mathphys-online Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2014 Mathematik 13 Technik - B II - Lösung

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "mathphys-online Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2014 Mathematik 13 Technik - B II - Lösung"

Anton Egger
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Abiturprüfung Berufliche Oberschule 20 Mathematik Technik - B II - Lösung Aufgabe An einer Beruflichen Oberschule besuchen acht Schülerinnen und zehn Schüler die. Jahrgangsstufe in der Ausbildungsrichtung Technik. Der Mathematiklehrer hat zur ersten Unterrichtsstunde in Stochastik einen ungewöhnlichen Würfel mitgebracht. Dieser hat die Form eines regelmäßigen Tetraeders und trägt auf den Seitenflächen die Zahlen, 2, und. Nach jedem Wurf des Tetraeders gilt die Zahl (Augenzahl) als geworfen, die auf der unten liegenden Fläche steht. Teilaufgabe Für die folgenden Teilaufgaben soll angenommen werden, dass alle Augenzahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten (Laplace-Tetraeder). Teilaufgabe. (5 BE) Der Mathematiklehrer wirft das Tetraeder dreimal. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Es wird mindestens einmal die Augenzahl 2 geworfen, B: Alle geworfenen Augenzahlen sind verschieden, C: Es werden genau zwei gleiche Augenzahlen geworfen. Bernoulli oder Tafelwerk: PA ( ) PX ( ) P( X 0) Zählprinzip: PB ( ) alle verschieden alle gleich PC ( ) P( B) oder: PC ( ) PX ( 2) oder: gleiche Augenzahl beim. u. 2.Wurf andere Augenzahl beim dritten Wurf PC ( ) Darstellung des Baumdiagramms vgl. Anhang Seite 7 Abi 20, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite von 7

2 Teilaufgabe.2 (7 BE) Nun wird das Tetraeder von den Schülerinnen und Schülern der Klasse T 500-mal geworfen. Berechnen Sie, welche Anzahlen von Einsen dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens % auftreten. Zufallsgröße X: Anzahl der Eisen n 500 Bernoulli: PX ( k) Bedingung: PX ( k) 0.0 p k k k k unbekannt Näherung mithilfe der Dichtefunktion φ(x) der Normalverteilung. μ np np ( p) 6.77 φ k μ 0.0 φ k μ 0.0 φ k μ TW: 0.65 Symmetrische Funktion:. k μ. linke Seite:. k μ auflösen k k rechte Seite: k μ. auflösen k k k 6.7 runden: 5 k 6 Bei 500 Würfen erscheinen für die Einsen alle Häufigkeiten von 5 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens %. Teilaufgabe. (8 BE) Ermitteln Sie, wie oft man das Tetraeder mindestens werfen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 0 % mindestens 000-mal die Augenzahl zu erhalten. n unbekannt. μ n n P( X 000) 0. P( X ) 0. P( X ) 0. Φ μ TW μ n n Nebenrechnung: Abi 20, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 2 von 7

3 Substitution: z n z z (.5) z keine Lösung (.5) z Resubstitution: n z 2 aufrunden: n ceil z 2 Es müssen Würfe durchgeführt werden. Teilaufgabe 2 (7 BE) Die Schülerin Verena bringt zu einer Unterrichtstunde in Stochastik ein äußerlich gleichartiges Tetraeder mit. Einige Mitschüler vermuten, dass die Wahrscheinlichkeit die Augenzahl zu werfen nicht 25 % beträt. Um dies zu überprüfen, wird das Tetraeder 500-mal geworfen. Entwickeln Sie einen geeigneten (zweiseitigen) Sigifikanztest zur Überprüfung der Laplace-Eigenschaft des Tetraeders (Nullhypothese p 0.25) und ermitteln Sie den Ablehnungsbereich und den Annahmebereich der Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von 5 %. Testgröße X: Anzahl der Treffer bei n 500 Würfen p 0.25 Nullhypothese H 0 : p 0.25 Nullhypothese H : p 0.25 Testart: Zweiseitiger Signifikanztest Annahmebereich: A { k k 2... k 2 } Ablehnungsbereich: A { 0... k } { k 2 k } PA 0.05 μ np 25 np ( p).682 PX k Φ k μ >, Näherung durch NV möglich TW k auflösen k k abrunden: k 05 Abi 20, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite von 7

4 . Möglichkeit zur Berechnung von k 2 : Abweichung vom Erwartungswert: c μ k Obere Grenze: k 2 μ c A { } A { } { } 2. Möglichkeit zur Berechnung von k 2 : k 2 k 2 PX k Φ k 2 k 2 μ 0.5 μ 0.5 P X k PXk auflösen k 2 2. Lösung zweis. Hypothesentest: k 2 k 2 μ np 25 np ( p).682 P μ c PA ( x μ c) 0.05 P( μ c x μ c) 0.5 Umgebungsformel: 2Φ c Φ c c c c 8.8 aufrunden: c Obere Grenze: g o μ c Untere Grenze: g u μ c 06 A { } A { } { } Abi 20, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite von 7

5 Teilaufgabe Der Schüler Anton und seine Freundin Beate haben zur Silvesterparty drei Schulfreunde mit deren Freundinnen eingeladen. Teilaufgabe. ( BE) Die Gäste treffen sich pünktlich vor dem Haus des Gastgebers und gehen zufällig verteilt nacheinander durch die Tür. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E : Am Anfang und am Ende tritt ein Mädchen ein. Es kommen 6 Personen: Mädchen und Jungen Zählprinzip: PE oder: PE oder: m m PE Nebenrechungen: combin( ) combin( 6 ) 20 oder: PE Nebenrechungen: combin( ) combin( 2 ) 2 combin( 0) combin( ) combin( 6 ) 6 combin( 5 ) 5 Abi 20, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 5 von 7

6 Teilaufgabe.2 ( BE) Als guter Gastgeber reicht Anton eine Pralinenschachtel mit zehn Schokoladepralinen und fünf Marzipanpralinen. Einer der Gäste greift mit verbundenen Augen zufällig in die Schachtel, nimmt fünf Pralinen und erwischt alle fünf Marzipanpralinen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis E 2. Urnenmodell ohne Zurücklegen: N 5 K 5 k 5 n 5 N K K k n k PX ( k) PE N 2 n Nebenrechungen: combin( 5 5) combin( 0 0) combin( 5 5) 00 oder Zählprinzip: PE Teilaufgabe (7 BE) Das Schuljahr ist zu Ende. Zur Abschlussfeier an der Beruflichen Oberschule erhält der Vorsitzende des Fördervereins Die Ehemaligen von einem ungenannten Sponsor als Werbegeschenk für die Absolventen einen Karton mit Billigkugelschreibern, die ausschließlich von den Firmen Atlas ( A) und Salta A stammen. 0 % der Kugelschreiber der Firma Atlas und 5 % der Firma Salta sind fehlerhaft ( F). 60 % aller fehlerhaften Kugelschreiber stammen von der Firma Atlas. Ein Preisträger der Schule entnimmt dem Karton auf gut Glück einen Kugelschreiber. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kugelschreiber von der Firma Atlas stammt. Gegeben: Gesucht: Formel: P A ( F) 0.0 PF ( ) 0.5 P A F ( A) 0.60 PA ( ) x P F ( A) PA F ( ) 0.60 PF ( ) Aus dem Baumdiagramm: x0.0 x0.0 ( x) x 0.0x 0.60[ 0.0x 0.5( x) ] 0.60[ 0.0x 0.5( x) ] 0.0x x x x 0.0 x Die Kugelschreiber stammen mit einer Wahrscheinlichkeit von von der Firma Atlas. Abi 20, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 6 von 7

7 Anhang zu Aufgabe. Abi 20, Mathematik Technik. Klasse, B II - Lösung Seite 7 von 7

Ähnliche Dokumente

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln