Algebraische und arithmetische Algorithmen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Algebraische und arithmetische Algorithmen"

Transkript

1 Kapitel 1 Algebraische und arithmetische Algorithmen 1.1 Das algebraische Berechnungsmodell Struktur: Körper (oder Ring) mit den Operationen +,,, (/) Eingabe: endliche Folge von Zahlen Ausgabe: endliche Folge von Zahlen Laufzeit : Anzahl der Operationen als Funktion der Eingabelänge. Verwendet werden Abfragen auf 0, Schleifen, Rekursionen etc. 1. Matrizenmultiplikation Eingabe: Zwei (n n)-matrizen über einem Ring a 11 a 1n A =..... a n1 a nn und B = b 11 b 1n..... b n1 b nn Ausgabe: (n n)-matrix c 11 c 1n C =.... n. mit c ij = a ik b kj, 1 i, j n c n1 c k=1 nn Der naive Algorithmus nach dieser Formel benutzt drei verschachtelte Schleifen über i, j und k. Das ergibt eine Laufzeit von Θ(n 3 ): n n n (n 1) Multiplikationen Additionen n 3 n Operationen Für n = sind es also 8 Multiplikationen und 4 Addidtionen. Geht es noch schneller? 1..1 Algorithmus von Strassen (1969) Der deutsche Mathematiker Volker Strassen die fand folgende Formel, um ( )-Matrizen zu multiplizieren: A B = C = c 11 c 1 c 1 c mit 1

2 c 11 = m 1 + m m 4 + m 6 c 1 = m 4 + m 5 c 1 = m 6 + m 7 c = m m 3 + m 5 m 7 m 1 = (a 1 a ) (b 1 + b ) m = (a 11 + a ) (b 11 + b ) m 3 = (a 11 a 1 ) (b 11 + b 1 ) m 4 = (a 11 + a 1 ) b m 5 = a 11 (b 1 b ) m 6 = a (b 1 b 11 ) m 7 = (a 1 + a ) b 11 wobei a ij b ij wie zuvor die Elemente der Matrizen A und B bezeichnen. Diese Methode nutzt 7 Multiplikationen und 18 Additionen und lässt sich zu einem rekursiven Algorithmus zur Multiplikation quadratischer Matrizen beliebiger Größe erweitern. Dazu führt man die Matrizenmultiplikation zunächst auf den Fall für ( )-Matrizen zurück. Gegeben seien zwei Matrizen über einem Ring R: A, B R n n mit n = k, k N + mit Hier sind A ij, B ij R n n A = A 11 A 1 A 1 A und B = für 1 i, j. Nun gilt A B = B 11 B 1 B 1 B A 11B 11 + A 1 B 1 A 11 B 1 + A 1 B A 1 B 11 + A B 1 A 1 B 1 + A B Damit ist die Multiplikation von (n n)-matrizen auf 7 Multiplikationen und 18 Additionen von ( n n )-Matrizen zurückgeführt. Als Rekursionsanker wählen wir (1 1)-Matrizen (was Elementen aus R entspricht). Das Verfahren lässt sich auch für quadratische Matrizen beliebiger Größe anwenden, indem man die Matrix bis zur nächsten Zweierpotenz mit Nullen auffüllt. Die Dimension der Matrix kann sich dadurch höchstens verdoppeln. Die Laufzeit des Algorithmus ist: M(1) = 1 ( n ) M(n) = 7M ( n ) + 18 ( n ) + 9 n = 7M = 7 (7M( n 4 ) + 9 ( n ) ) 9 + n =... ( n ) = 7 k M k + 9 ( ( n ) ( n k 1 n ) ) k 1 = n log ( 7 ) log [ n (1 ) ] n 4 1 log n kürzt sich mit n 4 = 7n log 7 6n Θ(n log 7 )

3 Durch den kleineren Exponenten von log 7 =, < 3 ist der Strassen-Algorithmus asymptotisch schneller als der naive Algorithmus ist. Aber geht es (asymptotisch) noch schneller? 1.. Ausblick Falls für ein k N das Produkt zweier (k k)-matrizen mit p Multiplikationen berechenbar ist, so ist allgemein das Produkt zweier (n n)-matrizen in O(n log k p ) Operationen berechenbar. Strassen fand das Paar k =, p = 7. Seitdem gab es weitere Arbeiten auf diesem Gebiet, die die Laufzeit noch weiter reduzieren konnten auf Θ(n x ): Victor Pan 1978 k = 70, p = x =, Bini, Capovani, Lotti, Romani 1979 x =, Schönhage 1979 x =, 55.. Pan, Winogard 1980 x =, 54.. Coppersmith, Winogard 1980 x =, Inversion und Determinante von Matrizen Wir betrachten (n n)-matrizen über einem Körper K. Gegeben ist die Matrix A über K und gesucht ist A 1, falls A regulär ist. Die Laufzeit bezeichnet wieder die Anzahl der Körperoperationen +,,, /. Mit dem klassischen Gauss-Eliminationsverfahren lässt sich die Inverse berechnen, indem man die Matrix A mit Zeilenoperationen in die Einheitsmatrix überführt und die selben Operationen auch auf eine Einheitsmatrix anwedet: ( ) ( ) A I n I n A 1 Die Elimination eines Elementes der Matrix benötigt eine Zeilenoperation, welche in O(n) arbeitet. Insgesamt ergibt sich also eine Laufzeit von Θ(n 3 ). Rückführung der Inversion auf Matrizenmultiplikation: Sei wieder A K n n mit n = k, k N +. Unter der Voraussetzung, dass A 11 regulär ist, gilt folgende Zerlegung: X Y A = I n 0 n A 11 0 n I n A 1 11 A 1 A 1 A 1 11 I n 0 n D 0 n I n }{{}}{{}}{{} Dabei bezeichnen A ij, 1 i, j die ( n n )-Blockmatrizen aus A, I n die Einheitsmatrix der Größe n und 0 n die Nullmatrix der Größe n. Die Matrix D berechnet sich aus I n D = A A 1 A 1 11 A 1 Die Matrizen X und Z sind regulär, weil ihre Determinante 1 ist (Dreiecksform). Wenn sowohl A 11 als auch D regulär sind, dann ist Y ebenfalls regulär und es gilt: A 1 11 A n A 1 = 0 n I n 0 n D 1 A 1 A 1 11 I n }{{}}{{}}{{} Z 1 A 1 Das liefert einen rekursiven Algorithmus zum Invertieren einer (n n)-matrix. Y 1 Z I n X 1 0 n 3

4 Die Determinante von A lässt sich ebenfalls auf diese Art zurückführen: det A = det X det Y det Z = 1 det Y 1 = det A 11 det D Bisher wird immer vorausgesetzt, dass A 11 regulär ist. Falls dies nicht gewährleistet ist, lässt sich zumindest in den Körpern R und Q folgender Trick nutzen (A T = A transponiert): A 1 = (A T A) 1 A T Die Matrix A T A ist positiv definit und symmetrisch. to be continued Multiplikation Boolscher Matrizen (Fortsetzung ) Da die Einträge ĉ ij n sind, können wir statt über Z auch über Z n+1 rechnen. Z n+1 ist ein Ring, d.h. die schnelle Matrizen Multiplikation ist anwendbar. (ĉ ij sind die Ergebnisse der Multiplikation) jetzt noch: Anzahl der Bitoperationen für eine Multiplikation/Addition/Subtraktion auf Z n+1 (Die Zahlen werden binär dargestellt mit log(n + 1) Bits.) Addition und Subtraktion von zwei k-bit-zahlen braucht O(k) Bitoperationen (nach der Schulmethode und der Implementierung im Schaltkreis). Für die Multiplikation werden O(k ) Bitoperationen benötigt. Beispiel für die Addition: Beispiel für die Multiplikation: Satz 1. Falls die Matrizenmultiplikation über einem Ring in M(m) arithmetischen Operationen möglich ist und Multiplikation/Addition/Subtraktion von k-bitzahlen in m(k) Bitoperationen, so kann man mit O(M(n) m( log(n + 1) )) Bitoperationen boolsche n n-matrizen multiplizieren. zum Beispiel: M(n) = O(n, ) m(k) = O(k ) O(n, log (n)) = O(n,377 ) (boolsche Matrizenmultiplikation) 4

5 1.4.1 Transitiver Abschluss Boolscher Matrizen gegeben: Boolsche n n-matrix A ˆ= gerichteter Graph G A mit n Knoten (o.b.d.a. V = {1,..., n}) ˆ= binäre Relation R A auf einer n-elementigen Menge Wir wollen den reflexiven und den transitiven Abschluss dieser Relation (Matrix A ) berechnen. A := I A A A 3 = (komponentenweises Oder) (A ) ij = 1 in G A existiert ein Weg von i nach j, denn: (A ) ij = 1 in G A existiert ein Weg der Länge k von i nach j i=0 A i Beweis durch Induktion: (es existiert ein Weg von i nach r mit der Länge k 1) (A k 1 ) ir = 1 a rj = 1 und (A k ) ij = n (A k 1 ) ir a ij ) i=0 Zusammenhang: transitiver Abschluss Multiplikation: Satz. a) Falls die Multiplikation boolscher Matrizen mit M(n) boolschen Operationen möglich ist, dann ist der transitiver Abschluss in O(M(n)) möglich. (Vorraussetzung: 4 M( n / ) M(n), M(n) c für ein c > 0) b) transitiver Abschluss in A(n) möglich, denn Multiplikation in A(3n) Beweis. (Annahme n ist eine Zweierpotenz) a) wenn A = B D C E dann ist A = (B CE D) }{{} :=F E DF F CE E E DF CE Die transitive Hülle von n n-matrix kann auf transitive Hüllen von n / n / -Matrizen (E und F ) und 6 Multiplikation und Additionen zurückgeführt werden. 5

6 A(n) = A( n / ) + 6M( n / ) + O(n ) für n A(1) = 0 also gilt: A(n) = A( n / ) + O(M(n)) A(n) = O(M(n)) (wie bei Inversion auflösen) Beispiel für die Graphendarstellung von G A : 1... n / n / n Pfade innerhalb der linken Seite werden durch die Einträge in B repräsentiert. Pfade innerhalb der rechten Seite werden durch die Einträge in E repräsentiert. Pfade von der linken zur rechten Seite werden durch die Einträge in C repräsentiert. Pfade von der rechten zur linken Seite werden durch die Einträge in D repräsentiert. Bisherige Methode: Für jeden Knoten in G A wird eine Breitensuche durchgeführt. O(n(n + m)) (Alternativ kann bei dünn besetzten Matrizen Multiplikation effizient durchgeführt werden.) b) Übung Was kann man noch auf Matrizenmultiplikation reduzieren? Analyse kontextfreier Sprachen geht in O(M(n)). (Dazu wird ein angepasster CYK-Algorithmus verwendet.) M := Komplexität der boolschen Matrizenmultiplikation 1.5 Polynommultiplikation, diskrete Fourier-Transformation gegeben: Körper K, Polynome über K in x: K[x] Ausdrücke der Form P (x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n mit n 0, a 0,..., a n ɛ K werden durch einen Vektor der Koeffizienten (a 0,..., a n ) ɛ K n+1 repräsentiert. 6

7 Die Addition von Polynomen wird komponentenweise durchgeführt. Für die Multiplikation von Polynomen gilt: (a 0 + a 1 x + + a n x n ) (b 0 + b 1 x + + b n x n ) = c 0 + c 1 x + + c n x n c i = mit c i = i j=0 n j=i n a j b i j a j b i j für i n für i > n i = 0,..., n (c 0,..., c n ) heißt Faltung (Konvolution) von (a 0,..., a n ) (b 0,..., b n ). Wie viele Operationen (über K) sind nötig, um Faltung (d.h. Polynommultiplikation) zu berechnen? Direkt aus der Definition folgt: i + 1 für i n (n i) + 1 für i = n + 1,..., n n i i=0 n i=n+1 (i n) + 1 = O(n ) FFT ausführlich geg: Vektor a = (a 0,..., a n ) K n+1 Körper K, der eine primitive (n + 1)-te Einheitswurzel ω besitzt. obda: (n + 1) ist eine Zweierpotenz. Algorithm 1 FFT(a,n,ω) 1: if n = 0 then : return (a) 3: else 4: ag := (a 0, a,...a n 1 ) 5: au := (a 1, a 3,...a n ) 6: u := F F T (ag, n 1, ω ) 7: v := F F T (au, n 1, ω ) 8: w := 1 9: for i = 0 n 1 do 10: y i := u i + w v i 11: y n+1 +i := u i w v i 1: w := ω w 13: end for 14: return (y 0,...y n ) 15: end if Erklärung der Zeilen 8-15: für i = 0,..., n 1 : w durchläuft 1, ω, ω,..., ω n 1 y i soll sein: p 1 (ω i ) + }{{}}{{} ω i u i w für i = n 1 + 1,..., n : Wie sieht hier ω i aus? p (ω i ) }{{} v i 7

8 i = n + 1, n + 3, n + 5,... ω i = ω (n+1), ω (n+1)+, ω (n+1)+4,... ω i = ω i (n+1) Es werden hier die Werte von p 1 an diesen Stellen genommen. w i für i = n 1 + 1,..., n ist gleich: w n+1 +j }{{} = 1 = ω j für j = 0,..., n+1 Genaue Rekursionsgleichung: T (n + 1) = T ( n + 1 T (n + 1) = 3 (n + 1) log(n + 1) ) + 3 n + 1 }{{} Körperoperationen in Zeilen 8-14 Für die Faltung (Konvolution, Polynommultiplikation) haben wir folgenden Satz 3. (Faltungssatz) Seien a, b K n+1 Vektoren, K Körper mit primitiver (n+1)-ter Einheitswurzel, dann gilt a b = DF T 1 (DF T (a) DF T (b)) wobei a b K n+1 die Koeffizienten des Polynomproduktes darstellt, a, b die Dimension n haben (werden mit 0 aufgefüllt) und für die komponentenweise Multiplikation steht. Korollar 1. Die Multiplikation von Polynomen von Grad n mit Koeffizienten aus K (Eigenschaften wie in Satz 3) ist möglich mit O(nlogn) Operationen über dem Körper K. Denn die Operationen in der Formel in Satz 3 benötigen folgende Laufzeiten: DF T (a) DF T (b) in O(nlogn) mit FFT möglich geht in O(n) Zeit DF T 1 auch in O(nlogn) möglich, da die zugehörige inverse Matrix ω 1 1 ω n n ist.. 1 ω n ω n FFT unter Benutzung von ω 1 möglich. Ergebnis muss 1 mit n + 1 multipliziert werden. }{{} O(n)Zeit 1.5. Bedeutung der Fourier-Transformation Darstellung einer Funktion mit Hilfe der Einheitswurzel 1, e i π N,..., e i (N 1) π N. Dabei gilt e i k π N π π = cos(k ) + sin(k N N ) = ωk 8

9 FFT gibt die Darstellung einer Funktion mit Hilfe von sin und cos verschiedener Frequenzen an. Die Koeffizienten sagen dabei aus wie stark die Frequenzen vertreten sind. Das Ergebnis der Fouriertransformation heißt auch Spektrum. Anwendungsgebiete: Wirtschaftwissenschaften: Untersuchung von Preisschwankungen Bild- und Signalverarbeitung: ( Hier ) werden durch Anwendung der Fourier-Transformation mit der Sinc-Funktion sinc(x) = sin(x) x Filter für die Rauschunterdrückung erstellt. Es wird dabei in Hoch- und Tiefpassfiter unterschieden. 9

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 10: Lineare Algebra Christian Scheideler WS 2008 19.02.2009 Kapitel 10 1 Überblick Notation Arithmetik auf großen Zahlen (Addition und Multiplikation)

Mehr

Schulmethode zur Multiplikation von n-stelligen Binärzahlen a und b: (evtl. fallen Zeilen weg, wenn das zugehörige Bit des Multiplikators 0 ist).

Schulmethode zur Multiplikation von n-stelligen Binärzahlen a und b: (evtl. fallen Zeilen weg, wenn das zugehörige Bit des Multiplikators 0 ist). 4-1 4. Algorithmen auf Zahlen Themen: Multiplikation von binären Zahlen Matrixmultiplikation 4.1 Multiplikation ganzer Zahlen Schulmethode zur Multiplikation von n-stelligen Binärzahlen a und b: n=8: aaaaaaaa

Mehr

16. All Pairs Shortest Path (ASPS)

16. All Pairs Shortest Path (ASPS) . All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e

Mehr

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2. Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

1 Rechnen mit 2 2 Matrizen

1 Rechnen mit 2 2 Matrizen 1 Rechnen mit 2 2 Matrizen 11 Produkt Wir berechnen das allgemeine Produkt von A = Für das Produkt gilt AB = a11 a 12 a 21 a 22 a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

2. Repräsentationen von Graphen in Computern

2. Repräsentationen von Graphen in Computern 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen

Mehr

Teile und Herrsche Teil 2

Teile und Herrsche Teil 2 Teile und Herrsche Teil 2 binär Suchen und schnell Multiplizieren Markus Fleck Manuel Mauky Hochschule Zittau/Görlitz 19. April 2009 Suchen in langen Listen (0, 1, 2, 7, 8, 9, 9, 13, 13, 14, 14, 14, 16,

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 73 Ergänzungen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 73 Ergänzungen 1 / 17 1 Reguläre Matrizen Prof Dr

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21 5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Komplexität von Algorithmen

Komplexität von Algorithmen Komplexität von Algorithmen Prof. Dr. Christian Böhm WS 07/08 in Zusammenarbeit mit Gefei Zhang http://www.dbs.informatik.uni-muenchen.de/lehre/nfinfosw Ressourcenbedarf - Größenordnungen Prozesse verbrauchen

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

4.4. Rang und Inversion einer Matrix

4.4. Rang und Inversion einer Matrix 44 Rang und Inversion einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die Dimension ihres Zeilenraumes also die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen Daß der Rang sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert

Mehr

Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7

Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Vincent Blaskowitz Übungsblatt 7 vom 03.06.20 Aufgabe Aufgabenstellung Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner: i log 0,008 ii log 2 Lösung

Mehr

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden:

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden: Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a a 1 gelöst werden: ax b x b a a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax b mit einer n nmatrix A: Wenn es

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von

Mehr

Beispiele zur schnellen Fouriertransformation

Beispiele zur schnellen Fouriertransformation Beispiele zur schnellen Fouriertransformation Man bestimme die Koeefizienten der diskreten Fourieranalyse der Funktion f(t) = sin(3t) + cos(5t) an den Stützstellen t k = π n k, k = 0,,,n, n = p! Es sind

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

Fragenkatalog Kapitel 1 Fehleranalyse

Fragenkatalog Kapitel 1 Fehleranalyse Teil 1: Numerik katalog Kapitel 1 Fehleranalyse 1. Zwischen was besteht ein funktionaler Zusammenhang z i? Welche Form hat er? 2. Welche 4 Typen von Fehlerquellen gibt es? Nenne Beispiele! 3. Wie berechnet

Mehr

Lie Gruppen, SS 2010 Montag $Id: intro.tex,v /04/13 16:06:37 hk Exp hk $ Es wird etwas dauern bis wir in der Lage sind zu sagen was

Lie Gruppen, SS 2010 Montag $Id: intro.tex,v /04/13 16:06:37 hk Exp hk $ Es wird etwas dauern bis wir in der Lage sind zu sagen was $Id: intro.tex,v 1.3 2010/04/13 16:06:37 hk Exp hk $ 1 Einleitung Es wird etwas dauern bis wir in der Lage sind zu sagen was Lie Gruppen eigentlich sind. Dagegen ist es sehr wohl möglich bereits einige

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen.

Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen. 1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 2008 Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe Teil III Lineare Algebra Inhaltsangabe 3 Lineare Algebra 22 3.1 Einführung.......................... 22 3.2 Matrizen und Vektoren.................... 23 3.3 Spezielle Matrizen...................... 24

Mehr

Matrizen. Aufgabe 1. Sei f R 2 R 3 definiert durch. x y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f. Lösung von Aufgabe 1.

Matrizen. Aufgabe 1. Sei f R 2 R 3 definiert durch. x y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f. Lösung von Aufgabe 1. Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( x 3y x f x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Lösung von Aufgabe ( f ( f 3 Die Matrix Darstellung von f ist somit A 3 Aufgabe Eine lineare

Mehr

Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005

Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005 Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005 1. Bestimmen Sie die zwei letzten Ziffern der Dezimaldarstellung von 12 34 Es gilt: 12 34 = 12 32+2 = 12 32 12 2 = 12 (25) 12 2 = ((((12 2 ) 2 ) 2

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben: Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise

Mehr

Kapitel 17. Determinanten

Kapitel 17. Determinanten Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS / Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 76: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme Ax b: a)

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik 1 Registermaschine David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2012 Übersicht Registermaschinen Algorithmusbegriff konkretisiert formale Beschreibung

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner Musterlösung Problem : Average-case-Laufzeit vs Worst-case-Laufzeit pt (a) Folgender Algorithmus löst das Problem der

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008 KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I. Februar 008 MUSTERLÖSUNG Diese Klausur wurde je nach Sitzreihe in zwei verschiedenen Versionen geschrieben. Die andere Version unterscheidet sich von der vorliegenden jedoch

Mehr

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme KAPITEL 2 Lineare Gleichungssysteme Lernziele dieses Abschnitts sind: Begrie: Matrix, Vektor spezielle Matrix, transponierte Matrix, inverse Matrix nur fur quadratische Matrizen erklart, Determinante,

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Optimierung. Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen. Vorgehen: Dynamische Programmierung

Optimierung. Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen. Vorgehen: Dynamische Programmierung Optimierung Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Optimierung I Dynamisches Programmieren Günther Greiner Lehrstuhl für Graphische Datenverarbeitung Sommersemester

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich)

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Lösung Montag WS 01/1 Aufgabe 1 Zum warm werden: Komplexe Zahlen - Lehrling Bestimmen Sie das komplex Konjugierte, den Betrag

Mehr

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2 1. Formatbedingungen der Matrixoperationen Die Addition (Subtraktion) A ± B verlangt gleiches Format der Operanden A und B. Das Ergebnis hat das Format der Operanden. Skalarmultiplikation λa: Es gibt keine

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

6. Rechnen mit Matrizen.

6. Rechnen mit Matrizen. 6. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt und dem

Mehr

Programmierung 2. Dynamische Programmierung. Sebastian Hack. Klaas Boesche. Sommersemester 2012. hack@cs.uni-saarland.de. boesche@cs.uni-saarland.

Programmierung 2. Dynamische Programmierung. Sebastian Hack. Klaas Boesche. Sommersemester 2012. hack@cs.uni-saarland.de. boesche@cs.uni-saarland. 1 Programmierung 2 Dynamische Programmierung Sebastian Hack hack@cs.uni-saarland.de Klaas Boesche boesche@cs.uni-saarland.de Sommersemester 2012 2 Übersicht Stammt aus den Zeiten als mit Programmierung

Mehr

11. Übung zur Vorlesung. Zahlentheorie. im Wintersemester 2015/16

11. Übung zur Vorlesung. Zahlentheorie. im Wintersemester 2015/16 11. Übung zur Vorlesung Aufgabe 41. Zeige, dass das Polynom (X 2 13)(X 2 17)(X 2 13 17) Z[X] modulo jeder natürlichen Zahl n N eine Nullstelle hat, aber keine Nullstelle in Z besitzt. Aufgabe 42. Sei p

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g:

Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g: TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 2 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Max Zoller 14. April 8 1 Der klassische euklidische Algorithmus Beispiel: ggt 15, 56? 15 = 1 56 + 49 56 = 1 49 + 7 49 = 7 7 + =

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Christian Serpé Universität Münster 14. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) 14. September 2011 1 / 56 Gliederung 1 Motivation Beispiele Allgemeines Vorgehen 2 Der Vektorraum R n 3 Lineare

Mehr

Mathematik Matrizenrechnung

Mathematik Matrizenrechnung Mathematik Matrizenrechnung Einstufige Prozesse Rechenregeln für Matrizen Mehrstufige Prozesse Inverse Matrix Stochastische Prozesse 6 Zyklisches Verhalten Einstufige Prozesse Einstufige Prozesse Zur Beschreibung

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation . Inhaltsverzeichnis.............. Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1 Matrizen Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen 1.1 Was sind Matrizen 1.2 Arten von Matrizen Kapitel 2 Matrizenoperation

Mehr

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen KAPITEL III Lineare Algebra 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus I Matrizen Definition 121 Matrizen und der R n Es seien m,n 1 zwei positive ganze Zahlen a Eine m n-matrix über R ist ein rechteckiges Schema

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Peter Feigl JKU Linz peter.feigl@students.jku.at 0055282 Claudia Hemmelmeir JKU Linz darja@gmx.at 0355147 Zusammenfassung Wir möchten in diesem Artikel die ganzen

Mehr

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 8. Mai 2012 B. Rieck (CoVis)

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Randomisierte Algorithmen

Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen 7. Random Walks Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2016/2017 1 / 43 Überblick Überblick Ein randomisierter

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit

Mehr

Oft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein.

Oft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein. Oft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein. 3 1384788374932954500363985493554603584759389 mod 28374618732464817362847326847331872341234 Wieso kann ein

Mehr

Das Kryptosystem von McEliece. auf der Basis von linearen Codes

Das Kryptosystem von McEliece. auf der Basis von linearen Codes Das Kryptosystem von McEliece auf der Basis von linearen Codes Anforderungen Public-Key Kryptosysteme E e (m) = c Verschlüsselung D d (c) = m Entschlüsselung mit Schl. effizient effizient 2/25 Anforderungen

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 14

Aufgaben zu Kapitel 14 Aufgaben zu Kapitel 14 1 Aufgaben zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen? Aufgabe 14.2 Gibt

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis Optimierungsprobleme Instanz eines Optimierungsproblems zulässiger Bereich (meist implizit definiert) Zielfunktion Optimierungsrichtung opt {max, min} Optimierungsproblem Menge von Instanzen meist implizit

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Effiziente Algorithmen I

Effiziente Algorithmen I H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13 4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist ein System aus Gleichungen mit Unbekannten, die nur linear vorkommen. Dieses kann abkürzend auch in Matrizenschreibweise 1 notiert werden:

Mehr

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung Matrixzerlegungen. 7. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 29. April 2010 Gliederung Elimination faktorisiert A = L R Die A = L R Faktorisieren: Zerlege A in ein Produkt (einfacherer) Angenommen,

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER

Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL THEORETISCHE CHEMIE Juli 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen............................. 5 1.1 Einführung............................

Mehr

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch

Mehr

Algorithmentheorie Randomisierung. Robert Elsässer

Algorithmentheorie Randomisierung. Robert Elsässer Algorithmentheorie 03 - Randomisierung Robert Elsässer Randomisierung Klassen von randomisierten Algorithmen Randomisierter Quicksort Randomisierter Primzahltest Kryptographie 2 1. Klassen von randomisierten

Mehr