Signale und Systeme. Martin Werner

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1 Martin Werner Signale und Systeme Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB -Übungen und Lösungen 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 256 Abbildungen, 48 Tabellen und zahlreichen Beispielen, sowie integriertem Online-Übungsteil mit 118 gelösten Aufgaben und MATLAB -Übungen STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 VII 1 Einführung 1 2 Grundbegriffe der Signal- und Systemtheorie Klassifizierung von Signalen Standardsignale Exponentielle Signale Sprungfunktion und Rechteckimpuls Impulsfunktion Klassifizierung von Systemen Systembegriff Systemeinteilung nach Signalklassen Systeme mit und ohne Gedächtnis Kausale Systeme Lineare und zeitinvariante Systeme v Stabile Systeme.' Beispiele Gleitender Mittelwert Medianfilter Gleitender Mittelwert und Mediän in der Bildverarbeitung 22 3 Lineare zeitinvariante Systeme Zeitdiskrete LTI-Systeme Impulsantwort Sprungantwort Kausalität Stabilität Eigenfunktion Beispiel: Barker-Code Zeitkontinuierliche LTI-Systeme Impulsantwort Sprungantwort Kausalität : Stabilität Eigenfunktion Beispiel: RC-Glied Gegenüberstellung I: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme 39 4 Systeme mit linearen Differenzengleichungen Einführung Signalflussgraph Übertragungsfunktion Eigenschwingungen 46

3 VIII 4.5 Ein- und Ausschwingen, Transienten Homogene Lösung der DGL 1. Ordnung Partikuläre Lösung der DGL 1. Ordnung Transiente, stationärer Anteil, Ein-und Ausschwinganteil Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität Systemfunktionen für ein rekursives System 1. Ordnung Impulsantwort Sprungantwort Übertragungsfunktion Lösungen für rekursive Systeme 1. Ordnung Rekursive Systeme 2. Ordnung Lösungen der homogenen DGL 2. Ordnung Stabilität Lösung der DGL 2. Ordnung für exponentielle Erregungen Systemfunktionen für ein rekursives System 2. Ordnung Beispiele zu DGL und Systemen mit DGL Widerstandsnetzwerk Zinsformel f. : System 2. Ordnung Zeitdiskretes Analogon zum Schwingkreis 68 5 Systeme mit linearen Differenzialgleichungen Einführung Lineare DGL JV-ter Ordnung Signalflussgraph Übertragungsfunktion Ein- und Ausschwingen, Transiente Homogene Lösung der DGL Partikuläre Lösung der DGL Lösung der DGL mit Anfangsbedingungen Ein- und Ausschwingen Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität Impulsantwort und Übertragungsfunktion Beispiele mit RLC-Netzwerken System I.Ordnung Reihenschwingkreis Gegenüberstellung II: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme 86 6 z-transformation und LTI-Systeme Einfuhrung Die z-transformation Definition Existenz Eigenschaften z-transformierte von Standardsignalen 93

4 IX 6.3 Anwendung der z-transformation bei LTI-Systemen Übertragungsfimktion BIBO-Stabilität Impulsantwort und Sprungantwort Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich Inverse z-transformation Komplexe Umkehrformel Inverse z-transformation rationaler Funktionen Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Beispiel: Konvergenzgebiete und inverse z-transformation Inverse z-transformation mit der Potenzreihenentwicklung Beispiel: System 3. Ordnung Einseitige z-transformation und ihre Anwendung Laplace-Transformation und LTI-Systeme Einführung Die Laplace-Transformation, Definition Existenz Eigenschaften Laplace-Transformierte von Standardsignalen Anwendung der Laplace-Transformation bei LTI-Systemen Übertragungsfunktion BIBO-Stabilität Impulsantwort und Sprungantwort Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich Inverse Laplace-Transformation Komplexe Umkehrformel Inverse Laplace-Transformation rationaler Funktionen Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Beispiel: T-Glied Einseitige Laplace-Transformation und ihre Anwendung Differenziationssatz der einseitigen Laplace-Transformation Ersatzschaltbild für Laplace-Transformierte Gegenüberstellung III: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme Fourier-Transformation für zeitkontinuierliche Signale Fourier- Reihen Trigonometrische Form Harmonische Form Komplexe Form Parsevalsche Gleichung Periodische Quellen in RLC-Netzwerken Spektrum periodischer Signale und Frequenzgang von LTI-Systemen 147

5 X 8.4 Die Fourier-Transformation Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation Definition der Fourier-Transformation Existenz : Zusammenhang mit der Laplace-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation Fourier-Transformierte von Standardsignalen Bandbreite Zeitdauer-Bandbreite-Produkt Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitkontinuierlichen LTI-Systemen Frequenzgang Lineare Verzerrungen und verzerrungsfreie Übertragung Lineare Filterung Übungsbeispiele zur Fourier-Transformation Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale Einführung Definition der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale Eigenschaften der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale Fourier-Transformierte von Standardsignalen Bandbreite Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitdiskreten LTI-Systemen Frequenzgang Lineare Filterung Vergleich zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter LTI-Systeme im Frequenzbereich Übungsbeispiele zur Anwendung der Fourier-Transformation auf zeitdiskrete Signale Diskrete Fourier-Transformation (DFT) Definition und Eigenschaften der DFT Zyklische Verschiebung, aperiodische und zyklische Faltung Zyklische Faltung Schnelle Faltung Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Einführung Radix-2-FFT-Algorithmus Beispiel: Tiefpassfilterung eines Bildsignals mit der FFT Orthogonale Transformation Diskrete Kosinus-Transformation (DCT) Von der DFT zur DCT DCT als orthogonale Transformation Beispiel: Anwendung der DCT auf ein Bildsignal 239

6 XI 11 Digitale Verarbeitung analoger Signale Einführung Abtastung von Signalen Ideale Abtastung Abtasttheorem und Spektren abgetasteter Signale A/D- und D/A-Umsetzung Zeitdiskrete Simulation analoger Systeme Impulsinvariante Transformation Bilineare Transformation Beispiel: Butterworth-Tiefpass Analoger Butterworth-Tiefpass Beispiel: Impulsinvariante Transformation Beispiel: Bilineare Transformation Anpassung der Abtastrate Unterabtastung Interpolation Beispiel: Interpolation für die D/A-Umsetzung Übungsbeispiele zur digitalen Verarbeitung analoger Signale Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung Zufallsexperimente und stochastische Variablen Charakterisierung stochastischer Variablen Mehrere stochastische Variablen Übungsbeispiele zu stochastischen Variablen Stochastische Signale und LTI-Systeme Stochastische Prozesse Einführung Definition stochastischer Prozesse Kenngrößen reellwertiger und ergodischer stochastischer Prozesse Beispiele für Korrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren Weißes Rauschen Reaktion von LTI-Systemen auf stochastische Signale Zeitdiskrete stochastische Prozesse und LTI-Systeme Zeitkontinuierliche stochastische Prozesse und LTI-Systeme Thermisches Rauschen Detektion und Matched-Filter-Empfänger Detektion Optimales Suchfilter - Matched Filter Beispiel: Mehrkanal-Tokographie Beispiel: Chirp-Signal ' Übungsbeispiele zu stochastischen Prozessen 339

7 XII 14 Zustandsraumdarstellung Einführung^ Zustandsgrößen und Zustandsraumdarstellung Systeme 2. Ordnung Systeme höherer Ordnung Allgemeine Struktur Übertragungsfunktion und Impulsantwort Charakteristische Gleichung, Diagonalform und Ähnlichkeitstransformation Charakteristische Gleichung und Eigenwerte Modalmatrix und Diagonalform Ähnlichkeitstransformation und Normalform Zusammenfassung 372 Anhang A.l Formelzeichen 373 A.2 Abkürzungen r 376 A.3 Tabellenverzeichnis 377 Literaturverzeichnis 378 Sachwortverzeichnis 382