1. Funktionen und Stetigkeit

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1 1. Funktionen und Stetigkeit Um Funktionen mit mehreren Variablen auf ihr Grenzwertverhalten, wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit, untersuchen zu können, ist es sinnvoll, sie auf kleinen Umgebungen, den ϵ-umgebungen im zu betrachten. * } Beispiele: Im wäre das auf dem "Zahlenstrahl" das Intervall-,, im das Innere der Kreisscheibe um den Mittelpunkt a mit Radius ϵ und im das Innere einer Kugel mit a als Mittelpunkt und ϵ als Radius, usw. Nun will man die Bereiche von Mengen charakterisieren, damit man die gegebenen Funktionen analysieren kann. Dazu nimmt man eine Teilmenge D des, da viele Funktionen nur auf Teilbereichen definiert sind: ein Punkt heißt innerer Punkt von D, wenn es eine Umgebung um a gibt, die vollständig in D enthalten ist (a liegt nicht auf dem Rand oder außerhalb...) wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt ist, so ist D eine offene Menge (z.b.: Kugel ohne Rand mit Radius r: * + ein Punkt heißt Randpunkt von D, wenn jede Umgebung von b mindestens einen inneren Punkt von D und zugleich einen äußeren Punkt enthält die Menge aller Randpunkte von D ist der Rand von D und wird mit bezeichnet (z.b.: Kugelrand einer Kugel mit Radius r: * + enthält eine Menge D alle ihre Randpunkte, so heißt sie abgeschlossen (z.b.: Vollkugel mit Radius r: * + die Mengen und heißen beschränkt, da es eine Konstante, in diesen Fällen den Radius r, gibt, mit: ist eine Menge abgeschlossen und beschränkt, so nennt man sie kompakt 1.1 Welche Funktionen gibt es? Im Allgemeinen unterscheidet man drei Typen von Funktionen, die man unterschiedlich untersuchen muss. Für irgendeine allgemeine Funktion gilt auf ihrem Definitionsbereich : ( + ( + Skalarwertige Funktionen (Skalarfelder): m beliebig, n = 1: (z.b.: Temperaturverteilung im Raum, Luftdruck, Potentialfelder) Vektorwertige Funktionen (Vektorfelder): m beliebig, n beliebig: (z:b.: Kraftfelder, Gradientenfelder) Kurven im : m = 1, n beliebig: (z.b.: Bahnkurven)

2 1.2 Was ist eine Metrik? Metrik ist gleichzusetzen mit dem Begriff des Abstandes. In der Analysis wird eine Metrik als eine Funktion d aufgefasst:,, mit folgenden Eigenschaften: Definitheit: (gleiche Punkte haben keinen Abstand voneinander) Symmetrie: (der Abstand von x zu y ist gleich dem Abstand von y zu x, logisch) Dreiecksungleichung: (zwei Seiten eines Dreiecks sind zusammen immer größer als die dritte Seite) Es gibt verschiedene metrische Räume, also Mengen mit Metriken. Für uns sind Metriken mit euklidischer Norm am wichtigsten. Im Allgemeinen wird diese Norm als Betrag eines Vektors im bezeichnet: Beispiel: Betrag des Vektors ( * ( ) ( ( ) ( )* Angenommen dies wäre eine Bahnkurve (dazu später mehr), so möchte man oft die Bogenlänge einer solchen Kurve bestimmen. Und wie jeder Physiker weiß, ist Weg = Geschwindigkeit Zeit. Man leitet also den Vektor ab, und integriert ihn nach der Zeit:, wobei I das Intervall ist auf dem man die Bahnkurve betrachtet. Beispiel: Bogenlänge der Epizykloide im Intervall, - ( * ( ) ( ) ( * [ ( *]

3 1.3 Wie zeigt man Stetigkeit und Differenzierbarkeit? In vielen (Klausur-)Aufgaben tauchen oft Fragen auf, wie etwa: Zeigen Sie, dass dies und das (nicht) stetig und/oder (nicht) differenzierbar ist. Dazu sollte man wissen, was Stetigkeit überhaupt bedeutet. Zum einen kann man Stetigkeit so auffassen: Wenn man sich von allen Seiten an den betrachteten Punkt nähert, muss der Funktionswert an eben diesem Punkt herauskommen. Es sind also keine Sprungstellen oder ähnliche Verhalten zu beobachten:, wobei eine Folge ist, die gegen konvergiert. Beispiel: Zeigen Sie, dass. / { Ursprung nicht stetig ist. am Wähle Nullfolgen und. /. /. /. / Bei diesem Beispiel sieht man, dass es immer einfacher ist zu zeigen, dass etwas nicht stetig ist. Um zu zeigen, dass eine Funktion auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig ist, muss obiger Limes in allen Punkten gelten. Beispiel: Zeigen Sie, dass. / überall stetig ist. Wähle irgendwelche Nullfolgen und Oft ist es notwendig die -δ-definition der Stetigkeit zu verwenden. Das heißt, dass man zu einer vorgegeben Umgebung V der Funktionswerte eine Umgebung U von gibt, für die gilt: : (ϵ-δ-kriterium) Beispiel: Zeigen Sie, dass stetig ist. Um die Stetigkeit zu charakterisieren bzw. zu verschärfen, gibt es die Lipschitz-Stetigkeit: Eine Funktion heißt Liptschitz-stetig mit Lipschitz-Konstate, falls Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt allgemeine Stetigkeit: Beispiel: Man zeige, dass 0 1 Lipschitz-stetig mit ist.

