Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 1: Grundlagen der algorithmischen Graphentheorie

Transkript

1 Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 1: Grundlagen der algorithmischen Graphentheorie Dipl-Math. Wolfgang Kinzner

2 Kapitel 1: Grundlagen der algorithmischen Graphgentheorie Asymptotisches Zählen Grundlagen der Graphentheorie Speicherung von Graphen Breiten- und Tiefensuche

3 Asymptotisches Zählen Es seien f, g : N R + 0 zwei Funktionen. Dann ist f(n) = O(g(n)) : c R + n 0 N n n 0 : f(n) cg(n), f(n) = Ω(g(n)) : c R + n 0 N n n 0 : f(n) cg(n), f(n) = o(g(n)) : c R + n 0 N n n 0 : f(n) cg(n), f(n) = Θ(g(n)) : c 1, c 2 R + n 0 N n n 0 : c 1 g(n) f(n) c 2 g(n).

4 Eigenschaften der Symbole f(n) f(n) = o(g(n)) lim n g(n) = 0. f(n) f(n) = O(g(n)) = lim n g(n) existiert. f(n) = O(g(n)) g(n) = Ω(f(n)). f(n) = Θ(g(n)) f(n) = O(g(n)) und f(n) = Ω(g(n)).

5 Übung 1 (Asymptotisches Zählen) Seien f, g : N R + 0 zwei Funktionen. Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? f(n) (a) f(n) = Θ(g(n)) = lim n g(n) <, (b) f(n) = o(g(n)) = f(n) = O(g(n)) und f(n) Θ(g(n)), (c) 1 n = o(nǫ ) für 0 < ǫ < 1. (d) n 2 + 5n 7 n+( 1) n ln n = Θ(n 2 ). (e) 10 n = O(2 n ). (f) Es gibt zwei Funktionen f, g, für die weder f(n) = O(g(n)) noch g(n) = O(f(n)) gilt.

6 Graph, Nachbarschaft, Grad Ein Graph ist ein Tupel G = (V, E), wobei V eine nicht-endliche Menge und E ( V 2) eine Teilmenge der zweielementigen Teilmengen von V ist. Die Elemente v V heißen die Knoten (auch Ecken, engl. vertices oder nodes), die Elemente aus e E die Kanten (engl. edges) von G. Die Nachbarschaft eines Knotens v V ist die Menge der Nachbarn von v. N(v) := {u V {u, v} E} Der Grad d(v) := deg(v) := N(v) eines Knotens v V zählt die Kanten, die im Graphen v berühren.

7 (Induzierter) Subgraph Ein Graph H = (W, F) heißt Subgraph eines Graphen G = (V, E), in Zeichen H G, falls W V und F E ( W) 2. Falls F = E ( W) 2, dann heißt H induzierter Subgraph von G. In diesem Fall ist G offensichtlich durch die Auswahl der Knoten W festgelegt und wir schreiben auch H = G[W].

8 Wege, Kreise, zusammenhängend, Baum, Wald Ein Graph heißt Weg der Länge n, wenn er isomorph ist zu P n := (V, E) mit V := {0,..., n} und E := {{i 1, i} i [n]}, für n N 0. Ein Graph heißt Kreis der Länge n, wenn er isomorph ist zu C n := (V, E) mit V := [n] und E := {{i, i + 1} i [n 1]} {n, 1}, für n N, n 3. Ein Graph G = (V, E) heißt zusammenhängend, wenn es für alle Knoten x, y V einen x, y-weg als Subgraph von G gibt. Ein Graph G heißt Wald, wenn er kreisfrei ist (d.h. kein Subgraph von G ein Kreis ist). Wenn G zusammenhängend und kreisfrei ist, dann nennt man G einen Baum.

9 Stabile Menge, k-färbbar, bipartit Sei G = (V, E) ein Graph. S V heißt stabile Menge, wenn G[S] keine Kanten hat. G heißt k-färbbar, wenn V die disjunkte Vereinigung von k stabilen Mengen ist. G heißt bipartit, wenn G 2-färbbar ist.

10 Übung 2 (Grundlagen Graphen) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? (a) Stabile Mengen sind Wälder, Wege sind Bäume. (b) Ein Graph ist genau dann ein Baum, wenn je zwei Knoten durch einen Weg verbunden sind. (c) Ein Graph mit n Knoten und n 1 Kanten ist ein Baum. (d) Ein Wald mit n Knoten und n 1 Kanten ist ein Baum. (e) Bäume und Wälder sind bipartit.

11 Repräsentation/Speicherung von Graphen (1) Sei G = (V, E) ist ein ungerichteter ungewichteter Graph mit V = [n] (d.h. V = n) und E = m. Adjazenzmatrix: a a 1n Matrix A = (a ij ) 1 i,j n =..... a n1... a nn { 1, falls {i, j} E, mit a ij = 0 sonst. {0, 1} n n Vorteil: Test, ob {v, w} Kante ist, kostet O(1) Zeit Nachteil: Adjazenzmatrix erfordert Θ(n 2 ) Speicher.

12 Repräsentation/Speicherung von Graphen (2) Adjazenzliste: Feld von n Listen, eine für jeden Knoten in V v v 1 v 2... v k... n... mit N(v) = {v 1, v 2,..., v k }. Vorteil: Kompakte Darstellung mit O(n + m) Speicher. Nachteil: Test, ob {v, w} Kante ist, kostet in schlechtestem Fall Ω(n) Zeit

13 Beispiel Adjazenzmatrix/Adjazenzliste Folie 1

14 Übung 3 (Adjazenzmatrix) Sei G ein ungerichteter Graph mit n Knoten, der durch seine Adjazenzmatrix A = (a ij ) R n n gegeben ist. Zeigen Sie, dass man mit einer Matrix-Multiplikation und O(n 2 ) weiteren Schritten überprüfen kann, ob G ein Dreieck besitzt.

15 Warteschlange, Abstand, Sphäre Eine Warteschlange Q (Queue) ist eine Folge von Elementen mit den beiden Operationen Enqueue(Q, u) Füge das Element u am Ende der Folge ein. v :=Dequeue(Q) Speichere das erste Element von Q als v ab und entferne es aus Q. Sei G = (V, E) ein Graph. Der Abstand zwischen zwei Knoten u, v ist definiert als dist(u, v) := min{k N : u, v-weg der Länge k}, falls so ein Weg existiert, und sonst. Sei k N 0 und u V. Die Knotenmenge S k (u) := {v V : dist(u, v) = k} wird als die k-te Sphäre um u bezeichnet.

16 Breitensuche-Algorithmus (BFS) Input: Graph G = (V, E), Knoten u V Output: Funktionen bekannt : V {0, 1}, abst : V N 0 { }, vor : V \ {u} V BFS(G, u) (1) Enqueue (Q, u) (2) bekannt[u] := 1, abst[u] := 0 (3) foreach w V \ {u}: bekannt[w] := 0, abst[w] := (4) while Q (5) v := Dequeue(Q) (6) foreach w N(v): bekannt[w] = 0 (7) Enqueue (Q, w) (8) bekannt[w] := 1 (9) abst[w] := abst[v]+1 (10) vor[w] := v

17 Funktionsweise Breitensuche Beginnt bei beliebigem Startknoten u V und läuft anschließend alle Sphären S k (u) ab. (k < ) Hat am Ende jeden Knoten w der Zusammenhangskomponente von u genau einmal besucht. (bekannt(w) = 1) Berechnet die Abstände aller Knoten w V von u. (abst[w] = dist(u, w)) Berechnet (minimale) u, w-wege in der Zusammenhangskomponente von u. (w, vor(w), vor(vor(w)),..., u) Berechnet einen Spannbaum F der Zusammenhangskomponente von u. (F = {{w, vor(w)} : w W \ {u}}) Laufzeit: O( V + F ) (F Kantenmenge der Zusammenhangskomponente von u)

18 Beispiel Breitensuche Folien 2

19 Tiefensuche-Algorithmus (DFS) Input: Graph G = (V, E), Knoten u V Output: Funktionen bekannt : V {0, 1} und vor : V \ {u} V DFS(G, u) (1) foreach v V (2) bekannt[v] := 0 (3) DFS-visit(u) Input: Knoten u V Output: Funktionen bekannt : V {0, 1} und vor : V \ {u} V DFS-visit(u) (1) bekannt[u] := 1 (2) foreach v N(u) if bekannt[v] = 0 do (3) vor[v] := u (4) DFS-visit(v)

20 Funktionsweise Tiefensuche: Beginnt bei beliebigem Startknoten u V und läuft anschließend so lange wie möglich einen Weg entlang (d.h. geht in die Tiefe). Anschließend wird das Verfahren gegebenenfalls beim Vorgängerknoten fortgesetzt usw. Hat am Ende jeden Knoten w der Zusammenhangskomponente von u genau einmal besucht. (bekannt(w) = 1) Berechnet einen Spannbaum F der Zusammenhangskomponente von u. (F = {{w, vor(w)} : w W \ {u}}) Kann allerdings keine Abstände zwischen Knoten berechnen. Laufzeit: O( V + F ) (F Kantenmenge der Zusammenhangskomponente von u)

21 Beispiel Tiefensuche Folie 3

22 Übung 4 (Breiten- und Tiefensuche (1)) Sei G ein zusammenhängender Graph. Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? (a) Der Baum, der durch Tiefensuche in G gefunden wird, hat immer Maximalgrad höchstens 3. (b) In dem Baum, der durch Breitensuche in G gefunden wird, kann es Knoten mit höherem Grad als 3 geben. (c) Liefern DFS und BFS denselben Spannbaum, dann war G bereits selber ein Baum. (d) Liefern DFS und BFS bei gleichem Startknoten denselben Spannbaum, dann war G bereits selber ein Baum. (e) In jedem Graphen mit mindestens zwei Knoten gibt es zwei Knoten v 1 v 2, die man als Startknoten von BFS bzw. DFS verwenden kann, so dass die Algorithmen den gleichen Spannbaum erzeugen. (f) In jedem bipartiten Graphen mit mindestens zwei Knoten gibt es zwei Knoten v 1 v 2, die man als Startknoten von BFS bzw. DFS verwenden kann, so dass die Algorithmen den gleichen Spannbaum erzeugen.

23 Übung 5 (Breiten- und Tiefensuche (2)) Sei G = (V, E) ein Graph mit V = n. Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? (a) Man kann mit DFS/BFS in O(n) testen, ob G kreisfrei ist. (b) Man kann mit DFS/BFS in O(n) testen, ob G zusammenhängend ist. (c) Man kann mit DFS/BFS in O(n) testen, ob G ein Baum ist. (d) Man kann mit DFS/BFS in O(n) testen, ob G bipartit ist.