Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := und die lineare Abbildung ϕ : R 4 R 3, x A x. Bestimmen Sie für den Kern und das Bild der Abbildung ϕ jeweils eine Basis. 5. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 3) Gegeben sei die lineare Abbildung f : R 5 R 4, x x a) Bestimmen Sie eine Basis von Bild(f). b) Untersuchen Sie f auf Injektivitiät und Surjektivität. 5.3 (Herbst 9, Thema, Aufgabe ) Betrachtet werde die Abbildung g : R 3 R, v v v v + v 3. v 3 a) Zeigen Sie, dass g eine lineare Abbildung ist und geben Sie eine darstellende Matrix für g an. b) Geben Sie für Kern(g) und Bild(g) jeweils die Dimension und eine Basis an. c) Lösen Sie die lineare Gleichung g(v) =.

2 5.4 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Für die reelle 3 4 Matrix 3 5 A = R betrachte man die lineare Abbildung f : R 4 R 3, f(x) = A x. Es seien U = Kern(f) der Kern von f sowie W = Bild(f) der Bildraum von f. a) Zeigen Sie, dass sowohl U als auch W die Dimension besitzt. Bestimmen Sie eine Basis u, u von U und eine Basis w, w von W. b) Entscheiden Sie, ob es eine lineare Abbildung g : R 3 R 4 mit Kern(g) = W und Bild(g) = U gibt und begründen Sie diese Entscheidung. 5.5 (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe ) In Abhängigkeit von einem reellen Parameter s sei die Matrix A s := 5 3 R s gegeben. Die zugehörige lineare Abbildung sei f s : R 4 R 3, f s (x) = A s x. a) Bestimmen Sie alle Parameter s R, für welche die lineare Abbildung f s surjektiv ist, und berechnen Sie für diese s den Kern von f s. b) Nun sei s = gewählt. Bestimmen Sie eine Basis v, v des Kerns und eine Basis w, w des Bildraums von f. 5.6 (Herbst, Thema, Aufgabe 5) Es sei F : R 4 R 4 die lineare Abbildung mit der Matrix B =. a) Bestimmen Sie eine Basis für den Kern von F. b) Zeigen Sie, dass B den Eigenwert besitzt und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenraum. c) Entscheiden Sie, ob B diagonalisierbar ist, und begründen Sie Ihre Antwort.

3 5.7 (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe ) In Abhängigkeit von einem reellen Parameter t seien die Matrix 3 A(t) = t t 4 + t 4t 4 t 8t und der Vektor b(t) = t 9 + t gegeben. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t den Rang der Matrix A(t). b) Geben Sie eine Basis an für den Kern der linearen Abbildung R 4 R 4, x A() x. 3 t c) Für welche Werte von t ist das inhomogene lineare Gleichungssystem lösbar? 5.8 (Herbst 4, Thema, Aufgabe ) A(t) x = b(t) a) Für den Endomorphismus l A : R 4 R 4, l A (x) = A x, mit der Matrix 4 3 A = R4 4 3 zeige man Kern(l A ) = Bild(l A ). b) Man bestimme Matrizen B R 4 4 und C R 4 4, so dass die dadurch gegebenen Endomorphismen l B : R 4 R 4, l B (x) = B x, und l C : R 4 R 4, l C (x) = C x, die Eigenschaften besitzen. Kern(l B ) Bild(l B ) R 4 und Bild(l C ) Kern(l C ) R (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 3) Sei π die lineare Abbildung Zeigen Sie: π : R 3 R 3, a) Für alle v R 3 ist π(π(v)) = π(v). b) Kern(π) Bild(π) = {}. c) R 3 = Kern(π) + Bild(π). x x y z y z x z x y.

4 5. (Herbst 4, Thema, Aufgabe 3) a) Zeigen Sie, dass die Matrix S = invertierbar ist, und bestimmen Sie S. b) Im R 3 seien die Vektoren a =, a =, a 3 = gegeben. Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 gibt mit f(a ) = a, f(a ) = a 3 f(a 3 ) = a, und bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Standardbasis des R (Frühjahr, Thema, Aufgabe 3) a) Bestimmen Sie die Inverse der Matrix M =. b) Im R 3 seien die Vektoren f =, f =, f 3 =, g =, g =, g 3 = gegeben. Bestimmen Sie eine Matrix N mit N f i = g i für i =,, (Herbst, Thema, Aufgabe ) a) Gibt es jeweils eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit den angegebenen drei Vorgaben? Begründen Sie Ihre Antwort. (e, e, e 3 bezeichnen die Standardbasisvektoren in R 3.) (i) f(e ) = (, 3, ), f(e ) = (,, 3), f(e 3 ) = (4, 4, 4). (ii) f((,, 3)) = e, f((, 3, )) = e, f(( 3,, 3)) = (,, ). b) Bestimmen die Vorgaben g((,, 3, 4)) = (,, 3, 4) g((,, 5, 3)) = (4, 3,, ) g((, 4, 6, 4)) = (,,, ) g((, 4, 4, )) = (,,, ) eine eindeutige lineare Abbildung g : R 4 R 4?

