Analysis I (Marciniak-Czochra)

Transkript

1 Anlysis I (Mrcinik-Czochr) Robin Heinemnn 9. Dezember 207 Inhltsverzeichnis Einleitung 3 2 Mengen und Zhlen 3 2. Logische Regeln und Zeichen Quntoren Hinreichend und Notwendig Beweistypen Summenzeichen und Produktzeichen Mengen Definition Mengenreltionen Potenzmenge Fmilien von Mengen Rechenregeln geordneter Tupel Krtesisches Produkt Äquivlenzreltion Reltionen und Abbildungen Reltionen Grph der Abbildung Umkehrbbildung Komposition Identitäts Abbildung Homomorphe Abbildungen Ntürliche Zhlen Penosche Axiomensystem der ntürlichen Zhlen Vollständige Induktion Definition Körper Abzählbrkeit Abzählbrkeit von Mengen Ordnung Definition Mximum und Minimum einer Menge Definition Bemerkung

2 2 2.8 Schrnken Bemerkung Beispiel Reelle Zhlen Vollständigkeitsxiom (Archimedes) Axiomtischer Stndpunkt Bemerkung Konstruktiver Stndpunkt Definition Stz Stz Definition Lemm Definition Lemm Definition.45 Produktzeichen Stz Definition Lemm Stz Folgerung Lemm Lemm Lemm.53 (Bernoullische Ungleichung) Folgerung Stz.55 (Existenz der m-ten Wurzel) Lemm Komplexe Zhlen 2 3. Komplexer Zhlenkörper Beweis Nottion TODO Grphische Drstellung Bemerkung Korollr Fundmentlstz der Algebr Betrg Konjugtion Folgen Definition 2. Konvergenz Folgerung Definition 2.3 Cuchy Folgen Definition 2.4 Teilfolge Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen Geometrische Folge Umgebung Reihen (Unendliche Summen) Konvergenzkriterien

3 Einleitung Potenzreihe Exponentilreihe Stetige Abbildungen Grenzwert einer Funktion, Stetigkeit Eigenschften stetiger Funktionen Konvergenz von Funktionen Reellwertige stetige Funktionen Differentition Mittelwertsätze und Extremlbedingungen Anwendung von MW Stz Tylor Entwicklung Bemerkung zu Stetigkeit Anwendung von Tylor-Entwicklung Differentition und Grenzprozesse Integrtion Ds Riemnnsche Integrl Uneigentliche Integrle Uneigentliche Integrle uf beschränkten Intervllen Uneigentliche Integrle uf unbeschränkten Intervllen Kurvenlänge Integrtion und Grenzprozesse Einleitung Webseite Klusurzulssung: 50% Klusur Uhr 2 Mengen und Zhlen 2. Logische Regeln und Zeichen 2.. Quntoren 2..2 Hinreichend und Notwendig x x!x für lle x es gibt (mindestens) ein x es gibt genu ein x A = B: wenn A gilt, gilt uch B, A ist hinreichend für B, drus folgt: B ist notwendig für A, Ungültigkeit von B impliziert die Ungültigkeit von A ( B = A) A B: A gilt, genu dnn, wenn B gilt 2..3 Beweistypen Direkter Schluss A = B Beispiel m gerde Zhl = m 2 gerde Zhl. Beweis m gerde = n N sodss m = 2n = m 2 = 4n 2 = 2k, wobei k = 2n 2 N

4 2 Mengen und Zhlen 4 Beweis der Trnsponierten (der Kontrposition) ( B) = ( A) Zum Beweis A = B zeigt mn B = A (A = B) Beispiel Sei m N, dnn gilt m 2 gerde = m gerde. Beweis Wir zeigen: m ist ungerde = m 2 ungerde n N : m = 2n + = m 2 = (2n + ) 2 = 2k +, k = 2n 2 + 2n N = m 2 ungerde Indirekter Schluss ( Beweis durch Widerspruch) Mn nimmt n, dss A = B nicht gilt, ds heißt A B und zeigt, dss dnn für eine Aussge C gelten muss C = C, lso ein Widerspruch Beispiel q Q : 2 = 2. Beweis Wir nehmen n, dss Q : 2 = 2 Dnn folgt: b, c Z teilerfremd (ohne Einschränkung, denn sonst kürzen soweit wie möglich) mit = b c Flls ( ) b 2 2 = 2 = = 2 = b2 c c 2 = 2 = b2 = 2c 2 = b 2 gerde = b ist gerde (schon gezeigt) = d N sodss b = 2d = b 2 = 4d 2 Außerdem b 2 = 2c 2 = 2c 2 = 4d 2 = c 2 = 2d 2 = c ist uch gerde. Also müssen b und c beide gerde sein, lso nicht teilerfremd, dmit hben wir einen Widerspruch hergeleitet 2..4 Summenzeichen und Produktzeichen Summenzeichen Wir definieren für m > 0 m k := m n flls n m flls n < m (sogennnten leere Summe) k=m n k := 0 k=m Produktzeichen n k := k=m { m... n flls n m flls n < m (sog. leeres Produkt) 2.2 Mengen 2.2. Definition (Georg Cntor 885) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (welche die Elemente von M gennnt werden), zu einem Gnzen M ddurch ist chrkterisiert, dss von jedem vorliegendem Objekt x feststeht, b gilt x M (x Element von M) x M (x kein Element von M) M = {x, x 2,..., x n } M = {x A(x)} eine Menge Mfür die x M A(x)

5 2 Mengen und Zhlen Mengenreltionen Mengeninklusion A M (A ist eine Teilmenge von M) zum Beispiel N Z x : (x A = x M) A = B x : (x A x B) A M (strikte Teilmenge) A M A M : leere Menge x : x Wir setzen fest, dss eine Teilmenge jeder Menge ist. Zum Beispiel {x R : x 2 + = 0} Durchschnitt Vereinigung A B := {x x A x B} A B := {x x A x B} Differenz (uch Komplement von B in A) A \ B := {x x A x B} := C B (uch B c ) Potenzmenge Potenzmenge A P(A) := {B B A} Alle Teilmengen von A Beispiel P({, 2}) = {{}, {2}, {, 2}, } Fmilien von Mengen Sei I eine Indexmenge, I N, (A i ) i I eine Fmilie von Mengen A Durchschnitt von A i I = {x i I x A i } Vereinigung i I = {x i I : x A i }

6 2 Mengen und Zhlen Rechenregeln A, B, C, D seien Mengen A A A A B, B C = A C A B = B A \ A B = B A (A B) C = A (B C) \ (A B) C = A (B C) Reflexivität Trnsitivität Kommuttivität Assozitivität A (B C) = (A B) (A C) \ A (B C) = (A B) (A C) Eigenschften der Komplementbildung: Seien A, B D(C D A := D \ A), dnn gilt Beweis: C D (C D A) = A C D (A B) = C D A C D B C D (A B) = C D A C D B x C D (A B) x D (x (A B)) x D (x A x B) (x D x A) (x D x B) (x D \ A) (x D \ B) x D \ (A B) Bemerkung: Komplement knn mn uch mit A c bezeichnen geordneter Tupel Sei x, x 2,..., x n (nicht notwendig verschiedene) Objekte. Ein geordneter n-tupel (x, x 2,..., x n ) = (y,..., y n ) x = y,..., x n = y n Bechte: {x,..., x n } = {y i,..., y n } = x = y,..., x n = y n Krtesisches Produkt Seien A A 2... A n = {(x, x 2,..., x n ) x j A j j N, j n} Beispiel R n n-dimensionler Rum von reellen Zhlen Z 2 = Z Z

7 2 Mengen und Zhlen Äquivlenzreltion Eine Äquivlenzreltion uf eine Menge A ist eine Beziehung zwischen ihren Elementen (Bezeichnung: b), sodss Für jede zwei, b A gilt entweder b b b = b Reflexivität Symmetrie b, b c = c Trnsitivität Mit Hilfe einer Äquivlenzreltion lssen sich die Elemente einer Menge in so gennnte Äquivlenzklssen einordnen: [] : {b A b } 2.3 Reltionen und Abbildungen 2.3. Reltionen Unter einer Reltion verstehen wir eine Teilmenge R X Y wobei X, Y Mengen sind. Für x X definieren wir, ds Bild von x unter R R(X) := {y Y (x, y) R} und Definitionsbereiche von R (bezüglich X) Grph der Abbildung R X Y heißt Grph der Abbildung (Funktion) D(R) := {x X R(x) } f : X Y D(R) = X, x X : R(x) = {f(x)} lso enthält R(x) genu ein Element. X heißt Definitionsbereich von f Y heißt Werte- oder Bildbereich von f (Bild) x X heißt Argument f(x) Y heißt Wert von f n der Stelle x Beispiel f : R R, x x 2 dnn ist der Grph von f = {(x, y) R 2, y = x 2 } Bemerkung M (x) = {(x, y) R 2 ; x = y 2 } = {(x, y) R 2 : x 0, y = x y = x} Ist kein Grph einer Funktion R R, denn M (x) = { x, x, x 0} f heißt surjektiv, wenn gilt f(x) = Y injektiv, x, x 2 X : f(x ) = f(x 2 ) = x = x 2 bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist Umkehrbbildung Sei die Abbildung f : X Y bijektiv. Dnn definieren wir die Umkehrbbildung f : Y X durch y x X, eindeutig bestimmt durch y = f(x)

8 2 Mengen und Zhlen 8 Bemerkung (x, y) Grph f (y, x) Grph f Komposition Seien f : X Y, g : Y Z Abbildungen. Die Komposition von g und f g f : X Z ist durch x g(f(x)) definiert Identitäts Abbildung Für jede Menge X definieren wir die identische Abbildung I d (A) = I A : A A, durch x x Beispiel (n ) dimensionle sphere in R n {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = } = S S n := {(x... x n ) R n ; n x 2 i = } Seien X, Y Mengen, M X Y, f : M X \ f heißt Projektion, f surjektiv Homomorphe Abbildungen i= f(m) = {x y Y : (x, y) M} = X Existieren uf Mengen X und Y mit gewissen Opertionen x bzw. y (zum Beispiel Addition, Ordnungsreltion), so heißt die Abbildung f : X Y homomorph (strukturerhltend), wenn gilt x, x 2 Xf(x x x 2 ) = f(x ) y f(x 2 ) Eine bijektive Homomorphie heißt Isomorphismus, beziehungsweise X Y (äquivlent, isomorph) 2.4 Ntürliche Zhlen N = {, 2, 3,...}, N 0 := N {0} 2.4. Penosche Axiomensystem der ntürlichen Zhlen. Die Zhl ist eine ntürliche Zhl N 2. Zu jeder ntürlichen Zhl n, gibt es genu einen Nchfolger n (=: n + ) 3. Die Zhl ist kein Nchfolger einer ntürlichen Zhl 4. n = m = n = m 5. Enthält eine Teilmenge M N die Zhl und von jedem n m uch den Nchfolger n ist M = N Bemerkung: Mit Hilfe der Axiome lssen sich uf N Addition (+), Multipliktion ( ) und Ordnung ( ) einführen. Wir definieren: = 2, 2 = 3,... n + := m n + m := (n + m) ; n m := nm + n Mn knn zeigen, dss jede Menge, welche die Peno Axiome erfüllt isomorph bezüglich Multipliktion und Addition zu N ist Wir definieren n < m x N : x + m = m

9 2 Mengen und Zhlen Vollständige Induktion Induktionsprinzip Es seien die folgende Schritte vollzogen:. Induktionsvernkerung (Induktionsnfng): Die Aussge A() gilt 2. Induktionsschluss: Ist für ein n N A(n) gültig, so folgt uch die Gültigkeit von A(n + ) Dnn sind lle Aussgen A(n), n N gültig. Beweis: Wir definieren die Teilmenge M N, M := {n N A(N) ist gültig} Die Induktionsvernkerung besgt, dss M und die Induktionsnnhme n M = n + M. Folglich ist nch dem 5. Axiom von Peno M = N Beispiel Zu Beweisen: n n N i 2 = i= n(n + )(2n + ) 6 Beweis. Induktionsvernkerung: 2 = Annhme: A(n) gültig für n N : n i= i2 = n(n+)(2n+) 6 Zu zeigen A(n + ) : (n + ) 2 = 6 (n + )(n + 2)(2n + 3) n 2 + (n + ) 2 = ( 2 n(n + )(2n + ) + (n + )2 = (n + ) 3 n2 + ) 6 n + n + = 6 (n + )( 2n 2 + 7n + 6 ) = (n + )(2n + 3)(n + 2) 6 Beispiel 2 Definition von Potenzen (itertive (rekursive) Definition) Auf N sind diese elementren Opertionen erklärt: Addition + b Multipliktion b (unter gewissen Vorussetzungen): Subtrktion b Division b x 0 := n Nx n := x n x N ist bezüglich oder / nicht vollständig, ds heißt n + x = m ist nicht lösbr in N Erweiterungen: Gnze Zhlen Z := {0; ±, n N} Negtive Zhl ( n) ist definiert durch n + ( n) = 0 Rtionle Zhlen Q (bx = y) Mn sgt, dss (Q, +, ) einen Körper bildet.

10 2 Mengen und Zhlen Definition Körper K sei eine Menge uf der Addition und Multipliktion sei. K heißt ein Körper, wenn die folgende Axiome erfüllt sind: Addition: (K, +) ist eine kommuttive Gruppe, ds heißt, b, c K:. ( + b) + c = + (b + c) Assozitivität 2. + b = b + Kommuttivität 3.!0 K : + 0 = Existenz des Nullelement 4. x K : + x = 0 Existenz des Negtiven Multipliktion: (K \ {0}, ) ist eine kommuttive Gruppe, ds heißt, b, c K. ( b) c = (b c) Assozitivität 2. b = b Kommuttivität 3.! K : = Existenz des Einselement 4. Für 0,!y K : y = Inverse Verträglichkeit. (b + c) = ( b) + ( c) Distributivität Stz (Q, +, ) ist ein Körper. Definieren uf Q eine Ordnung durch x y m N 0, n N : y x = m n dnn ist uch diese Ordnung mit der Addition und Multipliktion in Q in folgendem Sinne verträglich (Axiom M0): b = + c b + c 0 0 b = 0 b Bemerkung { Q : = r s, r N 0, s N} =: Q + (Q 0 ) 2.5 Abzählbrkeit 2.5. Abzählbrkeit von Mengen Sei A eine Menge A heißt endlich mit A = n Elementen ist äquivlent zu { A = n = 0 A = f : A {,..., n} f bijektiv, n < A heißt bzählbr unendlich genu dnn wenn f : A N bijektiv A heißt über bzählbr genu dnn wenn: A ist weder endlich oder bzählbr unendlich

11 2 Mengen und Zhlen Beispiel Z ist bzählbr unendlich Beweis Die Abbildung f : Z N z { 2z z 0 2z x < 0 Surjektivität: zu zeigen f(z) = N Offenbr f(z) N. Wir zeigen N f(z). Sei n N, finde z Z mit f(z) = n. Mn unterscheide: n gerde Wähle z = n 2 n ungerde z = n+ 2 Injektivität: Sei z, z 2 Z und f(z ) = f(z 2 ) ohne Beschränkung der Allgemeinheit z z 2. Entweder z, z 2 0 oder z, z 2 < 0, denn sonst währe f(z ) ungerde und f(z ) gerde Widerspruch. Flls Beispiel z, z 2 0 = 2z = f(z ) = f(z 2 ) = 2z 2 = z = z 2 z, z 2 < 0 = 2z = f(z ) = f(z 2 ) = 2z 2 = z = z 2 N 2 = N N bzählbr unendlich Q bzählbr unendlich R über bzählbr Abzählbrkeit von N N (, ) (, 2) (2, ) (2, 2) (, 3) (2, 3) (3, 2) (3, ) Korollr.30 M, M 2,..., M n bzählbr = M... M n bzählbr. Beweis Durch vollständige Induktion M (M 2... M n ) N N N Stz Die Menge ller Folgen f : N {0, } ist über bzählbr. (Zum Beispiel:, 0, 0, 0,...,,..., 0,...) k-te Stelle Beweis M ist unendlich, denn die Folgen f k : 0,,..., 0,, 0,... sind prweise verschieden. Angenommen M wäre bzählbr. Sei f, f 2,... eine Abzählung mit f k = (z knn N ). f : 000 Mn setze f = (z n ) n N mit z n := { z nn = 0 0 z nn = Dnn f M, ber f f k k N. Also ist M nicht bzählbr. ( Cntorsches Digonlverfhren ).

12 2 Mengen und Zhlen Ordnung 2.6. Definition Sei A eine Menge. Reltion R A A heißt Teilordnung (Hlbordnung) uf A, wenn y, x, z A gilt:. x x (Reflexivität) 2. x y y x = x = y (Symmetrie) 3. x y y z = x z (Trnsitivität) Wenn ußerdem noch x, y A gilt: 4. x y y x (Vergleichbrkeit je zweier Elemente) so heißt R (totle) Ordnung uf A. (A, ) heißt teilweise beziehungsweise (totl) geordnete Menge. Beispiel. (Q, ) mit der üblichen Ordnung ist eine totl geordnete Menge 2. Wir definieren uf der Potenzmenge P(A) einer Menge A eine Teilordnung : B C B C B, C P(A) Beweis: sind trivil, 4. geht nicht (keine Totlordnung). Wähle B, C P(), B, C, B C =. Dnn gilt weder B C noch C B 3. Sei F := {f f : A R} für eine Menge A R. Wir definieren f g x A : f(x) g(x) (.) - (3.) trivil, 4. gilt nicht. Flls A mehr ls ein Element ht, gibt es eine Funktion, die nicht miteinnder verglichen werden können. 2.7 Mximum und Minimum einer Menge 2.7. Definition Sei (A, ) eine teilweise geordnete Menge, A Mximum: = mx A x A : x Minimum: = mx A x A : x Bemerkung Durch die Aussgen ist eindeutig bestimmt, denn seien: { x, 2 A : x A = x 2 { 2 2 Symmetrie ===== = 2

13 2 Mengen und Zhlen Schrnken Sei (A, ) eine (totl geordnete) Menge, B A. S A heißt obere Schrnke zu B x B : x S S A heißt untere Schrnke zu B x B : S x 2. S(B) := {S A S S ist untere Schrnke zu B} S(B) := {S A S S ist obere Schrnke zu B} 3. Existiert g := min S(B) beziehungsweise g := mx S so sgen wir: g = sup B (kleinste obere Schrnke, Supremum, obere Grenze von B in A) g = inf B (größte obere Schrnke, Infimum, untere Grenze von B in A) 2.8. Bemerkung. Existiert mx B = b, so folgt sup B = b, denn b S(B) nch Definition. Ebenso gilt: min B = b = inf B = b Beispiel. B = { n n N}, A = R, (, 2,...) s S(B) = b s, d b B Es gilt B, n N gilt n, dher folgt mx B = sup B = Sei s 0, dnn gilt n N : s n, lso s S(B) Sei s > 0 = s > n n > s, lso s S(B) Es folgt S(B) = {x R s 0} insbesondere 0 S(B) Ferner gilt s S(B) : s 0 = 0 = mx S(B) = inf B 2. A = Q, B = {x Q : 0 x x 2 2}. Es gilt 0 = min B = inf B, ber sup B existiert nicht in Q 2.9 Reelle Zhlen x 2 = 2 ht keine Lösungen in Q. Allerdings können wir 2 beliebig gut durch y Q pproximieren, ds heißt ε > 0 y Q : 2 ε y ε Ds motiviert die folgende Vorstellung:. Q ist unvollständig 2. Q ist dicht in R 2.9. Vollständigkeitsxiom (Archimedes) Jede nch oben (unten) beschränkte Teilmenge ht ein Supremum oder Infimum Axiomtischer Stndpunkt Es gibt eine Menge R (gennnt Menge der reellen Zhlen) mit Addition, Multipliktion, Ordnung, die die Definition eines Körper und ds Vollständigkeitsxiom erfüllt und (R, +, ) mit eine Ordnung bildet.

14 2 Mengen und Zhlen Bemerkung. Bis uf Isomorphie gibt es höchstens ein solches R, ds heißt R ein weiteres System der reellen Zhlen ist, dnn bijektive Abbildung f : R R die bezüglich Addition, Multipliktion, Ordnung eine Homomorphie ist. x, y R : f(x + y) = f(x) + f(y) f(xy) = f(x)f(y) x y = f(x) f(y) 2. N (und dmit uch Z, Q) lssen sich durch injektive Homomorphismus g : N R in R einbetten g ( 0 ) N = 0 R g(ñ N + ) = g(n R ) + g( N ) = R Konstruktiver Stndpunkt Wir können R usgehend von Q konstruieren. Methode der Abschnitte Jede reelle Zhl wird chrkterisiert durch ein rechts offenes, unbeschränktes Intervll, dessen rechte Grenze die Zhl erstellt. A R := {A Q x A, y x = y A x A y A, x < y Methode der Cuchy-Folgen Cuchy Folgen us Q (später) Jede reelle Zhl wird chrkterisiert ls Grenzwert eine Klsse äquivlenter Definition.37 x R heißt positiv nicht negtiv 0 < x 0 x negtiv x < 0 nicht positiv x 0 Die Betrgsfunktion : R R wird definiert durch x = mx{x, x} = Die Vorzeichen- oder Signumfunktion sgn : R R, sgn x = { x x x 0 0 x = 0 = x > 0 x < 0 0 x = 0 { x x 0 x x < 0

15 2 Mengen und Zhlen Stz.38. xy = x y 2. x + y x + y Beweis: x + y 2 = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 () x xy + y 2 = x x y + y 2 (2) = ( x + y ) 2 = x + y x + y = x + y 3. x + y = x + y xy Stz.39. x y x y Beweis: x = x y + y x y + y = x y x y (3) y = y x + x y x + x = y x x y (4) x y = mx{ x y, y x } x y 2. x y ε { x ε y x + ε y ε x y + ε Beweis: x y = mx{x y, y x} ε { x y ε y x ε { x y + ε y x ε y ε x y + ε (5) Vertusche x und y = x ε x + ε Definition.40 Sei, b R, b [, b] := {x R : x b} (, b) := {x R : < x < b} =], b[ [, b) := {x R : x < b} (, b] := {x R : < x b} bgeschlossenes Intervll offenes Intervll rechts-hlboffenes Intervll links-hlboffenes Intervll ε > 0, I ε (x) := (x ε, x + ε) = {y R : x y < ε = B ε (x)(kugel)} Lemm.4 Es gilt y I ε (x) = δ > 0 : I δ (y) I ε (x)

16 2 Mengen und Zhlen 6 Beweis Sei y I ε (x) = x y < ε ε x y > 0 Wähle 0 < δ < ε x y. Es ist nun zu zeigen I δ (y) I ε (x), ds heißt z I δ (y) = z I ε (x). Es gilt Definition.42 z I δ (y) = z y < δ (6) = z x = z y + y x z y + y x δ + x y < ε (7) = z I ε (x) A, B seien geordnete Mengen, f : A B heißt: { wchsend x y = f(x) f(y) monoton fllend x y = f(x) f(y) { wchsend x < y = f(x) < f(y) streng monoton fllend x < y = f(x) > f(y) Beispiel.43 R + \ {0} R + \ {0}, x x n ist streng monoton wchsend n N Beweis Induktion + Axiom M Lemm.44 Sei M, N R, f : M N streng monoton und bijektiv. Dnn ist f streng monoton. Beweis Wir betrchten den Fll f streng monoton wchsend. Seien y, y 2 N, y < y 2, x = f (y ), x 2 = f (y 2 ). Behuptung x < x 2 (sonst wäre x x 2 ). streng monoton Flls x > x 2 ======== f(x 2 ) > f(x 2 ) Widerspruch zu y < y 2 Flls x = x 2 = y = y 2 Widerspruch zur Annhme y < y Definition.45 Produktzeichen Für R, n N definieren wir n := n j= und für R \ {0}, n N n := n Stz.46 Es gilt, b R (beziehungsweise R \ {0}),n, m N 0 (beziehungsweise Z). n m = n+m 2. ( n ) m = nm 3. (b) m = m b m Beweis n ) Zunächst f+r n, m N 0 durch Induktion nch n, dnn für n, m Z (mit Hilfe der Definition von

