PHYSIK Geradlinige Bewegungen 3

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1 7 PHYSIK Geradlinige Bewegungen 3 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen it Anfanggechwindigkeit Datei Nr. 93 Friedrich W. Buckel Juli Internatgynaiu Schloß Torgelow

2 Inhalt Grundlagen: Bechleunigte Bewegungen Rechenbeipiele 3 3 Grundlagen: Brebewegungen 7 4 Muterbeipiele 5 Zwei pezielle Aufgaben 5

3 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen. Grundlagen: Bechleunigte Bewegungen WISSEN: Bei einer gleichäßig bechleunigten Bewegung (die dann vorliegt, wenn eine kontante Antriebkraft vorhanden it) gelten folgende Geetze (Gleichungen): v v = kontant = a bzw. auch a t t =. Weg-Zeit-Geetz: t ( ) = at Gechwindigkeit-Zeit-Geetz: vt ( ) = at Gechwindigkeit-Weg-Geetz: v ( ) = a Dabei it der au der Ruhe in der Zeit t zurückgelegte Weg und v die au der Ruhe in der Zeit t erreichte Gechwindigkeit. Wir wollen jetzt Bewegungen anchauen, die zu Zeitpunkt t = nicht in der Ruhe ind, ondern chon eine (Anfang-)Gechwindigkeit v haben! Gedankenexperient Stellen wir un eine hinreichend lange und reibungfrei funktionierende Fahrbahn vor, auf der ein Wagen bewegunglo teht und dann (zur Zeit t = ) it der kontanten Bechleunigung a =, 8 anfährt. Nach 5 Sekunden hat uner Wagen die Strecke ( ), ( ) 5 = 8 5 = auf einer Fahrbahn zurückgelegt. Er hat dann die Gechwindigkeit v 5 = 8 5= 4 erreicht. ( ), So, da war aber nur die halbe Wahrheit. Denn wa Sie bi jetzt noch nicht wien, it die Tatache, daß ich diee Fahrbahn auf eine Zug befindet, der ich it der kontanten Gechwindigkeit v = 3 gleichförig in dieelbe Richtung bewegt, in der wir uneren Tetwagen auf einer Fahrbahn tarten laen. Veretzen wir un in die Lage eine Beobachter, der außerhalb de Zuge teht und folgende ieht: E nähert ich ein Zug it der kontanten Gechwindigkeit v = 3. Auf diee Zug befindet ich eine Fahrbahn, und darauf tartet zur Zeit t = eine Wagen it der kontanten Bechleunigung a =, 8. Dait legt der Wagen für dieen Beobachter in jenen beagten 5 Sekunden zuaen it de Zug die Wegtrecke = v t = 3 5= 5 zurück (die gleichförige Zugbewegung) und zuätzlich auf de Zug die oben berechnete Wegtrecke ( ), ( ) 5 = 8 5 =. Für dieen Beobachter hat ich alo der Wagen u ingeat 5 bewegt und nach dieen 4 Sekunden die Gechwindigkeit = 7 erreicht.

4 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen Daelbe können wir jetzt ohne dieen Zug durchführen. Wir denken un die hinreichend lange Fahrbahn auf die Erde ontiert und laen darauf den Wagen it der kontanten Gechwindigkeit v = 3 fahren. Zu eine betiten Zeitpunkt (wie definieren die wieder al t = ) bechleunigt dieer Wagen it a =, 8. Dait erreicht an dieelben Werte für Weg und Zeit. Wir üen dieen Vorgang al Überlagerung zweier Bewegungen vertehen. MERKE: Bechleunigt ein Körper zur Zeit t =, in der er bereit eine Anfanggechwindigkeit v o beitzt, dann führt er quai eine überlagerte Bewegung durch, nälich einereit die au einer Anfanggechwindigkeit reultierende gleichförige Bewegung und dazu die durch die Bechleunigung enttehende gleichäßig bechleunigte Bewegung. E gelten daher diee Bewegunggleichungen: Weg-Zeit-Gleichung: t ( ) = v t+ at () Gechwindigkeit-Zeit-Gleichung: vt ( ) = v + at () Die einfachte Anwendung der Gleichungen () und () it: Ein Fahrzeug wird au der Gechwindigkeit v = 5 herau gleichäßig it a =, 4 bechleunigt. Berechne den in t = 6 zurückgelegten Weg und die dann vorhandene Gechwindigkeit. Zeichne da v-t-diagra und da -t-diagra. Die Bewegunggleichungen lauten jetzt: () v t = v + a t = 5 +, 4 t () t = v, t+ a t = 5 t+ t ( ) v 5 5, = = 55 = + = ( ), Da v-t-diagra zeigt eine Gerade: Da -t-diagra zeigt eine Parabel 55 7

