Wirtschaftsmathematik

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1 Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S Datum Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede Sie ausschließlich das vom Aufsichtführede zur Verfügug gestellte Papier ud gebe Sie sämtliches Papier (Lösuge, Schmierzettel ud icht gebrauchte Böge) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführede ab. Eie icht vollstädig abgegebee Klausur gilt als icht bestade. Beschrifte Sie jede Boge mit Ihrem Name ud Ihrer Immatrikulatiosummer. Lasse Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rad für Korrekture frei ud ummeriere Sie die Seite fortlaufed. Notiere Sie bei jeder Ihrer Atworte, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösuge ud Lösugswege sid i eier für de Korrektate zweifelsfrei lesbare Schrift abzufasse. Korrekture ud Streichuge sid eideutig vorzuehme. Uleserliches wird icht bewertet. Bei ummerisch zu lösede Aufgabe ist außer der Lösug stets der Lösugsweg azugebe, aus dem eideutig hervorzugehe hat, wie die Lösug zustade gekomme ist. Zur Prüfug sid bis auf Schreib- ud Zeicheutesilie ausschließlich die achstehed geate Hilfsmittel zugelasse. Werde adere als die hier agegebee Hilfsmittel verwedet oder Täuschugsversuche festgestellt, gilt die Prüfug als icht bestade ud wird mit der Note 5 bewertet. Hilfsmittel : Bearbeitugszeit: 90 Miute HFH-Tascherecher Azahl Aufgabe: Formelsammlug Wirtschaftsmathematik Höchstpuktzahl: Vorläufiges Bewertugsschema: Viel Erfolg! Puktzahl Ergebis vo bis eischl bestade 0 49,5 icht bestade Klausuraufgabe, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-S

2 Klausuraufgabe, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe 1 1 Pukte Gebe Sie zu de i de beide folgede x, y-koordiatesysteme dargestellte Gerade (a) bis (f) jeweils die Geradegleichug (Fuktiosgleichug) a. Aufgabe 14 Pukte Bestimme Sie die Lösugsmege der Ugleichug 5 x 8 > im Bereich der reelle Zahle. Aufgabe 3 13 Pukte Bestimme Sie die Nullstelle der Fuktio ( ) f x = x 3x + mit D = R. BW-WMT-S Seite 1/3

3 Klausuraufgabe, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe 4 16 Pukte 4.1 Bestimme Sie im Bereich der reelle Zahle die größtmögliche Defiitiosbereiche der Fuktioe x 8x 10 x + 1 f ( x) = ud ( x) 4. Vorgegebe sid drei Fuktioe: x f ( x) = x ; g( x) = l x ud h( x) e Bestimme Sie a) ( g( h( x) )) b) ( g( f ( x) )) f sowie h. 3x + 1 g =. ( x + 1)( x + x 3) =. Vereifache Sie dabei die Ausdrucke so weit wie möglich. 6 Pkte 10 Pkte Aufgabe 5 10 Pukte Frau S. legt am eie Geldbetrag vo auf eiem Sparbuch mit eier Verzisug vo p = 3 % p.a. a. Ziszuschlagtermi ist jeweils der eies Jahres. Bereche Sie de Betrag, auf de das Kapital am agewachse ist. (Awedug der deutsche Zismethode mit 30 Zistage pro Moat ud 360 Zistage pro Jahr.) Hiweis: Die Zeiträume i 004 ud 008 sid als uvollstädige Zisperiode zu betrachte. Aufgabe 6 17 Pukte Herr P. besitzt auf seiem Bakkoto, das mit 3, % p.a. verzist wird, am ei Guthabe vo Er möchte jedes Jahr am 01. Jauar, begied im Jahre 005, 3000 abhebe. 6.1 Bereche Sie die Azahl der abzuhebede Rate, bis das Koto erschöpft ist. 11 Pkte 6. Bereche Sie de Kotostad vo Herr P. ach der dritte Abhebug. 6 Pkte Aufgabe 7 1 Pukte Frau W. erhält ei Moatsgehalt vo 3600 (etto, Auszahlugsbetrag). Bereche Sie die hierzu äquivalete Jahresersatzrate bei eier Verzisug vo p = 3,8 %, we 7.1 das Gehalt jeweils am Moatserste überwiese wird. 6 Pkte 7. das Gehalt jeweils am Moatsede überwiese wird. 6 Pkte BW-WMT-S Seite /3

4 Klausuraufgabe, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe 8 6 Pukte Frau B. möchte eie Kredit aufehme ud köte durch kosequete Eisparuge moatlich 00 für Zise ud Tilgug aufbrige. Ihre Freudi bietet ihr eie Kredit mit eier Verzisug vo 1,1 % pro Moat a. Bereche Sie de Kreditbetrag, de sich Frau B. vo ihrer Freudi leihe köte, we der Kredit ach 3,5 Jahre zurückgezahlt sei soll. BW-WMT-S Seite 3/3