17 2 Mengen und Zhlen Definition.47 Sei n, k N 0 ( ) n := k k j= n j + j Lemm.48 Sei k, n N ( n ) k = 0 für k > n ( n ) k = n! k!(n k)! = ( ) n n k für k n ( n ) ( k = n ) ( k + n ) k für k n Stz.49 n N 0, x, y R gilt (x + y) n = n j=0 ( ) n x n j y j j Beweis Induktion: Induktionsnfng: n = 0, (x + y) 0 =, ( 0 j ) x 0 y 0 = nch Definition Induktionsschritt n n + : (x + y) n+ = (x + y)(x + y) n mit der Induktionsvorussetzung n ( ) n = (x + y) x n j y j j j=0 n ( ) n n ( ) n = x n j+ y j + x n j y j+ j j = j=0 ( ) n x n+ + 0 = x n+ + n j= ( n j j=0 ) x n+ j y j + n ( ) ( n n x n i+ y i + i n i= }{{} Substitution i := j + n (( ) ( )) n n + x n+ j y j + y n+ j j }{{} j= = j = 0 n+ ( n + j ( n+ )nch Lemm.48 j ) x n+ j y j ) y n Folgerung.50. n j=0 ( n j ) = 2 n 2. n j=0 ( n j ) ( ) j = { 0 n 0 n = 0

18 2 Mengen und Zhlen 8 Beweis: Setze in Binomische Formel x =, y = beziehungsweise y = Lemm.5 Sei m R nch oben (beziehungsweise nch unten) beschränkt Dnn gilt. s = sup M ε > 0 x M : s ε < x( s) 2. l = inf M ε > 0 x M : (l )x < l + ε Beweis Wir beweisen. s sup M s ist nicht die kleinste obere Schrnke von m es gibt eine kleinere obere Schrnke s = s ε von M nicht ε > 0 x M : x > s ε Lemm.52 N ist unbeschränkt in R [[Lemm.5]] Beweis sonst x = sup N (nch Vollständigkeits Axiom), x kleinste obere Schrnke ======= ε = 2 m o N : x 2 < m 0 = m 0 + N, m 0 + > x + 2 > x = x ist nicht die obere Schrnke von N Lemm.53 (Bernoullische Ungleichung) x [, ), n N 0 : ( + x) n + nx Beweis Beweis durch Induktion: IA: n = 0 klr IS: Folgerung.54 n n + : ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) (8) ( + nx)( + x) = + nx 2 + (n + )x (9) + (n + )x d x 2 0. Sei y (, ). Dnn gilt c > 0 n 0 N, n n 0 y n (c, ) ( Konvergenz von y n gegen 0) 2. Sei y (, ). Dnn gilt ε > 0 n 0 N n n 0 : y n I ε (0) ( Konvergenz y n gegen 0) Beweis. Für x = y > 0 gilt dnn nch ( + x) n + nx = y n > nx }{{} y Nch existiert für c > 0 ein n 0 N mit n 0 > c x = n n 0 : y n > nx n 0 x c x x = c = n n 0 : y n (c, )

19 2 Mengen und Zhlen 9 2. Für x = y > nch [[54]] mit c= ε =========== Stz.55 (Existenz der m-ten Wurzel) ε > 0 n 0 N n n 0 : x n > ε = y n > ε = yn < ε m N, [, ) gilt!x [0, ) : x m = Beweis (Skizze, 2) Wir geben ein Itertionsverfhren p 3 (x) = m 3 x x 2 + x + 0, 3 > 0 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit > 0, m 2, x muss die Gleichung x m = 0 lösen, ds heißt Nullstelle der Funktion f : [0, ) R, x x m suchen. Diese pproximieren wir nch dem Newton Verfhren x 0 sodss x m 0 0 x n x n+ = f(x n) f (x n ) = f(x n ) = f (x n ) x n x n+ Hoffnung: x n x Sei x m 0. x n > 0 2. x m n 3. x n+ x n Beweis:. Induktion 2. Induktion x n+ := x n f(x n) f (x n ) }{{} >. Wir zeigen F (x n) = x n xm n mx m n ( = x n ( )) m x m n n = 0, x m 0 = x 0 > 0, d > 0, x 0 0 n n + weil x n n+ = x m n }{{} 0 = x n+ > 0, d > 0 ( x n > 0, x m n = x n+ = x n ( )) m x m 0 n ( m ( )) m ( x m x m n }{{} n ( )) m x m = 0 n Bernoulli

20 2 Mengen und Zhlen Nch 2: Nch : x m n = 0 m ( ) x m n ( x m > 0 = x n+ = x n ( )) m x m < x n n Wegen ist M = {x n : n N 0 } nch unten beschränkt = Wir wollen zeigen, dss x m =. Es gilt 4. Es gilt nch nch 2 x x n+ = ( ) m x := inf M existiert ( ) m x n + m x m n x n + m sup{ x m n x N 0 } inf{x m n n N 0 } = (inf{x n n N 0 }) m = x m und dmit x > 0 Ferner gilt mit y = sup{ x m n n N 0 } = inf{x m n x N 0 } ( ) m = = = y inf{x n n N 0 } xm x m 5. Von oben wissen wir, dss x y = x y x m = xm Aus 4 und 5 folgt x m = Lemm.56. Seien für n N 0 : y n > 0 und inf{x n x N 0 } > 0 Dnn gilt sup{ y n n N 0 } = 2. Seien für n N 0, y n > 0, k N 0. Dnn gilt: (ohne Beweis) inf{y n n N 0 } inf{y k n n N 0 } = (inf{y n n N 0 }) k

21 3 Komplexe Zhlen 2 3 Komplexe Zhlen Motivtion: x 2 + = 0 nicht lösbr in R Wir betrchten die Menge der Pre {x, y} = R R uf denen die Addition und Multipliktion wie folgt definiert ist: (KA) {x, y } + {x 2, y 2 } = {x + x 2, y 2 + y 2 } (KM) {x, y } {x 2, y 2 } = {x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y } 3. Komplexer Zhlenkörper. Die Menge der Pre z = {x, y} R R mit Addition 3 und Multipliktion 3 bildet den Körper C der komplexen Zhlen mit den neutrlen Elementen {0, 0} und {, 0} 2. Die Gleichung z 2 +{, 0} = {0, 0} ht in C zwei Lösungen, welche mit ı := {0, ±} bezeichnet werden 3. Der Körper R ist mit der Abbildung x R : x {x, 0} C isomorph zu einem Unterkörper von C 3.. Beweis. Die Gültigkeit des Kommuttivitäts-, Assozitivs-, und Distributivitätsgesetzes verifiziert mn durch Nchrechnen. Neutrle Elemente: Wir lösen die Gleichung + z = {0, 0} für beliebige gegebene C, = {, 2 } = z = {, 2 } z = {, 0} z = := { 2 +, }, weil i := {0, } ht die Eigenschft weil = { , } 2 2 Ähnlich + ( ı) 2 = 0 + ı 2 = {, 0} + {0 2 2, 0} = {0, 0} = + ı 2 = 0 3. Die Zuordnung x R : x {x, 0} C bildet R bijektiv uf eine Untermenge von C b, welche bezüglich der komplexen Addition und Multipliktion wieder ein Körper ist 3.2 Nottion z = {x, y} =: x + ıy, x, y R x ist Relteil x = Rz y ist Imginärteil x = Iz z + z 2 = (x + ıy ) + (x 2 + ıy 2 ) = x + x }{{} 2 +ı (y + y 2 ) }{{} R(z +z 2 ) I(z +z 2 ) z z 2 = (x + ıy )(x + ıy 2 ) = x x 2 + ıy x 2 + ıy 2 x + (ıy )(ıy 2 ) = x x 2 y y }{{} 2 +ı (x y 2 + y x 2 ) }{{} R(z z 2 ) I(z,z 2 )