5 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 3. Rechenbeipiele () Ein Körper wird au der Gechwindigkeit 3 herau gleichäßig bechleunigt. Die Bechleunigung ei,. Wie lange fährt er, bi er 67,5 zurückgelegt hat, und welche Endgechwindigkeit hat er dann? Gegeben ind alo v = 3, a =, und = 67, 5. Die Gleichung () t = v t+ a t enthält daher nur die Unbekannte t: 67,5 = 3 t +, t : 67,5 = 3 t +, t t + 3 t 675 = WISSEN: Die allgeeine quadratiche Gleichung hat die Löung x, ± = b b 4ac a ax + bx + c = Hier it a =, b = 3 und c = Alo folgt: t, ( ) 3 ± ± 36 3 ± 6 5 = = = = ( 45) Da eine negative Zeit hier bedeutunglo it, kennen wir jetzt die Fahrzeit it 5. Da ergibt die Endgechwindigkeit ( ) v 5 = v + a 5 = 3 +, 5 = 6 {

6 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 4 () Ein Körper wird lang gleichäßig bechleunigt und erreicht dann auf der Strecke 5 die Gechwindigkeit 8,5. Welche Anfanggechwindigkeit und welche Bechleunigung beaß er? Gegeben ind nun ( ) = 5 und ( ) v = 8,5. Bewegunggleichungen: () t = v t+ a t () v() t = v + a t () Eingeetzt: = + () 5 v a 8,5 = v + a () Wir haben ein Syte au Gleichungen it Unbekannten v und a gegeben. Eine Löungöglichkeit it die Eliination von v. Dazu ultipliziert an () it und ubtrahiert ( ) (): = + () 5 v a = + ( ) 85 v a ( ) (): 8 = a 8 a = =,6 5 Au Gleichung () folgt dann: 8,5 = v +,6 d.h. v = 8,5 6 =,5

7 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 5 (3) Ein Körper wird it a =,8 gleichäßig bechleunigt und erreicht auf der Strecke 4 die Gechwindigkeit. Welche Anfanggechwindigkeit beaß er und wie lange wurde bechleunigt? Gegeben ind jetzt a =,8, ( ) v t = und ( t) = 4. Bewegunggleichungen: () t = v t+ a t () v() t = v + a t () Eingeetzt: 4 = v t +,4 t () = v +,8 t () Wir haben ein Syte au Gleichungen it Unbekannten v und t gegeben. Eine Löungöglichkeit it die Eliination von v. Dazu ultipliziert an () it t und ubtrahiert ( ) (): 4 = v t +,4 t () t = v t +,8 t ( ) () (): t 4 =,4 t Die it eine quadratiche Gleichung für t und uß geordnet werden: t,,4 t t + 4 = :,4 t 5 t+ = 5 ± ± 5 5 ± 5 = = = = {. 5 Kann die öglich ein, daß e zwei verchiedene Fahrzeiten gibt???? Wir etzen beide Zeiten in () ein und berechnen die Anfanggechwindigkeit: Für t = 5 : = v +,8 t v =, = =!!! Für t = : v =,8 = 6 = 6. Man erkennt, daß i Falle der Körper in der falchen Richtung tartet. Die Bechleunigung bret ihn alo zuert bi auf ab und bechleunigt ihn dann, o daß er dann bei der Wegarke 4 auch die Gechwindigkeit hat. Ein realitiche Beipiel dafür it die Mondlandung: Da Landeodul fällt auf die Mondoberfläche herunter. Dieer Fall wird ier tärker abgebret, inde die Beatzung Düentriebwerke zu Breen einetzt. Diee ollen die Gechwindigkeit paend herabregeln, o daß ie auf der Mondoberfläche geworden it, daß alo die erwünchte weiche Landung tattfindet. Vergißt an nun da Abchalten dieer Triebwerke, wird die Rakete ofort wieder bechleunigt und zwar in der gleichen Richtung wie zuvor, alo nach oben, worauf da Fahrzeug wieder abhebt.

