Elektrizitätslehre und Magnetismus

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1 Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Klausur und Nachklausur Die Klausur findet am um 9:00 in H2 und H13 statt Die Nachklausur findet am voraussichtlich um 9:00 in H2 statt. Hilfsmittel: 4 Blätter (8 Seiten) Format A4, von eigener Hand beschrieben.

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Magnetisch gekoppelte Stromkreise Zwei gekoppelte Stromkreise

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Induktivität und Gegeninduktivität Der magnetische Fluss am Punkt P 2 hängt sowohl vom Strom I 2 wie auch vom Strom I 1 ab: φ B (P 2 ) = L 2 I 2 + M 12 I 1 Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P 1 von beiden Strömen ab φ B (P 1 ) = L 1 I 1 + M 21 I 2 Neben der Selbstinduktivität L i müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten M ij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie ab. M 12 = M 21

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformator Schematischer Aufbau eines Transformators

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformator U 2 = N 2 N 1 U 1 N 2 /N 1 heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators. U 2 I 2 = I 2 = N 1 I 1 N 2 ] [ [ N 2 N 1 U 1 N 1 N 2 I 1 ] = U 1 I 1 Ideale Transformatoren übertragen Leistung verlustfrei.

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kirchhoffsche Gesetze U k = k Quellen j Verbraucher U j k eines Knotens I k = 0

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Wechselströme und Widerstände U U R = 0 U 0 cos(ωt) I R = 0 I(t) = U 0 R cos(ωt) = I 0 cos(ωt) P(t) = U(t) I(t) = U 0 cos(ωt) U0 R cos(ωt) = U2 0 R cos2 (ωt) = I 2 0 R cos2 (ωt) P(t) = 1 U0 2 2 R = 1 2 I2 R Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Effektivwert Unter dem Effektivwert der Spannung (des Stromes) versteht man diejenige Gleichspannung, die an einem Ohmschen Widerstand die gleiche Verlustleistung erzeugt. U eff = 1 2 U 0 I eff = 1 2 I 0 Für beliebige Spannungsverläufe (Stromverläufe) ist der Effektivwert (auch rms-wert von Root Mean Square ) U eff = U rms = 1 t+t U 2 (τ)dτ T t wobei T eine Zeit ist, die bei periodischen Signalen der Periodendauer entspricht und bei zufälligen Signalen lang gegenüber der charakteristischen Zeitdauer der Schwankungen sein muss. I eff = I rms = 1 t+t I 2 (τ)dτ T t

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Wechselströme und Spulen U U L = 0 = U L di dt di dt = U 0 L cos(ωt) I(t) = U 0 L t 0 = U 0 Lω sin(ωt) cos(ωτ)dτ = U 0 Lω cos(ωt π 2 ) P(t) = U(t) I(t) = U 0 cos(ωt) U0 ωl cos(ωt π 2 ) = U2 0 cos(ωt) sin(ωt) ωl P t = U2 0 ωl cos(ωt) sin(ωt) t = 0 I = U 0 ωl = U 0 X L

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Wechselströme und Kondensatoren U U C = 0 = U q C q = C U 0 cos(ωt) I = dq = d dt dt C U 0 cos(ωt) = Cω U 0 sin(ωt) = Cω U 0 cos(ωt + π 2 ) X C = 1 ωc I 0 = ωcu 0 P(t) = ωcu0 2 cos(ωt) sin(ωt) Kondensator mit Wechselspannung P(t) t = ωcu 2 0 cos(ωt) sin(ωt) t = 0

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Prinzipbild eines Elektromotors

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Wir betrachten zuerst den Elektromotor als Generator. Der Fluss durch die Leiterschlaufe mit N Windungen und einer Fläche A ist φ B = NBA cos Θ wobei Θ der Winkel zwischen der Normalen der Fläche der Leiterschlaufe und der Richtung des Magnetfeldes ist. Mit Θ = ωt + δ wird der zeitabhängige Fluss durch eine sich mit ω drehende Leiterschlaufe φ B (t) = NBA cos(ωt + δ) Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung U = dφ B(t) dt Die induzierte effektive Spannung ist = NBA d cos(ωt + δ) = NBAω sin(ωt + δ) dt U eff,i = NBAω 2 Wenn die Leiterschlaufe mit Spannung versorgt wird, arbeitet sie als Motor. Durch den Strom I wird nach der Gleichung ein Drehmoment erzeugt. M = NAB I sin Θ

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist M eff = NAB 2 I = NABI eff Wenn der Widerstand des Ankers, der rotierenden Spule, R ist, kann man den mittleren Strom berechnen I eff = U U eff,i R = U R NBA R 2 ω Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab ( U M eff (ω) = NAB R NBA ) R 2 ω = NABU R Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also M eff (0) = M max = NABU R und die maximale Drehzahl (da wo M eff = 0) ist 2U ω max = NAB N2 A 2 B 2 ω 2R

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Diese Charakteristik hat man immer dann, wenn das erregende Feld B unabhängig von der Drehzahl ist, bei Permanentmagneten oder wenn die Spule für die Erregerwicklung parallel zum Anker angeschlossen ist. Will man die Drehzahl erhöhen, muss man das Feld B schwächer machen. Ist die Erregerwicklung in Serie zur Ankerwicklung geschaltet, gibt es keine maximale Drehzahl. Eine lange Zylinderspule (Länge l, Windungszahl N) hat das Magnetfeld B Z = µ 0 N l I Für andere Geometrien gilt das gleiche Gesetz, aber mit einem geometrieabhängigen Vorfaktor K. Im statischen Falle ist der Strom nur vom Gleichstromwiderstand R E der Erregerspule abhängig. Wenn U E der Spannungsabfall an der Erregerspule ist, ist B(U E ) = K µ 0 N E l E U E R E Der durch den Anker fliessende Strom ist dann durch gegeben. I eff = U U E U eff,i R = K µ 0 N E l E I E = U R U E R NB(U E )A R ω 2

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Da I eff = I E ist, gilt oder Damit wird das Drehmoment Eingesetzt bekommt man I eff = U R R E R I eff µ 0 K N N E A l E R I eff ω 2 I eff = U R + R E + µ 0 K N N E A ω l E 2 M eff (ω) = NAB(I eff )I eff = NA µ 0N E Ieff 2 l E M eff = NA µ 0N E l E U R + R E + µ 0 K N N E A l E 2 2 ω Dieser Motor hätte, ohne Lagerreibung, eine unendlich grosse maximale Drehzahl. Das Startdrehmoment für ω = 0 ist M eff (0) = M max = NA µ [ ] 0N E U 2 l E R + R E

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Nebenschluss- und Hauptschlussmotor M Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor MN(x) MH(x) ω Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren.

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Betatron Skizze eines Betatrons