Barbara Burke Hubbard. wavelets. Die Mathematik der kleinen Wellen. Aus dem Amerikanischen von Michael Basler. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

Transkript

1 Barbara Burke Hubbard wavelets Die Mathematik der kleinen Wellen Aus dem Amerikanischen von Michael Basler Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

2 Inhaltsverzeichnis An den Leser 11 Danksagungen 17 1 Die Fourier-Analyse: Ein Poem verändert die Welt Ein mathematisches Poem Eine Horde von Funktionen Mathematik und Deutung von Naturerscheinungen Mathematik und Gemeinwohl Sampling-Theorem und Digitaltechnologie 35 2 Auf dem Weg zu neuen Verfahren Eine Verzerrung der Realität Die gefensterte Fourier-Analyse: Wo ist die verlorene Zeit? Im Gespräch mit Fremdlingen Die Morletschen Wavelets konstanter Form - da kann etwas nicht stimmen Der Fehler ist exakt null Ein mathematisches Mikroskop Auf der Suche nach der Orthogonalität, oder: Tacitus contra Cicero 53 3 Eine neue Sprache - neue Regeln Mutter oder Amöbe? Die schnelle Wavelet-Transformation Die Daubechies-Wavelets - ein Ausweg aus dem Unendlichen Die Heisenbergsche Unschärferelation 72

3 6 Inhaltsverzeichnis 4 Anwendungen Die Konstruktionsvorschrift für Fraktale Rauschunterdrückung mit Wavelets - Unkraut jäten, ohne Gänseblümchen auszureißen Artefakte und andere Unannehmlichkeiten: Wie man sich selbst ein Bein stellt Ein Maß für die Information Wavelets und Komprimierungsverfahren Rechentechnische Vereinfachungen Wavelets und Turbulenz Prähistorische Zoologie Sinnlich oder streng, kontinuierlich oder diskret Und was kommt danach? Wavelet-Pakete Malvar-Wavelets Das Verfahren der optimalen Basis - wie man den richtigen Schraubenzieher findet Fingerabdrücke und Ungarische Tänze Das Verfahren der optimalen Anpassung Ein Blick in die Zukunft Die Fourier-Transformation Eine Bitte um Nachsicht Was ist eine Fourier-Transformation? Die Fourier-Reihe Amplitude und Phase Die Fourier-Transformation Komplexe Zahlen Ein Wort zur Schreibweise: / oder f(x) Zur Konvergenz von Fourier-Reihen und zur Stabilität des Sonnensystems Überlegungen zum Konvergenzbegriff Divergente Reihen Kann der Saturn unser Sonnensystem verlassen? Ein imaginäres Bankkonto Das KAM-Theorem.' 140

4 Inhaltsverzeichnis 1 8 Die Integraldarstellung der Fourier-Koeffizienten Die schnelle Fourier-Transformation Die langsame Fourier-Transformation Eine kürzere Formulierung durch Matrizen Eine raffinierte Faktorisierung Die kontinuierliche Wavelet-Transformation Diskrete Wavelet-Transformationen Orthogonalität und Skalarprodukt Funktionen als Punkte eines unendlich-dimensionalen Raumes Skalarprodukte Skalarprodukte und Entwicklungskoeffizienten Und was wird aus den Integralen? Nichtorthogonale Basen Weiteres zur Redundanz Skalarprodukte komplexwertiger Vektoren Mehrfachauflösung Filter Zur Definition der Mehrfachauflösung Zur Konstruktion einer Mehrfachauflösung Die Haar-Mehrfachauflösung Zur Konstruktion der Skalierungsfunktion Wie man Wavelets erzeugt Die Skalierungsfunktion als Vater Wavelet-Transformierte ohne Wavelets? Die schnelle Wavelet-Transformation Die Haar-Wavelet-Transformation Faltungen Faltung und Wavelet-Transformation Kompliziertere Wavelets FFT oder FWT - welche ist schneller? Der Burt-Adelsonsche Pyramiden-Algorithmus Multiwavelets 201

5 8 Inhaltsverzeichnis 16 Heisenbergsche Unschärferelation und Zeit-Frequenz- Zerlegungen Zeit-Frequenz-Darstellungen Wahrscheinlichkeit, Heisenbergsche Unschärferelation und Quantenmechanik Die Sprache der Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit als Integral Die Quantenmechanik Die Unschärferelation Quantenmechanik im Ortsraum Eine Reise durch die Funktionenräume - Wavelets und reine Mathematik Das Lebesgue-Integral Distributionen Funktionenräume Wavelets und Sehen: ein anderer Zugang Wie Wavelets" sehen Warum gerade Wavelets? Welche Wavelets? Steuerfilter und verschiebbare Transformationen Welche Wavelets? Das Darstellungssystem Regularität Verschwindende Momente Frequenzselektivität Ein Überblick über die Transformationen Die Fourier-Transformation Die gefensterte Fourier-Analyse Die Wavelet-Transformation Malvar-Wavelets (adaptiv gefensterte Fourier-Analyse) Wavelet-Pakete Optimale Anpassung Wavelets, Sprache und Musik 247

6 Inhaltsverzeichnis 9 23 Das Verfahren der optimalen Basis 249 Anhang A Mathematische Symbole 255 B Einige elementare trigonometrische Relationen 256 B.l Die Graphen von Sinus und Kosinus 257 B.2 Die komplexe Zahlenebene 258 C Integrale 260 D Die verschiedenen Konventionen der Fourier-Transformation 265 E Ein Beweis des Sampling-Theorems 267 F Ein Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation 270 G Die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion 274 G. 1 Die Fourier-Reihe einer gegen unendlich abfallenden Funktion 278 H Ein Beispiel für eine Orthonormalbasis und ein Beweis des Fourierschen Satzes 279 I Literatur zu Wavelets Fourier-Biographien Bücher über Wavelets 284 J Wavelet-Software und elektronische Medien 289 J.l Das Wavelet-Digest 289 J.2 Wavelet Packet Laboratory for Windows 289 J.3 S+WAVELETS 290 J.4 Die Numerical Recipes 291 J.5 WaveTool 291 J.6 Wavelet-Software über Anonymes FTP 291 Literaturverzeichnis 293 Stichwortverzeichnis 301