Signale und Systeme I

Transkript

1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme I Modulklausur WS 017/018 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Name: Matrikelnummer: Erklärung der Kandidatin/des Kandidaten vor Beginn der Prüfung Hiermit bestätige ich, dass ich zur Prüfung angemeldet und zugelassen bin und dass ich prüfungsfähig bin. Ich nehme zur Kenntnis, dass der Termin für die Klausureinsicht vom Prüfungsamt ET&IT bekannt gegeben wird, sobald mein vorläufiges Prüfungsergebnis im QIS-Portal veröffentlicht wurde. Nach dem Einsichtnahmetermin kann ich meine endgültige Note im QIS-Portal abfragen. Bis zum Ende der Widerspruchsfrist des zweiten Prüfungszeitraums der CAU kann ich beim Prüfungsausschuss Widerspruch gegen dieses Prüfungsverfahren einlegen. Danach wird meine Note rechtskräftig. Korrektur Unterschrift: Aufgabe 1 Punkte /40 /0 /0 Summe der Punkte: /100 Einsicht/Rückgabe Hiermit bestätige ich, dass ich die Korrektur der Klausur eingesehen habe und mit der auf diesem Deckblatt vermerkten Bewertung einverstanden bin. Die Klausurunterlagen verbleiben bei mir. Ein späterer Einspruch gegen die Korrektur und Benotung ist nicht mehr möglich. Kiel, den Unterschrift: Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme I

2 Signale und Systeme I Modulklausur WS 017/018 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 9:00 h 10:0 h 90 Minuten) Ort: OHP5, Chemie II Hinweise Schreiben Sie auf jedes abzugebende Blatt deutlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Legen Sie Ihren Studentenausweis und Personalausweis zur Überprüfung bereit. Die Aufgaben dürfen erst bearbeitet werden, wenn alle Teilnehmer die Aufgabenstellungen erhalten haben. Während der Klausur werden nur Fragen zur Aufgabenstellung beantwortet. Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe einen neuen mit Namen und Matrikelnummer versehenen Papierbogen. Zusätzliches Papier erhalten Sie auf Anfrage. Lösungswege müssen zur Vergabe der vollen Punktzahl immer nachvollziehbar und mit Begründung versehen sein. Sind Funktionen zu skizzieren, müssen grundsätzlich alle Achsen beschriftet werden. Verwenden Sie zum Schreiben weder Bleistift noch Rotstift. Beachten Sie, dass die Punkteverteilung in den Teilaufgaben nur vorläufig ist! Fünf Minuten und eine Minute vor Klausurende werden Ankündigungen gemacht. Wird das Ende der Bearbeitungszeit angesagt, darf nicht mehr geschrieben werden. Legen Sie am Ende der Klausur alle Lösungsbögen ineinander so, wie sie ausgeteilt wurden) und geben Sie auch die Aufgabenblätter mit ab. Bevor alle Klausuren eingesammelt sind, darf weder der Sitzplatz verlassen noch geredet werden. Alle Hilfsmittel außer die Kommunikation mit anderen Personen sind erlaubt. Mobiltelefone sind auszuschalten. Laptops, Tablets und ähnliche Geräte sind nicht erlaubt, da sie als Kommunikationsmittel tauglich sind. Die Aufgaben und eine Lösung werden auf der Homepage der Vorlesung veröffentlicht. Dort werden ebenso Termin und Ort der Klausureinsicht bekanntgegeben. Signale und Systeme I II

3 Aufgabe 1 40 Punkte) Aufgabe 1 40 Punkte) Gegeben sei das folgende Signal: vt) sinω 0 t) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. a) Skizzieren Sie das Signal im Bereich t [0, ] mit π ω 0. Beschriften Sie alle 5 P) Achsen vt) t/ b) Geben Sie die Periode von vt) an. P) T c) Berechnen Sie die komplexen Koeffizienten c µ der Fourier-Reihe des Signals vt). 15 P) ) π vt) sin t Signale und Systeme I 1

4 Aufgabe 1 40 Punkte) c µ T0 0 Bronstein 459 ) 4π π sin t e jµ e jµ4π t [ T 0 jµ 4π ) ) π + e jµπ π 4π T 0 [ + π µ 16π T 0 π1 4µ ) vt) µ t dt jµ 4π sin π) π cos π) π1 4µ ) e jµω 0t 0 ) π sin t e jµ4π t dt jµ 4π ) π sin t π π cos t ] jµ 4π ) + [ π ) ] jµ 4π sin 0) π cos 0) ) 0 ] d) Geben Sie das Spektrum V jω) an und skizzieren Sie es für ω [ 6ω 0, 6ω 0 ]. Be- 8 P) schriften Sie alle Achsen. F{vt)} F µ µ π1 4µ ) e jµω 0t 4 1 4µ ) δ 0ω µω 0 ) 4 V jω) 1 ω/ω Signale und Systeme I

5 Aufgabe 1 40 Punkte) Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 gelöst werden. Das Signal werde nun mit der Abtastperiode T A α abgetastet, so dass das diskrete Signal v A n) entsteht. e) Geben Sie das Signal v A n) an. P) v A n) sin πn T ) A f) Überprüfen Sie v A n) für folgende Fälle auf Periodizität und bestimmen Sie die 4 P) Periodendauer, falls möglich. i) α 8 v A n) sin πn T A T0 )! sin K min{lα lα Z lα > 0} K 4 ii) α π nicht periodisch ) πn T A T0 + lαt A g) Für welche Werte von α lässt sich das zugrundeliegende Signal vt) wieder aus dem P) abgetasteten Signal v A n) rekonstruieren. Abtasttheorem muss eingehalten sein. Periode : T also muss gelten : T A < T α < α > 4 Signale und Systeme I

6 Aufgabe 0 Punkte) Aufgabe 0 Punkte) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Gegeben seien die diskreten Fourier-Transformierten der Folgen v 1 n) und v n): 5, µ 0 4, µ 0 + j, µ 1 1 j, µ 1 V 1,4 µ), V,4 µ). 1, µ, µ j, µ 1 + j, µ a) Skizzieren Sie den Betrag der diskreten Folgen V 1,4 µ) und V,4 µ) mit allen Achsen- 4 P) beschriftungen für µ { 4,,...,, }. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. 6 V 1,4 µ) µ V,4 µ) µ b) Aus der Vorlesung Signale und Systeme I ist Ihnen bekannt, dass die diskrete Fourier- 8 P) Transformation V M µ) einer Folge vn) M-periodisch ist. Beweisen Sie diese Eigenschaft durch eine Rechnung, ohne die Zahlen für M und vn) einzusetzen. V M µ + λm) V M µ). V M µ + λm) M 1 n0 M 1 n0 M 1 n0 M 1 n0 vn) e jµ+λm) π M n vn) e jµ π M n e jλm π M n vn) e jµ π M n e jλπn vn) e jµ π M n V M µ). Signale und Systeme I 4

7 Aufgabe 0 Punkte) c) Bestimmen Sie die diskrete Fourier-Transformation V z,m µ) der zyklischen Faltung P) v z n) v 1 n) v n) für M 4 und µ {0, 1,..., }. 0, µ 0 j, µ 1 V z,m µ), µ + j, µ Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 gelöst werden. Gegeben sei die Impulsantwort h 0 n): h 0 n) a n [γ 1 n) γ 1 n N)] eines zeitdiskreten Systems mit {a R\0 a < 1} und N N. a) Berechnen Sie die zeitdiskrete Fourier-Transformation He jω ) der Folge h 0 n). 6 P) He jω ) n N 1 h 0 n)e jωn a n e jωn n0 N 1 ae jω) n n0 1 ae jω) N a 1 1 ae jω b) Berechnen Sie das Betragsquadrat der Übertragungsfunktion He jω ) für die Pa- 8 P) rameter a 1 und N. Vereinfachen Sie das Ergebnis soweit, dass im Zähler und Nenner Kosinus- bzw. Sinus-Terme stehen. He jω ) 1 1 e jω) 1 1 e jω 1 1 e jω) 1 1 e jω) 1 1 e jω 1 1 e jω ) 1 1 e jω 1 1 e+jω) 1 1 e jω 1 1 e+jω ejω e jω 1 1 ejω e jω Signale und Systeme I 5

8 Aufgabe 0 Punkte) cosω) 10 9 cosω) c) Welche Art von Filter produziert diese Impulsantwort? Begründen Sie Ihre Antwort! P) Es handelt sich um ein Tiefpassfilter. Signale und Systeme I 6

9 Aufgabe 0 Punkte) Aufgabe 0 Punkte) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Gegeben sei folgende Übertragungsfunktion: H d z) z z + 1 z + z + 1 a) Zeichnen Sie das Pol-/Nullstellendiagramm. 4 P) Berechnung der Nullstellen: Berechnung der Polstellen: z z z 1) 0 z 0,0/1 1 z + z z + 1 ) 4 z,0/1 1 ± j Daraus ergibt sich das folgende Pol-/Nullstellen-Diagramm: z,0 1 Im{z} 0, 5 1 0, 5 0, 5 1 z 0,0/1 Re{z} 0, 5 z,1 z,0 1 Abbildung 1: Pol-Nullstellen-Diagramm Signale und Systeme I 7

10 Aufgabe 0 Punkte) b) Um welche Art Filter handelt es sich bei dem angegebenen System: - Hochpass/Bandpass - Tiefpass/Bandsperre - Hilbertfilter - Allpass Wählen Sie aus den vier Möglichkeiten aus und begründen Sie Ihre Antwort! P) Es handelt sich um einen Hochpass bzw. einen Bandpass, da die niedrigen Frequenzen durch die doppelte Nullstelle bei z 0,0/1 1 unterdrückt werden und die hohen Frequenzen durch die beiden Polstellen bei z,0/1 1 ± j verstärkt werden. Die beiden Polstellen auf dem Einheitskreis deuten direkt auf einen Bandpass hin. c) Ist das angegebene System stabil? Begründen Sie Ihre Antwort! P) Das angegebene System ist grenzstabil, da die Polstellen auf dem Einheitskreis liegen, d.h. der Betrag der Polstellen z,0/1 1 beträgt. d) Bestimmen Sie die Impulsantwort h d n) des Systems. 6 P) Partialbruchzerlegung: H d z) z z + 1 z + z + 1 H d z) z Beispiel für einen Koeffizienten: A z 0 lim Rest: B j, C j Damit ergibt sich für H d z) und h d n) A z + B z 1 + j) + C z 1 j) [ Hz) z ] z 1 H d z) 1 + z j z 1 + j) z j z 1 j) h d n) γ 0 + j 1 + j ) n γ 1n) j 1 ) n j γ 1n) e) Geben Sie die Differenzengleichung an, die den Zusammenhang zwischen Eingang vn) und Ausgang yn) des Systems beschreibt. P) H d z) z z + 1 z + z + 1 Y z) V z) z + z + 1)Y z) z z + 1)V z) 1 + z 1 + z )Y z) 1 z 1 + z )V z) yn) + yn 1) + yn ) vn) vn 1) + vn ) Signale und Systeme I 8

11 Aufgabe 0 Punkte) f) Ist das angegebene System rekursiv? Begründen Sie Ihre Antwort. P) Ja, es ist rekursiv, da das Ausgangssignal von den vorherigen Ausgangswerten abhängt. Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 gelöst werden. Gegeben sei folgende Impulsantwort: [ ] h 0 t) e α it δ 1 t) i0 g) Für welche α i, i {0,..., } ist das angegebene System stabil? Begründen Sie Ihre Antwort! { } P) Das angegebene System ist stabil für min Re{α i } > 0. i Im Folgenden sei α 0, α j und α 1 j h) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion H 0 s) L{h 0 t)}. Vereinfachen Sie so weit wie möglich! 5 P) h 0 t) [e t + e 1+j)t + e 1 j)t ] δ 1 t) H 0 s) 1 s s j) + 1 s + 1 j) s j))s + 1 j)) + s + )s j)) + s + )s + 1 j)) s + )s j))s + 1 j)) s + 10s + 8 s + 5s + 8s + 6 s + 10 s + 8 s + 5s + 8s + 6 i) Ist das angegebene System minimalphasig? Begründen Sie Ihre Antwort! P) Berechnung der Nullstellen: s + 10 s s + 5 ) 1 9 s + 5 ±1 Signale und Systeme I 9

12 Aufgabe 0 Punkte) s 0,0 s 0,1 4 Das angegebene System ist minimalphasig, da sich die Nullstellen in der "linken" s-ebene befinden, d.h. Re{s 0,k } < 0, k {0, 1}. j) Ist das angegebene System reellwertig? Begründen Sie Ihre Antwort! P) Das angegebene System ist reellwertig, da die Pol- und Nullstellen reellwertig sind bzw. in konjugiert komplexen Paaren vorliegen. Alternativ lässt sich die Impulsantwort zusammenfassen zu: h 0 t) [e t + e 1+j)t + e 1 j)t ] [e t + e t e jt + e t e jt ] [ [ δ 1 t) δ 1 t) e t + e t e jt + e jt)] δ 1 t) e t + e t cost) ] δ 1 t) D.h. die Impulsantwort und somit das angegebene System sind reellwertig. Signale und Systeme I 10