält der Ausschuss höchstens einen Mann d enthält der Ausschuss genau 7 Männer, wenn vorher festgelegt wurde, dass die Parlamentspräsidentin auf jeden Fall dem Ausschuss angehören muss? Aufgabe 48 Eine Sendung von Taschenrechnerinnen wird nur angenommen, wenn in einer Stichprobe von 6 Rechnern höchstens einer defekt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Sendung von 40 Rechnern angenommen, wenn 4 der Rechner einen Defekt haben? Aufgabe 49 Eine L-Münze wird 10 Mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim 4-ten Wurf zum ersten Mal Wappen erscheint. Aufgabe 50 Es wird eine Zahl zwischen und zufällig gewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zweimal die Ziffer 1 vorkommt? Aufgabe 51 Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens 2 von 18 in einem Raum anwesenden Personen am gleichen Tag Geburtstag? Aufgabe 52 Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben unter 4 zufällig ausgewählten Schülerinnen mindestens zwei am gleichen Wochentag Geburtstag? Aufgabe 53 Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben unter 18 zufällig ausgewählten Schülerinnen mindestens zwei am gleichen Wochentag Geburtstag? Aufgabe 54 Eine Reisegesellschaft besteht aus 7 Personen. Dabei sind Hans und Franz. Bei einer Übernachtung werden die sieben Reisenden auf zwei 2-Bett-Zimmer und eine 3-Bett- Zimmer verteilt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Hans und Franz in einem Zimmer übernachten werden? Aufgabe 55 Beim Schulsportfest treten 5 gleich starke Schülerinnen zum 100m-Lauf an. Zwei der Schülerinnen sind aus der 2aM, darunter Else. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten Dreien a mindestens eine Schülerin aus der 2aM ist, b Else ist, c beide Schülerinnen aus der 2aM sind? Aufgabe 56 Bei einer Übernachtung in einer Jugendherberge wird eine Klasse in 3 Mädchenzimmer und zwei Jungenzimmer aufgeteilt. In einem Jungenzimmer befindet sich Otto. Es muss zweimal abgewaschen werden. Welches Zimmer abwaschen muss, wird per Losentscheid ermittelt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür

17 2 KOMBINATORIK 17 a dass es Ottos Zimmer beide Male trifft, b es irgendein Zimmer beide Male trifft, c beide Male Jungen abwaschen müssen? Aufgabe 57 Aus sechs Ehepaaren werden zwei Personen ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um a zwei Damen b eine Dame und einen Herren c ein Ehepaar? Aufgabe 58 Ein Ausschuss von 10 Parlamentarierinnen soll aus 2 Parteien zusammengesetzt werden. Die FSU hat 8 Fachleute, die CSP hat 6 Fachleute anzubieten. Auf Grund der Mehrheitsverhältnisse kann die FSU 7 und die CSP 3 Sitze im Ausschuss beanspruchen. Wie viele verschiedene Zusammensetzungen des Ausschusses sind möglich? Aufgabe 59 Eine Reisegesellschaft besteht aus 9 Personen. Dabei sind Hans und Franz. Bei einer Übernachtung werden die neun Reisenden auf ein 2-Bett-Zimmer, ein 3-Bett-Zimmer und ein 4-Bett-zimmer verteilt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Hans und Franz in einem Zimmer übernachten werden? Aufgabe 60 Auf wie viele Arten können 16 Skifahrerinnen auf 2 Gondeln verteilt werden, wenn die eine Gondel noch 10, die andere noch 6 Plätze frei hat? Aufgabe 61 Auf einem Kreis werden 10 Punkte markiert und miteinander verbunden. Wie viele Kreissehnen sind so entstanden? Aufgabe 62 Ein vorbildlicher Schüler führt in der Mathematik 6 Hefte und zwar für die Bereiche Analysis, Geometrie und Wahrscheinlichkeitsrechnung je ein Theorieheft und ein Aufgabenheft. Für die Heftumschläge hat er 8 verschiedene Farben zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es, wenn a alle Hefte verschiedenfarbig eingebunden werden sollen? b Theorie- und Aufgabenheft jeweils in der gleichen Farbe eingebunden werden sollen? c keine Einschränkung gilt? Aufgabe 63 Sechs Jungen und vier Mädchen werden in zwei Mannschaften zu fünf Personen eingeteilt, indem ausgelost wird, wer in welche Mannschaft kommt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jeder Mannschaft mindestens ein Mädchen mitspielt? Aufgabe 64 Drei Mädchen und drei Jungen setzen sich zufällig verteilt nebeneinander auf eine Bank. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Mädchen nebeneinander sitzen? Aufgabe 65 In eine Halbklasse gehen 10 Schülerinnen und Schüler. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 von ihnen im gleichen Monat Geburtstag haben?

18 2 KOMBINATORIK 18 Aufgabe 66 Ein Glücksrad hat 10 gleich grosse Sektoren mit den Ziffern 0 bis 9. Durch 5maliges Drehen wird eine 5stellige Zahl erzeugt. Diese Zahl darf 0 als erste Ziffer haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese 5stellige Zahl. a genau vier gleiche Ziffern? b drei gleiche Ziffern und zwei weitere verschiedene Ziffern? Aufgabe 67 Beim Lotto sechs aus 45 werden auf einem Tippfeld sechs Zahlen zwischen 1 und 45 angekreuzt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Feld genau 5 Richtige angekreuzt werden? Aufgabe 68 4 Männer und 4 Frauen setzen sich zufällig verteilt um einen runden Tisch. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der Tischordnung Männer und Frauen überall abwechseln? Aufgabe 69 Drei L-Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a A mindestens eine 6 b B genau zwei Mal 6 Aufgabe 70 Eine L-Münze wird 6 Mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim dritten Mal zuerst Zahl fällt.

19 3 ZUFALLSGRÖSSEN 19 3 Zufallsgrössen Die folgenden beiden Abschnitte sind zum Selbststudium ausgelegt. Als Grundlage dient das Buch Grundkurs Stochastik, herausgegeben von Heinz Griesel und Helmut Postel im Schroedel Schulbuchverlag. 3.1 Zufallsgrössen und Verteilungen Definition 9 Eine Zufallsgrösse ist eine auf einem Ergebnisraum definierte Funktion. Definition 10 Für eine Zufallsgrösse X ist X = r das Ereignis: es tritt ein Ergebnis auf, dessen Wert bei Anwendung der Zufallsgrösse X gleich r ist. Definition 11 Mit P(X = r wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X = r bezeichnet. Definition 12 Die Auflistung aller Wahrscheinlichkeiten P(X = r ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgrösse. Beispiel 18 Es wird zwei Mal gewürfelt. X = Augensumme. Wahrscheinlichkeits- zugehörige Wahrscheinlichkeits- zugehörige verteilung Ergebnisse verteilung Ergebnisse P(X = 2 = 1/36 11 P(X = 3 = 1/18 12;21 P(X = 4 = 1/12 13;22;31 P(X = 5 = 1/9 14;23;32;41 P(X = 6 = 5/36 15;24;33;42;51 P(X = 7 = 1/6 16;25;34;43;52;61 P(X = 8 = 5/36 26;35;44;53;62 P(X = 9 = 1/9 36;45;54;63 P(X = 10 = 1/12 46;55;64 P(X = 11 = 1/18 56;65 P(X = 12 = 1/36 66 Beispiel 19 Es wird zwei Mal gewürfelt. X = Maximum der Augenzahlen. Wahrscheinlich- zugehörige Wahrscheinlich- zugehörige keitsverteilung Ergebnisse keitsverteilung Ergebnisse P(X = 1 = 1/36 11 P(X = 4 = 7/36 14;24;34;44;41;42;43 P(X = 2 = 1/12 12;21;22 P(X = 5 = 1/4 15;25;35;45;55;54;53;52;51 P(X = 3 = 5/36 13;23;33;32;31 P(X = 6 = 11/36 16;26;36;46;56;66;65;64;63;62;61 Arbeitsauftrag: Lies Kapitel 3.1.2, löse Aufgaben 3a,d,e; 4a,b,c;7 und Erwartungswert und Streuung Definition 13 Der Erwartungswert µ einer Zufallsgrösse ist: µ = E(x = a k P(X = a k wobei die Summe alle Werte a k der Zufallsgrösse umfasst.

20 3 ZUFALLSGRÖSSEN 20 Bemerkung: Natürlich gilt stets P(X = ak = 1 Beispiel 20 In einer Klausur gibt es die folgenden Noten Note Anzahl Der Mittelwert beträgt = Vom Erwartungswert wird bei einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen. Beispiel: Es wird in einer Klasse davon ausgegangen, dass eine beliebige Person in der Klasse mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.08 eine 2.5 schreibt usw. Das ergäbe dann die obige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Warnung: Der Erwartungswert kann oft nicht als Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung auftreten: niemand schreibt eine 4.14, es wird aber ein Notenschnitt von 4.14 erwartet. Definition 14 Varianz einer Zufallsgrösse: V (X = (a k µ 2 P(X = a k Definition 15 Standardabweichung und Streuung σ: σ = V (X Analoge Definitionen gelten für empirische Verteilungen. Die beiden Grössen messen, wie gross die Abweichung vom Mittelwert ist. Grosse Abweichungen werden stark gewertet. Im obigen Beispiel ist die Standardabweichung (auch Streuung genannt: σ = ( ( ( ( ( ( ( ( = Der TI89 berechnet dies locker mit stddev({2.5,2,5,3,3,3,3.5,3.5,3.5,4,4,4,4,4,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,5,5,5,5.5,5.5,6}. Das Kommando für den Mittelwert ist mean(. Beispiel 21 Eine Klausur mit gleichem Mittelwert und viel kleinerer Streuung (σ = 0.64 Note wäre Anzahl Arbeitsauftrag: Lies Kap und löse die Aufgaben 3 und 4. Lies Kapitel 6.1.2, ohne die Aufgaben dort zu rechnen und löse die folgenden Aufgaben, (die Maturniveau haben... Ein in der Matura nicht gegebener Tipp: zeichne Bäume.

21 4 BINOMIALVERTEILUNGEN 21 Aufgabe 71 (6 Punkte Zwei Wettkämpfer (Herr Meier und Frau Müller besitzen je zwei Steine, mit denen sie abwechselnd auf eine Flasche werfen. Herr Meier trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4, Frau Müller mit 1/3. Herr Meier beginnt. Ein Spiel ist zu Ende, wenn die Flasche getroffen ist oder alle vier Steine geworfen wurden. a Berechne für beide Wettkämpfer die Wahrscheinlichkeit, dass sie gewinnen. b Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Spieldauer T (Werte 1,2,3 und 4 sowie den Erwartungswert und die Standardabweichung von T. Aufgabe 72 (6 Punkte In dieser Aufgabe dreht es sich um ein Glücksspiel, das in maximal drei Schritten abläuft: 1. Es werden zwei Münzen geworfen. 2. Die Münzen, die Zahl zeigen, werden beiseite gelegt, wobei die Zahl oben liegen bleibt. 3. Sind noch eine oder mehrere Münzen übrig, so werden sie noch einmal geworfen. Zeigen nach einem Wurf beide Münzen Zahl, so beträgt der Gewinn 1 Franken, zeigen nach zwei Würfen beide Münzen Zahl, so beträgt der Gewinn 6 Franken. In allen anderen Fällen beträgt der Verlust 2 Franken. a Berechne Erwartungswert und Streuung des Gewinns, wenn es sich um zwei Laplace- Münzen handelt. b Nun wird angenommen, es handle sich nicht um Laplace-Münzen. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl sei p. Für welches p ist der Erwartungswert des Gewinns maximal? 4 Binomialverteilungen Definition 16 Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es nur Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p und Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p gibt. Definition 17 (Bernoulli-Kette Es werden n Bernoulli-Experimente hintereinander durchgeführt. Beispiel 22 Sören wirft fünf Mal hintereinander einen Schneeball auf eine Viehtränke. Seine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 45 Prozent. Zu berechnen ist nun zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass Sören 2 Mal trifft. Wir zeichen einen Baum: Na ja, das ist sehr aufwändig, machen wir doch nicht... Ein Pfad, bei dem zwei Erfolge ( und drei Misserfolge vorkommen, hat die Wahrscheinlichkeit Es gibt solcher Pfade (aus 5 Stufen 2 auswählen. Es gilt also 5 2 ( 5 P(X = 2 =

22 4 BINOMIALVERTEILUNGEN 22 Satz 11 (Binomialverteilung Für die Verteilung der Zufallsgrösse X = Anzahl der Erfolge (mit Bezeichnung B n,p ist P(B n,p = k = P(X = k = ( n k p k q n k Satz 12 (Kumulierte Binomialverteilung P(X k = k i=0 ( n i p i q n i Die Werte lassen sich aus der Tabelle auf Seite 123 in «Formeln und Tafeln» ablesen. Beispiel 23 Wie oben wird auf eine Viehtränke geworfen. Sörens Onkel wettet: Sören wird höchstens zwei Mal treffen. Sörens Vater wettet Sören wird mindestens drei Mal treffen. Zu berechnen sind die Wahrscheinlichkeiten, dass Onkel bzw Vater gewinnen. (Erinnerung p = 0.45 P(x 2 = P(x 3 = 2 i=0 5 i=3 ( 5 i ( 5 i p i q 5 i = 0.59 p i q 5 i = 1 P(x 2 = 0.41 Hier leistet der TI89 unschätzbare Dienste. Das Resultat muss jeder mit dem Rechner überprüfen. Satz 13 P(B n,p k = P(B n,q n k denn: k Erfolge = n k Misserfolge. Satz 14 (Erwartungswert µ einer Binomialverteilung Satz 15 (Standardabweichung σ einer Binomialverteilung µ = n p σ = n p q Arbeitsauftrag: Lies und Löse die Aufgaben 5a,b;6;7 auf Seite 82. Lies und markiere den Satz hier farbig Satz 16 Binomialansatz bei Stichprobenentnahmen Ist das Verhältnis Umfang der Gesamtheit zu Umfang der Stichprobe sehr gross, dann ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung näherungsweise ein Binomialansatz zulässig. Arbeitsauftrag: Lies und löse die Aufgaben 4e-h; 5; 6(mit TI89 einige Zahlen für k probieren, 10 und 13 auf S 87f Lies und löse die Aufgaben 1,4 und 5 auf Seite 90.

23 5 TESTS 23 5 Tests Aufgestellt sind Hypothese und Gegenhypothese; gesucht ist eine Möglichkeit, herauszufinden, wie gross die Fehleranfälligkeit der aufgestellten Entscheidungsregeln ist. Bei welchen Testausgängen wird die Hypothese angenommen? α = Fehler 1. Art: Hypothese wird verworfen, obwohl sie richtig ist. β = Fehler 2. Art: Hypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist. Alternativtest bei Binomialwert p: Wahrscheinlichkeit der Hypothese q: Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese Entscheidungsregel: k liegt zwischen n p und n q. p > q p < q α ( ( k 1 n n n p i=0 i i (1 p n i i=k i ( ( n n k n p i i (1 p n i i i=k+1 i=0 β q i (1 q n i q i (1 q n i Zweiseitiger Test: µ = n p k = µ (abgerundet Annahmebereich von k u bis k + v, so dass k ( n p i (1 p n i i } {{ } x i=k u k+v i=k+1 ( n i p i (1 p n i Wahrscheinlichkeit für Annahme: k+v i=k u ( n i p i (1 p n i

24 6 NORMALVERTEILUNG 24 6 Normalverteilung Dieses Kapitel beruht auf einem Skript von Christoph Drollinger, dem ich an dieser Stelle dafür danken möchte. 6.1 Binomial- und Normalverteilung Ein idealer Würfel wird 5000-mal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass 500-mal die 6 ( ( ( auftritt? Die Lösung ist = Für grosse n ist bei einer 6 6 Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit P(X = k sehr klein. Der genaue Wert ist daher uninteressant. Wichtiger ist die Wahrscheinlichkeit P(X k. Für P(X 500 müsste 501- mal die Formel der Binomialverteilung anwenden. Dies ist sehr rechenaufwändig. In diesem Kapitel geht es um eine Näherungsformel der Binomialverteilung, die Rechenzeit spart und trotzdem je genauer ist, desto mehr Versuche angestellt werden. Diese Näherungsformel geht aus von der sogenannten Normalverteilung. Jede Binomialverteilung lässt sich durch einige Umformungen mit dieser Normalverteilung berechnen. Wir werden exemplarisch mit 2 Binomialverteilungen diese Umformungen durchführen und sehen, dass sie sich sehr ähnlich werden. Den Beweis, dass sie tatsächlich näherungsweise der Normalverteilung entsprechen, können wir hier allerdings nicht führen. Sei X 1 eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n = 20 und p = 0.5. Es gilt E(X = n p = 10 und σ = npq = = 5 = 2.24 Sei X 2 eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n = 15 und p = 0.3. Also E(X = 4.5 und σ = 3.15 = 1.77 Erstellt wir je eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, so ergeben sich folgende Histogramme: Dabei sind auf der x-achse die Werte für k und auf der y-achse die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten abgetragen. Eine Näherungslösung ergibt sich nun in mehreren Schritten. Zuerst verschieben wir die Histogramme um den Erwartungswert nach links. Für führen also die Transformation x = k µ durch. Wir erhalten je eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit µ = 0

25 6 NORMALVERTEILUNG 25 Der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist je 0. Die Varianzen sind aber noch unterschiedlich. Teilen wir die Werte für x je durch die Standardabweichung, so erhalten wir Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit je σ = 1. Da n für X 1 und X 2 unterschiedlich ist, sind die Säulen im linken und im rechten Histogramm nicht gleich hoch. Um dies anzupassen, werden die y-werte mit der Standardabweichung σ multipliziert. Wir verwenden somit folgende Transformationen: x = k µ σ und y = σ B n;p (k Zeichnen wir nicht mehr Säulen, sondern verbinden wir die Punkte oben auf der Säule miteinander, so folgen zwei fast identische Diagramme: Satz 17 Für grosse n streben die Streckenzüge gegen eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift ϕ(x = 1 e x2 /2, x R 2π

26 6 NORMALVERTEILUNG 26 Diese Funktion heisst Gauss-Kurve, ihr Graph gausssche Glockenkurve. Die Glockenkurve ist symmetrisch zur y-achse. Der Flächeninhalt unterhalb der Glockenkurve hat den Wert 1. Um eine Näherungsfunktion für Wahrscheinlichkeiten wie z.b. P(k 1 X k 2 zu gewinnen, betrachten wir die folgenden Histogramme der B 64;0.5 -verteilten Zufallsvariable X E(X = n p = = 32, σ = = 4. Der Wahrscheinlichkeit P(29 X 36 entspricht der Gesamtinhalt aller Rechtecksflächen zwischen k = und k = Da sich bei der durchgeführten Transformation der Flächeninhalt jedes Rechtecks nicht ändert (ohne Beweis, ist dieser Gesamtinhalt etwa gleich gross wie die Fläche unter der Glockenkurve zwischen den Grenzen x 1 = k µ σ = = 0.88 und x 2 = k µ σ = = 1.13 Der gesuchte Näherungswert ergibt sich als Flächeninhalt eines bestimmten Flächenstückes unterhalb der Glockenkurve. Deshalb führen wir eine Funktion ein, die so genannte gausssche Summenfunktion, die jedem x mathbbr den Inhalt der links von der Stelle x gelegenen Fläche unter der Glockenkurve zuordnet. Dieser Inhalt wird mit Φ(x (gross phi von x bezeichnet. Definition 18 Φ(x = x ϕ(t dt Für Φ(x lässt sich kein geschlossener Funktionsterm angeben. Ihre Funktionswerte lieben aber tabelliert vor. Satz 18 Es gilt: Φ( x = 1 Φ(x.

27 6 NORMALVERTEILUNG 27 Beweis: klar aus der Symmetrie von ϕ, siehe unten. Es folgt: P(29 X 36 = Φ(1.13 Φ( 0.88 = Φ(1.13 (1 Φ(0.88 = ( = Wer sich die Mühe macht, den genauen Wert zu berechnen, der erhält: P(29 X 36 = Allgemein gelten für grosse Werte von n die folgenden Näherungsformeln: Satz 19 (Näherungsformeln von De Moivre-Laplace Für eine B n;p -verteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert E(X = np und der Standardabweichung σ = npq gelten bei grossen Werten von n: P(X k = Φ(x mit x = k µ σ P(k 1 X k 2 = Φ(x 2 Φ(x 1 mit x 1 = k µ σ Die Formeln liefern brauchbare Werte für σ 3, d.h für npq 9. und x 2 = k µ σ Ohne Beweis. Bemerkung: Bei der Berechnung von x 1 und x 2 wird oft die Zahl 0.5 oder -0.5 weggelassen. Für grosse n spielt spielt dies keine Rolle. Beispiel 24 Ein Händler bietet Gurkensamen an, die erfahrungsgemäss zu 95% keimfähig sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit keimen von 500 ausgesäten Körnern höchstens 472? Die Zufallsvariable X für die Anzahl der keimfähigen Körner ist B 500;0.95 -verteilt mit E(X = np = = 475 und σ = Es ist npq = Also können die Näherungsformen angewendet werden. ( P(X = Φ = Φ( 0.51 = 1 Φ(0.51 = = Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 31% keimen höchstens 472 Körner. Aufgabe 73 Ermittle mit Hilfe der Tabelle folgende Werte: a Φ(0.5 b Φ(1.5 c Φ( 1.04 d Φ( 3.25 Aufgabe 74 Die Zufallsvariable X ist B 225;0.5 -verteilt. Berechne näherungsweise: a P(X 114 b P(X 108 c P(X > 110 d P(X 120 e P(100 X 120 f P(113 < X < 118 Aufgabe 75 Die Zufallsvariable X ist B 1200;0.6 -verteilt. Berechne näherungsweise: a P(X 700 b P(700 X 740 c P(X 735 d P(X 710

