Musterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung
|
|
- Bernt Hauer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I ( ) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt per Induktion über n: Induktionsnfng: Nch dem Additionstheorem für Sinus gilt sin() 0 sin(2) = sin( + ) = 2 sin() cos() cos(2 0 ) = sin(2) 2 sin() lso die Behuptung für n =. Induktionsschluss: Angenommen für ein n N gelte (IV) n cos(2 k ) = sin(2n ) 2 n sin(). Dnn gilt wieder mit dem Additionstheorem für Sinus ( n n ) cos(2 k ) = cos(2 k ) cos(2 n ) (IV) = sin(2n ) 2 n sin() cos(2n ) = 2 n sin() sin(2n ) cos(2 n ) = 2 n sin() 2 sin(2 2n ) = sin(2n+ ) 2 n+ sin() Mit dem Induktionsprinzip folgt dnn die Behuptung. Aufgbe 2. () Eine Folge ( k ) k N ist genu dnn bestimmt divergent gegen +, wenn es zu jedem C > 0 einen Inde k 0 N gibt, so dss k > C für lle k k 0. (2) Sei C R gegeben. Die Folge ( k ) k N ist monoton wchsend und dmit nch unten beschränkt, denn es gilt k für lle k N. ( k ) k N ist nch Vorussetzung unbeschränkt, lso nch oben unbeschränkt, und somit eistiert nch Definition ein k 0 N mit k0 > C. D die Folge monoton wchsend ist, gilt dnn für lle k k 0 k k0 > C,
2 lso die Behuptung. Aufgbe 3. () Es gilt k = k2 + 7k 3 3k + 5 = k k k für k. Dmit ist ( k ) k N unbeschränkt und bestimmt divergent gegen +. (2) Es gilt b k = k sin( π 2 + kπ) k cos kπ = { k k k flls k gerde flls k ungerde = k+ { + k + flls k gerde flls k ungerde k+ Dmit ist (b k ) k N beschränkt und es ist b k 2 für lle k N. Folglich ist (b k ) k N nicht bestimmt divergent und Limes superior und inferior eistieren. Mn ht sowie lim sup b k = lim b 2k = k k lim sup b k = lim b 2k+ =. k k Limes superior und inferior stimmen nicht überein und somit ist (b k ) k N nicht konvergent.. Aufgbe 4. Der Nchweis der Konvergenz erfolgt mit dem Wurzelkriterium. Wegen ep(k) = e k gilt k ( ) k k 2 ( ) k 2 k e k = k k 2 k = < für k. e k e e Dmit ist die Reihe nch dem Wurzelkriterium bsolut konvergent, lso uch konvergent. Aufgbe 5. Nch Vorussetzung eistiert für lle ε > 0 ein δ > 0, so dss ( ) h(r) h(0) = h(r) < ε für lle r mit r 0 = r < δ. Sei nun ε > 0 gegeben. Wähle dnn δ wie in ( ). Dnn gilt für lle, y (, b) mit y < δ f() f(y) h( y ) ( ) < ε, und dmit die gleichmäßige Stetigkeit von f. (2 der zu erreichenden Punkte werden hier für die richtige Formulierung oder Anwendung der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit vergeben).
3 Aufgbe 6. Die Funktion f ist genu dnn streng monoton wchsend uf [, b], wenn f() < f(y) für lle, y [, b] mit < y. Seien lso, y [, b] mit < y. Dnn eistiert nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung ein ξ (, y) (, b) mit f(y) f() = f (ξ) (y ) > 0. }{{}}{{} >0 >0 Es gilt lso f(y) > f() und dmit ist f streng monoton wchsend. Aufgbe 7. Auf R\{0} ist f differenzierbr ls Verkettung differenzierbrer Funktionen. Nch der Ketten- und Produktregel gilt für 0 dnn ( ) ( ) f () = 2 cos 2 sin ( ) ( ) ( ) 2 = 2 cos + sin. In 0 betrchtet mn den Differenzenquotienten von f. Es gilt lim f() f(0) 0 0 = lim 2 cos ( ) 0 ( 0 = lim 0 ) cos lim = 0. 0 Also ist f uch in = 0 differenzierbr und mn ht insgesmt { ( 2 cos ( f () = ) + sin ) für 0, 0 für = 0. Aufgbe 8. () Nch der us der Vorlesung/Übung beknnten Restgliedbschätzung für die Eponentilreihe gilt lso die obere Schrnke ep() 2! = 2, e 3. Für die untere Schrnke nutzt mn direkt die Reihendrstellung der Eponentilfunktion k e = ep() = k! + = 2. (2) Mit der Substitution = e y erhält mn lim log() = lim y = lim 0 y e y Wegen e y = y k k! > y2 2 e y. y y für lle y > 0
4 gilt dnn lim y Ds beweist die Behuptung. y e lim 2y y y y = lim 2 2 y y = 0. Aufgbe 9. f ist eine Komposition differenzierbrer Funktionen und dmit differenzierbr. Um die Etremlstellen der Funktion zu finden genügt es dher, lle Stellen mit f () = 0 zu betrchten. Mn ht f () = log()! = 0 = e. Die zweite Ableitung von f ist gegeben durch f () = 4, lso istf (e ) = 4e > 0. Folglich besitzt f ein lokles Minimum in 0 = e und ist streng monoton fllend in (0, e ] und streng monoton wchsend in [e, ). Es gilt ußerdem f( 0 ) = 4 e + < 0 wegen Aufgbe 8(). Eine Betrchtung der Grenzwerte von f n den Rändern des Definitionsbereichs liefert sowie lim f() = 0 + = > 0 wegen Aufgbe 8(2) 0 lim f() =. Somit ist f n den Rändern des Definitionsbereichs positiv und bei 0 = e negtiv. D f differenzierbr und somit stetig ist, eistieren nch dem Zwischenwertstz dher Zwischenstellen ξ (0, e ), ξ 2 (e, ) mit f(ξ ) = f(ξ 2 ) = 0. Andere Nullstellen können wegen des Monotonieverhltens von f nicht eistieren und dmit ist die Behuptung bewiesen. Aufgbe 0. () Ds Oberintegrl von f ist definiert durch { } f() d := inf ψ() d : ψ T [, b], ψ f uf [, b], ds Unterintegrl von f ist definiert durch { } f() d := sup ϕ() d : ϕ T [, b], ϕ f uf [, b]. (2) f heißt integrierbr, flls f() d = f() d.
5 (3) Möglich ist hier jede nicht konstnte Treppenfunktion, nehme zum Beispiel [, b] = [0, 2] und { 0 für [0, ], f() := für (, 2]. Dnn ist f nch Definition integrierbr, ber in offensichtlich unstetig. Aufgbe (*). Angenommen, es eistiert eine differenzierbre Funktion H : (, ) R mit H = h. Dnn ist H insbesondere stetig. Für (, 0) gilt h () =, lso nch dem Huptstz Für (0, ) gilt h () =, lso H() = + C für ein C R. H() = + C 2 für ein C 2 R. D H stetig ist, müssen rechts- und linksseitiger Limes in 0 übereinstimmen und mn erhält C = C 2 und dmit { + C (, 0], H() = + C (0, ). Nun ist H in 0 ber nicht differenzierbr, denn H() H(0) = lim 0 0 H() H(0) lim 0 0 =. Dies ist ein Widerspruch zur ngenommenen Differenzierbrkeit von H.
Uneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
MehrKAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
MehrSatz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
MehrÜbungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 015/16 Bltt 4 09.11.015 Übungen zur Vorlesung Differentil und Integrlrechnung I Lösungsvorschlg 13. Zu betrchten ist die durch 0 = 1 und
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
Mehrnennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
MehrRiemann-integrierbare Funktionen
Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-
MehrProf. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG
Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung
MehrLösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
MehrZum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
Mehr9.6 Parameterabhängige Integrale
Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes
Mehrkann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
MehrAnalysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 203/204 Anlysis I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f: [, b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe der Funktion
MehrKlausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014
Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24
Mehr6.4 Uneigentliche Integrale
6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen
MehrMathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 20/202 Mthemtik für Anwender I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f :[,b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe
Mehr5 Das Riemannsche Integral 1
5 Ds Riemnnsche Integrl 5. Drbouxsche Summen Sei I [, b] mit < b und f : [, b] IR sei beschränkt (d. h. f(i) ist beschränkt). Z {x, x,..., x n } mit x < x < x 2 < < x n b heißt Zerlegung von [, b]. I k
MehrDer Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
Kpitel 4 Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Bemerkung 4. Motivtion. Die Integrtionstheorie wurde im letzten Kpitel recht weit entwickelt. Nun wird ein Werkzeug bereitgestellt, mit welchem
MehrMathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
Mehr9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen
9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind
Mehr6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals
Kpitel 6 Ds Riemnn-Integrl In diesem Abschnitt wollen wir einen Integrlbegriff einführen. Dieser Integrlbegriff geht uf Riemnn 1 zurück und beruht uf einer nheliegenden Anschuung. Es wird sich zeigen,
Mehr10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
Mehr2.6 Unendliche Reihen
2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium
Mehr1 Ergänzungen zur Differentialrechnung
$Id: nlytisch.te,v 1.3 2011/04/13 11:01:11 hk Ep $ 1 Ergänzungen zur Differentilrechnung Dieses einleitende Kpitel wollen wir verwenden um den Anschluss n ds vorige Semester herzustellen. Eine direkte
MehrReelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013
Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November 213 5 Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie,
MehrVI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition
MehrSerie 13 Lösungsvorschläge
D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter
MehrThema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)
Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe
Mehr3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b].
Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x,...,x n } mit = x < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen
MehrAnalysis I. TU Dortmund, Wintersemester 2013/14. Ben Schweizer
Anlysis I TU Dortmund, Wintersemester 2013/14 Ben Schweizer Inhltsverzeichnis 1 Reelle Zhlen 1.1 Logische Grundlgen: Aussgen, Beweise, Mengen........ 3 1.2 Die Zhlenbereiche N, Z und Q..................
Mehr6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
MehrAnalysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrPräsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,
Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i
MehrMusterlösung für die Nachklausur zur Analysis II
MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist
Mehr29 Uneigentliche Riemann-Integrale
29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,
MehrMathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrProbeklausur Mathematik für Ingenieure C3
Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche
Mehr3 Grenzwert und Stetigkeit 1
3 Grenzwert und Stetigkeit 3. Grenzwerte bei Funktionen In diesem Abschnitt gilt: I ist immer ein beliebiges Intervall, 0 I oder einer der Endpunkte. 3.. Definition Sei I Intervall, 0 IR und 0 I oder Endpunkt
Mehr6.6 Integrationsregeln
50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig
MehrHilfsblätter Folgen und Reihen
Hilfsblätter Folgen und Reihen Sebstin Suchnek unter Mithilfe von Klus Flittner Steffen Hofmnn Mtthis Stb c 2002 by Sebstin Suchnek Printed with L A TEX Inhltsverzeichnis 1 Folgen 1 1.1 Definition.........................................
MehrFunktionenfolgen. Kapitel 6
Kpitel 6 Funktionenfolgen Bemerkung 6.1 Motivtion. Dieser Abschnitt betrchtet die Konvergenz von Folgen von uf einem gemeinsmen Intervll definierten Funktionen. Dies ist eine wichtige Grundlge, um eine
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Prähofer Aufgben TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik für Physiker 3 Anlysis ) Sommersemester Probeklusur Lösung) http://www-m5.m.tum.de/allgemeines/ma93 S
Mehr, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
MehrLösungen zu den Übungsaufgaben
Lösungen zu den Übungsufgben Aufgbe A.2. Ist k L () mit k(x)dx = und ist f : beschränkt, Lebesgue-messbr und stetig in x, dnn gilt lim r r k(x y r )f(y)dy = f(x). Lösung A.2. Zunächst ist mit der Substitutionsregel
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
Mehr1 Folgen und Reihen. Schreibweise: (a n ) n N.