8 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 6 (4) Ein Körper bewegt ich zur Zeit t = it der Gechwindigkeit v o und legt dann gleichäßig bechleunigt die Strecke zurück. Zeige, daß er dann eine Gechwindigkeit v erreicht, die an it dieer Gleichung berechnen kann: Bewei: v =v +a t t v = = v = v = v = v = v Die Skizze oll den geaten Bewegungablauf dartellen. Wenn da Fahrzeug zur Zeit t die Gechwindigkeit v o hat, dann denken wir un da Fahrzeug zuvor gleichäßig au der Ruhe herau bechleunigt. Der Starpunkt ei a linken Ende. Für eine gleichäßig bechleunigte Bewegung au der Ruhe herau gilt die Forel v = a. Alo gilt für die zur Zeit t erreichte Gechwindigkeit: v = a Wir laen da Fahrzeug unverändert weiter bechleunigen und erhalten zu Zeitpunkt t diee Gechwindigkeit: v = a Wir quadrieren beide Gleichungen: v v = a () a = () Dann ubtrahieren wir () (): ( ) v v = a a = a = a Für einen beliebigen Zeitpunkt t tatt t keit v it v v = a. erhält an dann eine Gechwindig- Schreibt an für die ab t zurückgelegte Wegtrecke tatt dann erhält an die zu beweiende Gleichung: einfach nur, v = v + a.

9 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 7 3. Grundlagen: Brebewegungen Wir chauen un da Beipiel (3) von Seite 5 nochal genauer an, und zwar den eltaen Fall, daß da Fahrzeug unterweg it und zuert in entgegengeetzter Richtung bechleunigt wird. Dazu eine Skizze. Sie ollten diee Beipiel gründlich durchdenken, dait Sie ein tiefere Vertändni für diee Zuaenhänge bekoen! v v nach recht v nach link v =,5 = = 4 Die obere Situation zeigt den Körper, der it der Anfanggechwindigkeit v = 6 nach recht fährt und dann 5 lang it a =,8 nach recht bechleunigt wird. Er erreicht dann die Gechwindigkeit ( ) v 5 = 6 +,8 5= Die untere Situation zeigt einen Körper, der it der Anfanggechwindigkeit v = 6 nach link fährt und dann lang it a =,8 nach recht bechleunigt wird. Er erreicht dann die Gechwindigkeit ( ) v 5 = 6 +,8 = Die Anfanggechwindigkeit ußte jetzt it eine Minuzeichen verehen werden, weil ie der endgültigen Bewegungrichtung, in der auch bechleunigt wird, entgegenwirkt. Dabei legen beide Körper auch Wege zurück. Nun uß an ich aber klar achen, daß it der Gleichung () t = v t+ a t nicht unbedingt der zurückgelegte Weg berechnet wird ondern die Wegarke, bei der ich der Körper zur Zeit t befindet!!! it alo eine Weg-Koordinate!!! Körper : ( ), ( ) Körper : ( ) ( ) 5 = = 3+ = 4, = = + 6 = 4. Beide Körper befinden ich oit an derelben Stelle wenn der erte 5 Sekunden lang und der zweite Sekunden lang gefahren it. Der erte Körper hat dann 4 zurückgelegt. Der zweite dagegen viel ehr, denn er fährt zuert nach link. Nun it die Frage, wie lange und wie weit der nach link fährt, bi er zu Halten kot und dann durch die ier noch nach recht wirkende Bechleunigung wieder nach recht bechleunigt wird.

