1 Verteilungsfunktionen, Zufallsvariable etc.

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1 4. Test M3 ET Dezember 27 Regelung für den.ten Übungstest:. Wer bei den Professoren Dirschmid, Blümlinger, Vogl oder Langer die UE aus Mathematik 2 gemacht hat, sollte dort die WTH und Statistik gehabt haben und ich rechne seine Übungsnote als Anhaltspunkt für die Wertung des.ten Tests. Es wird gebeten, das Übungszeugnis bei der Abschlußprüfung zur M3 ET mitzunehmen. Gesonderte -nachricht (Abmeldung vom. Test) an mich ist nicht erforderlich. 2. Wer die Vorlesungsprüfung aus Mathematik 2 bei Dirschmid, Langer oder Vogl, jedoch ohne Absolvieren der Übungen gemacht hat, sollte den.test unbedingt mitmachen, weil dieser praktischen Umgang (zumindest in bescheidenem Maße) berücksichtigt. Verteilungsfunktionen, Zufallsvariable etc. Beispiel Mehrfachantworten sind möglich, jede korrekte Antwort ergibt einen Punkt.. Welche der in der linken Spalte skizzierten Funktionen sind keine Verteilungsfunktionen? a) b) c) d) Lediglich a). Bei b) und d) ist die Monotonieeigenschaft verletzt, und in c) liegt keine Funktionsgraph vor 2. Welche der in der rechten Spalte skizzierten Funktionen kommen als Dichten kaum in Frage? a) b) c) d) Lediglich c) sieht wie eine Dichte aus. (Korrektur d Antwort von a) am 3..7) a) ist keine Funktion, b) ist auch negativ und scheidet aus. Bei d) weiß man das nicht genau,

2 4. Dezember 27 2 weil nur ein endlicher Ausschnitt gezeichnet ist. ) 2) a a b b c c d d 3. Durch welche der nachstehenden Eigenschaften ist die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X, Y : Ω R charakterisiert? a) E(X)E(Y ) = E(XY ) b) F X (x)f Y (y) = F (X,Y ) (x, y) gilt für alle x, y R c) F X (x)f Y (y) = F XY (x, y) d) P (X(ω) < x))p (Y (ω) < y)) = P (X(ω) < x Y (ω) < y) b) und d). a) tut dies nur, falls F eine Gaußsche Normalverteilung ist. In c) kann auf der rechten Seite die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen nicht von 2 Argumenten abhängen

3 4. Dezember Welche der folgenden Aussagen ist zutreffend? a) Identisch verteilte Variable X i können unterschiedliche Erwartungswerte besitzen b) Der Erwartungswert von 3X + 5Y ist 3E(X) + 5E(Y ) c) Sind die Variablen X und Y unabhängig, so ist die Varianz von Z = 3X + 5Y gleich 9V (X) + 25V (Y ) (Angabe abgeändert am 3..7) d) Die Normalverteilung N(7, 25) hat Varianz 25 e) F 2X 3 (x) = P (X < x+3 2 ) f) V (2X 3) = 4V (X 2 ) 6V (X) + 9 a) F. b) T. E ist lineare Abbildung. c) T. Es ist V (3X+5Y ) = E((3X+5Y ) 2 ) E(3X+5Y ) 2 = E(9X 2 +3XY +25Y 2 ) (3E(X) + 5E(Y )) 2 = 9E(X 2 ) + 3E(XY ) + 25E(Y 2 ) 9E(X) 2 3E(X)E(Y ) 25E(Y ) 2 = 9E(X 2 ) + 25E(Y 2 ) 9E(X) 2 25E(Y ) 2 (wobei E(XY ) = E(X)E(Y ) wegen der st.unabh. benützt worden ist) und hieraus ergibt sich die Behauptung. d) F. Die Verteilungsdichte der N(7, 25) ist 2πσ e 2( x 7 25 ), insbesondere ist σ = 25. Demnach ist V (X) = σ 2 = 625, wobei X die unter Betracht stehende N(7, 25)- verteilte Zufallsvariable ist. e) T. Es ist F 2X 3 (x) = P (2X 3 < x) laut Definition. Weil die Ungleichung 2X 3 < x (eigentlich 2X(ω) 3 < x) zu X < x+3 2 äquivalent ist, erhält man aus der DN der Verteilungsfunktion von X die behauptete Gleichung. f) F. Es ist V (2X 3) = E((2X 3) 2 ) E(2X 3) 2 = E(4X 2 2X + 9) (4E(X) 2 2E(X) + E(9) = 4E(X 2 ) 2E(X) + E(9) 4E(X) 2 + 2E(X) E(9) = 4(E(X 2 ) E(X) 2 ) = 4V (X). Wäre die obige Formel nun richtig, so müßte die Gleichung 4V (X) = 4V (X 2 ) 6V (X) + 9 gültig sein. Ist X nun etwa die Zufallsvariable, die konstant gleich Null ist, so ist E(X) = V (X) = V (X 2 ) = und man bekommt den Widerspruch = 9. 2 Statistische Tests aller Art Beispiel 2 Fragen hiezu.

4 4. Dezember Ausgangssituation: Gewisse Aussagen über die Verteilungsfunktion gewisser Kenngrößen U, I und R eines Bauteils sollen durch Messungen getroffen werden (z.b. wie gut U = IR erfüllt ist ). Es sollen folgende Behauptungen entschieden werden, von denen sich die meisten auf korrekte Verwendung der Terminologie beziehen: a) Die Verteilungsfunktion der Kenngrößen hat 3 Argumente b) Die Messungen bescheren einem eine Stichprobe im (R 3 ) c) Jede einzelne der Messungen ist eine Stichprobe d) Der Wahrscheinlichkeitsraum Ω darf als R 3 angenommen werden und X : Ω R 3 ist die Zufallsvariable mit den Koordinaten X = (U, I, R), welche die tatsächlichen Werte der dem Messenden zunächst unbekannten Kenngrößen des Bauteils zusammenfaßt e) Der Erwartungswert µ ist ein Element des R 3 f) Sind X i für i =,..., n die Meßpunkte, so ist im vorliegenden Fall X i R 3 und n = g) Es ist n n i= X i ein erwartungstreuer Punktschätzer für µ h) Es ist n n i= X i ein konsistenter Punktschätzer für µ a) T. Die Argumente sind (U, I, R). b) F. Sie liegt im (R 3 ). c) F. Jede einzelne Messung der drei Koordinaten ist eine R 3 -wertige Koordinate der Stichprobe. d) T. Das wahrscheinlichkeitstheoretische Setting ist korrekt. e) T. f) T. Jeder Meßpunkt entspricht den 3 Werten (U, I, R). g) h) beide T. Der Nachweis besteht darin, sich zu überlegen, daß jede Koordinate von X R 3 Erwartungswert der entsprechenden Koordinate der zu messenden vektoriellen Zufallsgröße ist. Damit überträgt sich die Erwartungstreue bzw. Konsistenz auf das X. 6. Jetzt eine -dimensionale Situation.

5 4. Dezember 27 5 Es werde die Länge l eines Stabes vermessen und Messungen ausgeführt. Man entscheide die Richtigkeit der nachstehenden Aussagen. a) Der Wahrscheinlichkeitsraum Ω kann als R genommen werden und es ist gerechtfertigt, als Verteilungsfunktion jene zu nehmen, die für x l den Wert Null, und ab x l den Wert hat. b) Es ist gerechtfertigt, als Länge des Stabes den Erwartungswert µ von l anzunehmen. c) Es handelt sich um eine diskrete Verteilung d) Die Messungen dienen einer Parameterschätzung, nämlich jener von µ e) Die Messungen dienen einer Parameterschätzung, nämlich jener von σ, d.i. die Streuung von l f) Die Streuung der Zufallsvariablen l ist Null g) Unter der Annahme, daß der Stab bei Temperaturschwankungen geringfügig seine Länge ändern kann, h) ist die Annahme σ = ungerechtfertigt ( n n i= X2 i X 2) ist ein konsistenter Punktschätzer von σ 2 (korrigiert am 5..7) i) Die Formel für die Stichprobenvarianz lautet S 2 = n n Xi 2. i= a) d) T. Brauchbares Setting. d), e) beide T. allerdings könnte man auch andere Größen damit zu schätzen versuchen, etwa Konfidenzintervalle. f) g) Es kommt auf die Situation an. Beide Annahmen könnten gerechtfertigt sein. h) T. allerdings, er ist nicht erwartungstreu. i) F. (bitte selber nachsehen) 3 Diverses 7. Die Stichprobenvarianz der Messung {, 9,, 9,, 9} beträgt a) 6 5, b), c) 6 5, d) keiner der vorangegangenen Werte. (4 Punkte) a)

6 4. Dezember Jemand testet einen Würfel. Er findet absolute Häufigkeiten 5, 2, 4, 6, 7, 8 für die Ereignisse, 2, 3, 5, bzw. 6 fällt. Die empirische Verteilungsfunktion hat an der Stelle 4 den Wert a) 6, b).65 c).49 d) keinen dieser Werte? (4 Punkte) c) 9. Herr St. Atistiker will aus den obigen Daten, der Kenntnis von z.95 =.645, dem.5 2 Quantil der Normalverteilung (die er z.b. Bronstein Semendjajew entnimmt) und der Annahme, daß σ.4 ist (das ist eine Schätzung für die stärkste Abweichung von 6 in den Daten), folgendes ableiten: Ein Intervallschätzer für die Wahrscheinlichkeit, daß eine 6 geworfen wird und gibt eine Garantie mit Konfidenzniveau.95 ab, daß diese Wahrscheinlichkeit im Intervall liegt, wobei α :=.5 eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit ist. Er kommt zu dem Ergebnis, daß mit Konfidenzniveau.95 die Wahrscheinlichkeit, mit diesem Würfel eine 6 zu werfen, zwischen.73 und.87 liegt. Ist das O.K.? (5 Punkte) Ist O.K. Wenn z das obige Quantil ist, so benötigt er zσ n = und x = 8, um das angegebene Intervall durch anzugeben. ( x zσ n, x + zσ n ) = =.658