Krlsruhe Institute of Technology 1 Folgen und Reihen (1.1) Eine Folge reeller Zhlen ist eine Abbildung N R. Schreibweise: ( n ) n N. (1.2) Sei ( n ) n N eine Folge. ) Für n j N mit 1 n 1 < n 2
MehrMathematik II. Vorlesung 31
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch
MehrEinführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur,
Institut für Angewndte Anlysis und Numerische Simultion Prof Dr C Eck, Dr M Schulz, Dipl- Mth J Giesselmnn Universität Stuttgrt Sommersemester 9 Einführung in die Numerische Mthemtik Vordiplomsklusur,
MehrParameterabhängige uneigentliche Integrale.
Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrDefinition 3.33 (Oberintegral und Unterintegral). Es sei f : [a,b] R eine beschränkte Funktion. Weiter sei
8. Integrierbre Funktionen Definition 3.3 (Treppenfunktionen). Eine Funktion t : [,b] R heißt Treppenfunktion, flls es endlih viele Punkte x < x 1 < < x n mit x = und x n = b gibt, so dss f uf jedem der
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure , Uhr
Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen
MehrZusammenfassung Analysis für Informatik
Zusmmenfssung Anlysis für Informtik Stefn Hider e25543@student.tuwien.c.t Sommersemester 202 Prüfungsstoff 4. - 6.3, 7.5, 7.6 und 9. Inhltsverzeichnis Folgen reeller Zhlen 3. Beispiele für Folgen......................................
MehrA.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )
A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.
Mehr4.1 Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Metrik oder ein Abstand auf M ist eine Abbildung d : M M Ê mit folgenden Eigenschaften: d (x, y) :=
Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 06 4 Konvergenz 4. Abstände 4. Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Metrik oder ein Abstnd uf M ist eine Abbildung d : M M Ê mit folgenden Eigenschften:
MehrInfinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen
Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine
MehrÜbungsaufgaben. Achtung(!):
Übungsufgben 8. Übung: Woche vom 5.12.-9.12.16 (Int.-R. I): Heft Ü1: 11.1 (,b,g,j); 11.2 (e,g,l,m,p); 11.3 (,c-e,q,r) Achtung(!): 2. Test (relle Fkt., Diff.-rechng.) wird m 2.12. freigeschlten (Duer: bis
MehrAnalysis I. Vortragender: Gerald Teschl. Mitschrift von Melita Šuput. a Wintersemester 2013
Anlysis I Vortrgender: Gerld Teschl Mitschrift von Melit Šuput 20272 Wintersemester 203 Quellen: Teschl: Mthemtik für Informtiker, Tylor: Foundtions of Anlysis 0 Logik Definition: Eine Aussge (=) ist ein
Mehr9.4 Integration rationaler Funktionen
9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz:
MehrAnalysis für Informatiker und Lehramt Mathematik
Anlysis für Informtiker und Lehrmt Mthemtik Wintersemester 05 / 06 Dr. Agnes Rdl 6. Oktober 06 Ds L A TEX-Skript wurde von Dipl.-Mth. Ptrici Reuther erstellt und ufbereitet nhnd meines Vorlesungsmnuskriptes
MehrKurzfassung der Mathematik für Physiker I, WS 2006/07 von Siegfried Echterhoff
Kurzfssung der Mthemtik für Physiker I, WS 2006/07 von Siegfried Echterhoff Aussgenlogik, vollständige Induktion. Zu Beginn wurden einige Grundlgen der Aussgenlogik diskutiert. Wichtige Themen wren: Ws
MehrKapitel I. Analysis 1. 1 Topologie im R n
Kpitel I Anlysis Topologie im R n Es sei (X, d) ein metrischer Rum. Unter diesen Begriff fllen lle normierten Vektorräume, ber uch beliebige Teilmengen solcher Räume. Wichtigstes Beispiel wird immer der
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:
Mehr$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $
Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun
Mehr10 Integrationstechniken
Integrtionstechniken. Wichtige Stmmfunktionen α d = α + α+, d = log e d = e cos d = sin sin d = cos d = rcsin d = rctn + cosh d = sinh sinh d = cosh + d = sinh d = cosh α R, α. Linerität der Integrtion
MehrFunktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität
Reelle Funktion Kpitel 6 Funktionen Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge ls uch die Wertemenge Teilmengen von R üblicherweise Intervlle) sind. Bei reellen Funktionen
Mehr4.2 Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen
4. Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen 73 4. Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen Definition 4.. Gegeben sei eine Funktion y = mit D(f). (i) Sei D(f). heißt stetig in, falls es für alle
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Mehrf(x) := lim f n (x) (a) Wann ist die Grenzfunktion f stetig? Reicht dazu die Stetigkeit aller Funktionen f n?
Kpitel 9 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 9.1 Gleichmäßige Konvergenz 9.2 Eigenschften der Grenzfunktion 9.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen 9.4 Anwendung uf Potenzreihen 9.5 Tylor
MehrAntworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0
Ferienkurs Anlysis 1 WS 11/12 Florin Drechsler Antworten uf Anfrgen von Kursteilnehmern Zu Tylorreihen Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben: Es gibt Funktionen f C (R) mit konvergenter Tylorreihe
MehrA U F G A B E N A N A L Y S I S. 11. Vorlesung Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion x, x 0, stetig bei x 0 = 5 ist.
A U F G A B E N A N A L Y S I S. Vorlesung. Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion, 0, stetig bei 0 = 5 ist. Lösung: Es sei 5 < ɛ. () Daraus folgt 5 ɛ < < 5 + ɛ () oder Folglich gilt
Mehr12 Parametrisierte Kurven
Vorlesung SS 9 Anlysis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff 1 Prmetrisierte Kurven In diesem Abschnitt wollen wir intensiver um die Geometrie von prmetrisierten Kurven (Wegen im R n befssen. Zur Erinnerung wiederholen
MehrMusterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2
Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe I Aufgbenstellung Es sei J [, ] und f : J R deniert durch fx x 3. Finden Sie eine Folge f n n N
MehrMATHEMATIK FÜR PHYSIKER I
Mthemtisches Institut der Universität Würzburg Prof. Dr. H. Pbel WS 2003/04 MATHEMATIK FÜR PHYSIKER I 0 Grundlgen 0. Grundbegriffe der Logik 0.2 Grundbegriffe der Mengenlehre 0.3 Reltionen und Abbildungen
Mehrπ 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
MehrUneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung
Mthemtik I für Biologen, Geowissenschftler und Geoökologen Uneigentliche Integrle & mehrdimensionle Differenzilrechnung 25. Jnur 2010 Uneigentliche Integrle Unendlich Integrnd divergiert Grenze Prtielle
MehrBeispiel-Abiturprüfung
Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch
MehrAnalysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013
Anlysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013 Holger Dette Ruhr-Universität Bochum Fkultät für Mthemtik 44780 Bochum Germny emil: holger.dette@ruhr-uni-bochum.de FAX: +49 2 34 3214 559 Tel.: +49
Mehrc a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =
3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert
Mehr4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle
4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich
Mehr1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge
Mehr2.5 Messbare Mengen und Funktionen
1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.
MehrStetigkeit. Definitionen. Beispiele
Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt
Mehr5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter
Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine
MehrBC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel III: Funktionen einer Veränderlichen
Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz BC 1.2 Mthemtik Zusmmenfssung Kpitel III: Funktionen einer Veränderlichen 1 Konzept Funktionen
MehrTutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck
MehrVII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)
VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
Mehr3. Ganzrationale Funktionen
3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
MehrFalls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X
Mehr$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $
Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 $Id: integrl.tex,v 1.35 015/04/ 11::04 hk Exp $ Integrlrechnung.1 Ds Riemn Integrl In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion
Mehr