Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)

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1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 15: Eigenwerte und -vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. November 2009)

2 Diagonalisierbarkeit Definition 15.1 Eine Matrix A K n n heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S K n n gibt, so dass D = S 1 AS eine Diagonalmatrix ist.

3 Eigenwerte und -vektoren Definition 15.2 Eine Zahl λ K heißt ein Eigenwert von A K n n, wenn es (wenigstens) einen Vektor v K n \ {O n } gibt mit Av = λv.

4 Eigenwerte und -vektoren Definition 15.2 Eine Zahl λ K heißt ein Eigenwert von A K n n, wenn es (wenigstens) einen Vektor v K n \ {O n } gibt mit Av = λv. Diese Vektoren heißen dann Eigenvektoren zum Eigenwert λ.

5 Kriterium für Diagonalisierbarkeit Satz 15.3 Eine Matrix A K n n ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von K n aus lauter Eigenvektoren von A gibt.

6 Kriterium für Diagonalisierbarkeit Satz 15.3 Eine Matrix A K n n ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von K n aus lauter Eigenvektoren von A gibt. Schreibt man diese Basisvektoren als Spalten in eine Matrix S K n n, so ist S 1 AS eine Diagonalmatrix, auf deren Diagonalen die zu den Basisvektoren gehörenden Eigenwerte stehen.

7 Eigenräume Definition 15.4 Für einen Eigenwert λ K von A K n n heißt Eig A (λ) = {v K n Av = λv} der Eigenraum zum Eigenwert λ.

8 Das charakteristische Polynom Definition 15.5 Für eine Matrix A K n n heißt χ A = det(a x I n ) K[x] n das charakteristische Polynom von A.

9 Das charakteristische Polynom Definition 15.5 Für eine Matrix A K n n heißt χ A = det(a x I n ) K[x] n das charakteristische Polynom von A. Satz 15.6 Die Eigenwerte von A K n n sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ A K[x] n von A.

10 Konsequenzen Bemerkung 15.7 Eine Matrix A K n n hat also höchstens n Eigenwerte (weil χ A den Grad n hat).

11 Konsequenzen Bemerkung 15.7 Eine Matrix A K n n hat also höchstens n Eigenwerte (weil χ A den Grad n hat). Satz 15.8 Jede Matrix in C n n hat wenigstens einen Eigenwert; wegen R n n C n n hat also jede Matrix wenigstens einen Eigenwert in C.

12 Nicht-reelle Eigenwerte reeller Matrizen Bemerkung 15.9 Die nicht-reellen Eigenwerte reeller Matrizen treten als Paare zueinander komplex-konjugierter komplexer Zahlen auf.

13 Vielfachheiten von Nullstellen Jedes Polynom p(x) C[x] vom Grad n zerfällt in n Linearfaktoren: p(x) = α (λ 1 x) k1 (λ 2 x) k2 (λ r x) k r mit α C \ {O}, λ i λ j, k 1 + k k r = n λ 1,..., λ r sind genau die Nullstellen von p(x), ihre Vielfachheiten sind k 1,..., k r.

14 Vielfachheiten von Eigenwerten Definition Ist λ K ein Eigenwert von A K n n, so ist die algebraische Vielfachheit von λ die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χ A von A;

15 Vielfachheiten von Eigenwerten Definition Ist λ K ein Eigenwert von A K n n, so ist die algebraische Vielfachheit von λ die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χ A von A; die geometrische Vielfachheit von λ ist dim (Eig A (λ)).

16 Algebraische und geometrische Vielfachheit Satz Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist höchstens so groß wie seine algebraische Vielfachheit; für jeden Eigenwert gilt also: 1 geom. Vielf. alg. Vielf.

17 Diagonalisierbarkeit und Eigenwerte Satz Eine Matrix A K n n ist genau dann (über K) diagonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom χ A (über K) in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit so groß wie die algebraische ist.

18 Determinante und Spur... Satz Sind λ 1,..., λ r C die Eigenwerte einer Matrix A C n n mit algebraischen Vielfachheiten k 1,..., k r, so ist det (A) = λ k 1 1 λk 2 2 λk r r Spur (A) = k 1 λ 1 + k 2 λ k r λ r (Spur (A) = n A ii ) i=1

19 ... im charakteristischen Polynom Bemerkung Für jede Matrix A K n n ist χ A = ( 1) n x n +( 1) n 1 Spur (A)x n 1 + +det (A), Spur und Determinante findet man also in den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

20 Komplex konjugierte Vektoren/Matrizen Definition Für v = (v 1,..., v n ) C n sei v = (v 1,..., v n ) C n der zu v komplex konjugierte Vektor; für A = (a ij ) C n n sei A = (a ij ) C n n die zu A komplex konjugierte Matrix.

21 Symmetrische reelle Matrizen Satz Jede symmetrische reelle Matrix A R n n ist über R diagonalisierbar.

22 Symmetrische reelle Matrizen Satz Jede symmetrische reelle Matrix A R n n ist über R diagonalisierbar. Satz Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen reellen Matrix stehen orthogonal zueinander (d.h., je zwei Vektoren aus verschiedenen Eigenräumen haben Skalarprodukt Null).

23 Orthonormalbasen, orthogonale Matrizen Definition Eine Orthonormalbasis ist eine Basis von R n, deren Vektoren paarweise orthogonal aufeinander stehen und Norm Eins haben.

24 Orthonormalbasen, orthogonale Matrizen Definition Eine Orthonormalbasis ist eine Basis von R n, deren Vektoren paarweise orthogonal aufeinander stehen und Norm Eins haben. Definition Eine Matrix S R n n heißt orthogonal, wenn S T S = I (d. h. S 1 = S T ) gilt.

25 Orthonormalbasen, orthogonale Matrizen Definition Eine Orthonormalbasis ist eine Basis von R n, deren Vektoren paarweise orthogonal aufeinander stehen und Norm Eins haben. Definition Eine Matrix S R n n heißt orthogonal, wenn S T S = I (d. h. S 1 = S T ) gilt. Bemerkung Eine Matrix S R n n ist genau dann orthogonal, wenn die Spalten von S eine Orthonormalbasis von R n bilden.

26 Reelle symmetrische Matrizen Satz Für jede symmetrische Matrix A R n n gibt es eine orthogonale Matrix S R n n, so dass S T AS = D Diagonalgestalt hat.

27 Reelle symmetrische Matrizen Satz Für jede symmetrische Matrix A R n n gibt es eine orthogonale Matrix S R n n, so dass S T AS = D Diagonalgestalt hat. Die Eigenwerte von A stehen dabei mit ihren (algebraischen, geometrischen) Vielfachheiten auf der Diagonalen von D.

28 Reelle symmetrische Matrizen Satz Für jede symmetrische Matrix A R n n gibt es eine orthogonale Matrix S R n n, so dass S T AS = D Diagonalgestalt hat. Die Eigenwerte von A stehen dabei mit ihren (algebraischen, geometrischen) Vielfachheiten auf der Diagonalen von D. Die Spalten von S bilden eine Orthonormalbasis von R n aus Eigenvektoren von A.

29 Hermitesche Matrizen Definition Eine Matix A C n n heißt hermitesch, wenn A T = A ist.

30 Hermitesche Matrizen Definition Eine Matix A C n n heißt hermitesch, wenn A T = A ist. Satz Jede hermitesche Matrix A C n n ist diagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte.