SA Saitenschwingungen

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1 SA Saitenschwingungen Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) Freitag, 13. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen Allgemeine Wellengleichung Transversalwelle einer Saite Reflexion und stehende Wellen Versuchsdurchführung 4 4 Messergebnisse und Auswertung Spannungsabhängigkeit Längenabhängigkeit

2 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN SA 2 1 Einführung In diesem Versuch werden die Schwingungen einer Saite untersucht, um Details über Wellen und deren Ausbreitung zu lernen. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Allgemeine Wellengleichung Im Folgenden wird die allgemeine Wellengleichung hergeleitet. Hierzu nehme man an, dass irgendeine physikalische Größe an einem Ort z = z 0 zur Zeit t = 0 eine Störung ζ, d.h. eine Abweichung vom Gleichgewichtszustand, erfahre. Diese Störung breite sich mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v in z-richtung fort. Dann ist die Störung zum Zeitpunkt t 1 an der Stelle z 1 = z 0 + vt 1. Unter der Annahme, dass die Form der Störung ζ sich bei der Ausbreitung nicht ändert, ergibt sich ζ(z 1,t 1 ) = ζ(z 0,0) = ζ(z 1 vt 1,0). D.h. der Wert von ζ(z,t) ist für alle Punkte (z,t) mit z vt = z 0, d.h. z = z 0 + vt gleich. Der Wert von ζ(z,t) hängt also nur von der Differenz (bzw. Phase) z vt ab, also ζ(z,t) = f(z vt), wobei f eine beliebige Funktion ist. Differenziert man diese Gleichung zwei Mal nach Ort und Zeit, so stößt man direkt auf die Wellengleichung: 2 ζ z 2 = f (z vt), Die Lösungen dieser DGL sind von der Form 2 ζ t 2 = v2 f (z vt) 2 ζ z 2 = 1 2 ζ v 2 t 2. (1) ζ(z,t) = Asin(kz ± vt + φ) = A e i(kz±vt). In der komplexen Schreibweise steckt die Phase φ im komplexen Vorfaktor A. 2.2 Transversalwelle einer Saite Wir betrachten eine Saite, die in z-richtung mit einer Spannung F gespannt sei und lenken diese Saite in x-richtung aus ihrer Ruhelage

3 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN SA 3 Abbildung 1: Zur Herleitung der Wellengleichung einer Saite (siehe Demtröder I, Seite 376). aus (siehe Abb. 1). Auf ein infinitesimal kleines Längenelement ds wirkt auf Grund der Spannung F die Rückstellkraft in x-richtung df x = F sin ϑ z+dz F sin ϑ z = (F sin ϑ)dz. z (Die Differenz der x-komponenten wird durch den ersten Term einer Taylor-Entwicklung der Funktion der x-komponente von F in Abhängigkeit von z angenähert.) Wenn wir die Auslenkung dx als klein im Vergleich zur Länge der Saite annehmen, ist ϑ sehr klein und somit ist sin ϑ tan ϑ = x/ z. Für die Rückstellkraft auf ds folgt deshalb df x = F 2 x z 2 dz. Mit µ = m/l als Masse pro Länge der Saite erhalten wir mit ds dz nach Newton dm ẍ = µ dz 2 x t 2 = F 2 x z 2 dz 2 x z 2 = µ F 2 x t 2 = 1 v 2 ph 2 x t 2, (2) als Wellengleichung mit Phasengeschwindigkeit v ph = F/µ. Wenn die Saite in mehrere Raumrichtungen schwingen soll, ist die zweite

4 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG SA 4 Ortsableitung durch den Laplace-Operator zu ersetzen. Da die formale Gestalt der DGL (2) gleich der der allgemeinen Wellengleichung (1) ist, sind die Lösungen für die schwingende Saite gleich den Lösungen der allgemeinen Wellengleichung. 2.3 Reflexion und stehende Wellen Wenn Wellen reflektiert werden, dann kann das nur auf 2 Weisen geschehen: 1. Offenes Ende: Die Welle wird ohne Phasensprung reflektiert. Bei stehenden Wellen gibt es an diesem Ende dann ein Wellenbauch. 2. Festes Ende: Die Welle wird mit einem Phasensprung von 180 reflektiert. Bei stehenden Wellen bedeutet dies, dass es einen Wellenknoten gibt. Wenn man z.b den Schall betrachtet, der eine Longitudinalwelle ist, dann ist die Wand bezüglich der Luftdichte für den Schall ein loses Ende und für die Teilchen ein festes Ende. Da unser Ohr aber nur den Druck wahrninmmt, würden wir also direkt an der Wand einen Ton wahrnehmen, λ/4 davon entfernt nicht. Stehende Wellen entstehen immer, wenn zwei Wellen mit gleicher Wellenlänge aufeinander treffen (z.b. bei einer Reflexion an einem offenen oder festen Ende). Bei einer Seite mit zwei festen oder offenen Enden muss die Saite dabei die Länge l = kλ/2 k N haben und bei einem offenen und einem festen Ende l = (k + 1/2)λ/2. 3 Versuchsdurchführung Ein Gummiband wird mit Hilfe eines lautsprecherähnlichen Geräts mit einer bestimmten Frequenz angeregt. Das Gummiband kann mit Hilfe von Gewichtsstücken gespannt und mit Hilfe einer Klammer kann die Länge verändert werden. Gemessen werden sollen die Frequenzen, bei denen Resonanzerscheinungen auftreten, da dann eine Eigenschwingung vorhanden ist. 4 Messergebnisse und Auswertung 4.1 Spannungsabhängigkeit In Abb. 2 sind die gemessenen Frequenzen, bei denen stehende Wellen entstehen. Wie man sieht gibt es immer bei einem ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz eine stehende Welle. Die gemessene Frequenz

5 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG SA 5 ist dabei proportional zu der Kreisfrequenz ω mit dem Verhältnis: ω = 2πf Frequenz in Hz Masse: 99,4g Grundfrequenz: 15,58Hz Ausbreitungsgeschwindigkeit: 18.7m/s Massenbelegung: 2,79g/m Masse: 149,5g Grundfrequenz: 16,84Hz Ausbreitungsgeschwindigkeit: 20,21m/s Massenbelegung: 3,59g/m Masse: 249,7g Grundfrequenz: 24,92Hz Ausbreitungsgeschwindigkeit:29,9m/s Massenbelegung: 2,85g/m n Wellenbäuche Abbildung 2: Gemessene Frequenzen stehender Wellen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c wurde mit der Formel c = 2lf 0 berechnet, wobei l die Seillänge und f 0 die Grundschwingung ist. Die Masenbelegung µ wurde nach c = F G /µ µ = F G /c 2 berechnet. Man sieht das bei der zweiten Messreihe (m=149,5g) wohl ein systematischer Fehler gemacht wurde. Wenn man davon absieht ist die mittlere Massenbelegung µ = 2,82g/m. 4.2 Längenabhängigkeit In der zweiten Versuchsreihe wurden die Eigenschwingungen in Anhängigkeit der der Seitenlänge gemessen. Dabei konnte man erkennen, dass die Frequenz umgekehrt proportional zur Seillänge ist:

6 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG SA 6 Frequenz f Saitenlänge l k = fl 24, ,95 33,1 44, ,92 74,6 14,86