4 In diesem Beispiel ist ; wenn das der Fall ist, nennt man Kontraktion. Wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann muss sie auch stetig sein. Der Rückschluss ist nun, wenn eine Funktion nicht stetig war, dann ist sie auch nicht (total) differenzierbar. Dazu später mehr. Um die Stetigkeit von vektorwertigen Funktionen zu untersuchen, müssen die einzelnen Komponentenabbildungen untersucht werden. 1.4 Was ist eine Kurve? In 1.1 wurden Kurven als stetige Abbildungen ( + aufgefasst. Dabei ist t der Parameter der Kurve. Das Bild wird Spur genannt. In der Physik ist t natürlich die Zeit und in den Spezialfällen bis n=3 ist die Spur die Bahnkurve eines Massenpunktes. Wie die Geschwindigkeit und Bogenlänge einer solchen Bahnkurve berechnet wird, wurde oben erklärt. Oftmals ist es allerdings wichtig die Kurve zu parametrisieren, damit man Wegintegrale entlang eines Vektor- oder Skalarfeldes berechnen kann. Es gibt daher zwei Typen von Kurvenintegralen: Kurvenintegral bei Skalarfeldern entlang : ( ) Beispiel: Wegintegral von entlang des Einheitskreises. ( *, ( * ( ) ( ), - Kurvenintegral bei Vektorfeldern entlang : ( ) Beispiel: Arbeit entlang der Kurve. / im Kraftfeld. / von 0 bis., (, (,. / ( )

5 [ ] ( * ( * Auch kann man Kurven durch ihre eigene Bogenlänge parametrisieren, um zu sehen bei welcher Länge man sich wo befindet: Dazu berechnet man erst einmal die Bogenlänge B in Abhängigkeit von der Zeit t. Danach löst man nach t auf und setzt die Zeit in die ursprüngliche Kurve ein. Somit hat man den Ort in Abhängigkeit von der Länge der Kurve. Beispiel: Parametrisierung der Kurve nach ihrer Bogenlänge. ( +, ( ) (, 1.5 Rechenoperationen Zur Wiederholung werden noch einmal Rechenoperationen und Tricks zum leichter merken veranschaulicht. Skalarprodukt: Für zwei Vektoren ( + und ( + ist es folgendermaßen definiert:. Ist, so stehen senkrecht aufeinander. Geometrische Interpretation: ( ) (In der Vorlesung wurde meist nur als Skalarproduktoperator benutzt. Ich verwende den Kringel, da man es so besser lesen kann, ich zumindest.) Beispiel: ( * ( * ( ) Vektorprodukt (Kreuzprodukt) in 3D: Eine Möglichkeit sich das Kreuzprodukt zu merken ist sich nur die erste Zeile zu merken und dann die Indices zyklisch zu vertauschen, das heißt: ( + ( + ( + Wie man sich die erste Zeile merkt (aus der Schule): Finger über die erste Zeile der beiden Vektoren und dann den Rest eben kreuzen. Ist, so ist ein Vielfaches von. Geometrische Interpretation: ( )

6 Beispiel: (, ( + (, ( + Determinante: Die Determinante von Vektoren ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelotops, welches durch die Vektoren aufgespannt ist. In 2D der Flächeninhalt des Parallelogramms, in 3D das Volumen eines Spats, in 4D... Im Zweidimensionalen ist das Ganze noch relativ überschaubar:. /. /, einfach über kreuz rechnen. Ein schneller Weg zur Berechnung der Inversen der Matrix. / lautet:. /. Dazu im nächsten Kapitel mehr. Die Determinante von einer 3 3-Matrix berechnet sich am leichtesten (Ansichtssache) mit der Regel von Sarrus: Für ( + kann man folgendes Schema aufstellen: Man schreibe sich bei einer Nebenrechnung die ersten zwei Spalten noch einmal neben die Determinante und rechnet wieder über Kreuz mit den angegebenen Vorzeichen. Höherdimensionale Determinanten werden nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet, was wir aber (wahrscheinlich noch) nicht brauchen.