Seien M 1,M 2 NFAs f. die Sprachen L 1 und L 2. Konstruktion eines NFAs für L 1 L 2 : Erzeuge Kopien von M 1 und M 2. p 1

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1 Beispiel Produktautomat p Vereinfachte Konstruktion f. NFAs Seien M,M 2 NFAs f. die Sprachen L und L 2. Konstruktion eines NFAs für L L 2 : Erzeuge Kopien von M und M 2. p q q p 2 Erzeuge neuen Startzustand q (akzeptierend, falls q, oder q,2 akzept.). Für alle a Σ erzeuge a-übergänge von q zu den a-nachfolgern der Startzustände von M und M 2. - Funktioniert aber nicht für Durchschnitt Symmetrische Differenz Definition: L L 2 ={w w L L 2 w L L 2 } heißt symmetrische Differenz von L und L 2. Beispiel: L ={,,}, L 2 ={,}. Dann ist L L 2 ={,,} Satz: Seien M und M 2 DFAs für L und L 2. Dann kann ein DFA für L L 2 in Zeit O( Q Q 2 Σ ) konstruiert werden. 447 Abschluss unter symm. Differenz Satz: Seien M und M 2 DFAs für L und L 2. Dann kann ein DFA für L L 2 in Zeit O( Q Q 2 Σ ) konstruiert werden. Beweis: Benutze Produktautomatenkonstruktion mit F = {(q,q 2 ) (q F q 2 F 2 ) (q F q 2 F 2 )}. Übungsaufgabe: Überlege, woran diese Konstruktion für NFAs scheitert. 448

2 Äquivalenztest für DFAs Gegeben: DFAs M und M 2 für Sprachen L und L 2. Konstruiere DFA für L L 2. Wende darauf den Leerheitstest an. Rechenzeit: O( Q Q 2 Σ ). Produktsprache (Konkatenation) Definition T4.6.9: Seien L und L 2 Sprachen über Σ. Die Konkatenation von L und L 2 ist definiert durch Beispiel: L ={ n n n }, L 2 ={ n n n }. Dann L L 2 ={ n n+m m } Abschluss gegen Konkatenation Satz T4.6.: Seien M und M 2 DFAs für L und L 2. Dann kann ein NFA für L L 2 in Zeit O(( Q + Q 2 ) Σ ) konstruiert werden. Insbesondere ist L L 2 regulär, d.h., die regulären Sprachen sind gegen Konkatenation abgeschlossen. Beweis Seien M und M 2 gegeben, o.b.d.a Q Q 2 =. Idee: In akzept. Zuständen kann M raten, dass sein Teilwort zu Ende ist. q M M

3 Formalere Beschreibung Zustandsmenge: Q Q 2. Startzustand: Startzustand von M. Akz. Zustände: F 2 (bzw. F F 2, falls ε L 2 ). Zustandsübergänge: Zustandsübergänge aus M und M 2 Für q F und a Σ zusätzlich: δ(q,a)=δ 2 (q,2,a). Kleenescher Abschluss Definition T4.6.: L i : i-fache Produkt von L mit sich selbst. (L ={ε}, L =L, L 2 =LL, L 3 =LLL, ) Beispiel: L={,}. Dann: L*= {w w n mit n gerade und w 2i- =w 2i } Abschluss unter kleeneschen A. Satz T4.6.2: Sei M ein DFA für L. Aus M kann in Zeit O( Q Σ ) ein NFA für L* konstruiert werden. Insbesondere ist L* regulär und die regulären Sprachen sind unter dem kleeneschen Abschluss abgeschlossen. Idee: q Beweis: Idee: Rate die Stellen, wo die Teilwörter aus L zu Ende sind. 455 Neuer akzept. Startzustand Fortsetzen der Rechnung an Nachf. des Startzust. ermögl. 456

4 Formalere Beschreibung Sei (Q,Σ,q,δ,F) DFA für L. NFA (Q,Σ,q,δ,F ) für L*: Zustandsmenge: Q =Q {q }. Startzustand: q. Akz. Zustände: F = {q } F. Zustandsübergänge in δ : Zustandsübergänge aus δ. Für q {q } F und a Σ zusätzlich: δ (q,a)=δ(q,a). 457 Quotientensprache Definition T4.6.7: Seien L,L 2 Sprachen über Σ. Die Quotientensprache L /L 2 ist definiert durch L /L 2 = {w Σ* z L 2 : wz L }. Beispiel: L ={w w enthält gerade Anzahl von Nullen und Einsen} L 2 ={,} L /L 2 ={w w enthält gerade Anzahl von Nullen u. ungerade Anzahl von Einsen oder umgekehrt} 458 Abschluss u. Quotientenbildung Satz T.4.6.8: Wenn L und L 2 regulär sind, ist auch L /L 2 regulär. Ein DFA für L /L 2 kann aus DFAs für L und L 2 in Zeit O( Q Q 2 Σ ) konstruiert werden. Beweis Konstruktion eines DFAs für L /L 2 : Modifiziere DFA für L : Ersetze die Menge F der akzep. Zustände durch F ={q Q z L 2 : δ (q,z) F }. Korrektheit klar. Frage: Wie berechnen wir F? F ={q Q z: δ (q,z) F δ 2 (q,2,z) F 2 } 459 L /L 2 = {w Σ* z L 2 : wz L }. 46

5 Berechnung von F Berechne Produktautomaten von M und M 2 (wie bei Abschluss gegen Durchschnitt). Dann ist q F Von (q,q,2 ) ist akzeptierender Zustand des Produktautomaten erreichbar. Startzustand von M 2 L /L 2 = {w Σ* z L 2 : wz L }. Beispiel L ={w w enthält gerade Anzahl von Nullen und Einsen} L 2 ={,} F ={q Q z: δ (q,z) F δ 2 (q,2,z) F 2 } L L /L 2 q q q 2 q 3 q q q 2 q 3 Reguläre Ausdrücke [K5.3] Im folgenden Teil 4 der Vorlesung: Regelsysteme, die Sprachen erzeugen Grammatiken Hier: einfaches Regelsystem für reguläre Sprachen: reguläre Ausdrücke 463 Def. von regulären Ausdrücken Definition T5.3.2: Rekursionsende: : leere Sprache ε: leeres Wort a Σ: Wörter aus einem Buchstaben sind reguläre Ausdrücke. Rekursion: Wenn A und B reguläre Ausdrücke sind, dann auch (A)+(B), (A) (B) und (A)*. Vereinigung Konkatenation Kleenescher 464A.

6 Beispiele für reguläre Ausdrücke Menge aller Wörter, die mit beginnen und enden: () (()+())* () Vereinfachung: (+)* Menge aller Wörter mit einer geraden Anzahl Nullen: * (() ()* () ()*)* Vereinfachung: *(**)* Vereinfachungen Klammern um, ε, a weglassen +, assoziativ Klammern weglassen Prioritäten der Operationen: Addition/Vereinigung + Multiplikation/Konkatenation Potenzbildung/kleenescher Abschluss * Klammern entsprechend weglassen Zeichen für Konkatenation weglassen Beispiele für reguläre Ausdrücke L k ={w {,}* In w ist der k-te Buchstabe von hinten eine }. Regulärer Ausdruck: (+)* (+) (+) (k-)-mal Zum Vergleich: Ein DFA für L k benötigt 2 k Zustände (Satz T4.4.3). grep Befehl zur Suche von Mustern in den Zeilen einer Textdatei Beschreibung der Muster: reguläre Ausdrücke [abc] entspricht a+b+c? entspricht jedem Buchstaben \ entspricht + Hintereinanderschreiben entspricht * entspricht kleeneschen Abschluss Klammern: \(, \)

7 grep (Fortsetzung) grep PATTERN FILE gibt die Zeilen von FILE aus, die das durch den reg. Ausdruck PATTERN beschriebene Muster enthalten. grep x PATTERN FILE gibt die Zeilen von FILE aus, die (als ganze Zeilen gesehen) durch den reg. Ausdruck PATTERN beschrieben sind. Beispiele für grep-syntax Menge aller Wörter, die mit beginnen und enden: vorher: (+)* grep: [][]*[] Menge aller Wörter mit gerader Anzahl Nullen oder gerader Anzahl Einsen vorher: *(**)* + *(**)* grep: []*\([][]*[][]*\)*\ []*\([][]*[][]*\)* Zshg. reg Ausdrücke reg. Spr. Satz T5.3.3: Genau die regulären Sprachen lassen sich durch reguläre Ausdrücke beschreiben. Beweis:. Alle regulären Ausdrücke beschreiben reguläre Sprachen. 2. Alle regulären Sprachen können durch reguläre Ausdrücke beschrieben werden. Reg. Ausdr. beschr. reg. Sprachen Betrachte rekursive Def. der reg. Ausdrücke:, {ε}, {a} sind reguläre Sprachen. Die regulären Sprachen sind gegen Vereinigung (+), Konkatenation ( ) und kleeneschen Abschluss (*) abgeschlossen. Alle regulären Ausdrücke beschreiben reguläre Sprachen

8 Umformung DFA reg. Ausdruck Sei M DFA für reg. Sprache L. Sei Q={,,n} u. dynamische Zustand der Startzustand. Programmierung Definiere: R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {,,k} sind. Idee: Zeige, dass sich alle R i,jk durch reguläre Ausdrücke beschreiben lassen. 473 Konstr. von reg. Ausdr. für R i,j k k= keine Zwischenzustände erlaubt. R i,j : kann nur aus einem Buchstaben a bestehen, nämlich dem a mit δ(i,a)=j. R i,i : enthält zusätzlich ε. Reguläre Ausdrücke für R i,j : R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {,,k} sind. 474 Rekursive Bestimmung von R i,j k Rekursionsformel: R i,jk = R i,j k- + R i,k k- (R k,k k- )*R k,j k- Wörter, bei deren Rechnung der Zwischenzustand k ev. mehrfach benutzt wird. Wörter, bei deren Rechnung Zwischenzustand k nicht benutzt wird. R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {,,k} sind. 475 Rekursionsformel erzeugt aus reg. Ausdrücken für R i,j k- reg. Ausdrücke für R i,jk. Wir können reguläre Ausdrücke für R i,j n berechnen. Dann gilt für die von M akzeptierte Sprache: L = +i F R,i n regulärer Ausdruck R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {,,k} sind. 476

9 Endliche Sprachen Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w,,w n } Σ*. Dann ist w + +w n ein regulärer Ausdruck für L. 477