5.2 Asymptotische Entwicklungen Im Folgenden: sei dimensionslos (ansonsten sind und nicht vergleichbar)

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1 5.2 Asymptotische Entwicklungen Im Folgenden: sei dimensionslos (ansonsten sind und nicht vergleichbar) (C5.1d.6) nur Potenzen mit n > N Formel (C5.1n.3) sagt: wie schnell verschwindet Rest für festes wenn Bei "asymptotischer Entwicklung" ist die Fragestellung anders herum: Wie schnell verschwindet der Rest für festes wenn konstant (5) impliziert folgendes "asymptotische Verhalten" für " verschwindet minestens so schnell wie " Man sagt: " ist von Ordnung " für Übliche Notation: "Landau groß-o Symbol" (Edmund Landau, ) Man sagt: für falls für "f(x) ist von Ordnung g(x)" [ auch möglich] In der Praxis: der früheste vernachlässigte Term bestimmt Ordnung des Rests: (C5.1l.1) Beispiel 2: Verkettung von Reihen Entwicklung von tan(x) bis inklusive 3. Ordnung: (C5.1l.1) (C5.1l.2) Nebenrechnung: Mit welcher Genauigkeit sollte Nenner entwickelt werden? Nur inklusive (in der Praxis ist es unnötig, diese Terme hinzuschreiben) Wichtig: beachte das konsistente Abzählen der

2 Beispiel 3: Auflösung von Gleichungen Sei: Umkehrfunktion: Aufgabe: Bestimme für, bis inklusive! Antisymmetrie: Folglich genügt ein Ansatz mit nur ungeraden Potenzen: Koeffizientenvergleich: Lösung: Beispiel 4: Stabilitätsanalyse Potential eines mit Winkelgeschwindigkeit rotierenden Pendels: seien Konstanten sei ein Parameter Potential wird "weicher" mit zunehmendem Bei kritischem Wert wird das lokale Minimum bei zum lokalen Maximum Gleichgewichtslage für Aufgabe: Finde Form des Potentials für (bis ) und

3 Finde zunächst Position der Extrema: Extremum 1: andere Lösungen, z.b. bei interessieren uns hier nicht Extremum 2: möglich falls Untersuche Verhalten nahe mittels Reihenentwicklung des Potentials in : (dimensionslose Größe) Symmetrie: nur gerade Potenzen! Taylorreihe: (C5.1l.2) (C5.1l.1) Vorzeichen der Krümmung (bei ) ändert sich bei Potential hat Minimum (Krümmung > 0) für Potential hat Maximum (Krümmung < 0) für Eine ähnliche Fragestellung, nämlich "wann ändert sich ein Minimum zu einem Maximum und wird somit unstabil?", ergibt sich in Landau's Theorie der Phasenübergänge: Freie Energie wird in Potenzen eines "Ordnungsparameters" entwickelt...

4 Beipiel 5: Iteratives Lösen von Gleichungen Kepler-Gleichung: Gesucht: E als Funktion von beliebigem M und kleinem : für bis inklusive! Anwendung im Kepler-Problem: (1) bestimmt den Zusammenhang zwischen Laufzeit t und der "exzentrischen Anomalie" E, einer aus astronomischen Beobachtungen meßbaren Größe. Laufzeit: Umlaufzeit: "mittlere Anomalie": const = Fokus "wahre Anomalie": (= Winkel bzgl. Fokus) "exzentrische Anomalie": (= Winkel bzgl. Ursprung) "Exzentrizität der Ellipse": Kreisbahnen werden gleichmäßig durchlaufen: Elliptische Bahnen wird periodisch in der Zeit moduliert, wegen Flächensatz: "Radiusvektor überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten": Lösungsansatz: sind zu bestimmende Funktionen v. M: Lösung bis zur 2. Ordnung inklusive: (1) eingesetzt in (g.1): Taylorentwicklung von mit Vorfaktor, also reicht 1. Ordnung! Vergleiche Koeffizienten von Potenzen von : Gesuchte Lösung: Da, erfährt E eine periodische Modulation in der Zeit!

5 C5.3 Extrema unter Nebenbedingungen Problemstellung: Betrachte Funktionen Suche Extrema von unter der Nebenbedingung Beispiel 1: Nebenbedingung: [besagt: (x,y) liegt auf Einheitskreis] Lösungstrategie A: Auflösung der Nebenbedingung und einsetzen in f: Suche nun Extrema von Lösungen: Lösungstrategie A ist oft unpraktisch: Auflösen der Nebenbedingung von Hand ist häufig nicht möglich; oder, falls mehrere Lösungen existieren, wird es aufwendig... Lösungstrategie B: Lagrange-Multiplikator Geometrische Betrachtung: Wie findet man Extremum von f(x,y) falls es keine Nebenbedingung gibt? Laufe in Richtung der maximalen Steigung, d.h. von, Wie findet man Extremum von f(x,y) falls eine Nebenbedingung vorhanden ist? Wie oben, aber mit der Einschränkung, dass nur "entlang" oder "parallel zu" der (g=0)-linie" gelaufen wird, d.h. senkrecht zu, d.h. in Richtung, wobei Nebenbedingung: (g=konstant)-linien die Zerlegung von in Komponenten und zu ist. Ein Extremum v. f, unter der Nebenbedingung g=0, ist erreicht wenn An diesem Punkt gilt somit

6 Formale Formulierung: "Lagrange-Multiplikator" Betrachte die Funktion Notwendige Bedingungen für Extremum v. f mit g=0: [äquivalent zu (b.6)] [äquivalent zu Beispiel 1 nochmal, mit Lösungstrategie B: Eliminiere : (5) - (6): (8) in (7): Beachte: es ist nicht nötig zu bestimmen!, explizit Allgemeine Formulierung: Finde Extrema von mit Nebenbedingungen, wobei Lösungstrategie: Führe Lagrange-Multiplikatoren ein, Anzahl Nebenbedingungen und betrachte Kandidaten für Extrema müssen folgende Gl. erfüllen: Beispiel 2: Was ist maximales Volumen eines Zylinders gegebener Oberfläche? Volumen: Oberfläche: Decke + Boden Mantel

7 Betrachte Maximales Volumen: Check: Konventionell, eliminiere Anwendung aus d. Statistischen Physik: Entropiemaximierung Ein Quantensystem mit N möglichen Zustanden, befinde sich mit Wahrscheinlichkeit in Zustand,wobei Die "Entropie" des Systems ist: Aufgabe 1: bestimme die Wahrscheinlichkeiten, für die maximal Lösung: Betrachte Nebenbedingung alle p's sind gleich: Fazit: Entropie ist maximal falls alle Wahrscheinlichkeiten gleich sind.

8 Aufgabe 2: Weitere Nebenbedingung: vorgegebene Energie Sei die Energie des Quantensystems im Zustand Der Mittelwert der Energie ist dann: Für gegebenes E, bestimme die Wahrscheinlichkeiten, für die maximal ist! Lösung: Betrachte Nebenbedingung 1 Nebenbedingung 2 (g.3) liefert: Definiere: T = "Temperatur", "Boltzmann- Faktor" = "Boltzmann-Konstante" (g.4) liefert: "Zustandsumme": (g.5) liefert: Gl. (5) legt die Variable T so fest, dass mittlere Energie den gewünschten Wert E hat. Die Zustandsumme Z in Gl. (4) ist dann ein Normierungsfaktor, so dass Die Form heisst Boltzmann-Verteilung.