Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie V

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1 Seite Seite Abitur G Musterabitur Mathematik Geometrie V In einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt die x x -Ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die x -Achse zeigt in Richtung Osten, die x -Achse in Richtung Norden, die Längeneinheit ist km. Ein Flugzeug F steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P ( ) längs der Geraden g : X = P + λ, λ R, auf. Flugzeug F fliegt entlang der Geraden g : 4 X = + µ, µ R. Teilaufgabe a ( BE) Teilaufgabe ( BE) Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q( ) von der Ebene E : x x + x = 4. Teilaufgabe (4 BE) Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks A B C, das sich durch einen Punkt D zu einem Drachenviereck A B C D ergänzen lässt. Beschreiben Sie eine Abfolge von Schritten zur rechnerischen Ermittlung der Koordinaten von D. Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der F fliegt und begründen Sie, dass F eine konstante Flughöhe hält. Teilaufgabe b (4 BE) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von F gegen die Horizontale. Teilaufgabe c ( BE) F überfliegt in einer Höhe von 6 km eine Radarstation im Punkt Z der x x -Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten von Z. [Ergebnis: Z( )] Teilaufgabe d ( BE) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Legen Sie dar, dass daraus auch bei unveränderten Flugbahnen nicht zwingend eine Kollision der beiden Flugzeuge folgt. Teilaufgabe e ( BE) Der Richtungsvektor von g beschreibt die konstante Geschwindigkeit des Flugzeugs F in der Einheit km. Geben Sie die physikalische Bedeutung des Parameters µ an. min Teilaufgabe f (6 BE) Das Radar in Z erfasst alle Objekte im Luftraum bis zu einer Entfernung von km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von F im Überwachungsbereich des Radars. Abitur Bayern Geometrie V

2 Seite Seite 4 Lösung Erläuterung: Richtungsvektor Teilaufgabe a ( BE) In einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt die x x -Ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die x -Achse zeigt in Richtung Osten, die x -Achse in Richtung Norden, die Längeneinheit ist km. Ein Flugzeug F steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P ( ) längs der Geraden g : X = P + λ, λ R, auf. Flugzeug F fliegt entlang der Geraden g : 4 X = + µ, µ R. Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der F fliegt und begründen Sie, dass F eine konstante Flughöhe hält. Lösung zu Teilaufgabe a Lage des Vektors P ( ) g : X = P + λ, λ R Der Richtungvektor der Geraden g gibt Auskunft über die Flugrichtung von F. Da die x - und x -Koordinate gleich sind, zeigt der Vektor ( ) in der x x -Ebene in positiver Richtung der Winkelhalbierenden des ersten Quadraten. Dies entspricht der Himmelsrichtung Nord-Osten. Das Flugzeug F fliegt in Richtung NO (Nord-Osten). g : 4 X = + µ Die x -Koordinate des Richtungsvektors ist Null, somit hat F eine konstante Flughöhe. Teilaufgabe b (4 BE) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von F gegen die Horizontale. Abitur Bayern Geometrie V

3 Seite Seite 6 Lösung zu Teilaufgabe b Winkel zwischen Gerade und Ebene g : X = + λ, λ R v = ist Richtungsvektor der Flugbahn von F n E = ist Normalenvektor der x x -Ebene (Horizontale) Länge der Vektoren bestimmen: Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a + a + a v = = + + = n E = = Erläuterung: Winkel zwischen Ebene und Gerade Der Winkel α zwischen einer Ebene E und einer Geraden g entspricht dem von 9 abgezogene Winkel β zwischen dem Normalenvektor n E der Ebene und dem Richtungsvektor v der Geraden. (g, E) = 9 ( v, n E ) (g, E) = 9 ( v, n E ) }{{} β Winkel β bestimmen: Erläuterung: Skalarprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren a und b a b = a b cos ( a, b ) } {{ } β folgt für den Winkel β zwischen den beiden Vektoren: Winkel zwischen n E und g bestimmen: a b cos β = a b (Formel zur Winkelberechnung zwischen Vektoren) cos β = = Abitur Bayern Geometrie V

4 Seite 7 Seite β = cos ( ) (g, E) = 9 ( v, n E ) = 9 = }{{} β Der Steigungswinkel beträgt. Erläuterung: Abstand Punkt - Ebene Der Punkt auf der Geraden g mit Abstand 6 von der x x -Ebene, hat als x -Koordinate x = 6. Die x -Koordinate eines jeden Punktes im Raum sagt aus, wie weit dieser Punkt von der x x -Ebene entfernt ist. + λ Der allgemeine Punkt der Geraden g ist: X = λ λ Für λ = 6 hat die x -Koordinate des Punkts den Wert 6. Teilaufgabe c ( BE) F überfliegt in einer Höhe von 6 km eine Radarstation im Punkt Z der x x -Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten von Z. [Ergebnis: Z( )] Lösung zu Teilaufgabe c Abstand Punkt - Ebene d(g, E) = 6 λ = 6 λ = 6 in die Geradengleichung einsetzen: Z = + 6 = 6 Z ( 6) Erläuterung: Lage des Punktes Der Punkt Z liegt auf der Geraden g und ist von der x x -Ebene 6 (km) entfernt. g : X = + λ, λ R E : X = E : x = (x x -Ebene) Z E Z(x x ) Der Punkt Z liegt direkt unterhalb von Z in der x x -Ebene. Seine Koordinaten stimmen somit bis auf die x -Koordinate mit Z überein. Da Z in der x x -Ebene liegt, ist seine x -Koordinate Null. (Man sagt auch, Z ist die orthogonale Projektion des Punktes Z auf die Ebene. Oder auch der Lotfußpunkt des Lotes durch, Z.) Z( ) Teilaufgabe d ( BE) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Legen Sie dar, dass daraus auch bei unveränderten Flugbahnen nicht zwingend eine Kollision der beiden Flugzeuge folgt. Abitur Bayern Geometrie V

5 Seite 9 Seite Lösung zu Teilaufgabe d Lagebeziehung von Vektoren g : X = + λ, λ R v = ist Richtungsvektor der Flugbahn von F g : 4 X = + µ u =, µ R ist Richtungsvektor der Flugbahn von F Skalarprodukt der Richtungsvektoren bilden: v u = = + = Erläuterung: Senkrechte Vektoren Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null. Die Richtungsvektoren, und somit die Flugbahnen, stehen senkrecht zueinander Lagebeziehung von Geraden Die Flugbahnen schneiden sich! Eine Kollision der beiden Flugzeuge muss nicht zwingend erfolgen. Dafür wäre ein zeitgleiches Erreichen des Schnittpunktes der Flugbahnen notwendig. Teilaufgabe e ( BE) Der Richtungsvektor von g beschreibt die konstante Geschwindigkeit des Flugzeugs F in der Einheit km. Geben Sie die physikalische Bedeutung des Parameters µ an. min Lösung zu Teilaufgabe e Anwendungszusammenhang - Bewegungslehre g : 4 X = + µ, µ R Die Geradengleichung g beschreibt den Ort des Flugzeuges für ein bestimmtes µ. Wenn 4 der Startpunkt ist und der Richtungsvektor die konstante Geschwindigkeit darstellt, dann muss µ die Zeit sein, die vergangen ist, seitdem das Flugzeug den Punkt (4 ) passiert hat. 4 X = µ Geraden schneiden: g g 4 + λ = + µ λ = + µ Das Gleichungssystem geht auf. λ = + µ λ = µ λ = µ = µ = λ = In Worten: E n d p u n k t A n f a n g s p u n k t = Z e i t G e s c h w i n d i g k e i t }{{} Weg In Messeinheiten: k m = m i n k m m i n Abitur Bayern Geometrie V

6 Seite Seite Teilaufgabe f (6 BE) Das Radar in Z erfasst alle Objekte im Luftraum bis zu einer Entfernung von km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von F im Überwachungsbereich des Radars. Lösung zu Teilaufgabe f Länge eines Vektors g : 4 X = + µ Allgemeiner Geradenpunkt P = Z( ) (siehe Teilaufgabe c), µ R 4 + µ µ Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a + µ = µ = a + a + a = ( + µ) + ( µ) + = 4 + 4µ + µ + 4 4µ + µ + = 9 + µ 9 + µ = (Quadrieren) 9 + µ = µ = µ, = ± µ, in g einsetzen: 4 P = + 4 P = = = Punkte auf der Geraden g bestimmten, die vom Punkt Z km entfernt sind: d(z, P ) = Z P = Z P = P 4 + µ Z = µ = + µ µ Länge der Flugstrecke im Überwachungsbereich bestimmen: P P = P 4 + P = 4 + = Abitur Bayern Geometrie V

7 Seite Seite 4 Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a + a + a Abstand bestimmen: d(z, g ) = Z S = = = Dieser Abstand entspricht der Höhe des Dreiecks P Z P. = 64 = = ( = ) ( + ) Die Flugstrecke im Überwachungsbereich ist km lang Alternative Lösung. Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt Z bestimmen. Hilfsebene H in Normalenform aufstellen, die als Aufpunkt Z hat und senkrecht zu g verläuft: H : X = H : x x = Schnittpunkt S von g mit H: (4 + µ) ( µ) = 4 + µ + µ = µ = µ = µ = in g einsetzen: 4 S = + = 4. Strecke P P mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. P P = = 4 P P = 4 = Teilaufgabe ( BE) Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q( ) von der Ebene E : x x + x = 4. Lösung zu Teilaufgabe Abstand Punkt - Ebene Q( ) E N : x x + x = 4 n E = ist Normalenvektor der Ebene. Betrag des Normalenvektors bestimmen: Abitur Bayern Geometrie V

8 Seite Seite 6 Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a n E = = a + a + a = + ( ) + = 4 Erläuterung: Abstand Punkt - Ebene Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Hesse-Normalenform E HNF der Ebene E (zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand d(p, E) des Punktes zur Ebene. Beispiel: E HNF : (x + x + x 4) = P ( 6) d(p, E) = ( + + ( 6) 4) = 9 = Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E aufstellen: d(q, E) = ( + ( ) 4) 4 = 6 = 6 4 = Erläuterung: Hesse-Normalenform der Ebene Der Abstand des Punktes Q von der Ebene E beträgt 7 4 LE (Längeneinheiten). Die Hesse-Normalenform E HNF einer Ebene E entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene E mit dem Betrag des Normalenvektors n E. Beispiel: E : x + x + x 4 = n E = n E = = E HNF : (x + x + x 4) = Teilaufgabe (4 BE) Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks A B C, das sich durch einen Punkt D zu einem Drachenviereck A B C D ergänzen lässt. Beschreiben Sie eine Abfolge von Schritten zur rechnerischen Ermittlung der Koordinaten von D. Lösung zu Teilaufgabe -dimensionale Geometrie E H N F : 4 (x x + x 4) = Abstand des Punktes Q von der Ebene E : Abitur Bayern Geometrie V

9 Seite 7 Erläuterung: Drachenviereck Ein Viereck mit einer Diagonalen als Symmetrieachse heißt Drachenviereck. Es gilt: Die Diagonalen sind zueinander senkrecht. Zum Beispiel: D ist der Spiegelpunkt von B an der Gerade A C. Folgende Schritte ermöglichen die rechnerische Ermittlung der Koordinaten von D:. Gleichung der Ebene E durch B senkrecht zu A C in Normalenform aufstellen (der Vektor A C ist Normalenvektor der Ebene).. Ebene E mit Gerade A C schneiden (Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen). Es wird der Schnittpunkt S bestimmt, der Fußpunkt des Lotes von B auf A C ist.. Koordinaten des Punktes D bestimmen: D = S + B S oder D = B + B S Abitur Bayern Geometrie V