Kapitel VII: Der Körper der komplexen Zahlen

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1 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle 3 Der Körper der komplexe Zahle A Die Mege der komplexe Zahle B Grudrechearte im Bereich der komplexe Zahle C Realteil Imagiärteil komplexe Kojugatio ud Betrag D Komplexe Expoetialfuktio Expoetialdarstellug komplexer Zahle E Polyome mit reelle oder komplexe Koeffiiete 45

2 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle A Die Mege der komplexe Zahle Mege der komplexe Zahle DEFINITION 31 (Mege der komplexe Zahle) = = {( x y) x y } B Grudrechearte im Bereich der komplexe Zahle Additio komplexer Zahle DEFINITION 3 (Additio komplexer Zahle) + ( a b) + ( c d) = ( a+ c b+ d) Multiplikatio komplexer Zaghle DEFINITION 33 (Multiplikatio komplexer Zahle) ( a b) ( c d) = ( a c b d a d + b c) Körper der komplexe Zahle SATZ 34 (Grudgesete Grudrecheoperatioe) Die Mege der komplexe Zahle (mit de Recheoperatioe + ud ) ist ei Körper; dh es gelte folgede Recheregel (K1) x y ( x + y) + = x+ ( y + ) (Assoiativgeset) (K) 0 % 0 ~ + = (Existe eies eutr Elemets) (K3) ( ) ( ) + = ~ 0 (Jedes Elemet hat ei Iverses) (K4) x y x + y = y + x (Kommutativgeset) (K1') x y ( x y) = x ( y ) (Assoiativgeset) (K') 1 ~ 1 = (Existe eies Eiselemets) 1 (K3') \ {0} % 1 = ~ 1 (Jed Elemet 0 hat ei Iverses) (K4') x y x y = y x (Kommutativgeset) (K'') x y ( x+ y) = x + y (Distributivgeset) 46

3 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle LEMMA 35 a) Die Teilmege {0} = {( a0) a } vo = ist eie "Kopie" der Mege der reelle Zahle die sich hisichtlich der Grudrecheoperatioe ebeso verhält wie selbst; dh a c ( a0) + ( c0) = ( a+ c0) a c ( a0) ( c0) = ( a c0) b) Das eutrale Elemet beüglich der Multiplikatio (Eiselemet) i ist 1 % = (10) c) (01) = (01) (01) = (10) = 1 % d) a b ( a b) = ( a0) + ( b0) (01) Kovetioe (i) a ( a0) = a (ii) i = (01) [also ist i = 1 wege Lemma 35 c) ud (i)] (iii) a b ( a b) = ( a0) + ( b0) (01) = a+ b i Merkregel (Multiplikatio komplexer Zahle) Zur Produktbildug = u v = ( a+ bi) ( c+ di) multipliiere ma (etspreched de im Körper geltede Recheregel) aus beachte dabei die Beiehug i = 1 ud brige das Ergebis schließlich i die Form =ξ+ηi ( ξη ) C Realteil Imagiärteil komplexe Kojugatio ud Betrag Realteil Imagiärteil DEFINITION 36 (Realteil ud Imagiärteil) Re Re( ) = a Im Im() = b ( = a+ bi) imagiäre Zahle Bemerkug Komplexe Zahle dere Realteil gleich 0 ist ud die somit eie Darstellugsform = bi ( b ) habe et ma auch imagiäre Zahle komplexe Kojugatio DEFINITION 37 (Komplexe Kojugatio) = a bi ( = a+ bi) Betrag komplexer Zahle DEFINITION 38 (Betrag) = (Re( )) + (Im( )) = a + b ( = a+ bi) 47

4 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle Illustratio u Real- ud Imagiärteil komplexer Kojugatio Betrag Realteil Imagiärteil komplexe Kojugatio Betrag imagiäre Achse Im( ) i Im( ) i Re( ) = Re( ) + Im( ) i reelle Achse = Re( ) Im( ) i Recheregel Realteil Imagiärteil SATZ 39 (Recheregel Realteil ud Imagiärteil) (i) = Re( ) + Im( )i (ii) u v Re( u + v) = Re( u) + Re( v) ; σ Re( σ ) =σ Re( ) (iii) u v Im( u + v) = Im( u) + Im( v) ; σ Im( σ ) =σ Im( ) Recheregel komplexe Kojugatio SATZ 310 (Recheregel komplexe Kojugatio) (i) (ii) u v u v = u + v = u+ v u v = u v u v uv = uv u v \ {0} u / v = u / v (iii) = (Re( )) + (Im( )) = 1 (iv) Re( ) = ( + ) (v) = ist reell 1 Im( ) = ( ) i = ist rei imagiär 48

5 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle Recheregel Betrag SATZ 311 (Recheregel Betrag) (i) (B1) = 0 = 0 (B) u v u v = u v u u (B') u v \ {0} = v v (B3) u v u+ v u + v (ii) = = = Divisio komplexer Zahle Merkregel (Divisio komplexer Zahle) (i) Für die Bildug vo Quotiete mit reellem Neer gilt offesichtlich u ( a+ bi) a b = = = + i ( a b s s 0) s s s s (ii) Zur Bildug des Quotiete u a+ bi = = ( a b c d ) v c+ d i erweitere ma (im Falle d 0) de Bruch mit der um Neer kojugiert komplexe Zahl v ud beachte dass v v = c + d reell ist u a+ bi ( a+ b ) ( c d i) ac+ bd bc ad = = = = + i v c+ d i ( c+ d i) ( c+ d i) c + d c + d u uv uv Re( uv ) Im( uv ) = = = = + i v v v v v v D Komplexe Expoetialfuktio Expoetialdarstellug komplexer Zahle DEFINITION 31 (Komplexe Expoetialfuktio) 1 k exp exp( ) = e = ( ) k= 0 k! komplexe Expetialfuktio Recheregel für die komplexe Expetialfuktio SATZ 313 (Recheregel für die komplexe Expoetialfuktio) (i) u+ v u v e = e e ( u v ) u (ii) e v = u v e / e ( u v ) u m u m (iii) e = (e ) ( u m ) 49

6 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle SATZ 314 (i) ϕ i ϕ e = cos ϕ+ i si ϕ (ii) ϕ e i ϕ ϕ i = e (iii) ϕ i ϕ e = 1 (iv) i ϕ = e 1 mit ϕ ϕ { k π k } (v) m ϕ e i ϕ i ( ϕ+ m π) = e Expoetialdarstellug komplexer Zahle SATZ 315 (Expoetialdarstellug komplexer Zahle) Dabei gilt i r r e ϕ \ {0}!( ϕ) ] 0 [ ] π π ] = r = ta( ϕ ) = Im( )/Re( ) (falls Re( ) 0 ) Im( ) arcta Re( ) ϕ= falls Re( ) > 0 Im( ) arcta Re( ) (1 ud 4 Quadrat) ϕ= +π falls Re( ) < 0 Im( ) 0 ( Quadrat) Im( ) arcta Re( ) ϕ= π falls Re( ) < 0 Im( ) < 0 (3 Quadrat) ϕ= sig(im( )) falls Re( ) = 0 ( imagiär) Illustratioe Zu Sat 314 Zu Sat 315 = r e i ϕ i u = cosϕ i ϕ u = e ϕ 1 ϕ 1 + i siϕ r ϕ ϕ i u = e i 50

7 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle Multiplikatio ud Divisio für Operade i Expoetialdarstellug Geometrische Iterpretatio der komplexe Multiplikatio Bemerkuge (Geometrische Iterpretatio der komplexe Multiplikatio) (i) Für die Produktbildug bw die Divisio komplexer Zahle i Expoetialdarstellug gilt i i i ( ) 1 r1 ϕ r ϕ r1 r ϕ +ϕ = = ( e 1) ( e ) = e 1 e i ϕ 1 1 r1 r1 i ( ϕ1 ϕ ) = = = e i ϕ r e r Dh die Beträge werde multipliiert bw dividiert ud die Argumete werde addiert bw subtrahiert ist eie Drehug des "Zeigers" mit dem Drehwikel α i α (ii) Es sei u = e ( α ) eie gegebee komplexe Zahl vom Betrag 1 Die geometrische Bedeutug der Abbildug f mit i α a f ( ) = u = e ist eie Drehug des "Zeigers" mit dem Drehwikel α i α (iii) Es sei w = r e ( α r > 0) eie gegebee komplexe Zahl Die geometrische Bedeutug der Abbildug g mit i α a g( ) = w = r e ist eie Drehstreckug des "Zeigers" mit dem Drehwikel α ud dem Streckugsfaktor r Illustratio u (ii) ud (ii) imagiäre Achse i α g( ) = w = r e f ( ) = u = e Z i α α reelle Achse a f ( ) Drehug a g( ) Drehstreckug 51

