f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?

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1 Umkehrfunktionen Aufgabe 1. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Definieren Sie eine bijektive Funktion f A A und geben Sie ihre Umkehrfunktion f 1 an. Lösung von Aufgabe 1. Zum Beispiel f, f 1 A A mit f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Falls eine Funktion f = (A, B, R) nicht surjektiv ist, finden Sie eine Menge B B so dass f = (A, B, R) eine surjektive Funktion ist. Falls f nicht injektiv ist, finden Sie eine möglichst große Menge A A so dass f = (A, B, R (A B)) injektiv ist. Wenden Sie beide Modifikationen gleichzeitig an um zu einer bijektiven Funktion zu kommen. Berechnen Sie deren Umkehrfunktion für 3 verschiedene Werte. 1. f R R, f(x) = x 4 2. f R R, f(x) = x 5 3. f R R, f(x) = x f R R, f(x) = (x + 1) 2 5. f R R, f(x) = sin(x) 6. f R R, f(x) = sin(2x) 7. f R \ {0} R \ {0}, f(x) = 1/x 8. f R \ {0} R, f(x) = x 9. f N 2 N, f(x, y) = x + y 10. f N N, f(x) = 3x 11. f N 2 N, f(x, y) = 3 x 5 y Lösung von Aufgabe f R R, f(x) = x 4 weder injektiv noch surjektiv. f R R + 0, f(x) = x4 surjektiv. f R + 0 R, f(x) = x4 injektiv. f R + 0 R+ 0, f(x) = x4 bijektiv. f 1 (0) = 0, f 1 (1) = 1, f 1 (16) = f R R, f(x) = x 5, bijektiv. f 1 (0) = 0, f 1 (1) = 1, f 1 (32) = f R R, f(x) = x weder injektiv noch surjektiv. 1

2 f R {x x R, x 1} surjektiv. f R + 0 R injektiv. f R + 0 {x x R, x 1} bijektiv. f 1 (1) = 0, f 1 (2) = 1, f 1 (3) = 2 4. f R R, f(x) = (x + 1) 2 weder injektiv noch surjektiv. f R R + 0 surjektiv. f {x x R, x 1} R, f(x) = (x + 1) 2 injektiv. f {x x R, x 1} R + 0 bijektiv. f 1 (0) = 1, f 1 (1) = 0, f 1 (2) = f R R, f(x) = sin(x) weder injektiv noch surjektiv. f R [ 1, 1], f(x) = sin(x) surjektiv. f [ π/2, π/2] R, f(x) = sin(x) injektiv. f [ π/2, π/2] [ 1, 1], f(x) = sin(x) bijektiv. f 1 (0) = 0, f 1 ( 1) = π/2, f 1 (1) = π/2. 6. f R R, f(x) = sin(2x) weder injektiv noch surjektiv. f R [ 1, 1], f(x) = sin(2x) surjektiv. f [ π/4, π/4] R, f(x) = sin(2x) injektiv. f [ π/4, π/4] [ 1, 1], f(x) = sin(2x) bijektiv. f 1 (0) = 0, f 1 ( 1) = π/4, f 1 (1) = π/4. 7. f R \ {0} R \ {0}, f(x) = 1/x bijektiv. f 1 (1) = 1, f 1 ( 1) = 1, f 1 (2) = 1/2 8. f R \ {0} R, f(x) = x injektiv, nicht surjektiv. f R \ {0} R \ {0} bijektiv. f 1 (1) = 1, f 1 ( 1) = 1, f 1 (2) = 2 9. f N 2 N, f(x, y) = x + y weder injektiv noch surjektiv. f N 2 {x x N, x 2}, f(x, y) = x + y surjektiv. f {1} N N, f(x, y) = x + y injektiv. f {1} N {x x N, x 2}, f(x, y) = x + y bijektiv. f 1 (2) = (1, 1), f 1 (3) = (1, 2), f 1 (4) = (1, 3). 10. f N N, f(x) = 3x injektiv aber nicht surjektiv. f N {x x N, x ist durch 3 teilbar } bijektiv. f 1 (3) = 1, f 1 (6) = 2, f 1 (9) = f N 2 N, f(x, y) = 3 x 5 y injektiv aber nicht surjektiv. f N 2 {x x ist nur durch 3er und 5er Potenzen teilbar } bijektiv. f 1 (3) = (1, 0), f 1 (5) = (0, 1), f 1 (15) = (1, 1). 2

3 Aufgabe 3. Gegeben ist die Funktion f N 0 N 0 durch { x 1 falls x ungerade f(x) = x + 1 falls x gerade. Berechnen Sie f für x = 0, 1, 2, 3. Ist f eine bijektive Funktion? Falls ja, berechnen Sie die Umkehrfunktion f 1, falls nein geben Sie eine Begründung. Lösung von Aufgabe 3. f(0) = 1 f(1) = 0 f(2) = 3 f(3) = 2 Durch f werden benachbarte Zahlen einfach vertauscht. Somit ist f ist bijektiv, da zu jedem b N 0 genau ein a N 0 existiert mit f(a) = b. Die Umkehrfunktion von f ist wiederum f, d.h. f 1 (x) = f(x). Aufgabe 4. In der Computer Grafik spielen Rotationen ein wichtige Rolle. Im zweidimensionalen Fall ist die Rotation um einen fest gewählten Winkel α um den Koordinatenursprung die Funktion f R 2 R 2, f(x, y) = (x cos(α) y sin(α), x sin(α) + y cos(α)). Stellen Sie sich diese Funktion bildlich vor und überlegen Sie sich, ob die Funktion eine Umkehrfunktion hat. Ist die Funktion bijektiv? Lösung von Aufgabe 4. Die Funktion ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die Rotation um Winkel α. Aufgabe 5. Die Funktion f R + R mit f(x) = ln(x) + 1 ist bijektiv. Berechnen Sie einen Term für die Umkehrfunktion f 1 von f. Geben Sie auch an, von wo nach wo f 1 abbildet. Berechnen Sie einen Term für die Funktion g = f 1 f. Geben Sie auch an, von wo nach wo g abbildet. Lösung von Aufgabe 5. f 1 R R +, f 1 (x) = e x 1. 3

4 g R + R +, g(x) = x. Aufgabe 6. Die Funktion f Z 2 Z 2 f(x, y) = (x + y, x y) ist bijektiv. Finden Sie einen Funktionsterm für die Umkehrfunktion f 1 von f. Lösung von Aufgabe 6. Für (a, b) Z 2 liefert die Umkehrfunktion f 1 den Funktionswert f 1 (a, b) = (u, v) so dass f(u, v) = (a, b). Gesucht ist ein Term für u und v in Abhängigkeit von a und b. Da folgt Auflösen nach u und v ergibt f(u, v) = (u + v, u v) a = u + v, b = u v. Somit ist u = a + b 2, v = a b 2. f 1 (a, b) = ( a + b 2, a b ). 2 Aufgabe 7. Finden Sie 5 Beispiele von bijektiven Funktionen und berechnen Sie die Umkehrfunktion. Lösung von Aufgabe 7. f Z Z, f(x) = x + 1 f 1 Z Z, f 1 (x) = x 1. f R R, f(x) = 2x f 1 R R, f 1 (x) = x/2. f R + R, f(x) = ln(x) f 1 R R +, f(x) = e x. f Q Q, f(x) = x f 1 Q Q, f 1 (x) = x. f R \ {0} R \ {0}, f(x) = 1/x f 1 R \ {0} R \ {0}, f 1 (x) = 1/x. 4

5 Aufgabe 8. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für die Aussage: wenn das Tripel (A, B, R) eine bijektive Funktion ist dann ist (B, A, R 1 ) eine Funktion. Lösung von Aufgabe 8. Seien A, B, R beliebig aber fest. Zu zeigen: Wenn (A, B, R) eine bijektive Funktion ist, dann ist (B, A, R 1 ) eine Funktion. Auflösen der wenn dann Aussage: Annahme: (A, B, R) ist eine bijektive Funktion. Zu zeigen: (B, A, R 1 ) ist eine Funktion. Einsetzen der Definition von bijektiv und Funktion: Annahme: Für alle b B existiert genau ein a A mit arb. Zu zeigen: Für alle b B existiert genau ein a A mit br 1 a. Einsetzen der Definition von R 1 : Aus der Annahme folgt somit: Für alle b B existiert genau ein a A mit br 1 a. Aufgabe 9. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion Lösung von Aufgabe 9. f = ( {1, 2}, {2, 3}, {(1, 2), (2, 3)} ). f 1 = ( {2, 3}, {1, 2}, {(2, 1), (3, 2)} ). Aufgabe 10. Ist die Funktion f (N {0, 1, 2}) N, f(x, y) = 3x y bijektiv? Falls ja, berechnen Sie die Umkehrfunktion, falls nein geben Sie ein Gegenbeispiel für eine der erforderlichen Eigenschaften. Lösung von Aufgabe 10. Die Umkehrfunktion ist f 1 N (N {0, 1, 2}) mit (x/3, 0) falls x mod 3 = 0 f 1 (x) = ((x + 2)/3, 2) falls x mod 3 = 1 ((x + 1)/3, 1) falls x mod 3 = 2 Aufgabe 11. Sei f Z 6 (Z 2 Z 3 ) definiert durch f(x) = (x mod 2, x mod 3), also z.b. f(3) = (1, 0). Berechnen Sie f 1 (1, 2). Hinweis: Es sind nur endliche Mengen im Spiel. 5

6 Lösung von Aufgabe 11. Gesucht ist eine Zahl x Z 6 so dass x mod 2 = 1 und x mod 3 = 2. Die erste Bedingung wird erfüllt von x = 1, 3, 5, die zweite von x = 2, 5. Somit ist das Ergebnis x = 5. Aufgabe 12. Berechnen Sie die Umkehrfunktion der Funktion Lösung von Aufgabe 12. Aufgabe 13. Sei definiert durch f = ({1, 2}, {3, 4}, {(1, 4), (2, 3)}). f 1 = ({3, 4}, {1, 2}, {(4, 1), (3, 2)}). f N Z Z N f(x, y) = (y, x). Finden Sie zwei Mengen A, B und eine Relation R so dass f = (A, B, R). Ist f bijektiv? Falls ja berechnen Sie die Umkehrfunktion. Lösung von Aufgabe 13. A = N Z B = Z N R = {( (a, b), (b, a) ) a N, b Z } = {(u, v) a N b Z u = (a, b) v = (b, a)} Für die Umkehrfunktion gilt mit f 1 (x, y) = (y, x). f 1 Z N N Z Aufgabe 14. Die Funktion f R +2 R +2 mit f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, x 1 /x 2 ) ist bijektiv. Berechnen Sie f 1 (8, 2) und finden Sie dann einen Funktionsterm für f 1. Lösung von Aufgabe 14. Gesucht sind Zahlen x 1, x 2 R + so dass x 1 x 2 = 8 x 1 /x 2 = 2. Aus der zweite Gleichung folgt x 1 = 2x 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt 2x 2 2 = 8 bzw. x 2 = 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt x 1 = 4. Somit ist f 1 (8, 2) = (4, 2). 6

