FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

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1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: 20. März 2015, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Tragen Sie zunächst für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) sowohl auf das Deckblatt der Teilklausur als auch auf das Deckblatt der Lösungsbogen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 2. Es können insgesamt 100 Punkte erreicht werden. Bei Erreichen von 50 Punkten ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 3. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbogen und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Mathematik müssen die Lösungen in den dafür vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseiten oder die freien Blätter am Ende und geben Sie einen deutlichen Hinweis auf die Aufgabenzugehörigkeit. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer Lösungen, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Bei einem mehrfach bearbeiteten Aufgabenteil wird lediglich die erste Lösung bewertet. Nicht zu korrigierende Lösungsteile sind zu entwerten. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden. 4. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der drei folgenden Modellreihen angehört: - Casio fx86, - Texas Instruments TI 30 X II, - Sharp EL 531. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt.

3 Für den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. 5. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 6. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

4 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik Datum Punkte Termin: Prüfer: 20. März 2015, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

5 Vertiefung der Statistik Hinweis: Bitte tragen Sie die Lösungen aller Aufgaben in die Lösungsbogen ein. Bewertet werden nur die Lösungsbogen. Aufgabe 1 (10 Punkte) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. 1. Mit Hilfe von Schätzfunktionen werden aus einer Stichprobe unbekannte Parameter der zugehörigen Grundgesamtheit geschätzt. 2. Das Signifikanzniveau eines Hypothesentests entspricht stets der Wahrscheinlichkeit des β-fehlers. 3. Das Konfidenzintervall für die Varianz liegt symmetrisch um die Stichprobenvarianz. 4. Bei einer unimodalen, linkssteilen Häufigkeitsverteilung ist der Modalwert kleiner als das arithmetische Mittel. 5. Für alle Tests gilt, dass nur aus der Ablehnung der Nullhypothese Informationen gewonnen werden können. 6. Beim Chi-Quadrat-Test für die Varianz sind nur einseitige Tests möglich. 7. Indem man den Stichprobenumfang verdoppelt, kann man die Breite der Konfidenzintervalle für µ bei normalverteilten Grundgesamtheiten mit bekannter Varianz halbieren. 8. Der Vorteil der Maximum-Likelihood-Methode gegenüber der Momentenmethode ist, dass bei der ML-Methode keine Stichprobendaten in die Berechnung eingehen. 9. Gütefunktion und Operationscharakteristik addieren sich für jeden Test zu eins. 10. Gütefunktion und Operationscharakteristik konvergieren gegen Null.

6 Vertiefung der Statistik Aufgabe 2 (8 Punkte) Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X mit folgender Dichtefunktion: f(x) = { 3x falls x (0; 1] 0 sonst 2.1 (2 Punkte) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X (0; 0.5]. 2.2 Bestimmen Sie Erwartungswert von X. 2.3 Bestimmen Sie Varianz von X.

7 Vertiefung der Statistik Aufgabe 3 (10 Punkte) Eine Variable X ist normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und der bekannten Varianz σ 2 = 9. Zu prüfen ist die Nullhypothese H 0 : µ µ 0 = 100 beim Signifikanzniveau α = 0.01 und bei einem Stichprobenumfang von N = Ermitteln Sie die kritische Region des hier zu verwendenden Standardtests. 3.2 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art, wenn µ = µ 1 = 98 ist. 3.3 (4 Punkte) Ermitteln Sie den Stichprobenumfang, der im vorliegenden Fall nötig ist, damit die im Aufgabenteil 3.2 genannte Wahrscheinlichkeit höchstens 0.05 beträgt.

8 Vertiefung der Statistik Aufgabe 4 (7 Punkte) Fassadenverkleidungen aus 3 verschiedenen Materialien (A, B, C) wurden auf ihre Lebensdauer untersucht. Prüfen Sie, ob bei einem Signifikanzniveau von α = 0.1 ein Zusammenhang zwischen Material und Lebensdauer besteht. Verkleidung Lebensdauer A B C über 5 Jahre unter 5 Jahre (1 Punkt) Welchen parametrischen Test verwenden Sie? 4.2 (1 Punkt) Formulieren Sie die Nullhypothese. 4.3 Berechnen Sie den kritischen Wert. 4.4 (1 Punkt) Geben Sie die Prüfgröße an. 4.5 (1 Punkt) Lehnen Sie die Nullhypothese, es besteht kein Zusammenhang, ab?

9 Vertiefung der Statistik Aufgabe 5 (15 Punkte) Man nehme an, dass ein Zusammenhang zwischen den in der Klausur zur Wirtschaftsmathematik und Statistik erreichten Punktzahl Y n und den mit dem Lernen verbrachten Stunden X n in Form des einfachen linearen Regressionsmodells besteht. Y n = α + βx n + ɛ n, n = 1,..., N, Von den Studierenden der Fernuniversität in Hagen, die an der betreffenden Klausur und an der Umfrage zu den mit dem Lernen verbrachten Stunden teilgenommen haben, wurden zufällig 20 Teilnehmer ausgewählt und aus den erzielten Ergebnissen zur Durchführung einer einfachen linearen Regressionsanalyse die folgenden Zwischenwerte errechnet: 5.1 N = 20, n=1 y2 n = 87400, n=1 y n = 1250, n=1 x2 n = , n=1 x n = 5200, n=1 y nx n = (4 Punkte) Schätzen Sie aus den gegebenen Zwischenwerten die Parameter α und β des linearen Regressionsmodells. 5.2 Berechnen Sie für die obigen Daten den Wert eines erwartungstreuen Schätzers für die Varianz σ 2 der Störvariablen ɛ n. 5.3 (4 Punkte) Berechnen Sie σ 2 α und σ 2 β. 5.4 (2 Punkte) Prüfen Sie bitte, ob sich der Regressionsparameter β signifikant von 0 unterscheidet (Signifikanzniveau 0.05). 5.5 (2 Punkte) Bestimmen Sie die proportionale Fehlerreduktion bei Verwendung der Prognoseregel α + βx und interpretieren Sie den Wert.