22 3 Komplexe Zhlen TODO Grphische Drstellung 3.4 Bemerkung Die reellen Zhlen sind durch Iz = 0 chrkterisiert. z = z 2 = x + ıy i = x 2 + ıy 2 x = x 2, y = y Korollr.59 Jede qudrtische Gleichung z 2 + pz + q = 0, p, q R besitzt in C genu zwei Lösungen z,2 = { 2 ± 2 p 2 4q p 2 4q 2 ± ı 2 p 2 4q p 2 4q < Fundmentlstz der Algebr Jede lgebrische Gleichung der Form n z n + i z i = 0 i=0 ht in C mindestens eine Lösung. Beweis Funktionstheorie 3.7 Betrg Für komplexe Zhlen lässt sich ein Absolutbetrg definieren r = z = x 2 + y 2 Dmit: x = r cos α (0) y = r sin α () z = x + ıy = r(cos α + ı sin α) (2) (3) 3.8 Konjugtion Zu einem z = x + ıy C definieren wir eine konjugierte komplexe Zhl z = x ıy C Dnn gilt z 2 = x 2 + y 2 = z z Aus der Definition: z + z 2 = z + z 2 z z 2 = z z 2 x = z+ z 2 y = z z 2ı

23 4 Folgen 23 4 Folgen Eine Folge von reellen Zhlen wird gegeben durch eine Abbildung N 0 R, n x n Wir bezeichnen die Folge uch mit (x n ) n N0 Topologische Struktur uf Mengen. Abstände in R Betrg x y Verllgemeinerung Norm / Metrik Umgebung in R ε-intervll Verllgemeinerung Kugel Umgebung Wir betrchten Folgen N R, n n (oder C) 4. Definition 2. Konvergenz Wir sgen, dss die Folge ( n ) n N in K (R oder C) gegen den Grenzwert (oder Limes) K konvergiert ( ) n = lim n wenn für beliebiges ε > 0 von einem n ε N n gilt 4.2 Folgerung 2.2 n < ε, n n ε ε > 0 n ε N : n n ε n I ε () Sei ( n ) n N eine monoton wchsende beziehungsweise fllende Folge reeller Zhlen M = { n n N} und sei nch oben beziehungsweise unten beschränkt. Dnn gilt Beweis Übungen 4.3 Definition 2.3 Cuchy Folgen Eine Folge ( n ) n N heißt Cuchy-Folge wenn: (Cuchy Kriterium) 4.4 Definition 2.4 Teilfolge n sup M, n inf M ε > 0 n ε N n, m n ε : n m < ε Eine Teilfolge einer gegebenen Folge ( n ) n N ist eine Auswhl ( nk ) k N, wobei nk ( n ) n N sind Beispiel 4. (Beispiel 2.5) uch die Glieder von n = m ist eine Cuchy-Folge. Für ein ε > 0 wählen wir n ε so dss n ε > ε. Für beliebiges n m > N m n = m n = n m mn n mn = m < < ε n ε

24 4 Folgen 24 Stz 4.2 ( Jede Cuchy-Folge ist beschränkt) Beweis Sei ( n ) n N eine Cuchy-Folge. Angenommen, die Folge ist nicht beschränkt. Dnn gibt es eine Teilfolge ( nk ) k N mit nk k Aus dieser Teilfolge knn mn eine weitere Teilfolge ( nkl ) l N extrhieren nki+ > 2 nkl l N Dnn gilt nki+ nkl nkl nkl nki+ > k im Widerspruch zur Cuchy-Folgen Eigenschft. Stz 4.3 ( Jede konvergente Folge ist Cuchy-Folge) Beweis n k = ε > 0 n ε N n n ε : n < ε 2 = n, m n ε : n m n + m < ε 2 + ε 2 Lemm 4.4 Sei ( n ) n N eine Folge in K (R oder C) welche gegen K und ã K konvergiert. Dnn ist = ã. Beweis Beweis durch Widerspruch. Flls ã > 0, dnn n ε N n n ε ε = ã, n < ε 2 und ein m ε, sodss Dnn für n mx{n ε, m ε }: Widerspruch = = ã n ã < ε n m ε 2 ã n + n ã < ε` Bemerkung 4.5 Die Mengen Abständen heißen *vollständig*, wenn jede Cuchy-Folge in M konvergiert Definition 4.6 (Häufungwert, Häufungspunkt) Ein K heißt Häufungswert einer Folge ( n ) n N in K, wenn es zu beliebigen ε > 0 unendlich viele Folgenelemente n gibt mit n < ε Ein K heißt Häufungspunkt einer Teilmenge M von K, wenn ε > 0 existieren unendlich viele x M, sodss x < ε Beispiel 4.7. n = ( ) n, n N divergente Folge

25 4 Folgen 25 besitzt 2 Häufungswerte () =, (2) = 2. Wir nehmen n, b n (c n ) n N ht 2 Häufungswerte und b b und definieren eine neue Folge c n sodss c 2n := b n, n N c 2n+ := n, n N Bemerkung 4.8 Nch 4.4 ht die konvergente Folge Häufungswert Lemm 4.9 (2.) Sei ( n ) eine Cuchy-Folge in K und ein Häufungswert von ( n N n) n N, dnn konvergiert n Beweis Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Wir wählen n ε N sodss n m < ε 2 n, m > n ε (us Cuchy-Folge) und m ε > n ε mit Dnn folgt mε < ε 2 (Häufungswert) n > m ε : n mε + mε n < ε = n Stz 4.0 A bgeschlossen ( Häufungspunkt von A = A) A bgeschlossen in M M \ A =: CA offen Beweis ( = ): Sei jeder Häufungspunkt von A in A x CA(= R \ A) = x kein Häufungspunkt von A, x A = ε : I ε (x) A = = ε > 0 : I ε CA = CA offen = A bgeschlossen ( = ): Sei A bgeschlossen, lso CA offen, ist Häufungspunkt x A ds heißt x CA, so gilt ε > 0 : I ε CA = I ε (x) A = Widerspruch zur Definition von Häufungspunkt = jeder Häufungspunkt von A ist in A Lemm 4. (2.4) Jede Folge ( n ) n N R besitzt eine monotone Teilfolge Beweis Sei B = {n N k n, n k } Fll : B unendlich. Wir zählen B N monoton wchsend n 0 = min B n k+ = min{n B, n > n k } Dnn ist die Teilfolge ( nk ) k N von ( n ) n N monoton fllend

26 4 Folgen 26 Fll 2: B ist endlich oder leer ds heißt = n 0 N : n n 0 : n B Dmit können wir definieren k n : n < k n k+ = min{k n k : nk < k } und die Folge ( nk ) k N ist monoton wchsend Beispiel 4.2. n = ( ) n( ) + n+, B = {2n n N} monoton fllend 2. n = ( ) n n, ( 2k ) k N ist monotone Teilfolge Stz 4.3 (Stz von Bolzno Weierstrss) Sei A R ( gilt in R n!) Folgende Aussgen sind äquivlent:. A ist beschränkt bgeschlossen 2. Jede Folge ( n ) n N us A ht einen Häufungswert in A 3. Jede Folge ( n ) n N us A besitzt eine in A konvergente Teilfolge ( nk ) k N Beweis Wir zeigen 3 = 2 = = 3 3 = 2: Sei ( nk ) k N konvergente Teilfolge von ( n ) n N und = lim k nk ist uch der Häufungswert der Folge ( n ) n N 2 = :. Beschränktheit: Angenommen dies ist flsch. Dnn ( n ) n N A : n n n N ( A) Nch Vorussetzungen ht jede diese Folge einen Häufungspunkt x A und es gilt x n n x n x n Dbei gilt x n < für unendlich viele n N (us Häufungswert) Für unendlich viele n N` = x n 2. Abgeschlossenheit: Wir nutzen Stz 4.0 Zu zeigen: wenn Häufungspunkt von A = A Für gilt I () = {x R x < n n } I n () A = n A : n < n

