2. Funktionen in der Ökonomie

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1 FHW, ZSEBY, ANALYSIS - - Funktionen in der Ökonomie Beispiele: qudrtische Funktionen, Eponentilfunktion Qudrtische Funktionen Einfchste qudrtische Funktion: y = Allgemeine qudrtische Funktion: y = + b + c Beispiel: () y = 6 8 Eponentilfunktion Einfchste Eponentilfunktion: y = e bzw y = e Allgemeine Eponentilfunktion: y = e bzw c y = e Beispiel: y = e bzw y = e () Weitere Beispiele: () y = e (6) y = () y = ln (7) y = () y = + Drstellung von Funktionen (nlytisch, tbellrisch, grfisch) Anlytische Drstellung: () y = 6 8 () y = e Tbellrische Drstellung: 6 7 A B C D E F G H () () () () () (6) (7) -8,, -,, -,, -,,68,6, -7, -, -9, -,,,86 -,9 -,,9 -, -8,, 8,9 -, 9, 6,7,,,8,98, 87,, 8,,,7,99,89 88,,76 97,

2 FHW, ZSEBY, ANALYSIS - - Grfische Drstellung: Aufgbe : Monopolist Für den Zusmmenhng zwischen dem Preis p einer Wre und der bgesetzte Menge wird in dem interessierenden Bereich ein linerer Zusmmenhng vorusgesetzt: () = c p ( c > ) Für ein Zhlenbeispiel zur Bestimmung der Prmeter und c nehmen wir n, dss sich zum Preis p =, täglich Currywürste und zum Preis p =, täglich nur 8 Currywürste verkufen lssen Der Einkufspreis wird mit k =, ngesetzt (A) Ermitteln Sie die Prmeter und c (A) Ermitteln Sie für einen Preis p =,7 den Abstz, den Umstz U = p, die Kosten K = k und den Gewinn G = U K Aufgbe : Tschernobyl Der rdioktive Zerfll lässt sich durch eine Eponentilfunktion beschreiben Ist m Anfng die Menge ( %) vorhnden, dnn ist die Menge nch der Zeit () y = e c Dbei drückt der Prmeter c die Intensität des Zerflls us Die Intensität lässt sich nschulicher durch die Hlbwertszeit T ngeben, den Zeitrum, in dem die Hälfte der Substnz zerfllen ist Für Cäsium ist die Hlbwertszeit zb Jhre (A) (A) Ermitteln Sie us der Hlbwertszeit den Prmeter c für ds Beispiel Cäsium Welcher Anteil ist nch Jhren noch vorhnden?

3 FHW, ZSEBY, ANALYSIS - - Aufgbe : Nutzungsduer Für die Wertminderung eines Autos im Lufe der Zeit wird ds Modell des eponentiellen Zerflls zugrundegelegt Der Zeitwert wird durch folgende Modellstruktur beschrieben: () Z = P e c t Dbei ist Z der Zeitwert in, P der Anfngswert (Kufpreis) und t die Zeit, die wir in Monten ngeben wollen Für ein Zhlenbeispiel nehmen wir einen Preis P = 7 und eine Hlbwertszeit von T = 6 Monten n Die Gesmtkosten für Reprtur und Wrtung bis zum Zeitpunkt t werden durch eine qudrtische Funktion beschrieben: () G = g t Als Beispiel nehmen wir n, dss innerhlb von 8 Monten insgesmt 6 Kosten nfllen (A) (A) Ermitteln Sie für ds Zhlenbeispiel den Prmeter c der Wertminderung und den Prmeter g der Kostenfunktion Geben Sie für eine Nutzungsduer von, 8 und 7 Monten den Zeitwert, die Wertminderung, die Kosten für Reprtur und Wrtung sowie die durchschnittlichen Kosten pro Mont, bezogen uf die jeweilige Nutzungsduer, n Bestimmung von Nullstellen, nichtlinere Gleichungen, ds Sekntenverfhren Aufgbenstellung Bisher hben wir für eine gegebene Modellstruktur folgende Aufgben behndelt: (A) (A) Identifiktion der Modellprmeter us vorgegebenen (,y)-wertepren, Enumertion (= Ausrechnen) der Funktionswerte y zu vorgegebenen -Werten Eine weitere Aufgbe besteht nun drin, zu einem numerisch vorgegebenen Sollwert y einen zugehörigen -Wert zu finden, derrt dss y = f ( ) = y ist: (A) Zielsuche: Ermittlung eines -Wertes zu einem numerisch vorgegebenen Sollwert y Ds Lösen einer Gleichung der Form f ( ) = y lässt sich stets ls Suche nch Nullstellen einer Funktion deuten Indem mn die Differenz F( ) = f ( ) y bildet, besteht nun die Aufgbe drin, die Gleichung F( ) = zu lösen, lso Nullstellen der Funktion F( ) zu suchen

4 FHW, ZSEBY, ANALYSIS - - Qudrtische Funktion Um die Gleichung + b + c = y zu lösen, lso Nullstellen der qudrtischen Funktion y = + b + c y zu ermitteln, dividiert mn die Gleichung durch ( ) und erhält die Normlform der qudrtischen Gleichung + p + q = mit den Lösungen (p-q-formel):, p = ± p q Eponentilfunktion c Um die Gleichung e = y zu lösen, lso Nullstellen der Funktion y = e y muss mn die Gleichung durch dividieren und nschließend logrithmieren: c e = y, e c y =, ( ) y ln e c = ln, y c = ln, y ln () = c c zu ermitteln c Ebenso für e = y : () ln = c y Insbesondere ergibt sich für y Hlbwertszeit T: = der Zusmmenhng zwischen Zerfllsintensität c und ln ln () T = bzw c = (ln 69) c T Allgemeine nichtlinere Gleichungen, ds Sekntenverfhren Linere, qudrtische und Eponentilfunktionen sind so einfch, dss mn die Zielsuche durch Angbe einer Lösungsformel erledigen knn Bei llgemeinen nichtlineren Funktionen ist ds nicht der Fll Es hndelt sich dnn ttsächlich um eine Ziel-Suche, die mn schrittweise ("itertiv") verbessert

5 FHW, ZSEBY, ANALYSIS So gibt es zb keine formelmäßige Möglichkeit, Nullstellen des obigen Beispiels () y = e zu ermitteln, lso - ws dsselbe ist - die Gleichung = e zu lösen Aus der tbellrischen und us der etws detillierteren grfischen Drstellung erkennt mn jedoch sofort, dss zwischen und eine Nullstelle liegen muss Ds Sekntenverfhren geht us von zwei Punkten, die sich möglichst in der Nähe einer Nullstelle befinden Die beiden Punkte der Kurve werden nun durch eine Gerde verbunden Der -Wert, bei dem diese Gerde die -Achse schneidet (y = ), wird ls verbesserte Schätzung der Nullstelle ngesehen:,,, -,,,,6,8 -, Die Formel zur Berechnung des Schnittpunktes der Seknte mit der -Achse lutet: () y y = y y Mit diesem neuen -Wert und einem der beiden älteren -Werte wird ds Verfhren wiederholt: y y = y y Beispiel: y = e, =, = y = e =, y = e = 6,

6 FHW, ZSEBY, ANALYSIS ( ) 6 = = 6, y = 7 6 ( ) ( 7) 6 6 = = 69, y = 7 6 Umkehrfunktion Während die Funktion f ( ) y = jedem -Wert us dem Definitionsbereich einen y-wert zuordnet, hben wir bei der Zielsuche versucht, zu einem numerisch vorgegebenen Wert y einen zugehörigen -Wert zu finden Bei der Umkehrfunktion frgen wir nun, ob es möglich ist, eine Vorschrift zu finden, die für einen beliebigen, vriblen y-wert genu einen zugehörigen -Wert zu liefert Wir htten diese Aufgbe bereits bei den Potenzen gestellt, wo wir für y = ( ) ds Wurzelziehen = y und für y = ds Logrithmieren = log y ls Umkehrung kennengelernt htten Für die einfchste Funktion y = ( ) erhält mn sofort die Umkehrfunktion = y Für die llgemeine qudrtische Funktion y = + b + c( ) erhält mn die Umkehrfunktion durch Auflösen der qudrtischen Gleichung: + b + c y = b c y + + =, b = ± b c y Beschränkt mn sich uf ds Pluszeichen vor der Wurzel, so erhält mn zu jedem y-wert, für den der Ausdruck unter der Wurzel nicht-negtiv ist, genu einen -Wert c Für die llgemeine Eponentilfunktion y = e (, c ) y die Umkehrfunktion = ln c erhält mn durch Auflösen nch

7 FHW, ZSEBY, ANALYSIS Aufgbe : Spulzeit Bei einem Kssettenrecorder ist die gespulte Bndlänge eine qudrtische Funktion der Zhl der Umdrehungen (der uf- oder bspulenden Spule) Die bgelufenen Zeit ist proportionl der Bndlänge, und der Zählerstnd ist proportionl der Zhl der Umdrehungen Dmit ist uch die bgelufene Zeit t (in Sek) eine qudrtische Funktion des Zählerstndes z: t = z + bz + c Aus einer Messung erhält mn folgende Wertepre für Zählerstnd z und Zeit t: z t [Min:Sek] t [Sek] : :7 : (A) Identifiktion der Prmeter: Ermitteln Sie us den Messwerten die Werte der Prmeter, b und c (A) (A) (A) Enumertion: Setzen Sie für den Zählerstnd die Werte z = und z = ein, und ermitteln Sie die zugehörige Zeit Zielsuche: Berechnen Sie die Zählerstände für die Zeiten, und Minuten Umkehrfunktion: Geben Sie die Funktion n, die zu vorgegebener Zeit den Zählerstnd liefert PC-Unterstützung Beispiel: y = e =, =, = A B Sekntenverfhren y, -,,,6,67 -,66,69 -,9,78,7,7, A Sekntenverfhren y =A^-EXP(-A) =A6^-EXP(-A6) =(A*B6-A6*B)/(B6-B) =A7^-EXP(-A7) =(A6*B7-A7*B6)/(B7-B6) =A8^-EXP(-A8) =(A7*B8-A8*B7)/(B8-B7) =A9^-EXP(-A9) =(A8*B9-A9*B8)/(B9-B8) =A^-EXP(-A) B

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