8 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle SATZ 316 (Eiheitswurel) Für jede atürliche Zahl hat die Gleichug u = 1 im Körper geau verschiedee Lösuge Diese sid π π π π i i i 3 i ( 1) ε = 1 ε = e ε = e ε = e K ε = e o (Jede dieser Lösuge heißt -te Eiheitswurel) Eiheitswurel geometrische Iterpretatio der -te Eiheitswurel primitive -te Eiheitswurel Bemerkuge (Geometrische Iterpretatio der -te Eiheitswurel) (i) Es sei fest Veraschaulicht ma sich alle -te Eiheitswurel als Pukte i der komplexe Ebee so liege diese auf dem Eiheitskreis ud i de Eckpukte eies regelmäßige -Ecks desse Zetrum der Nullpukt ist ud das eie Ecke im "Pukt" 1 hat (ii) Es sei fest Die Mege E = { εo ε1 ε K ε 1} der -te Eiheitswurel bildet mit der übliche Multiplikatio eie (yklische) Gruppe [um Gruppebegriff siehe 16] Produkte ud auch (multiplikative) Iverse vo -te Eiheitswurel sid wieder -te Eiheitswurel (iii) Es sei fest Eie -te Eiheitswurel ε primitiv heißt primitive -te Eiheitswurel we jede adere -te Eiheitswurel eie Pote vo ε primitiv ist (I der Notatio vo Sat 316 gilt etwa i 1 e π ε o =ε1 ε 1=ε1 ε =ε1 K ε 1=ε1 ; ε = ist also eie primitive -te Eiheitswurel) Allgemei sid die primitive - te Eiheitswurel geau die Zahle Die wölfte Eiheitswurel sid π i k 1 ε =ε mit 1 k < ud ggt( k ) = 1 k ε = e ( k = 01 K 11) Die primitive 1-te Eiheitswurel sid ε 1 ε 5 ε 7 ud ε 11 k 1 k imagiäre Achse ε 4 ε ε 5 ε 1 i α 1 1 o ( α = π /1 30 ) 1 1 reelle Achse ε 7 ε 11 ε 8 ε 10 i 5

9 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle Wureliehe (Radiiere) SATZ 317 ("Wureliehe") Es sei w \ {0} ud Die Gleichug = w hat im Körper geau verschiedee Lösuge Eie dieser Lösuge ist i arg( w ) ˆ = w e Alle Lösuge erhält ma idem ma die obige "Grudlösug" mit de -te Eiheitswurel (siehe Sat 316) multipliiert Die Lösuge sid also = ˆ = ˆ ε = ˆ ε K = ˆ ε o geometrische Iterpretatio der Lösuge vo = w Bemerkug (Geometrische Iterpretatio der Lösuge vo = w ) Es sei fest Veraschaulicht ma sich alle Lösuge vo = w als Pukte i der komplexe Ebee so liege diese auf eiem Ursprugskreis vom Radius w ud i de Eckpukte desjeige regelmäßige -Ecks desse Zetrum der Nullpukt ist ud das eie Ecke im "Pukt" i arg( w ) ˆ = w e hat Lösuge vo 3 = w w imagiäre Achse w 3 w 3 0 = ˆ = w e arg( w) i 3 = ˆ ε 1 1 arg( w ) / 3 reelle Achse = ˆ ε π π i i 0 1 ( ε = 1 ε = e 3 ε = e 3 ) 53

10 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle E Polyome mit reelle oder komplexe Koeffiiete Polyome mit reelle oder komplexe Koeffiiete Grad eies Polyoms DEFINITION 318 (Polyome mit reelle oder komplexe Koeffiiete; Grad eies Polyoms) (i) Polyom mit reelle Koeffiiete 1 1 L 1 0 p( x) = a x + a x + + a x+ a [ x] 0 ( ; a für i = 01 K ) i Polyom mit komplexe Koeffiiete 1 1 M 1 0 p( x) = a x + a x + + a x+ a [ x] 0 ( ; a für i = 01 K ) i (ii) Der Grad eies Polyoms p 0 geschriebe Grad(p) ist die größte effektiv vorkommede Expoet Bemerkuge (Die Polyomrige [ x] ud [ x] ) Die Polyorige [ x] ud [ x] Gradformel (a) Die Mege [ x] aller Polyome mit reelle Koeffiiete (mit der übliche Polyomadditio "+" ud der übliche Polyommultiplikatio " ") ist ei kommutativer Rig mit Eiselemet (s 1 B) Dh es gilt (R1) p q r [ x] ( p+ q) + r = p+ ( q+ r ) (R) 0 [ x] p [ x] 0+ p= p (R3) p [ x] ( p) [ x] ( p) + p= 0 (R4) p q [ x] p+ q = q+ p (R1 ) p q r [ x] ( pq) r = p ( q r ) (R ) 1 [ x] p [ x] 1 p= p 1= p (R4') p q [ x] pq = q p (R1 ) p q r [ x] ( p+ q) r = p r + q r (R ) p q r [ x] p ( q+ r ) = p q+ p r Ebeso bildet die Mege [ x] aller Polyome mit komplexe Koeffiiete (mit de übliche Recheoperatioe "+" ud " ") eie kommutative Rig mit Eiselemet Ma spricht deshalb auch vom Polyomrig [ x] bw vom Polyomrig [ x] (b) Sid p ud q Polyome so gelte die Gradformel Grad( pq) = Grad( p) + Grad( q) Grad( p± q) max{grad( p)grad( q)} 54

11 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle LEMMA 319 Ist p [ x] ei Polyom mit komplexe (oder reelle) Koeffiiete vom Grad ud α eie Nullstelle vo p (dh p( α ) = 0 ) da lässt sich p faktorisiere i der Form p( x) = ( x α) q( x) mit eiem Polyom q [ x] vom Grad 1 Aahl der Nullstelle eies Polyoms KOROLLAR 30 Die Aahl der verschiedee Nullstelle eies icht kostate Polyoms p ka höchstes gleich Grad( p ) sei algebraische Vielfachheit vo Nullstelle DEFINITION 31 (Algebraische Vielfachheit eier Nullstelle) Eie Nullstelle α des Polyoms p [ x] hat die Vielfachheit v ( v ) we sich p faktorisiere läßt i der Form p( x) = ( x α) q( x) mit eiem Polyom q [ x] wobei q( α) 0 ist v Bemerkug Ist p [ x] ei Polyom mit reelle Koeffiiete ud α eie komplexe Nullstelle vo p mit der Vielfachheit v da ist auch die kojugiert komplexe Zahl α eie Nullstelle vo p mit der gleiche Vielfachheit v (Achtug Die Voraussetug p [ x] ist wesetlich; für p [ x] stimmt obiges i a icht) Fudametalsat der Algebra SATZ 3 (Fudametalsat der Algebra) (i) Jedes ichtkostate Polyom p mit komplexe (oder isbesodere auch reelle) Koeffiiete hat midestes eie Nullstelle α (ii) Jedes ichtkostate Polyom p ( p( x) = a x + a x + L + a x+ a ; a 0 ) mit komplexe (oder isbesodere auch reelle) Koeffiiete lässt sich über dem Körper der komplexe Zahle vollstädig i Liearfaktore erlege Dh es gibt komplexe Zahle α1 K αr (alle verschiede) ud Zahle v1 Kvr mit v 1 p( x) = a ( x α ) 1L ( x α ) r r v 55

12 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle Bemerkug Im Bereich der reelle Zahle gilt der Fudametalsat der Algebra i der obe ausgesprochee Form icht (i) Es gibt ichtkostate Polyome p mit reelle Koeffiiete die keie reelle Nullstelle habe (ii) Es gibt ichtkostate Polyome p mit reelle Koeffiiete die sich über dem Körper der reelle Zahle icht vollstädig i Liearfaktore erlege lasse (iii) Allerdigs lasse sich ichtkostate Polyome p mit reelle Koeffiiete i [ x] faktorisiere i eie Kostate (Leitkoeffiiet des Polyoms p) ud icht mehr weiter erlegbare Faktore [irreduible (uerlegbare) Polyome] wobei diese Faktore etweder Liearfaktore vo der Form x α ( α ) oder ormierte Polyome vom Grad vo der Form x + b x+ c ( b c ; c > b / 4) sid 56