5 5.3 (Frühjahr 9, Thema 3, Aufgabe ) Im reellen Vektorraum R 3 seien die Vektoren v =, v =, t v 3 = t und w =, w =, w 3 = gegeben; dabei ist t ein reeller Parameter. a) Bestimmen Sie alle Parameter t R, für die v, v, v 3 linear unabhängig sind, und stellen Sie in den anderen Fällen den Nullvektor jeweils als nichttriviale Linearkombination dieser Vektoren dar. b) Bestimmen Sie alle Parameter t R, für die es eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit f(v ) = w, f(v ) = w und f(v 3 ) = w 3 gibt. Entscheiden Sie mit Begründung, in welchen Fällen f dadurch eindeutig bestimmt ist. 5.4 (Herbst 6, Thema, Aufgabe ) Gegeben seien die Vektoren v, v, v 3 R 3 und w, w, w 3 R 4 durch v =, v =, v 3 = c, c Dabei ist c ein reeller Parameter. w =, w =, w 3 =. 3 a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c die Dimension des von v, v, v 3 aufgespannten Unterraums im R 3. b) Untersuchen Sie, für welche Werte von c es (i) keine, (ii) genau eine, (iii) mehr als eine lineare Abbildung f : R 3 R 4 gibt mit f(v i ) = w i für i =,, 3. c) Nun sei c = und f : R 3 R 4 die lineare Abbildung mit f(v i ) = w i für i =,, 3. Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von f. Untersuchen Sie, ob f injektiv bzw. surjektiv ist.

6 5.5 (Herbst 3, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle α R, für die es eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit f(a i ) = b i für i =,, 3, 4 gibt, wobei a =, a =, a 3 = 3, a 4 =, b =, b =, b 3 =, α b 4 = (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 3) Im R 3 bzw. R seien die Vektoren 3 b =, b =, b 3 =, bzw. c = gegeben. ( ), c = ( ) 3 a) Zeigen Sie, dass b, b, b 3 eine Basis des R 3 und c, c eine Basis des R ist. b) Bezüglich der kanonischen Basen des R 3 und R sei die lineare Abbildung f P : R 3 R durch die Matrix ( ) P = R,3 gegeben. Bestimmen Sie die darstellende Matrix P für f P Basen aus a). 5.7 (Herbst, Thema 3, Aufgabe ) Sei A = 3 3 die Matrix der Abbildung f : R R 3 bzgl. der folgenden Basen (( ) ( ) ( ) ( )) B =,,,, B =,,. a) Stellen Sie ( ) a b M = c d als Linearkombination der Basiselemente aus B dar. bezüglich der b) Bestimmen Sie den Bildvektor f(m) der Matrix M bezüglich der Standardbasis des R 3. c) Ist f surjektiv? (mit Begründung)

7 5.8 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Für die reelle 3 4 Matrix 5 A = 3 R betrachte man die zugehörige lineare Abbildung f : R 4 R 3, f(x) = A x; es seien U = Kern(f) der Kern von f sowie W = Bild(f) der Bildraum von f. a) Man zeige, dass sowohl U als auch W die Dimension besitzt, und bestimme eine Basis von U sowie eine Basis von W. b) Man ermittle eine Basis von R 4 und eine Basis von R 3, so dass f bezüglich dieser Basen die darstellende Matrix M = R 3 4 besitzt. 5.9 (Frühjahr 3, Thema 3, Aufgabe ) Man betrachte den von den vier Vektoren 5 5 v =, v =, w = 3, w = 4 R 3 3 aufgespannten Untervektorraum V = v, v, w, w im R 3. a) Man zeige, dass v, v eine Basis von V ist, und stelle w und w als Linearkombinationen von v, v dar. b) Man begründe, dass es genau einen Endomorphismus f : V V von V mit f(v ) = w und f(v ) = w gibt, und gebe die darstellende Matrix von f bezüglich der Basis v, v von V an. c) Man zeige, dass f diagonalisierbar ist, und bestimme eine Basis von V aus Eigenvektoren von f. 5. (Herbst 4, Thema 3, Aufgabe 4) Es sei A R n n eine invertierbare Matrix und Zeigen Sie: a) f ist eine lineare Abbildung. f : R n n R n n, X AXA. b) Die Menge U A := { X R n n f(x ) = f(x) } ist ein Untervektorraum von R n n. c) Ist A orthogonal, so ist U A = R n n. d) ist ein Eigenwert von f. e) ist kein Eigenwert von f.

8 5. (Herbst, Thema, Aufgabe 3) Es sei V der Vektorraum der reellen Matrizen. Auf V werde eine Abbildung ( ) ( ) Φ : V V durch A A definiert. a) Zeigen Sie, dass Φ eine lineare Abbildung ist. b) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von Φ. c) Es sei U der Unterraum U := {( ) } a b a, b, c R. c Bestimmen Sie die Dimensionen der Unterräume Φ(U), U Φ(U) und U + Φ(U). 5. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Es sei V der R Vektorraum der reellen Matrizen ( ) x x X = x x 3 x, x, x 3, x 4 R. 4 Weiter sei A = ( ) V 3 und f : V V die Abbildung X f(x) = AX XA. a) Zeigen Sie, dass f linear ist. b) Drücken Sie die Komponenten y, y, y 3, y 4 der Bildmatrix Y = f(x) explizit durch x, x, x 3, x 4 aus. c) Bestimmen Sie eine Basis für den Kern und den Bildraum von f sowie die Dimension dieser Vektorräume. 5.3 (Frühjahr 3, Thema, Aufgabe ) Seien A, B R gegeben. Betrachten Sie die Abbildung f : R R, X AX XB. ( ) x a) Zeigen Sie: Ist x = ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ und ( ) x y y = ein Eigenvektor der transponierten Matrix t B zum Eigenwert µ, y so ist ( x y ) x y x y x y ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ µ. = x ty b) Haben A und B einen gemeinsamen Eigenwert, so gibt es eine Matrix C R \ {} mit AC = CB.

9 5.4 (Frühjahr 5, Thema 3, Aufgabe ) ( ) 3 Sei A =. 4 5 a) Zeigen Sie, dass Φ : R 3 R, X A X eine R lineare Abbildung ist. b) Zeigen Sie, dass Φ surjektiv ist. c) Bestimmen Sie alle X R 3 mit A X = E. 5.5 (Herbst 7, Thema 3, Aufgabe 3) Es bezeichne R den Vektorraum der reellen -Matrizen und ϕ : R R die lineare Abbildung ϕ(a) = A + A, wobei A die zu A transponierte Matrix ist. a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von ϕ bezüglich der Basis ( ) ( ) ( ) ( ),,, R. b) Zeigen Sie, dass ϕ diagonalisierbar ist und bestimmen Sie eine Basis des Vektorraums R aus Eigenvektoren für ϕ. 5.6 (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe ) Im Vektorraum V = R der reellen Matrizen sei die Basis ( ) ( ) ( ) ( ) A =, A =, A 3 =, A 4 = gegeben. a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der linearen Abbildung ( ) F : V V, F (A) = A bezüglich der Basis A, A, A 3, A 4. b) Entscheiden Sie, ob F diagonalisierbar ist. 5.7 (Herbst 8, Thema, Aufgabe 4) Es sei V der R Vektorraum der reellen Matrizen. Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung ( ) F : V V, F (A) = A die Eigenwerte und besitzt und bestimmen Sie Basen der zugehörigen Eigenräume. Ist F diagonalisierbar?