27 4 Folgen 27 Die Folge ( nk ) k N, d n 0 Nch Vorussetzung ht ( n) n N einen Häufungswert ã A. Wir zeigen = ã Sei ε > 0 beliebig. n ε N : n < ε 2 n n ε (Aus n ) m ε n ε : ã mε < ε 2 (Aus Häufungswert) = ã mε + mε < ε = ã = 0 = ã = A = 3: Sei nun ( n ) n N eine Folge in A, ( nk ) k N eine monotone Teilfolge (nch 4.), ( nk ) ist beschränkt, d A beschränkt ist = ( nk ) ist konvergent (4.2) Wir müssen zeigen, dss = lim n k A Angenommen A = CA, CA ist offen Nun ist ber mit geeigneten n ε N = I ε () CA = I ε () A = n n ε : nk I ε () : nk A = nk I ε () A ` Bemerkung 4.4 Erweiterung zu R n möglich Ein Rum heißt folgenkompkt, wenn jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge ht Nch B-W Stz ist R(R n ) folgenkompkt In R lle Cuchy-Folgen konvergieren Cuchy Folge in R = beschränkt und Wertemenge ist bgeschlossen einen Häufungswert in A = 4.9 konvergiert gegen A 4.5 Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen Stz 4.5 Seien ( n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen in K(R oder C) Dnn gilt:. lim ( n + b n ) = lim n + lim b n 2. lim nb n ) = lim n lim 3. ( ) n lim = lim n b n lim b n b n b 0 0 n N, lim b n 0 Stz 4.6 (2.5) Seien ( n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen in R. Dnn gilt. n b n n N = lim n lim b n B W Stz ====== ( n ) n N ht

28 4 Folgen n b n n N = lim n lim b n Beweis. Sei ε > 0 vorgegeben n ε : n n ε : b n lim k b n + ε 2 und lim k k n + ε 2 = lim k n + ε k 2 b n + ε 2 lim b k + ε ε > 0 k = lim k lim b k k 2. Wir wählen n = n und müssen noch zeigen lim n = lim n (Übung) 4.6 Geometrische Folge Die geometrische Folge ist definiert durch n = cq n Lemm 4.7 (2.6) q R, q < konvergiert die geometrische Folge n = cq n gegen Null. Beweis Sei ε > 0 gegeben. Nch Annhme ist q < = q >, somit q = + x für ein x > 0. Zu zeigen: cq n 0 < ε für genug große n, ds heißt ( ) n c < ε c < ( + x)n + x ε Ds Archimedisches Axiom grntiert die Existenz von n 0 N: n 0 > c xε x = c ε xε n n 0 : c ( c ε = xε ) x x + < n 0x + nx + drus folgt us der Bernoulli Ungleichung c ε < ( + x)n = cq n 0 Folgerung 4.8 (2.7) Die geometrische Reihe S n = + q + q q n = n i=0 q i konvergiert für q < und lim S n = q

29 4 Folgen 29 Beweis zu Beweisen mit Induktion c = q ( q)( + q + q q n ) = + q n+ = S n q = qn+ = qn+ q q S n q = c q n < ε n n ε s n q Beispiel 4.9 (2.8) 0 n. lim n! lim cqn mit q < 2. n = n ( n + n ) = n n+ n++ n = n n+ + n = +n n = m x, x gegeben, 4. n = n m Übungen 5. n = n i=0 i! ( n ) n N ist monoton wchsend beschränkt: n < 3 n N = ( n ) n N konvergiert, Limes ist sogennnten Zhl e 6. ( n ) n N rekursiv definiert: 0 = 0, =, n = n + n 2 Fiboncci Folge 4.7 Umgebung Definition 4.20 (2.9) A K heißt Umgebung von K ε > 0I ε () A Folgerung 4.2 (2.20) Aus der Definition folgt. Sei U i, i I Umgebung von, so ist U i Umgebung von 2. Sind U,..., U n Umgebung von, so ist uch U... U n Umgebung von i I 3. Umgebung von : Umgebung von, sodss y V, U Umgebung von y ist Beweis. Für irgendein i 0 I ε > 0 : I ε () U i0 i I U i 2. Es gilt nch Vorussetzung ε,... ε n > 0 mit I εi () U i für i =,..., n. Folglich gilt für ε := min{ε,..., ε n } > 0, I ε () U i ( i =,..., n) = I ε () U... U n

30 4 Folgen Nch Vorussetzung gibt es für eine Umgebung U von ein ε > 0 mit I ε () U V := I ε () U ist ebenflls Umgebung von und y V gilt 2 I ε I ε ε(x) U, denn y z < 2 }{{} 2 = x z x y + x z < ε z I ε 2 Definition 4.22 (2.2). A K ist offen A ist A die Umgebung von (in R A ε > 0I ε () A) Für Intervlle (, b) hben wir schon gezeigt, dss sie offen sind 2. A K heißt bgeschlossen C K A offen 3. Abschließung von A: Ā := { K A Häufungspunkt von A} 4. Rnd von A: A := { K Umgebung U von : A U CA U } Beispiel 4.23 (2.22) ε > 0I ε () (, b] I ε () R \ (, b] A = (, b] Ā = [, b] A = {, b} Sei A = Q, dnn Ā = R, A = R denn in jedem ε-intervll um eine rtionle Zhl gibt es sowohl rtionle ls uch irrtionle Zhlen Bemerkung 4.24 Die Grenzwerte und Häufungswerte knn mn uch in gnz mit einer neuen Definition von Abstnd: ˆR ist folgenkompkt Algebrische Opertionen in ˆR R { } { } =: ˆR (x, y) := ξ(x) ξ(y) ξ(x) := = =: 0 { x + x x R ± x = ± x + := + x := x R { } x := + x := x R { } { x x := x := ˆR, x > 0 x ˆR, x < 0

31 4 Folgen 3 Sinnlos wäre:, 0, 0 ( ),,... Dmit könne wir die Rechenregeln uch für Folgen in ˆR formulieren In ˆR ht jede Folge einen Häufungswert Definition 4.25 (2.23) Sei ( n ) n N ein Folge von reellen Zhlen, = H ˆR die Menge der Häufungswerte von ( n ) in ˆR. Dnn sei: lim n := lim inf n := inf H lim n := lim sup n := inf H (Limes inferior) (Limes superior) Bemerkung Definition 4.25 knn mn uch für R formulieren 2. = lim inf n Beispiel 4.27 (2.24) lso gilt ε { (){n n < ε} ist unendlich (weil Häufungswert ist) (2){n n < ε} ist endlich ( ist kleinste Häufungswert) n = n + ( ) n n 2n+ = 0 n = 0 ist Häufungswert 2n = 4n = ist Häufungswert lim inf n = 0 lim sup n = Bemerkung 4.28 n in ˆR lim inf n = = lim sup n lim inf n + lim inf b n lim inf( n + b n ) lim inf n lim inf b n lim inf( n b n ) für n, b n > 0 lim sup n + lim sup b n lim ( n + b n ) (zum Beispiel betrchte n = n 2, b n = n )

32 5 Reihen (Unendliche Summen) 32 5 Reihen (Unendliche Summen) Definition 5. (2.9) Eine Reihe (unendliche Summe) konvergiert, wenn die Folge ihrer Prtilsummen konvergiert Beispiel 5.2. n k = 2. S n = 3. S n = n(n + ) n n ( ) k = n j=0 { z j = zn+ z 4. Hrmonische Reihe: Seien S n = Beweis (Beweis von 4.) s n = n k S < n ungerde S_n (=, 0,, 0,...) konvergiert nicht 0 n gerde Für z < konvergiert S n z = n j=0 z j = z, Behuptung lim k S n =, lso divergent S 2 n+ = 2 n+ = n k = + n 2 + j= 2 j+ j= k=2 j + 2 j 2 j+ = n k + n 2 + j= 2 j+ j= k=2 j + }{{} 2 j Summnden 2 j+ 2 = n Stz 5.3 Seien k, b k konvergente Reihen, α R, dnn sind uch die Reihen k=0 k=0 ( k + b k ), α k k=0 k=0 konvergent und es gilt ( k + b k ) = k + b k, α k = α k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 k Beweis Aus den Rechenregeln für konvergente Folgen

