Banach scher Fixpunktsatz. 1) D ist abgeschlossen und konvex; 2) f ist selbstabbildend, d.h. f(d) D;

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1 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Banach scher Fixpunktsatz Gegeben seien eine Menge D R n, eine Funktion: f : D R n, eine Norm auf R n, und es sei 1) D ist abgeschlossen und konvex; 2) f ist selbstabbildend, d.h. f(d) D; 3) f ist kontrahierend, d.h. es ex. ein L (0, 1), so daß Dann gilt: f(x) f(y) L x y x, y D; a) f besitzt auf D genau einen Fixpunkt x = f(x ); b) für jedes x 0 D konvergiert die durch die Fixpunktiteration x k+1 = f(x k ) definierte Folge {x k } k=0 gegen x ; c) für jedes n N gelten die Abschätzungen x k x x k x L 1 L x k x k 1 (a-posteriori) Lk 1 L x 1 x 0 (a-priori)

2 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Banach scher Fixpunktsatz Hilfssatz. Sei f : D R n differenzierbar und eine beliebige Norm auf R n. Dann wegen Mittelwertsatz gilt: sup (x,y) D f (x, y) L < 1 f(x, y) ist kontrahierend. Hier ist f (x) die der Vektor-Norm zugeordnete Matrix-Norm der Jacobi-Matrix f (x, y). Trick. Ein Fixpunkt von f ist gleichzeitig ein Fixpunkt der inversen Funktion f 1, d.h. x = f(x ) f 1 (x ) = x. Wenn f auf D z.b. keine Selbstabbildung ist, kann man die Voraussetzungen des Banach schen Fixpunktsatzes für die inverse Funktion überprüfen.

3 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Lineare Ausgleichsrechnung Aufgabe 1 Die Parameter α R und β R sollen so gewählt werden, dass die Messwerte i x i f i im Sinne kleinster Fehlerquadrate durch die theoretische Modellfunktion f(x) = α( 10x x 48) + β( 10x x 30) optimal approximiert werden. Formulieren Sie das zugehörige lineare Ausgleichsproblem. Lösen Sie das Ausgleichsproblem mit Hilfe von Givens-Rotationen. Wie groß ist das Residuum?

4 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Lineare Ausgleichsrechnung Aufgabe 2 Gegeben sei das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 min mit A := x R , b := Lösen Sie das Ausgleichsproblem mittels Householder-Spiegelungen. Lösen Sie das Ausgleichsproblem mit Hilfe von Givens-Rotationen. Bestimmen Sie die Lösung mit Hilfe der Normalgleichungen. Berechnen Sie die Norm des Residuums.

5 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Aufgabe 3 Es seien A = Lineare Ausgleichsrechnung und b = b+ b = , b = gegeben. a) Lösen Sie die Ausgleichsprobleme. b) Berechnen Sie κ 2 (A) und cos Θ. c) Zeigen Sie, daß in diesem Beispiel gilt. x x 2 x 2 κ 2(A) b b 2 cos Θ b 2 κ 2 (A) b b 2 b 2

6 a) Die Matrix A befindet sich bereits in unterer Dreiecksgestalt: 1 0 ( ) A = 1 1 L = Daher lassen sich die Lösungen ( ) x 0.01 = 0.01 von Ax b 2 = min Ax b x R 2 2 und ( ) x = von A x b 2 = min x R 2 Ax b 2 direkt ablesen.

7 b) Das charakteristische Polynom von ( ) A T 2 1 A = 1 1 ist det(λi A T A) = λ 2 3λ + 1. Da es genau die Nullstellen hat, ist und κ 2 (A) = λ 1/2 = 3 2 ± κ 2 (A T A) = κ 2 (A T A). = Die Matrix A ist gut konditioniert. Weiter ist cos θ = Ax = b =

8 c) Es ist x x 2 x 2. = = 10 2, aber b b 2 b 2. = , d.h., daß die relative Störung in b um etwa den Faktor 100 verstärkt wird, obwohl A gut konditioniert ist. Entscheidend für die Fehlerverstärkung ist der Quotient κ 2 (A) cos θ = = , der deutlich größer als die Kondition von A ist.

9 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Banach scher Fixpunktsatz Aufgabe 4 Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 2 e x. Zeigen Sie, daß f im Intervall [2, 3] und im Intervall [6, 7] jeweils einen Fixpunkt besitzt. Welche Iterationsvorschrift ist zur Berechnung des zweiten Fixpunktes geeignet? Wieviele Schritte, ausgehend vom Startwert x 0 = 0, sind laut a-priori-abschätzung höchstens nötig, um den ersten Fixpunkt mit einer Genauigkeit von ε = 10 2 zu approximieren?

10 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Banach scher Fixpunktsatz Aufgabe 5 Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem x = 1 2 (x2 y ) y = 1 2 (x2 + y 2 1) in D = {(x, y) : x, y 1 2 }. Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, daß dieses Gleichungssystem auf D genau eine Lösung besitzt. Hinweis: Verwenden Sie für den Kontraktivitätsbeweis die 2-Norm.

11 F 1) Eine Lösung des Gleichungssystems ist ein Fixpunkt der Funktion F (x, y): ( ) ( ) x x = F, wobei y y ( ) ( ) ( x F1 (x, y) = = y F 2 (x, y) 1 x 2 y x 2 + y 2 1 ) Überprüfung der Voraussetzungen des Fixpunktsatzes: 1) D ist abgeschlossen und konvex. 2) F ist selbstabbildend, da für x, y 1 2 gilt 1 4 = 1 2 ( ) 1 2 (x2 y ) 1 2 ( ) = 1 2, 1 2 = 1 2 ( 1) 1 2 (x2 + y 2 1) 1 2 ( ) = 1 4, F (D) D.

12 3) Kontraktivität von F. Wegen Mittelwertsatz L := Wir haben sup (x,y) D F (x, y) = F (x, y) < 1. ( ) x y. x y Anwendung der l - oder l 1 -Norm von F hilft aber nicht: sup (x,y) D sup (x,y) D F (x, y) = 1, F (x, y) 1 = 1.

13 Wir schätzen die l 2 -Norm ab: Es gilt F (x, y) 2 2 := λ max(f F ). F F = ( 2x y 2 ), und det(f F λi) = (2x 2 λ)(2y 2 λ) λ max = 2 max (x 2, y 2 ) 1 2, d.h. max F (x, y) 2 = 1 (x,y) D 2 =: L < 1 4) Nach dem B. Fixpunktsatz folgt, daß F auf D genau einen Fixpunkt besitzt.

14 Aufgabe 6 Sei f : [0, 1] [0, 1] stetig. Dann hat f einen Fixpunkt in [0, 1]. Seien D R n abgeschlossen und F : D R n. Gilt F (D) D, so besitzt F keinen Fixpunkt in D. Sei D R ein Intervall, F : D R stetig differenzierbar und x 0 D. Existiert ein r > 0 mit F (x) > 1 für alle x B r (x 0 ) D, so ist x 0 kein Fixpunkt von F. Es seien I ein abgeschlossenes Intervall und f : I I eine stetige Selbstabbildung, die genau einen Fixpunkt x I hat. Dann existiert eine ɛ- Umgebung U ɛ von x, so daß für jedes x 0 U ɛ die Banach sche Iterationsfolge x k+1 = f(x k ) gegen x konvergiert.