10 5.8 (Frühjahr 3, Thema, Aufgabe ) Es bezeichne V := {f(x) = a 3 X 3 + a X + a X + a R[X] deg(f) 3} den reellen Vektorraum aller reellen Polynome, deren Grad höchstens 3 ist. a) Zeigen Sie, dass bei vorgegebenem c R die Abbildung linear ist. ϕ c : V R, f(x) f(c) b) Bestimmen Sie die Dimension des Untervektorraums U c := {f(x) V f(c) = }. c) Bestimmen Sie die Dimension des Durchschnitts U U und eine Basis davon. 5.9 (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei P der reelle Vektorraum der reellen Polynome vom Grad. Sei ( ) L : P R p(), p. p() p( ) a) Zeigen Sie, dass L eine lineare Abbildung ist. b) Zeigen Sie, dass L surjektiv ist und bestimmen Sie dim(ker(l)) (die Dimension des Kerns ker(l) von L). c) Bestimmen Sie eine Basis von ker(l). d) Bestimmen Sie die L darstellende Matrix bezüglich der Basis (, x, x ) von P und der Standardbasis (( ), ( )) von R. 5.3 (Herbst 3, Thema, Aufgabe ) Für d N bezeichne V d die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten in einer Unbestimmten X und vom Grad d, ferner sei Für jedes d N: a) Zeigen Sie U d+ V d+. b) Zeigen Sie, dass die Abbildung U d+ := {f (X ) f V d }. α d : V d V d+, f f (X ) R linear ist; bestimmen Sie Kern und Bild dieser Abbildung. c) Bestimmen Sie dim(u d+ ). 5.3 (Herbst, Thema, Aufgabe 3) Es bezeichne R[X] den R Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten und V R[X] den Untervektorraum aller Polynome vom Grad höchstens = 3. Weiter sei die lineare Abbildung f : V V definiert durch f : p(x) (p(x + ) + p(x )). a) Bestimmen Sie die zu f gehörende Matrix bezüglich der Basis, X, X, X 3. b) Zeigen Sie: Genau die Polynome p vom Grad sind Eigenvektoren von f.

11 5.3 (Herbst, Thema 3, Aufgabe ) Für n N bezeichne Pol n (R) den R Vektorraum der Polynome p(x) vom Grad(p) n mit reellen Koeffizienten. Betrachtet werde die Abbildung f : Pol 3 (R) Pol (R), p p (X + ) p. Dabei bezeichne p bzw. p die erste bzw. zweite Ableitung des Polynoms p. a) Zeigen Sie, dass f linear ist. b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M von f bezüglich der Standardbasen, X, X, X 3 von Pol 3 (R) und, X, X von Pol (R). c) Berechnen Sie eine Basis von Kern(f) sowie eine Basis von Bild(f) (Frühjahr 9, Thema, Aufgabe ) Betrachtet werde der Vektorraum V = { a + a X + a X a, a, a R } der reellen Polynome vom Grad. Für ein Polynom p V bezeichnet p seine Ableitung. a) Zeigen Sie, dass für jedes feste α R die Abbildung ein Endomorphismus von V ist. ϕ : p Xp + αp b) Bestimmen Sie alle α R, für die ϕ ein Isomorphismus ist (Frühjahr 9, Thema, Aufgabe ) Es sei R [x] der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten, W R [x] der Untervektorraum der Polynome vom Grad 3, und f : W W die lineare Abbildung p(x) p(x + ) p(x). a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Basis, x, x, x 3 von W. b) Entscheiden Sie, ob f injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv ist. c) Bestimmen Sie Ker(f), Bild(f) und die Dimensionen dieser beiden Räume (Herbst 8, Thema, Aufgabe ) Es sei V der R Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad. Für jedes Polynom p(x) hat das Polynom x p(x + ) x p(x) keinen höheren Grad als p(x). Deswegen ist die lineare Abbildung F : V V, p(x) x p(x + ) x p(x), wohldefiniert. a) Bestimmen Sie die Matrix von F bezüglich der Basis, x, x von V. b) Ist diese Matrix (und damit die Abbildung F ) diagonalisierbar?

12 5.36 (Frühjahr 7, Thema 3, Aufgabe 3) Es sei V ein 4 dimensionaler R Vektorraum mit der Basis v, v, v 3, v 4. Weiter sei ϕ : V V die lineare Abbildung mit ϕ(v ) = v, ϕ(v ) = v 3, ϕ(v 3 ) = v 4, ϕ(v 4 ) = v. Berechnen Sie Basen für die Eigenräume von ϕ in V und entscheiden Sie, ob ϕ reell diagonalisierbar ist (Frühjahr 4, Thema 3, Aufgabe ) Sei f : V V ein Endomorphismus eines reellen Vektorraums V mit der Eigenschaft f f = id V. Ferner seien Man zeige: U = {u V f(u) = u} und W = {w V f(w) = w}. a) Es sind U und W Untervektorräume von V, und für alle v V gilt v+f(v) U und v f(v) W. b) Es ist U + W = V und U W = { V }. c) Ist V vom Nullraum { V } verschieden und endlich erzeugt, so ist der Endomorphismus f : V V diagonalisierbar (Frühjahr 4, Thema, Aufgabe ) Es sei V ein n dimensionaler R Vektorraum, n N, und f : V V eine lineare Abbildung mit dim(ker(f)) = m, so dass a) Zeigen Sie, dass die Einschränkung ein Isomorphismus ist. Bild(f) ker(f) = {}. f Bild(f) : Bild(f) Bild(f) b) Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor v V eindeutig als Summe v = v + v mit v ker(f) und v Bild(f) schreiben lässt. c) Zeigen Sie, dass es eine Basis von V gibt, bezüglich der die lineare Abbildung durch eine Blockmatrix der Gestalt ( ) B mit einer invertierbaren Matrix B R k k für k = n m gegeben ist (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Es sei A eine orthogonale n n Matrix. Zeigen Sie: a) Jeder Eigenvektor von A zum Eigenwert ist auch Eigenvektor der transponierten Matrix A zum gleichen Eigenwert. b) Der Eigenraum von A zum Eigenwert ist orthogonal zum Bildraum der linearen Abbildung R n R n, x (A E n ) x.

13 5.4 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Sei R n n die Menge aller reellen n n Matrizen und sei M R n n eine Matrix mit der Eigenschaft M M = M. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: a) Die Matrix M := (E n M) R n n (wobei E n R n n die Einheitsmatrix sei) erfüllt die Gleichung M M = M. b) Bild(M) = Kern(M ) und Bild(M ) = Kern(M) (wobei wir eine Matrix in R n n mit der zugeordneten linearen Abbildung R n R n identifizieren). c) R n = Bild(M) Kern(M). 5.4 (Frühjahr, Thema, Aufgabe 3) Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und ϕ : V V linear. Zeigen Sie: a) Ist Kern(ϕ) Bild(ϕ) = {}, so ist V = Kern(ϕ) Bild(ϕ). b) Ist ϕ ϕ = ϕ, so ist Bild(ϕ) die Menge der Fixpunkte von ϕ, und es gilt V = Kern(ϕ) Bild(ϕ). 5.4 (Frühjahr 3, Thema, Aufgabe 4) Sei A R n n eine reelle n n Matrix. Zeigen Sie: a) Es gilt ker(a) ker(a ). b) Genau dann gilt sogar ker(a) = ker(a ), wenn Bild(A) ker(a) = {} (Herbst 3, Thema, Aufgabe 4) Es seien V und W endlichdimensionale R Vektorräume und f : V W eine lineare Abbildung. Entscheiden Sie (mit Begründung), welche der folgenden sechs Eigenschaften von f zueinander äquivalent sind: (i) f ist injektiv (iv) dim Bild(f) = dim W (ii) f ist surjektiv (v) dim Kern(f) = (iii) dim Bild(f) = dim V (vi) dim Kern(f) = dim V dim W 5.44 (Herbst 3, Thema, Aufgabe ) Es seien ϕ : W U und ψ : V W lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen R Vektorräumen. a) Zeigen Sie, dass ϕ ψ : V U eine lineare Abbildung ist. b) Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: i) Wenn ϕ ψ injektiv ist, dann ist ψ injektiv. ii) Wenn ϕ ψ injektiv ist, dann ist ϕ injektiv. iii) Wenn ϕ ψ surjektiv ist, dann ist ψ surjektiv. iv) Wenn ϕ ψ surjektiv ist, dann ist ϕ surjektiv.

14 5.45 (Herbst 3, Thema, Aufgabe 3) Es sei V ein R Vektorraum und v, v eine Basis von V. Weiter seien a, b R und ϕ : V V eine lineare Abbildung, die durch gegeben ist. ϕ(v ) = a v + b v ϕ(v ) = b v + a v a) Es sei id V : V V, v v, die identische Abbildung. Zeigen Sie, dass die Abbildungen id V, ϕ, ϕ im Vektorraum der R linearen Abbildungen von V nach V linear abhängig über R sind. b) Zeigen Sie: ϕ ist invertierbar a + b. c) Stellen Sie im Fall von a + b = die Vektoren ϕ (v ) und ϕ (v ) durch v und v dar (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: a) Es gibt unendlich viele lineare Abbildungen f : R R mit f() =. b) Drei Vektoren v, v, v 3 in R 3 seien paarweise linear unabhängig. Dann sind auch die Vektoren v, v, v 3 linear unabhängig. c) Es gibt eine injektive R lineare Abbildung f : R 3 R.