7 Sei f(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), d.h. Aus der zweiten Gleichung folgt y 1 = x 1 x 2 y 2 = x 1 /x 2. x 1 = y 2 x 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt y 1 = y 2 x 2 2 und somit x 2 = y 1 /y 2. Einsetzen von x 2 in x 1 = y 2 x 2 ergibt x 1 = y 2 y1 /y 2 = y 1 y 2. Somit ist f 1 R +2 R +2 definiert durch f(y 1, y 2 ) = ( y 1 y 2, y 1 /y 2 ). Aufgabe 15. Sei f Z 2 Z 2 definiert durch f(x 1, x 2 ) = (x 2, 1 x 1 ). Falls f bijektiv ist, berechnen Sie die Umkehrfunktion von f, andernfalls begründen Sie durch ein Gegenbeispiel dass f nicht bijektiv ist. Lösung von Aufgabe 15. f ist bijektiv. Zur Berechnung der Umkehrfunktion löst man y 1 = x 2 y 2 = 1 x 1 nach x 1 und x 2 auf. Aus der ersten Gleichung folgt x 2 = y 1 aus der zweiten folgt x 1 = 1 y 2. Folglich ist f 1 Z 2 Z 2 definiert durch f 1 (y 1, y 2 ) = (1 y 2, y 1 ). 7

8 Aufgabe 16. Sei f (R R \ {0}) (R \ {0} R) definiert durch f(x, y) = (1/y, xy). Berechnen Sie einen Term für die Umkehrfunktion von f. Lösung von Aufgabe 16. Sei f 1 (u, v) = (x, y). Dann gilt f(x, y) = (u, v), d.h. (u, v) = (1/y, xy) bzw. u = 1/y, v = xy. Auflösen ergibt y = 1/u, x = uv. Die Umkehrfunktion ist damit f 1 (u, v) = ( uv, 1/u). Aufgabe 17. Sei f {1, 2} {1, 3} {2, 3, 4, 5} definiert durch f(x, y) = x + y. Finden Sie Mengen A, B, R so dass f 1 = (A, B, R). Lösung von Aufgabe 17. A = {2, 3, 4, 5} B = {1, 2} {1, 3} R = {(2, (1, 1)), (3, (2, 1)), (4, (1, 3)), (5, (2, 3))}. Aufgabe 18. Seien f, g N N bijektive Funktionen. Beweisen Sie ausführlich, dass dann gilt (f g) 1 = g 1 f 1. Hinweis: Für jede bijektive Funktion h N N gilt h 1 (h(x)) = x. 8

9 Lösung von Aufgabe 18. Beide Funktionen sind Elemente der Menge N N. Bleibt zu zeigen, dass die Funktionen den selben Graphen besitzen. Es genügt somit zu zeigen, dass die Funktionen zu jedem Input x N den selben Output liefern. Zu zeigen: x N (f g) 1 (x) = (g 1 f 1 )(x). Sei x N beliebig aber fest. Zu zeigen: (f g) 1 (x) = (g 1 f 1 )(x) bzw. Sei d.h. Zu zeigen: (f g) 1 (x) = g 1 (f 1 (x)). y = (f g) 1 (x), f(g(y)) = x. g 1 (f 1 (x)) = y. Setzt man ein, bleibt zu zeigen dass f(g(y)) = x g 1 (f 1 (f(g(y)) = y. Ausnutzung der Eigenschaften der Umkehrfunktion ergibt g 1 (f 1 (f(g(y)) = g 1 (g(y)) = y. Aufgabe 19. Sei f (R \ {0}) 2 (R \ {0}) 2 definiert durch f(x, y) = (x/y, x). Berechnen Sie einen Term für die Umkehrfunktion von f. Lösung von Aufgabe 19. Sei f 1 (u, v) = (x, y). Dann gilt f(x, y) = (u, v), d.h. (u, v) = (x/y, x) 9

10 bzw. u = x/y, v = x. Auflösen ergibt x = v, y = v/u. Die Umkehrfunktion ist damit f 1 (u, v) = (v, v/u). Aufgabe 20. Sei f N Z definiert durch { x/2 falls x gerade f(x) = (1 x)/2 falls x ungerade Konstruieren Sie einen Term für die Umkehrfunktion von f. Hinweis: Berechnen Sie zunächst f(x) für ein paar Werte von x. Lösung von Aufgabe 20. Es gilt f 1 Z N mit { f 1 2x falls x > 0 (x) = 2x + 1 falls x 0. 10