28 6 NORMALVERTEILUNG 28 Aufgabe 76 Drei Prozent der Eidgenossen leiden unter einer Nahrungsmittelallergie. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 150 Eidgenossen mehr als 6 Personen mit dieser Allergie? Aufgabe 77 Von 100 Stanzteilen können erfahrungsgemäss 90 weiter verarbeitet werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 450 Stanzteilen mindestens 420 Teile, die zur Weiterverarbeitung verwendet werden können? Aufgabe 78 Einer Fluggesellschaft ist aufgrund früherer Ergebungen bekannt, dass auf einer bestimmten Fluglinie ihres Angebotes 15% der Passagiere ein vegetarisches Essen wählen. Während eines Fluges auf dieser Linie werden 250 Essen ausgegeben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die mitgeführten 40 vegetarischen Essen aus? Aufgabe 79 Die Verbindung Phenylthioharnstoff (PTH wird von 63% der Bevölkerung als bitter schmeckend, vom Rest als geschmacklos empfunden. Es werden 130 Personen getestet. a Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den Testpersonen mehr als 80 und höchstens 85 PTH-Schmecker? b Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Anzahl der PTH-Schmecker um mehr als 2 Personen vom Erwartungswert ab? Aufgabe 80 Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 500 zufällig ausgewählten Personen höchstens 3 in der ersten Woche des Jahres Geburtstag haben. Aufgabe 81 [Test] Der Hersteller eines Fleckputzmittels behauptet, dass mit diesem Mittel 90% aller Flecke beseitigt werden können. Ein Wäschereibesitzer hält dies für übertrieben. Er stellt fest, dass mit diesem Mittel von 200 Flecken 173 entfernt werden konnten. Kann er die Behauptung des Herstellers mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0.05 verwerfen? 6.2 Der zentrale Grenzwertsatz Werfen wir einen Würfel. Die Zufallsvariable X sei die Augenzahl. Dann können wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X einfach tabellieren: k P(X = k Werfen wir zwei Würfel. Die Zufallsvariable X i sei die Augensumme beim i-ten Würfel. Es sei X = X 1 + X 2 die Augensumme der zwei Würfel. Die Augensumme 2 kann nur in einem Fall auftreten: Beide Würfel haben die Augensumme 1. Daher ist P(X = 2 = 1/36. Die Augensumme 3 kann in zwei Fällen auftreten: Der eine Würfel hat eine 1 und der andere Würfel eine 2. Daher ist P(X = 3 = 2/36. k P(X = k

29 6 NORMALVERTEILUNG 29 Für drei Würfel folgt: Die Zufallsvariable X i sei die Augensumme beim i-ten Würfel. Es sei X = X 1 + X 2 + X 3 die Augensumme der drei Würfel. Für vier Würfel folgt: Überraschenderweise scheint sich bei der Augensumme von Würfeln wieder eine Glockenkurve anzudeuten, wie sie uns bei Binomialverteilungen mit grossen n begegnet ist. Sie zeigt sich mit zunehmender Deutlichkeit, je mehr Würfel man verwendet. Obwohl die Zufallsvariablen X i in diesem Fall keine Bernoulli-Variablen sind, scheint sich die Verteilung von X = X 1 + X X n wieder näherungsweise mit Hilfe der Funktion Φ beschreiben zu lassen. Tatsächlich gilt der folgende Satz: Satz 20 (Zentraler Grenzwertsatz Sind X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, so gilt für die Zufallsvariable X = X 1 + X X n mit E(X = µ und V (X = σ 2 bei hinreichend grossen Werten von n: ( P(X x x µ = Φ σ Die Näherung ist umso besser, je grösser die Anzahl n ist. ohne Beweis. Aufgabe 82 Die Zufallsvariable X i, i = 1;2;3;4 nimmt die Werte 0;1;2 mit den Wahrscheinlichkeiten 0.4 bzw. 0.2 bzw. 0.4 an. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X = X 1, y = X 1 +X2, Z = X 1 +X2+X3 und W = X 1 +X 2 +X 3 +X 4, wenn die x i unabhängig sind. Zeichne für jede der Verteilungen ein Stabdiagramm. 6.3 Chi-Quadrat-Test Beobachtete und theoretische Häufigkeiten Wie wir schon oft gesehen haben, stimmen die aus Stichproben erhaltenen Ergebnisse nicht immer mit den theoretischen Ergebnissen überein, die nach den Regeln der Wahrscheinlichkeit zu erwarten wären. So kommt es z.b. selten vor, obwohl theoretische Überlegungen uns dazu führen, 50-mal Kopf und 50-mal Zahl bei 100 Würfen einer echten Münze zu erwarten, dass diese Ergebnisse genau realisiert werden.

30 6 NORMALVERTEILUNG 30 Beispiel Teil Der Produzent einer Massenware weiss aus Erfahrung, dass die Qualität der produzierten Stücke zufälligen Schwankungen unterworfen ist und sich ungefähr folgendermassen verteilt: Qualitätsstufe 1: 15% Qualitätsstufe 2: 25% Qualitätsstufe 3: 35% Qualitätsstufe 4: 20% Qualitätsstufe 5: 5% Bei einer Stichprobe von 150 Stücken erwartet er die folgende Aufteilung: Qualitätsstufe 1: 15% von 150 = 22.5 Qualitätsstufe 2: 25% von 150 = 37.5 Qualitätsstufe 3: 35% von 150 = 52.5 Qualitätsstufe 4: 20% von 150 = 30 Qualitätsstufe 5: 5% von 150 = 7.5 Anhand zweier Stichproben vom Umfang 150 erhält er folgende Stückzahlen: 1. Stichprobe 2. Stichprobe erwartet Qualitätsstufe 1: Qualitätsstufe 2: Qualitätsstufe 3: Qualitätsstufe 4: Qualitätsstufe 5: In jeder der beiden Stichproben weichen die beobachteten Stückzahlen von den erwarteten Stückzahlen ab. Diese Abweichungen können jedoch zufällig sein. Sind die Abweichungen zu gross, oder liegen sie noch in einem gewissen Rahmen? Müssen wir annehmen, dass sich die prozentuale Verteilung der Qualitätsstufen geändert hat? Dazu stellen wir zunächst die folgende Frage: In welcher der beiden Stichproben weichen die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten Häufigkeiten stärker ab? Als Masse für die Abweichung der beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten bieten sich u.a. die folgenden an: Summe der Abweichungen: (b 1 e 1 +(b 2 e (b n e n. wobei b i : beobachtete Häufigkeiten, e i : erwartete Häufigkeiten und n: Anzahl Klassen. Für die erste Stichprobe gibt das ( ( (8 7.5 = 0. Dies ist kein taugliches Mass, negative und positive Abweichungen heben sich evtl. weg. Wir quadrieren also: Summe der Abweichungsquadrate: (b 1 e 1 2 +(b 2 e (b n e n 2. Dies ergibt bei der ersten Stichprobe 181. In der Praxis hat es sich bewährt, noch durch die Erwartungswerte zu dividieren, um hohe Zahlen nicht zu stark zu gewichten.