33 5 Reihen (Unendliche Summen) Konvergenzkriterien Cuchy Kriterium für Prtilsummen besgt, dss eine Reihe genu dnn konvergent ist, wenn n ε > 0 n ε N : n > m n ε : s n s m = k < ε Lemm 5.4 (2.28 Reihenkonvergenz) Eine Reihe k=m+ k knn nur dnn konvergent sein, wenn ihre Prtilsummen beschränkt sind und ihre Glieder eine Nullfolge bilden Beweis Sei s = k = lim s n. Dnn gilt lim n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = s s = 0 Die Beschränktheit der Prtilsummen folgt notwendig us der Beschränktheit konvergenter Folgen. Stz 5.5 (2.29) Sei ( k ) k N eine Nullfolge. Dnn Beweis s n = n ( k k+ ) = n ( k k+ ) = n+ k k = n+ k=2 = s n = n+ 0 Beispiel 5.6 (2.30) k(k + ) = k }{{} k k + = = 2 }{{} n+ Definition 5.7 (2.3) Eine Reihe s = Vorzeichen hben, ds heißt n n+ 0 k in R heißt lternierend, wenn ihre Elemente lternierende Stz 5.8 (2.32). Eine lternierende Reihe s = Glieder eine monoton fllende Nullfolge bilden k ist konvergent, wenn die Absolutbeträge ihrer 2. Für die Reihenreste gilt dbei die Abschätzung k m k=m Beweis. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit > 0. Dnn ist 2n + 2n 0, 2n + 2n+ 0 Und folglich s 2n+ = n + 2n+ s 2n... s 3 s s 2n = ( ) + ( ) n + }{{ 2n s } 2n 2... s 2 0

34 5 Reihen (Unendliche Summen) 34 Ferner gilt und somit (S 2n ) monoton wchsend, s 2n+ monoton fllend, beide beschränkt d ( n ) Nullfolge 2. Aus. folgt m = 2n + 0 s s 2n = k=2n+ s 2n+ s 2n = 2n+ 0 s 2... s 2n s 2n+... s = s 2n s, = s 2n+ s s sn s s s 2n+ s 2n+ s 2n = 2n+ 0 s = s = s k = s s 2n+ + 2n+ 2n+ und sonst Anlog im Fll m = 2n k=2n+ k 2n+ Beispiel 5.9 (2.33). s = 2. Die Leibniz Reihe s = ( ) k = k konvergiert nch dem Leibniz Kriterium 3 k=0 Bemerkung 5.0 (Monotonie ist wichtig) ist divergent: ( ) k k = k 0 monoton ( ) k 2k + = konvergiert nch Leibniz Kriterium 7 k mit 2k := 2 k, 2k := k ( ) + ( ) + ( ) +... = 0, ber + ( + ) + ( + ) +... = Definition 5. (2.34) k heißt bsolut konvergent, genu dnn wenn k konvergent ist

35 5 Reihen (Unendliche Summen) 35 Stz 5.2 (2.35) Sei k konvergent in R. Dnn ist k konvergent Beweis Mit Cuchy Kriterium: us der bsoluten Konvergenz n k k=m n k < ε k=m Stz 5.3 (2.36 Umordnungsstz) Sei k eine bsolut konvergente Reihe in R. Dnn gilt für jede bijektive Abbildung τ : N N τ(k) = k Beweis Rncher für spezifische Umordnung ( ) k Beispiel 5.4 (2.37) konvergent (ber nicht bsolut) k ( ) τ(k) Behuptung: Umordnung τ, sodss divergiert Bechte τ(k) = Die Umordnung ( konvergiert nicht 2 j + + ) 6 + ( j j } {{ } 4 8 = 8 2 j 2 j+ = ) ( j + + ) 2 j j+ }{{} > 4 8 = 8 Stz 5.5 (2.38 Cuchyprodukt für Reihen) Seien k, b k bsolut konvergente Reihen (in R oder C). Sei c m = m k b m k. Dnn konvergiert (ohne Beweis) ( )( ) = k b k m= Stz 5.6 (2.39 Vergleichskriterium) Gegeben seien zwei Reihen s = k, s =. Gilt für fst lle k N mit einer Konstnte α > 0 k αã k (für fst lle n N := Für lle n N ußer endlich viele) so ist s eine Mjornte von s und us der bsoluten Konvergenz von s folgt uch die von s, bsolute Divergenz von s impliziert die bsolute Divergenz von s ã k 2 k + 2

36 5 Reihen (Unendliche Summen) 36 Beweis ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir n, dss die Vorussetzungen k N gelten. Ist s konvergent = n k α n ã k α ã k, n N = S n sind beschränkt, S bsolut konvergent Umgekehrt folgt us Divergenz von S uch k = S uch Divergent 2. Aus Vorussetzung k+ ã k+ k+ k k ã k+ ã k+ ã k k ã k+ = k... =: α = k+ α k. Aus. folgt die Aussge Korollr 5.7 (2.34 Wurzelkriterium) Eine Reihe ã k k konvergiert bsolut, wenn es ein g (0, ) gibt, mit dem für f.. (fst lle) k n gilt k k q, beziehungsweise lim k sup k < Wenn für unendlich viele k N gilt k k >, beziehungsweise k >, so ist die Reihe bsolut divergent. Beweis Nch Vorussetzung k q k, ds heißt die konvergierende geometrische Reihe s mit q (0, ) ist Mjornte für s Korollr 5.8 (2.4 Quotientenkriterium) Eine Reihe mit dem für f.. k N gilt Wenn für fst lle k N gilt Beweis Vergleich mit k+ k k+ k k konvergiert bsolut, wenn es ein q (0, ) gibt k=0 q <, bzw. lim sup k+ k k <, so ist die Reihe bsolut divergent s q k ã Beispiel 5.9 (2.42) z k. s k!, z C Quotientenkriterium: Sei k 2 z = z k+ 2 k+ k = z k+ k! (k + )! z k = z k + = s bsolut konvergent. 2. k! k k = s bsolut konvergent (k + )! k k (k + ) k+ k! = k k + k = ( ) + k k + k k = 2

37 5 Reihen (Unendliche Summen) 37 Bemerkung Flls q = = die Kriterien geben keine Entscheidung, zum Beispiel: k k 2 k+ k = k k + k+ k = k 2 (k + ) 2 2. Für die Divergenz ist es wichtig, dss n 0 n n 0 n > 0, Wir nehmen n konvergiert, ber lim n 0 n+ n = 2 n 2 n = 2 ( 2 k) 2 0 n = 2 k Lemm 5.2 (2.43 Cuchy Verdichtungsstz) Eine Reihe s = n = 2 k Nullfolge bilden ht dsselbe Konvergenzverhlten wie die verdichtete Reihe Beweis Wir setzen s n := Für n < 2 k+ k, mit k R +, die monoton fllende 2 k 2 k = k=0 n k, s n := n 2 k 2 k k=0 S n = + ( ) ( 2 k k k+ ) k 2 k = s n = Konvergenz von s k impliziert Konvergenz von S n Flls die verdichtete Reihe divergent ist, so folgt us der für n 2 k+ gültigen Beziehung s n ( ) + ( ) ( ) 2 k k k 2 k+ 2 S k+ uch die Divergenz von S n 5.2 Potenzreihe S = c k (x x 0 ) k mit den Koeffizienten c k K, Zentrum x 0 K und Argument x K Die geometrische Reihe ist ein Spezilfll der llgemeinen Potenzreihe k=0

38 5 Reihen (Unendliche Summen) 38 Unendlicher Dezimlbruch 0, d, d 2, d 3,... = d k 0 k, d k {0,,..., 9} Stz 5.22 (2.44 Potenzreihen) Eine Potenzreihe c k (x x 0 ) k konvergiert bsolut x K mit der Eigenschft k=0 x x 0 < ρ := lim k sup k c k Für x x 0 > ρ ist sie divergent Beweis Für x x 0 gilt ck lim sup k x x 0 k = x x0 lim sup k c k = x x 0 = k k ρ { < x x 0 < ρ > x x 0 > ρ Bemerkung 5.23 Flls ρ =, konvergiert die Reihe x K Flls ρ = 0, konvergiert die Reihe für kein x x 0 Die Konvergenzgrenze ρ ist die größt mögliche und wird Konvergenzrdius der Reihe bezeichnet Für lim sup k c k = konvergiert die Reihe für kein x x 0 und wir setzen ρ0 Flls lim sup k c k = 0 = ρ = 5.3 Exponentilreihe ist eine Potenzreihe. Ihr Konvergenzrdius ρ = exp(x) := k=0 x k k! lim sup n n = n lim n! = lim Stz 5.24 (2.45) Der Wert der exp Reihe für x = ist die Eulersche Zhl e Diese ist irrtionl exp() = k=0 ( k! = lim + n =: e n) n n! = Beweis In Übung 6.2 gezeigt ( e = lim + ) n n

39 6 Stetige Abbildungen 39 Angenommen e = p q, p, q N, q >. Betrchte Abschätzung, für die Restgliederdrstellung von e: s n+m s n = = = für x = (n+) erhält mn D dies für lle m N, folgt ( +! (m + n)! (n + )! (n + )! ) ( +! ) n! (m + n)! ( + n (n + ) m x m = (n + )! x (n + )! x = (n + )! n + n ) = 0 < e s n n!n = 0 < en! s nn! n m (n + )! k=0 (n + ) k 6 Stetige Abbildungen 6. Grenzwert einer Funktion, Stetigkeit Wir betrchten die Funktion f : R \ {0} R, x ex x und wollen diese uf gnz R fortsetzen, ds heißt: Wir suchen ein f : R R mit f R \ {0} = f und einen Wert f(0) R Allgemeiner überprüft mn für Funktionen f : D K K die Fortsetzbrkeit uf den Abschluss D K, wobei (nlog zur Plenrübung) D = {x K x D oder x ist HP von D} = {x K (x n ) n N D x = lim n 0 x n } Definition 6. (3.) Eine Funktion f : D K K ht im Punkt x 0 D einen Grenzwert K, wenn lle Folgen (x n ) n N D gilt: Wir schreiben kurz: lim x x0 f(x) = x n x 0 (n ) = f(x n ) (n ) Bemerkung 6.2 Flls der Grenzwert existiert, ist er eindeutig. Ist T D R, T, f : D R, x T, dnn verstehen wir unter den Grenzwert lim x x0 f T, flls er existiert. lim x x 0 x T f(x)

40 6 Stetige Abbildungen 40 Spezilfälle: T > := {x D x > x 0 } : f ( x + 0 T < := {x D x < x 0 } : f ( x 0 ) := x x lim f(x) = lim f(x) 0 x T x x + > 0 ) := x x lim f(x) = lim f(x) 0 x T x x < 0 (rechtsseitiger Grenzwert) (linksseitiger Grenzwert) Existiert lim x x0 f(x), x 0 T D, dnn gilt lim f(x) = lim f(x) x x 0 x T x x 0 Es gelten die üblichen Rechenregeln für Grenzwerte (x,, :) Beispiel 6.3 (3.2). f : R \ {0}, x x x Also existiert lim x 0 f(x) nicht lim x 0 x 0 f(x) = lim f(x) = + 2. f : R \ {0}, x ex x Es gilt lim x 0 f(x) =, denn für x, x 0 gilt f(x) = e x x x = x k k! x k=2 k=2 x k 2 k! x k=2 = x (e 2) k! }{{} >0 Für Nullfolgen (x n ) n N [, ] \ {0} folgt lim f(x n ) = Ds heißt f besitzt eine Fortsetzung { e x f : R R, x x x 0 x = 0 Definition 6.4 (3.3 Asymptotisches Verhlten) Sei = D R nch oben (nch unten) unbeschränkt. Die Funktion f : D R ht für x + (x ) einen Grenzwert R, wenn gilt: ε > 0 y R : f(x) < ε x D, x > y(x < y) Schreibweise: lim x f(x) =, oder lim x f(x) = Sei x 0 D. Die Funktion f divergiert bestimmt gegen + ( ) : K R + δ > 0 : f(x) > K(f(x) < K) x I δ (x 0 ) (D \ {x 0 }) Schreibweise: f(x) + (f(x) ) für x x 0 Beispiel 6.5 (3.4). f : R \ {}, x x wir schreiben kurz lim x x = 0 2. k N gilt x k lim x e x = 0 = lim x x = 0 = lim x x lim x xk e x, denn e x = exp(x) = xk e x (k + )! x 0(x ) x k e x = ( )k x k e x, x < 0 xk+ (k + )!, x 0

41 6 Stetige Abbildungen 4 Definition 6.6 (3.5) Eine Funktion f : D K K heißt stetig im Punkt x 0 D, wenn gilt: Für lle Folgen x n x 0 (n ) = f(x n ) f(x 0 )(n ) Andernflls heißt sie unstetig in x 0 D. f heißt stetig (uf gnz D), wenn sie in jedem x 0 D stetig ist. (insert Symbolbild hier) Lemm 6.7 (3.5). Ist f : D K stetig, dnn ist uch f T stetig, T D 2. Ist f : D K stetig, so uch R(f) : D R, I(f) : D R, f : D R + stetig (uf gnz D) 3. Sind f, g : D K stetig, so uch f + g, f g : D K 4. Ist f : D f(d) K, g : f(d) K stetig in x 0, beziehungsweise in f(x 0 ) =: y 0 so uch f f : D K stetig in x 0 D : Beweis. Siehe Bemerkung zu Grenzwerte 2. Für z = + ıb gilt b b sowie z 2 = 2 + b 2 2 b 2 3. Siehe Bemerkung zu Grenzwerte 4. Sei (x n ) n N D mit lim x n = x 0, dnn folgt us Stetigkeit von f : lim f(x n ) = f(x 0 ) (g f)(x n ) = g(f(x n )) g(f(x 0 )) = (g f)(x 0 )(n ) Lemm 6.8 (3.7 ε/δ Kriterium) Eine Funktion f : D K ist in x 0 D genu dnn stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt, sodss Für lle x D gilt: x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε Beweis ( = ): Gilt ds ε/δ Kriterium, so ist f uch in x 0 offensichtlich stetig ( = ): Sei lso f stetig in x 0. Angenommen, dss ε/δ-kriterium gälte nicht, ds heißt es gibt ein ε > 0, sodss δ > 0 ein x D mit x x 0 < δ und f(x) f(x 0 ) ε gibt. Widerspruch zu lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Korollr 6.9 (3.8) Sei f : D K stetig in x 0 D mit f(x 0 ) 0. Dnn gibt es ein δ > 0 mit f(x) 0. Dnn gibt es ein δ > 0 mit f(x) 0 x I σ (x 0 ) D. Insbesondere ist f : D K stetig in x 0 D Beweis Setze ε := f(x 0 ) > 0. Dnn gibt es ein δ > 0, sodss x D mit x x 0 < δ folgt f(x) f(x 0 ) < ε (us Stetigkeit von f), ds heißt für x I σ (x 0 ) D gilt f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) > ε ε = 0 Insbesondere sind Folgen x n x 0 wohldefiniert und die Aussge resultiert us den Rechenregeln für Folgen Beispiel 6.0 (3.9). f : R R, f(x) = x ist stetig uf R 2. Konstnte Funktionen f(x) = c x R sind stetig uf R 3. Seien 0,..., n R, n 0, Dnn heißt p : R R, x n k x k Polynom vom Grd n N 0 und ist stetig (wegen. und 2. und Lemm 3.6) k=0