5 Korrekturrichtliie zur Studieleistug Wirtschaftsmathematik am Betriebswirtschaft BW-WMT-S Für die Bewertug ud Abgabe der Studieleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme Sie bitte so vor, wie i der Korrekturrichtliie ausgewiese. Eie summarische Agabe vo Pukte für Aufgabe, die i der Korrekturrichtliie detailliert bewertet worde sid, ist icht gestattet. Nur da, we die Pukte für eie Aufgabe icht differeziert vorgegebe sid, ist ihre Aufschlüsselug auf die eizele Lösugsschritte Ihe überlasse. Stoße Sie bei Ihrer Korrektur auf eie adere richtige als de i der Korrekturrichtliie agegebee Lösugsweg, da ehme Sie bitte die Verteilug der Pukte sigemäß zur Korrekturrichtliie vor. Rechefehler sollte grudsätzlich ur zur Abwertug des betreffede Teilschrittes führe. Wurde mit eiem falsche Zwischeergebis richtig weitergerechet, so erteile Sie die hierfür vorgesehee Pukte ohe weitere Abzug. Ihre Korrekturhiweise ud Puktbewertug ehme Sie bitte i eier zweifelsfrei lesbare Schrift vor. Die vo Ihe vergebee Pukte ud die daraus sich gemäß dem achstehede Noteschema ergebede Bewertug trage Sie i de Klausur-Matelboge sowie i das Formular Klausurergebis (Ergebisliste) ei. Gemäß der Diplomprüfugsordug ist Ihrer Bewertug folgedes Bewertugsschema zugrude zu lege: Puktzahl Ergebis vo bis eischl bestade 0 49,5 icht bestade Die korrigierte Arbeite reiche Sie bitte spätestes bis zum 6. Mai 004 i Ihrem Studiezetrum ei. Dies muss persölich oder per Eischreibe erfolge. Der agegebee Termi ist ubedigt eizuhalte. Sollte sich aus vorher icht absehbare Grüde ei Termiüberschreitug abzeiche, so bitte wir Sie, dies uverzüglich Ihrem Studiezetreleiter azuzeige. Korrekturrichtliie, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-S

6 Korrekturrichtliie, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösug 1 vgl. SB 4; Kap. 1. ud Pukte Gleichuge der Gerade: (a) y = f ( x) = 0,5x + 1 (d) y = f ( x) = 3 x + 15 (b) y = f ( x) = x 0, 5 (e) y = f ( x) = 0,5x + 30 y (f) x = 35 (c) = f ( x) = 1, 5 (je Gerade Pkte, max. 1 Pkte) Lösug vgl. SB 1; Kap Pukte 1. Fall: 5 x 8 > 0 x > 1, 6 ( Pkte) 5 x 8 > x > { x R } L1 = x >. Fall: 5 x 8 < 0 x < 1, 6 ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) 5 x + 8 > 5 x < 6 x <1, ( Pkte) { x R 1,} L = x < Gesamte Lösugsmege: = L L = { x x < 1, x } 1 > ( Pkte) L R. ( Pkte) Lösug 3 vgl. SB 1; Kap Pukte Die Nullstelle etspreche der Schittpukte der Fuktio mit der x-achse, d. h. Bestimmug aller f x =. ( ) x 3x + = 0 Die biquadratische Gleichug lässt sich durch Substitutio auf eie quadratische Gleichug zurückführe. x D mit Setze x = z. ( Pkte) Aus x 3x + = 0 wird damit 1 5 z 3z + 0 =. BW-WMT-S Seite 1/5

7 Korrekturrichtliie, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Löse der quadratische Gleichug z 6z + 5 = 0. Awedug der biomische Formel ergibt ( z 1 ) ( z 5) = 0 mit de Lösuge z 1 = 1 oder z = 5. (4 Pkte) Gleiche Lösuge erhält ma alterativ durch Awedug der p, q-formel auf z 6z + 5 = 0 : z 1, = 3 ± = 3 ± = 3 ± Rücksubstitutio: x = 1 x 1 = 1 ud x = 1 x = 5 x 3 = 5 ud x4 = 5 Damit ist die Lösugsmege: = { 5 ; 1 ; 1 ; + 5} ( Pkte) ( Pkte) L. Lösug 4 vgl. SB 4; Kap. 3.3 ud Pukte 4.1 Defiitiosbereich 6 Pkte x 8x 10 f ( x) = x + 1 Der Neer ka i R icht Null werde. Für de größtmögliche Defiitiosbereich gilt damit: g ( x) = 3x + 1 ( x + 1)( x + x 3) Bestimmug der Nullstelle des Neers: Aus ( + 1 )( x 1)( x + 3) = 0 x folgt (Awedug biomische Formel): D = R. x 1 = 1 ; x = + 1 ; x 3 = 3. (3 Pkte) Die Nullstelle x ud x 3 erhält ma auch alterativ durch Awedug der p, q-formel auf ( + x 3) x. 4 1 x,3 = 1 ± + = 1 ±. 4 4 Damit gilt für de größtmögliche Defiitiosbereich: D = R \{ 1 ; + 1 ; 3} BW-WMT-S Seite /5

