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1 Deckblatt Name Vorname Matrikelnr. Name in Druckbuchstaben Name der Kursleiterin/des Kursleiters, bei der Sie angemeldet sind: Annelie Gebert Nur einen Studiengang ankreuzen!!! Bachelorstudiengang Sozialökonomie Sozialökonomischer Diplomstudiengang anderer Studiengang: SoSe / WiSe 2014 im Kurs: Statistik 2 am mit einer Klausur abgeschlossen. Note: (Unterschrift: Annelie Gebert) Kursnummer: / KP:

2 . 1

3 Statistik 2 Klausur Annelie Gebert 12:00-15:00 Uhr SoSe 2014 Länge der Klausur: 180 min Für die Lösungen (Lösungswege sind mit anzugeben) ist der Platz zwischen den Aufgaben und die Rückseiten der Aufgabenblätter vorgesehen. Verwenden Sie ausschließlich das bereitgestellte Klausurpapier! Lösen Sie die Heftung nicht und entfernen Sie kein Blatt aus den Ihnen zugeteilten Bögen! Hinweis zu den Hilfsmitteln: 8 DIN-A4-Seiten handschriftliche Notizen (keine Kopien, keine Computerausdrucke) nichtprogrammierbarer, zweizeiliger Taschenrechner Aufgabe Summe max. Pkt erreichte Pkt. Mit mindestens 50 Punkten haben Sie bestanden! Rechnen Sie in der gesamten Klausur bitte auf 4 Nachkommastellen genau! 2

4 Aufgabe 1(27 Pkt.) Opa Horst hält 5 Hühner in seinem Garten. Die Anzahl der gelegten Eier pro Tag ist zufällig. Die Zufallsvariable X gebe an, wie viele Eier die 5 Hühner pro Tag insgesamt legen. Die Zufallsvariable X hat die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung laut den Erfahrungswerten von Opa Horst. x i P(X = x i ) 0,01 0,02 0,03 0,15 0,39 0,40 (a) Geben Sie in der folgenden Tabelle die Verteilungsfunktionswerte für die Realisationsmöglichkeiten an! x i P(X x i ) (b) Zeichnen Sie bitte die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der gelegten Eier pro Tag! 3

5 Aufgabe 1 (Fortsetzung) (c) Berechnen Sie bitte den Erwartungswert und die Varianz von X! (d) Geben Sie den Modus von X an und interpretieren Sie den Wert! (e) Bestimmen Sie bitte den Median und das 0,6-Quantil! Interpretieren Sie bitte den Median. 4

6 Aufgabe 1 (Fortsetzung) (f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Opa Horst heute (Geben Sie für diesen Aufgabenteil stets P(X...) mit an.) höchstens 4 mindestens 2 weniger als 5 mindestens 5? Eier bekommt? (g) Opa Horst überlegt, ob er die Eier verkaufen sollte, um ein kleines zusätzliches Einkommen zu haben. Wir nehmen an, er bekommt für jedes Ei 0,20eund verkauft jeden Tag alle Eier. Die Zufallsvariable Y gebe an, wie hoch der Umsatz aus dem Verkauf der Eier pro Tag wäre. Geben Sie in einer Tabelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y an. Berechnen Sie auch den Erwartungswert von Y und interpretieren Sie das Ergebnis! 5

7 Aufgabe 1 (Fortsetzung) (h) Opa Horst schätzt, dass sich die Kosten für die Hühner pro Jahr nur auf ca. 120 e belaufen, da sie sich hauptsächlich von Küchenresten ernähren und kaum Tierarztkosten bei dieser hervorragenden, artgerechten Haltung anfallen. Kann er einen positiven Gewinn aus dem Verkauf der Eier erwarten? 6

8 Aufgabe 2(6 Pkt.) (a) Ein Huhn legt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 pro Tag ein Ei und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 keins. Die Zufallsvariable X gebe an, wie viele Eier das Huhn heute legt. Wie ist X verteilt? Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion für X an. (tabellarisch) (b) Auf einer Biohühnerfarm leben 1000 Hühner und jedes Huhn legt hier ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 pro Tag ein Ei. Wie ist die Anzahl der gelegten Eier pro Tag auf der Hühnerfarm verteilt? Geben Sie bitte auch den Erwartungswert und die Varianz der gelegten Eier pro Tag an. 7

9 Aufgabe 3(17 Pkt.) Herr Schmidt hat sein Aktienportfolio so zusammengestellt, dass der Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 steigt, 0,1 konstant bleibt und 0,2 fällt, wenn die Konjunktur boomt. 0,35 steigt, 0,35 konstant bleibt und 0,3 fällt, wenn sich die Konjunktur im Abschwung befindet. 0,15 steigt, 0,05 konstant bleibt und 0,8 fällt, wenn sich die Konjunktur in einer Depression befindet. 0,4 steigt, 0,3 konstant bleibt und 0,3 fällt, wenn sich die Konjunktur im Aufschwung befindet. Herr Schmidt nimmt an, dass die Wahrscheinlichkeit für Boom und Depression jeweils 0,2 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit für Abschwung und Aufschwung sei jeweils 0,3. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Konjunktur boomt, wenn der Wert des Aktienportfolios sinkt. dass sich die Konjunktur im Aufschwung befindet, wenn das Aktienportfolio steigt. dass sich die Konjunktur im Abschwung befindet, wenn der Wert des Aktienportfolios konstant bleibt. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des Aktienportfolios steigt und die Konjunktur boomt? 8

10 Aufgabe 4(12 Pkt.) Gegeben seien die Ereignisse A, B, C und D und die folgenden Wahrscheinlichkeiten P(A) = 0,45 P(B) = 0,5 P(C) = 0,3 P(D) = 0,05 P(B A) = 0 P(D C) = 0,05 P(B C) = 0,2 (a) Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(A B) P(A B) P(C B) P(C D) P(B C) P(B) (b) Geben Sie an, welches Ereignis von welchem impliziert wird. 9

11 Aufgabe 4 Fortsetzung (c) Geben Sie an, welche zwei Ereignisse disjunkt sind. (d) Sind A und B stochastisch unabhängige Ereignisse? Begründen Sie Ihre Aussage. 10

12 Aufgabe 5(7 Pkt.) Bei einer Fußball-Weltmeisterschaft (WM) gibt es immer 24 Mannschaften die sich auf 8 Gruppen aufteilen. In jeder Gruppe sind dann also 4 Mannschaften die gegeneinander spielen. Welche Mannschaft in welcher Gruppe spielt wird ausgelost. Jede Mannschaft hofft natürlich in eine Gruppe mit möglichst einfachen Gegnern zu kommen. Angenommen bei der WM 2018 gibt es für Deutschland 6 Mannschaften, die als schwierige Gegner eingeschätzt werden. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der schwierigen Gegner in der Gruppe der Deutschen an. (Hinweis: Da in jeder Gruppe 4 Mannschaften sind, werden hier praktisch 3 von den übrigen 23 Mannschaften in die Gruppe der Deutschen dazugelost.6 von den 23 sind schwierig.) (a) Wie ist X verteilt und welche Realisationsmöglichkeiten hat X? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird in der Gruppe von Deutschland keine Mannschaft ein schwieriger Gegner sein? (Geben Sie bitte für diesen Aufgabenteil und die folgenden stets P(X...) mit an.) (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Mannschaften schwierige Gegner sein werden? (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Mannschaften schwierige Gegner sein werden? 11

13 Notizen 12

14 Aufgabe 6(12 Pkt.) In der Manufaktur HOLZIG wird unter anderem ein kleines Bücherregal hergestellt. Es werden Angaben zur Fertigungszeit benötigt, um den Arbeitslohn in den Verkaufspreis adäquat einzukalkulieren. Die investierte Arbeitszeit X in Stunden wird als normalverteilt angenommen mit einem Erwartungswert von 40 und der Varianz von 16. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Arbeitszeit für das Bücherregal (Geben Sie für diesen Aufgabenteil P(X...) mit an.) genau 40 Stunden beträgt. mehr als 40 Stunden beträgt. weniger als 35 Stunden beträgt. höchstens 48 Stunden beträgt. mindestens 38 und höchstens 43 Stunden beträgt. 13

15 (b) Bestimmen Sie bitte das 0,05- und das 0,95-Quantil von X. Interpretieren Sie bitte die beiden Werte. 14

16 Aufgabe 7(9 Pkt.) Die Manufaktur HOLZIG investiert in neues Werkzeug und verbesserte Arbeitsbedingungen, um die Fertigungszeiten zu reduzieren. Es wird weiterhin davon ausgegangen, dass die Fertigungszeit für das Bücherregal normalverteilt ist mit einer Varianz von 16. Die Fertigung von 10 Bücherregalen hat nach diesen Neuerungen im Durchschnitt 37,5 h gedauert. (a) Testen Sie bitte zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05, ob sich die erwartete Fertigungszeit für das Bücherregal verringert hat. Früher war sie 40 Stunden. H 0 : µ 40 vs. H 1 : µ < 40 µ = Erwartungswert der Fertigungszeit für das Bücherregal Geben Sie dazu den Annahme- und Ablehnbereich des Tests an. Mit welchem Fehler ist das Testergebnis möglicherweise verbunden? Geben Sie bitte das 0,95-Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter µ an. 15

17 (b) Testen Sie nun noch einmal die in (a) genannten Hypothesen zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05, wenn die Varianz nicht als bekannt vorausgesetzt wird, sondern mit Hilfe der Beobachtungen geschätzt wird: σ 2 = 20,25. 16

18 Aufgabe 8(10 Pkt.) (a) Ein Gärtner kauft 10 Samen einer teuren Pflanze, bei der vor allem die weiblichen besonders schöne Blüten tragen und sich gut verkaufen lassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Samen eine weibliche Pflanze wächst sei mit 0,4 gegeben. Der Lieferant garantiert für die Qualität der Samen, so dass aus jedem Samen auf jeden Fall eine Pflanze wächst. Die Zufallsvariable X gebe an, wie viele weibliche Pflanzen aus diesen 10 Samen wachsen werden. Wie ist X verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 5 weibliche Pflanzen wachsen? höchstens 7 weibliche Pflanzen wachsen? genau eine weibliche Pflanze wachsen? mindestens 4 und höchstens 6 weibliche Pflanzen wachsen? (b) Der Gärtner versucht nun selbst diese Pflanze zu züchten und den Anteil der weiblichen Pflanzen mit speziellen Methoden zu erhöhen. Von den 200 selbst gezüchteten Samen waren 85 weiblich. Bestimmen Sie das 0,9-Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem selbstgezüchteten Samen eine weibliche Pflanze wächst. Hat der Gärtner sein Ziel erreicht? 17

19 Notizen 18

20 Notizen 19

21 Binomialverteilung (n,p) X B(n, p), die Werte sind Verteilungsfunktionswerte: P(X x). n x p=

22 Normalverteilung Z N(0,1), die Werte sind Verteilungsfunktionswerte: φ(z) = P(Z z) = 1 2π z e x2 /2 dx. z

23 Normalverteilung - Fortsetzung Z N(0,1), die Werte der geben an:φ(z) = P(Z z) = 1 2π z e x2 /2 dx. z

24 p-quantile der Standardnormalverteilung: κ p Φ(κ p ) = p p κ p 0,25-0,6745 0,75 0,6745 0,9 1,2816 0,95 1,6449 0,975 1,9600 0,99 2,3263 0,995 2,

25 t-verteilung Quantile t 1 α;n der t-verteilung 1 α n

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