31 6 NORMALVERTEILUNG 31 Summe der relativen Abweichungsquadrate: (b 1 e (b 2 e (b n e n 2 e 1 e 2 e n Und dies ist das Mass für unsere Abweichung. Bevor der Wert genau berechnet wird, halten wir die Definition fest. Die Summe der relativen Abweichungsquadrate wird mit χ 2 (sprich: Chi-Quadrat bezeichnet. Definition 19 Gegeben sei eine Tabelle, wobei b 1, b 2,..., b n die beobachteten Häufigkeiten und e 1, e 2,..., e n die erwarteten Häufigkeiten in den Klassen 1, 2,...,n sind. Alle erwarteten Häufigkeiten seien positiv. Dann ist χ 2 = (b 1 e 1 2 e 1 + (b 2 e 2 2 e (b n e n 2 e n = n (b i e i 2 i=1 e i Das Abweichungsmass χ 2 kann nur nichtnegative Werte annehmen. Stimmen alle beobachteten Häufigkeiten mit den erwarteten Häufigkeiten überein, ist χ 2 = 0. Je stärker die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten Häufigkeiten abweichen, desto grösser wird χ 2. Fortsetzung des Beispiels Für die erste Stichprobe ist χ 2 = ( ( ( ( ( Für die zweite Stichprobe ist χ 2 = Die erste Stichprobe weicht somit stärker von der erwarteten Häufigkeiten ab als die zweite. Aufgabe 83 Bei einer Plattenproduktion ist bekannt, dass ca. 5% der Platten zu dünn und ca. 8% zu dick ausfallen. Der Rest ist brauchbar. In drei verschiedenen Stichproben zu je 60 Platten ergaben sich folgende Häufigkeiten: 1. Stichprobe 2. Stichprobe 3. Stichprobe zu dünn brauchbar zu dick a Erstelle für jede Stichprobe eine Tabelle mit den beobachteten und erwarteten Häufigkeiten! b Beurteile mit Hilfe des χ 2 - Masses, in welcher der drei Stichproben die beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten am stärksten bzw. am schwächsten abweichen! Jede Stichprobe ergibt andere Werte für χ 2. Bei der Erhebung von Stichproben wird jeder mögliche Wert von?2 mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit angenommen

32 6 NORMALVERTEILUNG 32 Also ist χ 2 eine Zufallsvariable, die jeder Stichprobe einen Wert (die Abweichung zuordnet. Dieser Zufallsvariable lässt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zuordnen. Wie die Verteilung genau berechnet wird, können wir hier nicht darstellen. Wir können aber mit Hilfe dieser Verteilung sagen, ob eine Stichprobe zu stark vom erwarteten Ausgang abweicht. Dazu müssen wir folgendes wissen: Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt von der Anzahl n der Felder der Tabelle (Anzahl der Klassen ab, wird aber üblicherweise in Abhängigkeit von der Zahl f = n 1 angegeben, die als Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet wird. Diese Bezeichnung wird durch folgende Überlegung verständlich: Besitzt die Tabelle n Felder und ist die Zeilensumme (der Stichprobenumfang vorgegeben, so können zur Angabe einer solchen Tabelle die Werte in n 1 Feldern frei gewählt werden, der Wert im verbleibenden Feld ist dann durch die Zeilensumme festgelegt. 3 Hier ist ein Ausschnitt aus einer Formelsammlung, der die χ 2 -Verteilung darstellt: Folgendermassen lässt sich mit der Tabelle arbeiten, wir bleiben bei unserem Beispiel: 1. Stichprobe: χ 2 = Stichprobe: χ 2 = f = 5 1 = 4 Freiheitsgrade Damit mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 5% (Signifikanzzahl gezeigt werden kann, dass sich die prozentuale Verteilung der Qualitätsstufen verändert hat, muss χ 2 grösser als 9.49 (kritischer Wert k 0 sein. Dies ist in beiden Fällen nicht der Fall.. Es handelt sich somit um eine zufällige Streuung. Vorgehen bei einem Chi-Quadrat-Test 1. Bei kleinen erwarteten Häufigkeiten ist der Test ungenau. Prüfe, ob alle erwarteten Häufigkeiten (deutlich grösser als 5 sind. Ansonsten muss ein anderer Test verwendet werden, der auch bei kleinen Häufigkeiten Aussagen erlaubt. Zum Beispiel der Mediantest. 2. Formuliere eine geeignete Nullhypothese H 0 und eine Alternativhypothese H Lege eine Signifikanzzahl α fest. 4. Erhebe eine Stichprobe und schreibe die in den einzelnen Klassen beobachteten Häufigkeiten in eine Tabelle. 3 Ist die Tabelle umfangreicher, ist Definition 20 heranzuziehen. 4 Die Nullhypothese in unserem Beispiel ist: Die Qualitätsstufen sind wie in der ersten Tabelle des Beispiels verteilt. Die Alternativhypothese: Die Qualitätsstufen haben sich geändert

33 6 NORMALVERTEILUNG Nimm an, dass die Nullhypothese H 0 gilt, und ermittle unter dieser Annahme die erwarteten Häufigkeiten. Trage auch diese in die Tabelle ein. Berechne χ 2 für diese Tabelle. Ermittle den kritischen Wert k 0 von χ 2 für die vorliegende Signifikanzzahl α und die vorliegende Anzahl f von Freiheitsgraden. Ist der in der Stichprobe ermittelte Wert von χ 2 grösser oder gleich k 0, kann die Nullhypothese verworfen werden. Definition 20 (Freiheitsgrade Eine Tabelle enthalte n Einträge. Es müssen s Werte geschätzt werden. Dann ist die Zahl der Freiheitsgrade f = n s 1 Beispiel 26 Ein Würfel wird 190-mal geworfen. Dabei ergibt sich: 27-mal die Augenzahl 1; 33-mal die Augenzahl 2; 36-mal die Augenzahl 3; 32-mal die Augenzahl 4; 29-mal die Augenzahl 5 und 33-mal die Augenzahl 6. Ist der Würfel in Ordnung? Alle erwarteten Häufigkeiten sind 190/6 = Der Test lässt sich durchführen. Es müssen keine Werte geschätzt werden: die Erwartungswerte sind bekannt. Wir haben also f = 6 1 = 5 Freiheitsgrade. H 0 : Der Würfel ist in Ordnung, d.h. die Wahrscheinlichkeit für eine Augenzahl ist je 1/6. H 1 : Dies ist nicht der Fall α 0 = 5% Augenzahl beobachtet Es ist χ 2 = 1.62 Der kritische Wert k 0 für 5 Freiheitsgrade beträgt: Die Annahme, dass der Würfel in Ordnung ist, kann nicht verworfen werden. Beispiel 27 Gibt es einen Zusammenhang zwischen schulischer Leistung und späterem Berufserfolg? schulische Leistung gut mittel schlecht Berufs- gut erfolg schlecht Führe einen Chi-Quadrat-Test mit α 0 = 5% durch. Hier müssen drei Mittelwerte geschätzt werden: für guten, mittleren und schlechte schulische Leistung. Die Zahl der Freiheitsgrade ist also f = = 2. Es ist χ 2 = 6.35, kritischer Wert k 0 = Die Annahme, dass schulische Leistung und Berufserfolg nicht zusammen hängen, wird verworfen.

34 6 NORMALVERTEILUNG 34 Aufgabe 84 Zur Überprüfung von Rouletterädern werden die Ergebnisse laufend notiert. Bei einem bestimmten Rouletterad ergaben sich in einem bestimmten Zeitraum die folgenden Häufigkeiten für die geraden Zahlen. Ist das Rouletterad in Ordnung? Führe einen Chi- Quadrat-Test mit α 0 = 5% durch. Zahlen beobachtet Aufgabe 85 (Test auf Binomialverteilung Ein Wurf mit drei Münzen wird 80-mal wiederholt. Dabei ergibt sich bei 14 Würfen nullmal Zahl, bei 35 Würfen einmal Zahl, bei 29 Würfen zweimal Zahl und bei 2 Würfen dreimal Zahl. Sind die Münzen in Ordnung? Führe einen Chi-Quadrat-Test mit α 0 = 5% durch. Aufgabe 86 (Bedenke Definition 20 Die Schüler der 4a- und 4b-Klasse werden befragt, ob sie sich für musikalisch oder unmusikalisch halten. 4a 4b total musikalisch unmusikalisch total Unterscheiden sich die Klassen? Führe einen Chi-Quadrat-Test mit α 0 = 5% durch. Aufgabe 87 Hat der Familienstand (ledig, verheiratet, geschieden einen Einfluss auf das Gurteanlegen beim Autofahren? ledig verheiratet geschieden Gurt angelegt Gurt nicht angelegt Führe einen Chi-Quadrat-Test mit α 0 = 5% durch.

35 6 NORMALVERTEILUNG 35 Lösungen 1 Einführung A. 1: 6/41 A. 2: 5/36 A. 3: 1/12; 1/6 A. 4: nein A. 5: 7 A. 6: P(A = 0.25; P(B = 1/13; P(C = 1/52; P(D = 4/13; P(E = 15/52; P(F = 3/13 ; P(G = 0; A. 7: A. 8: a 0.67 b 0.33 c 0.52 d 0.5 e 0.33 f 0.17 A. 9: a 0.1 b 0.1 c 0.54 d 0.33 e 0.09 f 0.93 A. 10: a 11/100 b 2/25 c 1/20 d 1/50 e 0 f 17/100 g 4/25 A. 11: a 17/100 b 13/100 c 4/25 d 17/100 A. 12: a 11/36 b 5/9 c 3/4 A. 13: a 53/54 b 7/27 c 191/216 d 91/216 A. 14: 5/6 b 1 c 1 d 11/36 A. 15: A. 16: ( A. 17: 1/8, 7/8, 7/8 A. 18: 0.14, 0.42, 0.58 A. 21: A. 22: 0.88 A. 23: nein, Wahrscheinlichkeiten in der letzten Stufe zu gross. A. 24: a { BB, BD, BK, DB, DD, DK, KB, KD, KK} b { BD, BK, DB, DK, KC, KD} c { BD, BK, DK} d { BB, BD, BK, DD, DK, KK} A. 25: a Bube oder König wird gezogen b An erster Stelle wird Bube oder König gezogen c Es wird gezogen A. 26: 2/9; 1/3; 1/3; 2/9 A. 28: 1/3; 2/9 1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten A. 29: a 0.15 b 0.85 c 0.04 d 0.27 e 0.16 f 0.6 A. 30: a 0.86 b 0.46 c d f 0.14 A. 31: 0.5 und 0.17 A. 32: 0.2 A. 33: a 0.11 b Kombinatorik A. 34: A. 35: 0.013, , A. 37: A. 38: A. 39: A. 40: 35 A. 41: a,α 4896, a,β 5832 b,α 816 b,β 1140 A. 42: , A. 43: 5040 A. 44: A. 45: 6

36 6 NORMALVERTEILUNG 36 A. 46: 0.15, , 0.46 A. 47: 0.1, , 0.21 A. 48: 0.9 A. 49: A. 50: A. 51: 0,35 A. 52: 0.65 A. 53:? A. 54: 0.24 A. 55: 0.9, 0.6, 0.3 A. 56: 0,04, 0.2, 0.16 A. 57: 0.23, 0.54, 0.09 A. 58: 160 A. 59: 0,28 A. 60: 8008 A. 61: 45 A. 62: 20160, 336, A. 63: A. 64: 0.2 A. 65: 0,996 A. 66: 0,0045, 0,072 A. 67: A. 68: A. 69: 0,421, 0,069 A. 70: 0,125 3 Zufallsgrössen a 3,4,5,..,17,18 3d 0,1,2,3 3e 0,1,2,3,4,5 4a b 51,52,53,54,55 (keine Reihenfolge 4c 22,23,24,25,26,32,42,52,62 (mit Reihenfolge 7 Es gibt 8 Möglichkeiten: mmm, mmw, mwm, mww, wmm, wmw, wwm, www P(x = 0 = 1/8, P(x = 1 = 3/8, P(x = 2 = 3/8, P(x = 3 = 1/8, 11 P(x > 10 = 1/12, P(x 9 = 10/36, P(3 x 7 = 20/36, P(x > 3 und x < 7 = 12/36, P(x 6 = 15/36, P(x < 6 oder x > 10 = 13/36, P(x 12 = 35/36 3 a /30 + 2/75 = b0.105:0.6=0.175 c 0.10/0.2 < 0.7 nein 4 Angenommen, es sind 100 Lose: = 120 ist der Gewinn. 1,20 muss das Los kosten, unabhängig von der Gesamtzahl der Lose.

37 6 NORMALVERTEILUNG 37 Arbeitsauftrag A. 71: P(m = 1/4 + 3/4 2/3 1/4 = 3/8 P(w = 3/4 1/3 + 3/4 2/3 3/4 1/3 = 3/8 P(n = 3/4 2/3 3/4 2/3 = 1/4 1/4 3/4 m 1/3 2/3 w 1/4 3/4 m 1/3 w n 2/3 P(1 = 1/4, P(2 = 3/4 1/3 = 1/4, P(3 = 3/4 2/3 1/4 = 1/8, P(4 = 3/4 2/3 3/4 = 3/8. Erwartungswert: 1 1/ / / /8 = 21/8 Standardabweichung: (13/8 2 1/4 + (5/8 2 1/4 + (3/8 2 1/8 + (11/8 2 3/8 = 1.48 A. 72: P(X = 1 = 1/4 P(X = 6 = 1/16 + 1/4 = 5/16 P(X = 2 = 7/16, µ = 1,25 σ = 3.42 allgemein: (1 p 2 2p(1 p pp (1 p 2 kk 2p(1 p kz pp zz zz 1 p 1/4 1/4 kk 1/2 kz µ(p = 1p ( (1 p 2 p 2 + p 2p(1 p 2 ( (1 p 4 + 2p(1 p 3 + 2p(1 p 2 µ(p = 8p 4 32p p 2 2 µ (p = 32x 3 96p p µ (p = 96p 2 192p + 54 Bei p=3/4 ist µ (p = 0 und µ (p < 0, also wird der Gewinn bei p = 3/4 maximal. 4 Binomialverteilungen a P(X = i = 6a ( 12 6 ( 6 i = p kz ( i i bzw für p 2 : P(X = i = i 6b P(x = 0 = , P(x = 1 = 0.25, P(x = 2 = 0.375, P(x = 3 = 0.25, P(x = 4 = zz zz 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 kk kz zz kz zz 0.7 i i c 6 k=4 ( 6 k = 0.344

38 6 NORMALVERTEILUNG a ( 5 5 ( = = b = c = e 7 k=4 ( 10 k k = 0.35 f 0.46 g h ( ( ( ( a P(44 x 56 = , P(41 x 59 = bp(11 x 23 = 0.92, P(13 x 22 = 0.807, P(10 x 24 = ( ( ( ( nur mit 50 Zwiebeln durchgerechnet: ( ( ( ( ( ( ( a 50 k=0 ( 100 k 0.4 k k ( 100 b solve 0.1 = k=x ( 100 k 0.4 k k,x notfalls per Probieren statt mit solve k=0 ( 50 k 0.1 k k = k=0 ( 20 k 0.2 k k = a 4 k=0 ( 10 k 0.2 k k = b k=0 ( 50 k 0.1 k 0.9 k = Also muss in 38.4 Prozent der Fälle gewartet werden. 30 ( k k=0 0.1 k k =

39 6 NORMALVERTEILUNG 39 Die Wartewahrscheinlichkeit ist Normalverteilung A. 73: a b c d A. 74: µ = 112.5, σ = 7.5 a b c d e f A. 75: µ = 720, σ = a b c d A. 76: n = 150, p = 0.03, µ = 4.5, σ = 2.09 P(X > 6 = A. 77: n = 450, p = 0.9, µ = 405, σ = 6.36 P(X 420 = A. 78: (mit 0.5 gerechnet, berechne auch das Ergebnis ohne 0.5, es macht einen Unterschied (0.67 A. 79: n = 130, p = 0.63, µ = 81.9, σ = 5.5 a P(81 X 85 = b A. 80: n = 500,, µ = 9.615, σ = 3.07 Antwort A. 81: , also: Ja (auch hier sollte mit 0.5 gerechnet werden. A. 82: k P(X = k k P(X = k k P(X = k k P(X = k A. 83: 1. Stichprobe zu dünn brauchbar zu dick beobachtet erwartet (3 (52.2 ( Stichprobe χ 2 = 6.99, 2. Stichprobe χ 2 = 0.009, 3. Stichprobe χ 2 = Die beobachteten Häufigkeiten weichen von den erwarteten Häufigkeiten am stärksten in der 1. Stichprobe, am wenigsten in der 2. Stichprobe ab. A. 84: χ 2 = 4.50, kritischer Wert k 0 = Die Annahme, dass das Rad in Ordnung ist, muss nicht verworfen werden. A. 85: χ 2 = 8.87, kritischer Wert k 0 = 7.82 Die Annahme, dass die Münze in Ordnung ist, kann verworfen werden. A. 86: χ 2 = 0.08, kritischer Wert k 0 = 3.84.