Kapitel 4: Nutzen. moodle.tu-dortmund.de. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 1 / 52
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1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 1 / 52 Kapitel 4: Nutzen moodle.tu-dortmund.de
2 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 2 / 52 Outline Rangnummern und ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität Monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen
3 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 3 / 52 Rangnummern und ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität Monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen
4 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 4 / 52 Henriettes TOP 10: Rangnummern als Nutzenzahlen Henriette hat ihre zehn Lieblingsgerichte aufgeschrieben: Nr. Gericht Nr. Gericht 01 Lasagne 06 Milchreis 02 Pellkartoffeln mit Quark 07 Tortellini mit Erbsen 03 Pizza 08 Käsebrot mit Gurke 04 Penne mit Tomatensoße 09 Kürbis-Möhrensuppe 05 Döner 10 Risotto Wir können an den Rangnummern zweier Gerichte erkennen, was Henriette besser schmeckt: je niedriger die Rangnummer, desto besser das Gericht.
5 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 5 / 52 Von Rangzahlen zur Funktion Bei Henriettes TOP 10 galt es endlich viele Alternativen zu ordnen. Für unendlich viele verschiedene Güterbündel bräuchten wir unendlich viele Rangzahlen. Deswegen denieren wir eine Rangfunktion oder auch Nutzenfunktion, welche die ordnende Eigenschaft von Rangzahlen übernehmen soll: u : {Menge aller Alternativen} R. Konvention: Ein höherer Nutzenfunktionswert entspricht einer niedrigeren Rangzahl.
6 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 6 / 52 Das ordinale Nutzenkonzept Eine Nutzenfunktion u weist jedem Güterbündel eine Zahl zu, bessere Güterbündel erhalten hierbei höhere Zahlen. Die Nutzenfunktion u : R n + R repräsentiert die Präferenzordnung über R n + (oder u ist eine Nutzenfunktion für ), falls u(x) > u(y) x y u(x) = u(y) x y Ordinaler Nutzen: ( relevant für diese Vorlesung) Es zählt nur die Reihenfolge der Güterbündel. Kardinaler Nutzen: ( nicht relevant für diese Vorlesung) Die Nutzendierenz zwischen zwei Güterbündeln ist von Bedeutung.
7 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 7 / 52 Existenz einer ordinalen Nutzenfunktion u für Falls die Präferenzenordnung über R n vollständig, transitiv und stetig ist, dann existiert für eine stetige ordinale Nutzenfunktion u : R n + R.
8 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 8 / 52 Rangnummern und Ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität Monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen
9 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 9 / 52 Beispiel: Nutzenfunktion für Präferenzordnung x y z Gut 2 y Nutzenfunktion: u(x) > u(y) > u(z) x oder u(x) = z u(y) = 2 u(z) = Gut 1 Für die Präferenzordnung gibt es mehrere Nutzenfunktionen!
10 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 10 / 52 Multiple Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung Falls u( ) ist eine Nutzenfunktion für die Präferenzen. & Die Funktion f : R R ist streng monoton steigend. Dann f u ist eine Nutzenfunktion für die Präferenzen. Warum? x y u(x) > u(y) f (u(x)) > f (u(y))
11 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 11 / 52 Multiple Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung Falls u eine Nutzenfunktion für die Präferenzen ist, dann repräsentiert jede beliebige streng monoton steigende Transformation von u ebenfalls die Präferenzen. Der Vergleich von Maltes Nutzen aus Güterbündel x mit Biancas Nutzen aus x ist sinnlos! Der Vergleich der Nutzenzuwächse verschiedener Personen ist ebenfalls sinnlos!
12 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 12 / 52 Multiple Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung Generelles Problem von ordinalen Nutzenkonzepten: Kein interpersoneller Nutzenvergleich möglich!
13 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 13 / 52 Ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität Monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen
14 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 14 / 52 Nutzenfunktionen für normale Präferenzen Wie wirken sich die Eigenschaften und Monotonie Konvexität der Präferenzen auf die Eigenschaften von Nutzenfunktionen aus?
15 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 15 / 52 Nutzenfunktionen von monotonen Präferenzen schwach monoton (mehr ist nicht schlechter): Falls y x und y x, dann y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y x und y x, dann u(y) u(x).
16 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 16 / 52 Nutzenfunktionen von streng monotonen streng monoton (mehr ist besser): Falls y x und y x, dann y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y x und y x, dann u(y) > u(x).
17 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 17 / 52 Nutzenfunktionen von konvexen Präferenzen schwach konvex (Mischungen sind nicht schlechter): Falls y, z x und λ (0, 1), dann λ z + (1 λ) y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y, z x und λ (0, 1), dann u (λ z + (1 λ) y) u(x) (u ist quasikonkav).
18 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 18 / 52 Nutzenfunktionen von streng konvexen streng konvex (Mischungen sind besser): Falls y, z x und λ (0, 1), dann λ z + (1 λ) y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y, z x und λ (0, 1), dann u (λ z + (1 λ) y) > u(x) (u ist streng quasikonkav)
19 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 19 / 52 Ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität Monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen
20 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 20 / 52 Grenznutzen Marginal Utility: MU Partielle Ableitung der Nutzenfunktion u( ) Zusätzlicher Nutzen du pro Einheit dx 1 zusätzlichen Konsums: u(x 1, x 2 ) Nutzenfunktion du dx 1 u(x 1,x 2 ) dx1 x 0 1 du dx 1 x 1 Gut 1
21 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 21 / 52 Grenznutzen MU Der Grenznutzen nach Gut i = 1,..., n, im Güterbündel x R n + ist deniert als die partielle Ableitung der Nutzenfunktion u im Güterbündel x nach Gut i: MU i (x) = u(x) x i
22 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 22 / 52 Grenznutzen MU von monotonen Präferenzen streng monoton (mehr ist besser): Falls y x und y x, dann y x, dann u(y) > u(x). MU i (x) = u(x) x i > 0 für alle i = 1,..., n schwach monoton (mehr ist nicht schlechter): Falls y x und y x, dann y x, dann u(y) u(x). MU i (x) = u(x) x i 0 für alle i = 1,..., n Jeweils: Falls u an der Stelle x dierenzierbar!
23 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 23 / 52 Grenznutzen (MU) interpersoneller Vergleich? Der Grenznutzen hängt von der die Präferenzen repräsentierenden Nutzenfunktion ab. Multipliziert man die Nutzenfunktion zum Beispiel mit 2, so multipliziert man auch den Grenznutzen mit 2: v(x) = 2 u(x) v(x) x i = 2 u(x) x i Der Grenznutzen ist durch die Präferenzen also nicht eindeutig deniert. Kein interpersoneller Grenznutzenvergleich möglich!
24 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 24 / 52 Grenzrate der Substitution MRS(x) Die Steigung der Indierenzkurve im Güterbündel x Gut 2 x Steigung: MRS(x) Gut 1
25 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 25 / 52 Grenzrate der Substitution MRS und Grenznutzen MU Anwendung von Satz 6.20 MfÖ (implizite Funktionen) Betrachte Indierenzkurve als Funktion x 2 = I (x 1 ): Gut 2 I (x 1 ) Die Steigung der Funktion ist gegeben durch I (x 1) x 1. (Falls es keine Knicke gibt und die Kurve nicht senkrecht verläuft.) u(x 1, x 2 ) = k Gut 1 Entlang der Kurve gilt: u(x 1, I (x 1 )) = k.
26 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 26 / 52 Grenzrate der Substitution MRS und Grenznutzen MU Anwendung von Satz 6.20 MfÖ (implizite Funktionen) `Implizite Denition' der Funktion I (x 1 ): u(x 1, I (x 1 )) = k Leite beide Seiten der Gleichung nach x 1 ab: u(x 1, x 2 ) + u(x 1, x 2 ) x 1 x 2 I (x 1) MU 1 (x) + MU 2 (x) I (x 1) = 0 x2 =I (x 1 ) x = 0 x 1 1 I MU 2 (x) I (x (x 1 ) 1) = = MU MU 1(x) 1 (x) x x 1 1 MU 2 (x) Steigung der Indierenzkurve!
27 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 27 / 52 Grenznutzen (MU) und Grenzrate der Substitution (MRS) Die Grenzrate der Substitution im Güterbündel x ist also deniert durch MRS(x) = MU 1(x) MU 2 (x).
28 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 28 / 52 Ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität Monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen
29 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 29 / 52 Grenznutzen und Gradient Gradient einer Funktion: Vektor der partiellen Ableitungen. Der Gradient gibt die Richtung an, in die sich der Funktionswert am stärksten erhöht. Gradient von u : R n + R an der Stelle x = (x 1, x 2,..., x n ) R n + : grad u(x) = MU 1 (x) MU 2 (x). MU n (x)
30 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 30 / 52 Gradient von perfekten Substituten u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 MU 1 (x) = 1, MU 2 (x) = 1 v(x 1, x 2 ) = 1 2 (x 1 + x 2 ) MU 1 (x) = 1 2, MU 2(x) = 1 2 x 2 grad u(x) 1 MU 2 = 1 2 MU 1 = 1 2 grad v(x) MU 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 MU 1 = 1 1 x 1
31 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 31 / 52 Präferenzen und Gradient Alle Gradienten verschiedener Nutzenfunktionen für perfekte Substitute zeigen in die gleiche Richtung! Gilt dies grundsätzlich auch für andere Präferenzen? Sei u : R n + R eine Nutzenfunktion für die Präferenzordnung und sei v = f u mit f : R R streng monoton steigend. Gradient von v an der Stelle x (siehe Regel 6.8 Kettenregel MfÖ): grad v(x) = grad (f u)(x) = f (u(x)) grad u(x)
32 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 32 / 52 Präferenzen und Gradient Die Gradienten aller Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung zeigen in die gleiche Richtung!... man könnte also im Prinzip die Präferenzen von verschiedenen Personen vergleichen, indem man die Gradienten der Nutzenfunktionen vergleicht...
33 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 33 / 52 Grenzrate der Substitution (MRS) und Gradient Für gegebene Präferenzordnung zeigen die Gradienten aller Nutzenfunktionen in die gleiche Richtung: grad u(x) x f grad u(x) f grad u(x) Steigung = Steigung der Indierenzkurve?
34 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 34 / 52 Grenzrate der Substition (MRS) Steigung der Indierenzkurve durch das Güterbündel x: MU 1(x) MU 2 (x). Ist der Gradient grad u(x) = der Indierenzkurve? ( MU1 (x) MU 2 (x) ) senkrecht zur Tangente
35 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 35 / 52 Eindeutigkeit der Grenzrate der Substitution MRS (n = 2) Eine Präferenzordnung (ohne Knicke) hat viele Nutzenfunktionen die keinen interpersonellen Vergleich zulassen... aber für jedes Güterbündel x eine einzige MRS. Wir können die MRS als Kriterium bei Tauschentscheidungen zwischen verschiedenen Personen benutzen! Die MRS ist das Bindeglied, wenn es darum geht verschiedene Interessen zu vereinbaren.
36 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 36 / 52 Lineare Abhängigkeit der Gradienten (n 2) Eine Präferenzordnung (ohne Knicke) hat viele Nutzenfunktionen die keinen interpersonellen Vergleich zulassen... aber alle Gradienten sind linear abhängig. Wir können die Gradienten als Kriterium bei Tauschentscheidungen zwischen verschiedenen Personen benutzen! Die Gradienten sind das Bindeglied, wenn es darum geht verschiedene Interessen zu vereinbaren.
37 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 37 / 52 Ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität Monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen
38 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 38 / 52 Verschiedenartige Nutzenfunktionen Lineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Leontief Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Quasilineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Es gelte a, b, c, d 0, v ( ) > 0 und v ( ) < 0.
39 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 39 / 52 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 x c 1 x d 2 Gut 2 Gut 1
40 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Zunächst: c = d = 1 u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 x 1 x 2 = ū x 2 = ū x 1 Indierenzkurve: Menge der Güterbündel (x 1, x 2 ), in denen der Nutzen konstant ist. Gut 2 10 u(x 1, x 2 ) = 1 x 2 = 1 x u(x 1, x 2 ) = 6 u(x 1, x 2 ) = 4 u(x 1, x 2 ) = 2 u(x 1, x 2 ) = 1 Gut 1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 40 / 52
41 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 41 / 52 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Grenznutzen und Grenzrate der Substitution Grenznutzen: MU 1 = c x c 1 1 x d 2 = c x 1 x c 1 x d 2 (für x 1 > 0) MU 2 = d x c 1 x d 1 2 = d x 2 x c 1 x d 2 (für x 2 > 0) Grenzrate der Substitution: (für x 1 > 0) MRS = c x 1 x c 1 x d 2 d x 2 x c 1 x d 2 = c d x2 x 1
42 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 42 / 52 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Grenzrate der Substitution Gut 2 y 2 x 2 x y Steigung: k MRS = c d x2 x 1 = k (konstant) x 2 = k d c x 1 Steigung: k x 1 y 1 Gut 1 Entlang der gepunkteten Linie ist die MRS konstant.
43 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 43 / 52 Verschiedenartige Nutzenfunktionen Lineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Leontief Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Quasilineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Es gelte a, b, c, d 0, v ( ) > 0 und v ( ) < 0. Repräsentieren all diese Nutzenfunktionen monotone und konvexe Präferenzen?
44 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 44 / 52 Indierenzkurve von monotonen und konvexen Präferenzen Gut 2 Funktion I konvex ( ) MU1 > 0 MU 2 Gut 1
45 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 45 / 52 Indierenzkurve von monotonen und nicht-konvexen Präferenzen Gut 2 Funktion I konkav ( ) MU1 > 0 MU 2 Gut 1
46 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 46 / 52 Indierenzkurve von nicht-monotonen und nicht-konvexen Präferenzen Gut 2 Funktion I konvex ( ) MU1 < 0 MU 2 Gut 1
47 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 47 / 52 Indierenzkurve von nicht-monotonen und konvexen Präferenzen Gut 2 Funktion I konkav ( ) MU1 < 0 MU 2 Gut 1
48 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 48 / 52 Monotonie Konvexität MU i > 0 für alle i ja I konvex ja I nicht konvex nein MU i < 0 für alle i nein I nicht-konkav nein I konkav ja MU i > 0 für ein i MU j < 0 für ein j nein besondere Prüfung
49 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 49 / 52 Repräsentiert die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 monotone und konvexe Präferenzen?
50 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 50 / 52 u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Monotonie? Bereits hergeleitet: MU 1 (x) = c xc 1 xd 2 x 1 MU 2 (x) = d xc 1 xd 2 x 2 Präferenzen streng monoton, falls x > 0 (positive Gütermengen) c, d > 0 (positive Exponenten)
51 u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Konvexität? Zu prüfen: Ist I konvex? I (x 1 ) > 0 für alle x 1? Leite Indierenzkurvenfunktion I (x 1 ) her: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 = ū (z.b. ū = k d mit k konstant) x c 1 I (x 1 ) d = k d x c/d 1 I (x 1 ) = k I (x 1 ) = k x c/d 1 1. Ableitung: I (x 1 ) = c d k x c/d 1 1 = c d k x (c+d)/d 1 2. Ableitung: I (x 1 ) = c d c + d x (c+2d)/d 1 d c, d > 0 I is streng konvex für alle x 1 > 0. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 51 / 52
52 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 52 / 52 Summary Anhand einer Nutzenfunktion können Präferenzen einfach dargestellt werden. Die Zahlen der Funktionswerte haben keine eigene Bedeutung. Es gibt für jede Präferenzordnung viele Nutzenfunktionen ( monotone Transformationen). Die Höhenlinien der Nutzenfunktion entsprechen den Indierenzkurven. Die Steigung der Höhenlinien die MRS kann anhand der Formel ausgerechnet werden. MRS(x 1, x 2 ) = MU 1(x 1, x 2 ) MU 2 (x 1, x 2 ) Die MRS ist eindeutig durch die Präferenzen deniert.
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Folgen und Reihen. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 2. Untersuchen Sie folgende Folgen auf Monotonie, Beschränktheit, Häufungspunkte und Konvergenz,
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