Albert-Einstein-Gymnasium, Arbeitsplan Mathematik für den Jahrgang 10

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1 Albert-Einstein-Gymnasium, Arbeitsplan Mathematik für den Jahrgang 10 September 2017 (vorläufige Fassung) Anzahl der schriftlichen Arbeiten: 5, Gewichtung der schriftlichen Leistungen 50%-60% Nachweis der Durchführung: siehe Anlage, Schulbuch: Elemente der Mathematik Legende: prozessbezogene Kompetenzen inhaltsbezogene Kompetenzen P1: Mathematisch argumentieren P2: Probleme mathematisch lösen P3: Mathematisch modellieren P4: Mathematische Darstellungen verwenden P5: Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen P6: Kommunizieren I1: Zahlen und Operationen I2: Größen und Messen I3: Raum und Form I4: Funktionaler Zusammenhang I5: Daten und Zufall Kapitel im Lehrbuch Wiederholung bzw. Abschluss Trigonometrie Klasse 9, insbesondere Sinus- und Kosinussatz 4. Kreis- und Körperberechnung 4.1 Umfang eines Kreises 4.2 Flächeninhalt eines Kreises 4.3 Kreisausschnitt und Kreisbogen Die Zahl in der Geschichte der Menschheit Medien/Hinweise/ Anregungen Siehe: Elemente der Mathematik 9, Kapitel 6.5 Einsatz von DynaGeo möglich Experimentelle Behandlung der Ober- und Untersumme bei Bestimmung des Kreisflächeninhalts inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler - Berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen mithilfe trigonometrischer Beziehungen sowie Sinus- und Kosinussatz - Bestimmen den Umfang...eines Kreises mit einem Näherungsverfahren - identifizieren als Ergebnis eines Grenzprozesses - bestimmen den Flächeninhalt eines Kreises mit einem Näherungsverfahren Umfang und Flächeninhalt von gradlinig begrenzten Figuren, Kreisen und daraus zusammengesetzten Figuren Umfang und Flächeninhalt von Kreisen - bestimmen näherungsweise den prozessbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler - stellen geometrische Sachverhalte algebraisch dar und umgekehrt (P4) (siehe Albert-Einstein-Gymnasium, Arbeitsplan Mathematik für den Jahrgang 9) - wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen und wenden diese an (P2) - stellen sich inner- und außermathematischen Problemen und beschaffen die zu einer Lösung noch fehlenden Informationen (P2) Zusammenhänge unter Verwendung der Fachsprache (P6) - wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen und wenden diese an (P2)

2 5. Modellieren periodischer Vorgänge 5.1 Periodische Vorgänge 5.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 5.3 Sinus und Kosinusfunktion mit IR als Definitionsmenge 5.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 5.5 Zum Selbstlernen: Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 5.6 Allgemeine Sinusfunktion Parametervariationen Abbilden von Funktionsgraphen 5.7 Modellieren mit Sinusfunktionen Riesenradmodell Gezeiten Biorhythmus Modellierung mit EUKLID oder Modell Einheitskreis möglich GTR: RAD-DEG Behandlung dazu S.223 / 232 /233 Parametervariation GTR: Funktionsanpassung mit SinRegression S.229 / 230 Bsp. S.228 Wasserstand Bsp. S.228 Sonnenscheindauer hübsch: Jupitermondstellungen Material (Ha) ca. 8 Wochen anschließend Klassenarbeit 1 Flächeninhalt des Kreises und bewerten die Genauigkeit - identifizieren π als Ergebnis eines Grenzprozesses - geben Winkel im Bogenmaß an - beschreiben periodische Zusammenhänge zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten, erläutern und beurteilen sie - beschreiben Sachverhalte durch Terme und Gleichungen - modellieren inner- und außermathematische Problemsituationen mithilfe von Termen und Gleichungen - berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen mithilfe trigonometrischer Beziehungen - stellen Funktionen durch Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Gleichung, Tabelle, Graph - geben Winkel im Bogenmaß an - beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei Sinus- und Kosinusfunktionen, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge - beschreiben und begründen die Auswirkungen auf den Graphen der Parametervariation für Funktionen mit y = a f(b x + c) + d - lösen Gleichungen in einfachen Fällen algebraisch mit Hilfe von Umkehroperationen - berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen mit Hilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen und trigonometrischen Beziehungen - erkennen funktionale Zusammenhänge als - nutzen eine Tabellenkalkulation und ein Computer-Algebra-System zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) - nutzen eine handelsübliche Formelsammlung (P5) - nutzen Tabellen, Graphen und Gleichungen zur Bearbeitung funktionaler Zusammenhänge (P4) - wählen, variieren und verknüpfen Modelle zur Beschreibung von Realsituationen (P3) Modelle in Hinblick auf die - stellen sich inner- und außermathematischen Problemen und beschaffen die zu einer Lösung noch fehlenden Informationen (P6) Verwendung der Fachsprache - skizzieren Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen (P4) - nutzen unterschiedliche Darstellungsformen für reelle Zahlen (P4) Gleichungen zur Beurteilung - formen Terme um, ggf. mit einem Computer- Algebra-System (P5) - wählen geeignete Verfahren zum Lösen von Gleichungen (P5) - nutzen eine Tabellenkalkulation und ein Computer-Algebra-System zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) - nutzen eine handelsübliche

3 Zuordnungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen, und Sachtexten, beschreiben diese verbal, erläutern u. beurteilen sie - nutzen [ ] Sinusfunktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - stellen Funktionen durch Terme und Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Term, Gleichung, Tabelle, Graf - modellieren Sachsituationen durch Funktionen - wenden die Eigenschaften von Funktionen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners zur Lösung von Problemen an und bewerten die Lösungen - führen eine Parametervariation für Formelsammlung (P5) 1. Reelle Zahlen - Grenzprozesse 1.1. Annähern von Quadratwurzeln 1.2. Irrationale Zahlen 1.3. Reelle Zahlen 1.4. Vergleich der Zahlenbereiche IN, Q +, Q und IR Einführung EXCEL und Behandlung eines Iterationsverfahrens mit EXCEL (z.b. Intervallhalbierungsverfahren, Heron-Verfahren), Material Mö Funktionen mit y = a f(b x + c) + d an Beispielen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und beschreiben und begründen die Auswirkungen auf den Grafen - bestimmen die Funktionsgleichung aus dem Grafen - stellen Datenpaare grafisch dar, führen Regressionen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und nutzen die Ergebnisse für Prognosen (I5) - grenzen rationale und irrationale Zahlen voneinander ab - begründen die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung - kombinieren mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und technische Verfahren (P5) Verwendung der Fachsprache (P1) - geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese (P1)

4 Rechnen mit Näherungsverfahren Wie viele rat. und irrat. Zahlen gibt es? 1.5. Beschreiben von Näherungsverfahren für Folgen 1.6. Überblick über die reellen Zahlen 1.7. Grenzverhalten der Funktion f mit f(x)= 1 x Fraktale Handy-Antenne Präsentieren im Team Explizite Vorstellung überwiegt, rekursive Vorstellung knapp halten Grenzwertbegriff anschaulich vorbereiten: Einstiege z.b. über begrenztes Wachstum oder Figurenfolgen / Fraktale Grenzwertvorstellung Pappstreifen n epsilon - Bestimmungen Schreibweise: n => a(n) g bei existierendem Grenzwert auch lim(a(n)) = g tatsächlich Folgen an dieser Stelle???? mit Folgen ca. 6 Wochen anschließend Klassenarbeit 2 - identifizieren den Grenzwert als die eindeutige Zahl, der man sich bei einem Näherungsverfahren beliebig dicht annähert - begründen die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung von rationalen zu reellen Zahlen an Beispielen - erläutern Grenzen der Beschreibung reeller Zahlen durch Dezimalbrüche, beschreiben Näherungsverfahren und wenden diese an - nennen kennzeichnende Unterschiede zwischen rationalen und irrationalen Zahlen - kennen die Identität - führen Rechnungen mit dem eingeführten Taschenrechner aus und bewerten die Ergebnisse - lösen einfache Rechenaufgaben im Bereich der reellen Zahlen - formen Terme mit Hilfe der Rechengesetze um - begründen exemplarisch Rechengesetze für Quadratwurzeln und wenden diese an a 2 a - verwenden reelle Zahlen (P5) - erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln, Verfahren und Zusammenhänge unter Zuhilfenahme formaler Darstellungen (P1) - vergleichen und bewerten verschiedene Lösungsansätze und Lösungswege (P1) - wenden algebraische, numerische, grafische Verfahren [ ] zur Problemlösung an (P2) - ziehen die Möglichkeit mehrerer Lösungen in Betracht und überprüfen diese (P2) - erklären Ursachen von Fehlern (P2) - nutzen die Probe zur Überprüfung von Ergebnissen (P5) - nutzen den eingeführten Taschenrechner zur Kontrolle (P5) - nutzen den eingeführten Taschenrechner [ ] zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) 2. Potenzen 2.1 Potenzen mit ganzzahligen 2.2. Zahldarstellung mit abgetrennten Zehnerpotenzen ca. 6-7 Wochen anschließend Klassenarbeit 3 - lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit Funktionen auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge - stellen Funktionen durch Terme und Gleichungen dar und wechseln zwischen Gleichungen zur Bearbeitung Verwendung der Fachsprache (P1)

5 2.3 Potenzen mit rationalen Potenzen mit Stammbrüchen als - n-te Wurzeln Potenzen rationaler 2.4 Potenzen mit irrationalen 2.5 Potenzgesetze und ihre Anwendung Multiplizieren und Potenzieren von Potenzen Dividieren von Potenzen Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen Wurzelgesetze Stimmung einer Tonleiter den Darstellungen Term, Gleichung, Tabelle, Graf - verwenden Variablen zum Aufschreiben von Formeln und Rechengesetzen - nutzen Terme und Gleichungen zur mathematischen Argumentationsketten - stellen...zahlen auf verschiedene Weisen und situationsangemessen dar - beschrieben und reflektieren - begründen exemplarisch Rechengesetze für Potenzen mit rationalen und wenden diese an - begründen exemplarisch Rechengesetze für Potenzen mit rationalen und wenden diese an - erkennen funktionale Zusammenhänge als Zuordnungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Grafen, Diagrammen und Sachtexten, beschreiben diese verbal, erläutern und beurteilen sie - identifizieren und klassifizieren Funktionen in Tabellen, Termen, Gleichungen und Graphen - teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie vornehmlich die Fachsprache benutzen (P1) - präsentieren Problembearbeitungen, auch unter Verwendung digitaler Medien (P6) - verstehen Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten, überprüfen diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und gehen darauf ein (P1) - verwenden reelle Zahlen (P4) - stellen sich inner- und außermathematische Probleme und beschaffen die zu einer Lösung noch fehlenden Informationen (P2) - kombinieren mathematisches und außermathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren (P5) - bauen Argumentationsketten auf, analysieren und bewerten diese (P1) - geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese (P1) - verwenden Rekursionen zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell (P3) Modelle im Hinblick auf die - nutzen unterschiedliche Darstellungsformen für reelle Zahlen (P4) - stellen rekursive Zusammenhänge dar, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners, interpretieren und nutzen solche Darstellungen (P4)

6 Gleichungen zur Bearbeitung - stellen rekursive Zusammenhänge dar, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners, interpretieren und nutzen solche Darstellungen (P4) - formen Terme um, ggf. auch mit einem Computer-Algebra-System (P5) 3. Wachstumsprozesse Exponentialfunktionen 3.1 Beschreibung exponentieller Prozesse Lineares und exponentielles Wachstum Prozentuale Wachstumsrate Exponentielle Abnahme Zerfall 3.2 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften 3.3 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktion 3.4 Bestimmen von Exponentialfunktionen in Anwendungen 3.5 Wachstum modellieren Regression 3.6 Logarithmen Exponentialgleichung Logarithmen Lösen von Exponentialgleichungen 3.7 Logarithmusfunktionen 3.8 Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum Wo sind die Potenzfunktionen geblieben??? Sollen wir das hier auch lassen? Steht schon bei Folgen und wenn wir die vorher bearbeiten ist der Grenzwertbegriff eigentlich da ;) kurz mit GTR in Anwendungskontexten Explizite Vorstellung überwiegt, rekursive Vorstellung knapp halten Grenzwertbegriff anschaulich vorbereiten: Einstiege: z.b. über begrenztes Wachstum S.117 oder Figurenfolgen/Fraktale S.111 /S.128 Grenzwertvorstellung siehe S.121 ( Pappstreifen ) n epsilon -Bestimmungen Schreibweise: n a( n ) g lim a( n ) g bei existierendem Grenzwert auch n ca. 8 Wochen - stellen Funktionen durch Terme und Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Term, Gleichung, Tabelle, Graf - beschreiben exponetielle.zusammenhänge zwischen Zahlen Graphen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten, erläutern und beurteilen sie - interpretieren den Wachstumsfaktor beim exponentiellen Wachstum als prozentuale Änderung und grenzen exponentielles gegen lineares Wachstum ab - interpretieren exponentielle.abnahme als Grenzprozess - lösen Probleme und modellieren Sachsituationen auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge - beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei Exponentialfunktionen..., auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge - beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen auf den Graphen der Funktion mit y = a (f(b(x-c)) + d - nutzen.exponentialfunktionen zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge Gleichungen zur Bearbeitung - wählen, variieren und verknüpfen Modelle zu Beschreibung von Realsituationen (P4) Modelle im Hinblick auf die - teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie vornehmlich die Fachsprache nutzen (P1) - präsentieren Problembearbeitungen, auch unter Verwendung digitaler Medien (P6) - verstehen Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten, überprüfen diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und gehen darauf ein (P1) - stellen sich inner- und außermathematische Probleme und beschaffen die zu einer Lösung noch fehlenden Informationen (P2) - skizzieren Graphen. von Exponentialfunktionen (P4) Verwendung der Fachsprache (P1) - wählen geeignete Verfahren zum Lösen von Gleichungen (P5)

7 3.9 Begrenztes Wachstum Logistisches Wachstum 3.7 Logarithmusfunktionen 3.8 Überlagerung von exp. und linearem Wachstum 3.9 Begrenztes Wachstum (Logistisches Wachstum) Die Exponentialfunktion mit y=b x Potenzen mit irrationalen Die Exponentialfunktion mit y=ab x a>0 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen anschließend Klassenarbeit 4 - nutzen das Wurzelziehen und Logarithmieren als Umkehroperationen zum Potenzieren - lösen Gleichungen numerisch, grafisch und unter Verwendung eines CAS - interpretieren exponentielle Abnahme und begrenztes Wachstum als Grenzprozess - grenzen lineares, potentielles und exponentielles Wachstum gegeneinander ab - Modellieren lineares und exponentielles Wachstum sowie deren Überlagerung rekursiv auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - stellen Datenpaare graphisch dar, führen Regressionen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und nutzen die Ergebnisse für Prognosen (I5) - erkennen funktionale Zusammenhänge als Zuordnungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Grafen, Diagrammen und Sachtexten, beschreiben diese verbal, erläutern und beurteilen sie - identifizieren und klassifizieren Funktionen in Tabellen, Termen, Gleichungen und Graphen - nutzen Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen [ ] als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - stellen Funktionen durch Terme und Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Term, Gleichung, Tabelle, Graf - modellieren Sachsituationen durch Funktionen - wenden die Eigenschaften von Funktionen auch unter Verwendung des - verwenden Rekursionen zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell (P3) Modelle im Hinblick auf die - stellen rekursive Zusammenhänge dar, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners, interpretieren und nutzen solche Darstellungen (P4) Gleichungen zur Bearbeitung - stellen rekursive Zusammenhänge dar, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners, interpretieren und nutzen solche Darstellungen (P4) - formen Terme um, ggf. auch mit einem Computer-Algebra-System (P5)

8 4. Kreis- und Körperberechnung 4.4 Zylinder - Netz und Oberflächeninhalt 4.5 Schrägbild eines Zylinders 4.6 Volumen des Zylinders 4.7 Berechnungen an zusammengesetzten Körpern 4.8 Oberflächeninhalt von Pyramide und Kegel Pyramide Netz und Oberflächeninhlt Kegel Netz und Oberflächeninhlt 4.9 Volumen von Pyramide und Kegel Satz des Cavalieri Volumen der Pyramide ca. 7 Wochen Einsatz von DynaGeo möglich eingeführten Taschenrechners zur Lösung von Problemen an und bewerten die Lösungen - deuten die Parameter von Potenz-, Exponentialfunktionen [ ] in den graphischen Darstellungen und nutzen diese in Anwendungssituationen - bestimmen die Funktionsgleichung aus dem Grafen - grenzen lineares, potentielles und exponentielles Wachstum gegeneinander ab - Modellieren lineares und exponentielle Wachstum sowie deren Überlagerung rekursiv auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - stellen Datenpaare graphisch dar, führen Regressionen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und nutzen die Ergebnisse für Prognosen (I5) - nutzen einen propädeutischen Grenzwertbegriff zur Deutung und Erläuterung von Grenzprozessen (Zusatz) Zylindern - zeichnen, vergleichen und interpretieren Schrägbilder (I3) Pyramiden, Zylindern... -zeichnen, vergleichen und interpretieren Schrägbilder und Körpernetze (I3) Pyramiden und Kegeln - kombinieren mathematisches und außermathematisches Wissen für Begründungen und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren -wählen, variieren und verknüpfen Modelle zur Beschreibung von Realsituationen (P3) Modelle im Hinblick auf die - zeichnen Schrägbilder von Pyramiden und entwerfen Netze (P4) Verwendung der Fachsprache (P6) - geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese (P1) - kombinieren mathematisches und

9 4.9.3 Volumen des Kegels 4.10 Kugel Volumen der Kugel Oberflächeninhalt der Kugel Arbeiten mit der Formelsammlung 4.11 Vermischte Übungen 4.12 Aufgaben zur Vertiefung Dreitafelprojektion Auf den Punkt gebracht: Arbeiten mit der Formelsammlung S.248 Kugeln - schätzen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern mit Hilfe von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel ab und bewerten die Ergebnisse - zeichnen Schrägbilder von Zylindern, Pyramide und Kegel, entwerfen Körpernetze und stellen Modelle her (I3) Umfang und Flächeninhalt von Kreisen - bestimmen näherungsweise den Flächeninhalt des Kreises und bewerten die Genauigkeit - schätzen Umfang und Flächeninhalt von Figuren ab und bewerten die Ergebnisse Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel - schätzen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern mit Hilfe von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel ab und bewerten die Ergebnisse - zeichnen Schrägbilder von Zylindern, Pyramide und Kegel, entwerfen Körpernetze und stellen Modelle her (I3) außermathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren (P5) - nutzen eine handelsübliche Formelsammlung (P5) - wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese an (P2) - zeichnen Schrägbilder von Körpern, entwerfen Netze und stellen Modelle her (P4) - nutzen eine Tabellenkalkulation und ein Computer-Algebra-System zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) - nutzen eine handelsübliche Formelsammlung (P5) Abschlussarbeit möglich: Schwerpunkt Kreis- und Körperberechnung; Zusatz: Aufgaben aus allen Themen