8 Korrekturrichtliie, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft 4. Verkettete Fuktioe 10 Pkte a) g h( x) x ( ) = l( e ) ud damit f g( h( x) ) b) g ( ) x ( ) = l( e ) = x l() e = x ( f x ) = l ( x ) ud damit h( g( f ( x) )) = l( x e ) = x (4 Pkte) (4 Pkte) Lösug 5 vgl. SB ; Kap Pukte Im erste uvollstädige Jahr 004 ud im letzte ebefalls uvollstädige Jahr 008 erfolgt die Verzisug eifach. Für die dazwische liegede Jahre 005 bis 007 wird dagege die Ziseszisrechug agewedet. Aufschlüsselug der Tage: Tage: eifache Verzisug ( Pkte) Jahre: Ziseszise ( Pkte) Tage: eifache Verzisug ( Pkte) Dies führt zu (vgl. Formelsammlug 8.1/8.): K ges = ,03 1, ,03 = ,81. (4 Pkte) Am ist das Kapital auf , 81 agewachse. Lösug 6 vgl. SB ; Kap Pukte 6.1 Azahl der Rate, bis das Koto erschöpft ist 11 Pkte Sparkasseformel für de Kapitalabbau bei achschüssig etommee Rate mit E = 0 (vgl. Formelsammlug 9.3): 0 = q 1 K0 q r. q 1 ( Pkte) Umstelle ach der Periode ergibt: r log r K0 ( q 1) =. log q (4 Pkte) Eisetze vo K ; q = 1, 03 ud r = liefert: 0 = = log ( 1,03 1) log ( 1,03) ( Pkte) BW-WMT-S Seite 3/5

9 Korrekturrichtliie, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft = 18,86. ( Pkte) Es köe 18 volle Rate ud eie vermiderte 19-te Schlussrate abgehobe werde. 6. Kotostad ach der dritte Abhebug 6 Pkte Sparkasseformel für de Kapitalabbau bei achschüssig etommee Rate (vgl. Formelsammlug 9.3): q 1 E = K0 q r. ( Pkte) q 1 Eisetze vo K 0 = ; q =1, 03 ; r = ud = 3 liefert: E = , ( Pkte) E = ,33. ( Pkte) Der Kotostad ach der dritte Abhebug beträgt , 33. Lösug 7 vgl. SB 3, Kap Pukte 7.1 Überweisug am Moatserste 6 Pkte Bei vorschüssige Ratezahluge gilt für die äquivalete Jahresersatzrate r E ach Formelsammlug 9.4: i r E = r m + ( m + 1). ( Pkte) Eisetze vo r = ; i = 0, 038 ud m = 1 liefert: 0,038 r E = ( 1 + 1) ( Pkte) r E = ,0. ( Pkte) 7. Überweisug am Moatsede 6 Pkte Bei achschüssige Ratezahluge gilt für die äquivalete Jahresersatzrate r E ach Formelsammlug 9.4: i r E = r m + ( m 1). ( Pkte) Eisetze vo r = ; i = 0, 038 ; m = 1 liefert: 0,038 r E = ( 1 1) ( Pkte) r E = 43.95,40. ( Pkte) BW-WMT-S Seite 4/5

10 Korrekturrichtliie, Studieleistug 05/04, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösug 8 vgl. SB 3; Kap..3 6 Pukte Die Frage ach der Kredithöhe bei vorgegebeer Auität (Tilgug plus Zise) ka durch Umstelle der Formel für die Auität beatwortet werde. q 1 Durch Umforme vo A = S q (vgl. Formelsammlug 10.) erhält ma: q 1 q 1 S = A. q ( q 1) (3 Pkte) (Formel ka durch Umstelle etwickelt werde oder auch direkt der Formelsammlug, 10. etomme sei.) Eisetze vo A = 00 ; q =1, 011 ud = 4 (3,5 Jahre a 1 Moate) liefert: 4 1,011 1 S = 00 ( Pkte) 4 1,011 ( 1,011 1) S = 6.697,93. Frau B. ka sich vo ihrer Freudi 6.697, 93 leihe. BW-WMT-S Seite 5/5