10 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 8 Bewegung de. Körper nach link: E liegt eine gleichäßig bechleunigte Bewegung vor, bei der allerding die Bechleunigung der Anfanggechwindigkeit entgegenwirkt. Daher pricht an auch von einer gleichäßig verzögerten Bewegung. Die Bewegunggleichungen ind: () t = v t+ a t () v() t = v + a t () Wir üen nun klären, daß der Körper letztendlich nach recht läuft, daß alo die Anfanggechwindigkeit in die entgegengeetzte Richtung geht, daher erhält ie ein negative Vorzeichen: () t = 6 t+, 4 t () () v t = 6 +,8 t () I Haltepunkt link außen hat der Körper die Gechwindigkeit, daher wollen wir auch die zur Bedingung achen: Bedingung für den Haltepunkt: v( th ) =. Dait folgt au () die Fahrzeit t H bi zu Haltepunkt: 6 = 6 +,8 th,8 t H = 6 t H = = 7,5,8 Und in dieer Zeit legt der Körper diee Strecke zurück (e it der Breweg): 75, = 6 75, + 4, 75, = 5, ( ) ( ) Von da au wirkt die Bechleunigung nun o daß die Gechwindigkeit wieder zu nit. Da er bereit 7,5 unterweg it, bleiben noch,5 Bewegung übrig. In dieer Zeit bechleunigt er au der Ruhe herau, d.h. e gelten die vereinfachten Geetze () t = a t =, 4 t () () v t =,8 t () aber (Voricht) geeen von linken Haltepunkt au. Laen wir ihn alo nun,5 lang fahren, da ergibt 5, = 4, 5, = 65, ( ) ( ) und ( ) v,5 =,8,5 = Die geate Wegtrecke de zweiten Fahrzeug it alo ge =,5 + 6,5 = 85. Behält an da Minuzeichen der nach link orientierten erten Wegtrecke bei, dann erhält an ge = -,5 + 6,5 = 4, und da it wieder die Wegarke. Au diee Beipiel konnte an erfahren, wie e ich it der Brebewegung verhält: Die Bechleunigung und die Anfanggechwindigkeit wirken in verchiedenen Richtungen. Daher gibt an einer davon ein Minuzeichen. In der Regel it die die Bechleunigung. In diee Beipiel war e ander, weil da Fahrzeug nach de Halten ugekehrt weitergefahren it.

11 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 9 MERKE: Bechleunigt ein Körper zur Zeit t =, in der er bereit eine Anfanggechwindigkeit v o beitzt, in der entgegengeetzten Richtung, dann nennt an die bechleunigte Bewegung eine Brebewegung. It die wirkende Brekraft kontant pricht an von einer gleichäßig verzögerten Bewegung E gelten daher diee Bewegunggleichungen: Weg-Zeit-Gleichung: t ( ) = v t at () Gechwindigkeit-Zeit-Gleichung: vt ( ) = v at () ACHTUNG: Jetzt teht da Minuzeichen bereit in der Forel, dann nit an für die Breverzögerung a eine poitive Maßzahl. Wirkt die Breverzögerung über den Haltepunkt hinau bechleunigend, dann verwendet an eine poitive Bechleunigung und eine negative Startgechwindigkeit wie in Beipiel zuvor. Mit dieen Bewegunggleichungen kann an rt und Gechwindigkeit de Fahrzeug berechnen, wenn an eine Anfanggechwindigkeit und eine Breverzögerung kennt. Der Breweg wird, wie zuvor chon gezeigt, durch diee Bedingung berechnet: A Haltepunkt it die Gechwindigkeit, alo vt = Bedingung für den Breweg: ( ) H Die dait erittelte Zeit etzt an in die Weg-Zeit-Gleichung ein. Die kann an auch allgeein durchrechnen: Au () folgt: = v a t a t = v t = (Bredauer) H H H v a Eingeetzt in (): ( H ) t = v v v v v v a = = a a a a a E wird jedoch epfohlen, ich diee Forel für den Breweg nicht zu erken. Die Fülle der Foreln wird zu groß. E wird i nächten Abchnitt jedoch ein Trick gezeigt, wie an ie chneller herleiten kann!

12 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 4. Muterbeipiele k () Ein Fahrzeug fährt it v = 8 und wird dann gleichäßig abgebret. h Die Breverzögerung ei 7,5. a) Berechne die Gechwindigkeit, die da Fahrzeug nach noch hat, wie weit it e in dieen Sekunden gefahren? b) Berechne die Gechwindigkeit, die da Fahrzeug nach 5 noch hat, wie weit it e in dieen 5 Sekunden gefahren? Deute da Ergebni. c) Berechne den Breweg und die Bredauer. Löung: k 8 Vorbereitung: Gegeben it v = 8 = 3 h 3,6 = und a = 7,5. Die Bewegunggleichungen ind: () t = v t a t () v() t = v a t () it den gegebenen Daten: () t = 3 t 3, 75 t () a) ( ), ( ) () v t = 3 7,5 t () = = 6 5 = 45 v = 3 7,5 = 3 5 = 5. (Au der Weg-Gleichung erkennt an: hne da Abbreen hätte da Fahrzeug in dieen 6 zurückgelegt, die Breverzögerung hat 5 weggenoen.) b) ( ) 5 = 3 5 3, 75 5 = 5 93, 75 = 56, 5 ( ) v 5 = 3 7,5 5 = 3 37,5 = 7,5. An dieer negativen Gechwindigkeit erkennt an, daß die Fahrzeit 5 bereit länger it al die Bredauer. Würde die Brebechleunigung nach de Halten weiter wirken, würde da Fahrzeug in der entgegengeetzten Richtung tarten und dann die Gechwindigkeit 7,5 erreichen. Da Minuzeichen zeigt an, daß ieh der Körper bereit wieder zurück bewegt! c) Bedingung für den Haltepunkt: v( th ) =. Die wird in () eingeetzt: 3 = 3 7,5 t H 7,5 t H = 3 th = = 4. 7,5 Breweg: ( ), 4 = = 6 = 6.

13 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen () Kurzlöung für die Brewegberechnung Ich verwende noch einal die Werte der Aufgabe (): k Ein Fahrzeug fährt it v = 8 und wird dann gleichäßig abgebret. h Die Breverzögerung ei 7,5. Berechne den Breweg. GEDANKENSPIEL Wir tellen un vor, da Fahrzeug führt diee Brebewegung durch und fährt bi zu Haltepunkt. Den ganzen Vorgang haben wir gefilt. Und nun laen wir den Fil rückwärt ablaufen und ehen da Fahrzeug vo Haltepunkt au bechleunigt tarten. k E fährt o lange, bi e die Gechwindigkeit v = 8 erreicht hat, acht alo eine h gleichäßig bechleunigte Bewegung au der Ruhe herau. Dafür gelten bekannterweie drei einfache Gleichungen: Weg-Zeit-Geetz: t ( ) = at Gechwindigkeit-Zeit-Geetz: vt ( ) = at Gechwindigkeit-Weg-Geetz: v ( ) = a Für unere ugekehrte Bewegung kennen wir v und a, und wir uchen, uneren Breweg. Alo verwenden wir die letzte der drei Foreln und löen ie nach auf: Die it die Brewegforel!!!! Setzen wir alo ein: v = a 9 5 = = 6 Und chon haben wir den Breweg berechnet. Merke: Die Berechnung de Brewege gelingt auf Arten: () Au der Haltebedingung vt ( H ) = berechnet an die Bredauer t H und etzt diee in die t ( ) Forel ein. () Man berechnet au der ugekehrten Bewegung ittel v ( ) = a die Wegtrecke, die zur Startgechw. v o gehört. Dazu it aber eine Erklärung notwendig!

14 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen (3) Ein Fahrzeug acht eine Vollbreung und hinterläßt eine Brepur von 48. Wie groß war die Anfanggechwindigkeit, wenn an von einer durchchnittlichen Breverzögerung von 6 augehen kann? Nach welcher Strecke und Zeit hatte da Fahrzeug nur noch die halbe Gechwindigkeit? Löung: Nach welcher Zeit hatte e den halben Breweg zurückgelegt und wie groß war dort eine Gechwindigkeit? Gegeben ind alo der Breweg von = 48 und die Breverzögerung a = 6. Wir betrachten die ugekehrte Bewegung, bei der da Fahrzeug au der Ruhe herau gleichäßig bechleunigt wird. Dann erreicht e die Gechwindigkeit v = a = 6 48 = 576 = 4. Für die Brebewegung war die die Anfanggechwindigkeit. Die Bewegunggleichungen für die Brebewegung lauten: () t = v t a t () v() t = v a t () Alo hier: () t = 4 t 3 t () () v t = 4 6 t () Die halbe Gechwindigkeit bedeutet ( ) v t =. Dait folgt au (): = 4 6 t 6 t = t = Der zugehörige Fahrweg it dann: = = 36 ( ) Der halbe Breweg bedeutet () t 4 = 4 t 3 t :3 8 = 8 t t t 8 t+ 8 = t, = 4. Dait folgt au (): ± ± ± = = = = ,66 6,83 {, 83 Hier uß an tet die kleinere Zeit verwenden. Die größere Zeit gehört zu de Gedankenexperient, daß der Körper weiterfährt bi zu Haltepunkt und dann in entgegengeetzte Richtung bechleunigt wird. Nach 6,83 kot er dann von der anderen Richtung her zur Marke 4! (Siehe Seite 6/7)

15 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 3 (4) Ein Fahrzeug wird gleichäßig abgebret, legt dabei in 5 Sekunden den Weg 6 zurück und erreicht die Gechwindigkeit 6. Löung: Berechne die vor de Abbreen vorhandene Gechwindigkeit v owie die Breverzögerung. Wie groß it der Breweg bi zu Halten? Gegeben it 5 ( ) = 6 und v( 5) = 6. Die Bewegunggleichungen für die Brebewegung lauten: () t = v t a t () v() t = v a t () Setze wir ein: = ( ) 6 v 5 a 5 6 = v a 5 ( ) Wir ultiplizieren die Gleichung () it und die Gleichung () it. Dann ubtrahieren wir ( ) ( ): = ( ) = ( ) v a 5 6 v a 5 6 = a 5 Die ergibt: 6 a = =,4 5 Dait folgt au (): v = 6 + a 5 = 6 +,4 5 = 8. E fehlt nun noch der Breweg: Für die ugekehrte Bewegung gilt: ( 8 ) v v = a = = = 67,5 a 4,8

16 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 4 (6) Ein Fahrzeug wird gleichäßig abgebret und reduziert dabei auf einer Strecke von 48 eine Gechwindigkeit auf ein Fünftel. Die Breverzögerung wird it a= 4 angegeben. Berechne die Anfanggechwindigkeit und den ganzen Breweg bi zu Halten.. Löung: Gegeben ind jetzt diee Werte: t ( ) Die Bewegunggleichungen für die Brebewegung lauten: = 48, ( ) v t = v und a= 4 () t = v t at () v() t = v a t () Setzen wir ein: 48 = v t t ( ) 5 v = v 4 t ( ) Hier liegen Gleichungen it Unbekannten vor. Diee Syte kann an durch da Subtraktionverfahren löen (iehe Beipiel (3) Seite 4) oder aber wa ich hier beonder anbietet it de Einetzungverfahren. Dazu tellen wir die Gleichung ( ) nach v u: v = v 4 t v = 4 t v = 5 t (3) In (): 48 = 5 t t t Ergibt 3 t = 48 t = 6 t = 4. Eingeetzt in (3): v = 5 4=. E fehlt nun noch der Breweg: Für die ugekehrte Bewegung gilt: ( ) v v = a = = = 5 a 8 Weitere Beipiele finden Sie in der Datei Wurfbewegungen, denn der enkrechte Wurf nach oben it (zuindet i aufteigenden Teil) auch eine Brebewegung!

17 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 5 5. Zwei pezielle Aufgaben () Ein Körper tarte zur Zeit t =, bechleunige dann 4 Sekunden lang it a = 3, fahre dann 5 lang gleichförig und bree dann o ab, daß da Fahrzeug nach weiteren 6 Sekunden zu Stehen kot. Welchen Weg hat da Fahrzeug ingeat zurückgelegt? Löung: Diee Aufgabe ercheint ehr einfach. Sie beteht au drei Teilbewegungen: () Gleichäßig bechleunigte Bewegung au der Ruhe herau t = a t 4 =,5 6 = 4 E gilt: ( ) ( ) = = = v t a t v Und ferner: ( ) ( ) () Gleichförige Bewegung Wir legen den Nullpunkt der Zeitache für diee Rechnung an den Beginn der gleichförigen Bewegung, dann gilt: (3) Brebewegung ( ) ( ) ( ) t = v 4 t 5 = 5= 6 Auch hier legen wir t = in den Beginn der Brebewegung. Achtung: Wir üen eine zweite Bechleunigung verwenden, daher teht oben a und hier jetzt a : () ( ) () ( ) 3 t = v 4 t a t () v t = v 4 a t () 3 d.h. () 3 t = t a t () () v t = a t () 3 Bedingung für den Haltepunkt: v3 ( 6) = : d.h. = a 6 a 6 = a = 6 = 6 36 = 36 Dait folgt au (): ( ) (4) Zuaenetzen der Wegtrecken: Geatwegtrecke: = = Nun wollen wir da v t Diagra für die Geatbewegung eritteln

18 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 6 Die v-t-gleichungen lauten: I erten Teil: () v t = 3 t I zweiten Teil: () v t = (kontant) I dritten Teil: v () t = t 3 Nun wollen wir zur Übung die an eine Zeitache anpaen, die ihren Urprung t = bei Beginn der Bewegung hat. E gilt oit () v t = 3 t für t 4 Dann gilt weiter () v t = für 4 t 9 Und chließlich: () v t = ( t 9) Bzw. () v t = t+ 3 für 9 t 5 (Hier uß an von der Zeitkoordinate die 9 Sekunden abziehen, die vor der Brebewegung liegen!) In der atheatichen Funktionchreibweie ollte an die o dartellen: 3 t für t 4 () v t = für 4 t 9 ( t 9) für 9 t 5 Und nun da Diagra. Hinwei: U da Diagra zu ertellen benötigt an hier nicht einal die Gechwindigkeitfunktion. ( ) P ( 9 ) P 4 E genügt, die Zutandpunkte P und P einzuzeichnen. Die letzte Strecke führt dann bi zu Haltepunkt auf die t-ache, den an durch die Angabe Brezeit = 6 findet. Der ingeat zurückgelegte Weg it nun die Fläche unter diee Trapez: Trapezforel: A= ( a+ c ) h, d.h. hier: Geht da nicht einfach? ( ) = = = ()

19 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 7 () Zwei Fahrzeuge fahren aufeinander zu. Fahrzeug A hat die Gechwindigkeit va = 3, Fahrzeug B v B = 4. Sie erkennen diee Situation i elben Moent al ie noch 4 voneinander entfernt ind. Sie breen daraufhin it den Verzögerungen aa = 3 und a B = 5 ab. Überprüfe, ob ie einen Zuaentoß vereiden können, und wenn ja, in welche Abtand voneinander ie zu Halten koen. Löung Jetzt kot eine neue Situation hinzu, nälich, daß da Fahrzeug B auch noch eine Wegkoordinate für den Zeitpunkt t = bekoen uß, in de e zu breen beginnt. Notieren wir die Bewegunggleichungen. Für A: () va t = 3 3 t () t = 3 t,5 t A Für B: () ( ) v t = 4 5 t = t B () B = = + t 4 (4 t,5 t ) 4 4 t,5 t Zur Erklärung: Fahrzeug B befindet ich zur Zeit t = an der Wegarke (Weg-Koordinate 4 ) und fährt dann auf A zu, d.h. die Weg-Koordinate wird u die zurückgelegte Fahrtrecke verkürzt, wehalb an die Wegtrecke davon abziehen uß. Analog dazu erhält die Gechwindigkeit ein Minuzeichen, weil die Fahrt nach link geht. Berechnen wir nun die Brewege. Dazu verwenden wir wieder die Ugekehrte Bewegung, alo die gleichäßig bechleunigte Bewegung au de Haltepunkt herau zurück it der Forel v v = a * =. a Dann erhalten wir für da Fahrzeug A: Und für B: 9 A * = = A * = = 6 Da heißt, der Haltepunkt von B befindet ich an der Wegarke B = 4 6 = 4, während A bei 5 hält. Die Fahrzeuge haben alo noch 9 Abtand, wenn ie zu Stilltand gekoen ind. Wir pinnen diee Aufgabe weiter.

20 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 8 Wie lange üen beide Fahrzeuge breen? Hierzu verwenden wir die Bedingung für den Haltepunkt, und die lautet V( th ) =. Da ergibt für da Fahrzeug A wegen ( ) va t = 3 3 t die Bredauer = 3 3 t t =. und für B: = t t = 8. Daher tellen wir jetzt die Zuatzfrage: Wo befinden ich die Fahrzeuge 5 nach Beginn de Brevorgang? Fahrzeug A: ( ) t = 3 t,5 t A ( ) A 5 = 3 5,5 5 = 5 37,5 =,5 Fahrzeug B: ( ) t = 4 4 t +,5 t B B ( ) 5 = ,5 5 = 4 + 6,5 = 6,5 Die ind die Wegkoordinaten der beiden Fahrzeuge: A it bei,5 und B bei 6,5. Sie ind alo noch genau 5 voneinander entfernt. Schließlich eine letzte Aufgabe dazu: Wir laen nun beide Fahrzeuge it a = 3 abbreen. E ei verraten, daß nun nicht ehr rechtzeitig zu Halten koen. E gibt einen Zuaentoß. Wir wollen berechnen wo und wann der tattfindet und welche Gechwindigkeiten dann noch beide Fahrzeuge haben. Die Löung it einfach, wenn an ich darüber i Klaren it, daß die Weg-Gleichung Koordinaten berechnet. Wenn e zu Zuaentoß kot, dann an derelben Wegarke. Wir berechnen dieen Schnittpunkt durch Gleichetzen. Dabei wurde allerding de Fahrzeug B die neue Breverzögerung itgegeben: t, 4 4 t +,5 t = 3 t,5 t 4 7 t + 3 t = : 3t = 7 ± ± 7 ± 3,3 = = = = { E wurde chon einal erwähnt, daß an in o eine Fall tet den kleineren Zeitwert nehen uß. Der größere läßt ich o interpretieren, daß die Fahrzeuge (nach de Paieren de Zuaentoßpunkte irgendwann zu Halten koen würden und dann bei fortgeetzter Bechleunigung rückwärt tarten und ich wieder treffen würden. Dazu gehört die größere Zeit!)

21 MECHANIK 93 Gleichäßig bechleunigte Bewegungen 9 Wir beobachten alo nach genau Sekunden den Zuaentoß. Nun berechnen wir den rt, wo ich die beiden Fahrzeuge dann befinden: = 3,5 = 3 5 = 5 Fahrzeug A: ( ) A Fahrzeug B: ( ) = 4 4 +,5 = B Natürlich befinden ich A und B beiden an der elben Stelle, d.h. bei der Wegarke 5!! Und nun die Gechwindigkeiten: Fahrzeug A: ( ) v = 3 3 = A B = + = Fahrzeug B: v ( t) 4 3 Wir wien alo: I Augenblick de Zuaentoße it A gerade zu Halten gekoen, während B it der Gechwindigkeit auf A aufprallt. Hinwei: Wer die Aufgabe weiter aubauen will, kann nun den Beginn e Brevorgang noch auf verchiedene Zeitpunkte legen. Wenn etwa B Sekunde nach A it de Breen beginnt, dann uß dort tatt t die verkürzte Zeit (t ) verwendet werden, denn wenn Sekunden vergangen ind, hat B ert Sekunde gebret uw.