bei Unterlauf wird stattdessen Hälfte des Divisors addiert Ersparnisse einer Addition bzw. Subtraktion

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1 6.2 Non-Restoring Division Restoring Division Divisor wird subtrahiert falls Unterlauf (Ergebnis negativ) Divisor wird wieder addiert im nächsten Durchlauf wird die Hälfte des Divisor subtrahiert (Linksshift des Dividenten vor der Subtraktion) Idee bei Unterlauf wird stattdessen Hälfte des Divisors addiert Ersparnisse einer Addition bzw. Subtraktion G.49 7 BCD-Arithemtik BCD-Code 4-Bit Darstellung von Dezimalzahlen im Rechner Wert Darstellung Darstellung Wert verbotene Codes Zahlendarstellung mit mehreren 4-Bit breiten Ziffern, z.b entspricht der Dezimalzahl 139 G.50

2 7 BCD-Arithemtik Vorteil leichtes Umwandeln von Dezimalzahlen in BCD-codierte Zahlen Rechnen mit BCD-codierten Zahlen spezielle Rechenwerke Unterstützung in gängigen Prozessoren zumindest für Addition und Subtraktion Nachteil oft nicht alle Rechenoperationen in Hardware unterstützt Rechenoperation in Software ineffizient Verschwendung von Speicherplatz G.51 8 Festkomma-Zahlendarstellung Feste Kommaposition bei der Darstellung von Zahlen Beispiel: n = 4, Komma an Position k = 2 Registerinhalt 0110 bedeutet 01,10 2 bedeutet 1,5 allgemeine Wertberechnung (für positive Zahlen): ( z n k 1,, z 1, z 0, z 1,, z k ) 2 = z i 2 i negative Zahlen analog i Rechenoperationen Addition und Subtraktion unverändert Multiplikation Ergebnis hat 2k Nachkommastellen Division Einfügen des Ergebniskommas sobald erste Nachkommastelle des Dividenten berührt wird G.52

3 9 Fließkomma-Zahlendarstellung Darstellung großer und kleiner Zahlen mit gleichem Verfahren Idee Darstellung einer Anzahl von Ziffern (Mantisse) plus Darstellung der Position des Kommas (Fließkomma, Gleitkomma) Beispiele 12345, k = 2 : 123, , k = 5 : 0, , k = 4 : Beispiel: wissenschaftliche Notation des Taschenrechners 1, entspricht Exponent zur Basis 10 gibt Position des Kommas an G.53 9 Fließkomma-Zahlendarstellung (2) Allgemein Zahl x wird dargestellt als: x = m b e e wird auch Charakteristik genannt Normalisierung Zahl x 0 heißt normalisiert, wenn gilt: 1 m < b Beispiel für b = 10: wird dargestellt als 1, Wert der Mantisse zwischen 1 und 10 Beispiel für b = 2: 3,625 wird dargestellt als 1, Wert der Mantisse zwischen 1 und 2 G.54

4 9.1 Binäre Darstellung von Fließkommazahlen Freiheitsgrade bei der Darstellung Gesamtlänge der Darstellung Länge der Exponentendarstellung (Länge der Mantissendarstellung) Darstellung der Mantisse (Einer-, Zweierkomplement oder Vorzeichen und Betrag) Darstellung des Exponenten (Einer-, Zweierkomplement, Vorzeichen und Betrag oder Biased Exponent) Biased Exponent Darstellung des Exponenten ist immer positiv und um eine Konstante höher als der tatsächliche Wert (Bias) Beispiel: Bias B = 63, Exponent e = 8 Darstellung e Darst = 55 Vorteil: durchgängiger positiver Nummernraum für die Charakteristik G IEEE 754 Darstellung Standard zur Vereinheitlichung der unterschiedlichen Darstellungen Aufbau einer IEEE 754 Fließkommazahl s e m Mantisse (Länge M) Exponent (Länge E) Vorzeichen allgemeine Wertberechnung: x = ( 1) 1,m 2 e B erste Ziffer (immer 1) wird nicht in Mantisse gespeichert Bias B hängt von der Länge der Exponentendarstellung E ab: B = 2 E 1 gültige Charakteristiken: 0 < e< 2 E 1 (Werte 0 und 2 E 1 sind reserviert) 1 G.56

5 9.2 IEEE 754 Darstellung Spezielle Werte Null / Zero Vorzeichen s, e = 0, m = 0 (positive und negative Null) Unendlich / Infinity symbolische Darstellung für unendlich große Zahl Vorzeichen s, e = 2 E 1, m = 0 (positiv und negativ Unendlich) NaN / Not a number Vorzeichen s, e = 2 E 1, m 0 denormalisierte Zahlen (kleiner als kleinste normalisierte Zahl) Vorzeichen s, e = 0, m 0 Wertberechnung: ( 1) s 0, m 2 1 B G IEEE 754 Darstellung Formatdefinitionen Single Precision Double Precision Quad Precision Gesamtlänge (N) 32 Bit 64 Bit 128 Bit Vorzeichen 1 Bit 1 Bit 1 Bit Mantissen (M) 23 Bit 52 Bit 112 Bit Exponent (E) 8 Bit 11 Bit 15 Bit Bias (B) x min (norm.) x min (denorm.) x ( ) max ( ) zusätzliches Format: Extended Precision zwischen Double und Quad (herstellerabhängig definierbar) ( ) G.58

6 9.3 Rechenoperationen Beispiel IEEE 754 Darstellung Addition/Subtraktion denormalisiere Zahl mit kleinerem Exponent d.h. Exponenten auf gleichen Wert bringen addiere oder subtrahiere Mantissen normalisiere Mantisse berechne Vorzeichen des Ergebnisses Multiplikation/Division multipliziere/dividiere Mantissen addiere/subtrahiere Exponenten normalisiere Mantisse berechne Vorzeichen des Ergebnisses G.59

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