Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

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1 Pflichtteil Wahlteil Analysis 8 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 9 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 9

2 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten, Stammfunktion, Eponentialgleichung, Tangentengleichung, Schnitt mit den Koordinatenachsen, Differenzialrechnung Aussagen bewerten Analytische Geometrie: Punktprobe mit Geraden, Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene, Abstand Punkt Ebene, Koordinatengleichung, Abstand Punkt - Gerade Aufgabe : Die Funktion f mit f) + muss mit der Quotientenregel abgeleitet werden Mit u) und v) + erhält man: u ) und v ) Durch Einsetzen in die Formel f ) u' ) v) u) v') v) folgt: f ) + ) + ) ) 6 + ) Aufgabe : Um eine Stammfunktion von f) Funktionsterm folgendermaßen umformen: + sin) zu bestimmen, sollte man zunächst den f) + sin) Mit den Regeln zur Bestimmung der Stammfunktion erhält man dann: F) cos) (Die Konstante C ist hier weggelassen) bzw F) cos) Aufgabe : Mit e (e ) lautet die Gleichung: (e ) e + 8 Mit der Substitution e u erhält man: u u + 8 Mit der Formel u, b ± b a ac erhält man die Lösungen: u 9 und u Zur Berechnung der gesuchten -Werte muss man diese Lösungen jeweils in die Gleichung e u einsetzen (Rücksubstitution) und nach auflösen: Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

3 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil e 9 ln e ln ln 9 : ln 9, ln : ln, Aufgabe : Berechnung der Tangentengleichung: Jede Tangente ist eine Gerade und hat die allgemeine Form y m + b Da die Tangente durch den Kurvenpunkt P( v) gehen soll, kann die Geradensteigung m mit der ersten Ableitung an der Stelle berechnet werden Es gilt: m f () Mit f ) erhält man: m f () Damit lautet die (unvollständige) Tangentengleichung t: y + b Den noch fehlenden y-achsenabschnitt b berechnet man durch Einsetzen der Koordinaten von P( v) Die Koordinate v ist: v f() + Einsetzen der Koordinaten von P( ) in y + b ergibt: + b + b b 6 Damit lautet die Tangentengleichung t: y + 6 Berechnung der Koordinaten von S: Den Schnittpunkt der Tangenten t mit der -Achse erhält man, indem man in der Tangentengleichung für y setzt: : Damit hat S die Koordinaten S( ) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

4 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe : Bewertung der Aussagen: Aussage () ist wahr, da im Intervall < < alle Werte f ) positiv sind und jeder f )-Wert die Steigung des Schaubilds von f an der entsprechenden Stelle angibt Somit hat das Schaubild von f im betrachteten Intervall nur positive Steigungen; das heißt, f ist streng monoton wachsend Aussage () ist wahr Denn eine hinreichende Bedingung für die Eistenz eines Wendepunkts von f ist, dass das Schaubild von f einen Hoch- oder Tiefpunkt hat Aussage () ist falsch Denn weil das Schaubild von f im Intervall < < streng monoton wächst, kann es nicht symmetrisch zur y-achse sein Aussage () ist unentscheidbar, da das Schaubild von f nur etwas über die Steigungen von f aussagt, aber nicht über die Funktionswerte f) Aufgabe 6: Punktprobe: Liegt A auf g? Wenn der Punkt A( ) auf der Geraden g: Gleichung erfüllt sein: + t Das entsprechende Gleichungssystem ist: (I) + t (II) t (III) + t Aus Gleichung (I) erhält man t + t liegen soll, muss folgende Die Probe mit den Gleichungen (II) und (III) ist jeweils richtig ( und + ) Die Gleichung + t ist für t erfüllt Der Punkt A liegt somit auf der Geraden g Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

5 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Zu zeigen: g ist orthogonal zu E Wenn die Gerade g orthogonal ( senkrecht) zur Ebene E stehen soll, muss die Gerade g parallel zum Normalenvektor n von E stehen Das heißt: n muss ein Vielfaches des Richtungsvektors v von g sein Zu zeigen ist also, dass die Gleichung n k v durch eine Zahl k IR erfüllt werden kann E n g v Der Richtungsvektor der Geraden ist v Die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene sind die Koeffizienten in der Koordinatengleichung von E ( + ) Es ist: n Mit den Vektorkoordinaten lautet die Gleichung n k v : k Wie man leicht erkennt, ist k eine Lösung dieser Vektorgleichung Damit ist die Gerade g orthogonal zur Ebene E Was zu zeigen war Der Ebenenpunkt mit dem kleinsten Abstand zu A Der Ebenenpunkt mit dem kleinsten Abstand zum Punkt A( ) ist der Lotfußpunkt F Da A auf der Geraden g liegt und g senkrecht zu E steht, ist dieser Lotfußpunkt F der Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Ebene E + t Die Punkte der Geraden g: + t t + t haben die Koordinaten + t, t und + t t Durch Einsetzen in die Koordinatengleichung von E: + erhält man: ( + t) ( t) + ( + t) + 8t + t + 8t 8t + 8t 9 :8 t, E g A F Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

6 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 6 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Die Koordinaten des Schnittpunkts F erhält man schließlich durch Einsetzen von t, in die Geradengleichung: F +,, F(, ) Das ist der Punkt mit dem kleinsten Abstand zu A Aufgabe 7: Die Koordinatengleichung der Ebene: Zunächst sollte man die Parametergleichung der Ebene aufstellen Dazu benötigt man drei Punkte, die man aus dem Schaubild ablesen kann: A( ), B( ), C( ) Mit dem Stützvektor OA und den Spannvektoren AB und AC lautet die Parametergleichung der Ebene: E: + + t s Um die Koordinatengleichung der Ebene E aufzustellen, muss man zuerst den Normalenvektor n bestimmen Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, muss gelten: (I) n AB und (II) n AC C E A B C E A B n Zur Erinnerung: Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt Mit n n n n erhält man durch Ausmultiplizieren beider Skalarprodukte das Gleichungssystem: (I) n + n (II) n + n Da dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, darf man eine Koordinate von n frei wählen ( ) (Anmerkung: Da der Normalenvektor beliebig lang sein darf, muss das LGS unendlich viele Lösungen haben) Mit n erhält man aus Gleichung (II): n Und mit Gleichung (I) folgt: n,7

7 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Damit lautet die (unvollständige) Koordinatengleichung der Ebene E: +,7 + d Den Wert für d erhält man durch Einsetzen der Koordinaten eines Ebenenpunktes Mit A( ) folgt: +,7 + d d Eine Koordinatengleichung ist also: +,7 + (Anmerkung: Jedes Vielfache dieser Gleichung ist auch eine Lösung) Durch Multiplizieren mit erhält man: Aufgabe 8: Verfahren zur Bestimmung des Abstands eines Punkts von einer Geraden: Möglichkeit : Man bestimmt zunächst die Koordinatengleichung der Hilfsebene E, die den Punkt A enthält und senkrecht zur Geraden g steht Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden Der gesuchte Abstand ist die Strecke AF Den Lotfußpunkt F erhält man, indem man die Ebene E mit der Geraden g schneidet E A F g Möglichkeit : Wie oben ist der gesuchte Abstand die Strecke AF Im Gegensatz zum obigen Lösungsweg kann man die Koordinaten des Lotfußpunktes F auch folgendermaßen bestimmen: Da der Vektor FA senkrecht zur Geraden stehen muss, folgt für das Skalarprodukt zwischen FA und dem Richtungsvektor v der Geraden g: v FA Da der Punkt F auf der Geraden liegt, kann man seine Koordinaten in Abhängigkeit eines Parameters t ausdrücken Aus der Gleichung v FA erhält man den Wert für diesen Parameter t, womit man anschließend die Koordinaten von F berechnen kann A F v g Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 7

8 Lösungen: Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung : Wahlteil - Analysis Benötigte Kenntnisse: Asymptoten, Ableiten, Wendepunkte, Flächenberechnung mit Integralen, Tangentengleichung Aufgabe a): Das Schaubild K der Funktion f): y Das Verhalten von K für : Es ist: lim lim (Anmerkung: Für braucht in Zähler und Nenner nur die höchste Potenz (hier ) betrachtet werden Anschließend kann man kürzen, so dass man als Grenzwert den Wert erhält) Somit ist die Gerade y eine waagrechte Asymptote Nachweis der zwei Wendepunkte: Zum Nachweis der Wendepunkte benötigt man die zweite und die dritte Ableitung Erste Ableitung f ): Die Funktion f mit f) muss mit der Quotientenregel abgeleitet werden Mit u) 6 und v) + 6 erhält man: u ) und v ) Durch Einsetzen in die Formel f ) u' ) v) u) v') v) folgt: Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 8

9 Lösungen: Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung : Wahlteil - Analysis f ) + 6) + 7 Zweite Ableitung f ): Weiteres Ableiten mit der Quotientenregel ergibt mit u) und v) : u ) und v ) Durch Einsetzen in die Quotientenformel erhält man: f ) [ + 6 [6 ] ] Der Term wurde ausgeklammert Dritte Ableitung f ): Weiteres Ableiten mit der Quotientenregel ergibt mit u) 6 und v) : u ) 6 und v ) 6 (Anmerkung: Der Faktor bleibt beim Ableiten erhalten und wird als Konstante mitgeschleppt ) Durch Einsetzen in die Quotientenformel erhält man: f ) ( 6) (6 6 ) 6 ( 6) [ ] Der Term 6 wurde ausgeklammert 6 ( 6) [ 6 [ ] ] Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 9

10 Lösungen: Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung : Wahlteil - Analysis Notwendige Bedingung für die Eistenz eines Wendepunkts ist f ) Mit der obigen zweiten Ableitung erhält man: [6 Diese Gleichung ist erfüllt, wenn der Zähler wird Man erhält also: ] (6 ) : :( ) und Diese -Werte sind dann Wendestellen, wenn die hinreichende Bedingung f ) erfüllt ist 6 6 Jeweiliges Einsetzen von und in die dritte Ableitung ergibt: f ( 6 ), Damit ist 6 eine Wendestelle 6 6 f ( ), Damit ist ebenfalls eine Wendestelle Aufgabe b): Kanalvolumen bei vollständiger Füllung: Der Kanal hat die Form eines Prismas, dessen Querschnitt die markierte Fläche A zwischen der -Achse und der Kurve K ist Für das Volumen gilt also: V A l Und mit der Kanallänge l m: V A m y m m -6 6 Die Fläche A kann mit dem Integral A Mit dem GTR erhält man: A, m d berechnet werden + 6 Damit erhält man für das Kanalvolumen V A m: V 677 m Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

11 Ende der Musterseiten zu den Lösungen (Die Original-Datei umfasst Seiten) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom