Semestralklausur zur Vorlesung Mathematische Strukturen

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Franziska Gerhardt
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1 Name: Vorname: Matr.Nr: Universität Duisburg-Essen WS 2010/2011 Ingenieurwissenschaften / Informatik 14. Februar 2010 Dozentin: Prof. Dr. B. König Klausur Semestralklausur zur Vorlesung Mathematische Strukturen Hinweise: Es gibt 5 (fünf) Aufgaben, für die insgesamt 40 Punkte zu vergeben sind. Zur Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen 120 Minuten zur Verfügung. Die Klausur ist bestanden, wenn 50% der Punkte (also 20 Punkte) erreicht werden. Es darf ein handschriftlich beidseitig beschriebenes DIN-A4-Blatt als Hilfmittel benutzt werden. Ein Taschenrechner ist nicht erlaubt! Verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt. Schreiben Sie weder in roter noch in grüner Farbe noch mit Bleistift. Geben Sie bei allen Aufgaben den Rechenweg und die Zwischenergebnisse mit an.

2 Aufgabe 1 Endliche Körper (9 Punkte) Geben Sie bei jeder Teilaufgabe den Rechenweg und eine Begründung mit an! Betrachten Sie das Tupel (Z 7, + 7, 7), wobei gilt: Z 7 ist die Menge {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} + 7 : Z 7 Z 7 Z 7 ist eine Verknüpfung, für die gilt: a + 7 b = (a + b) mod 7 7 : Z 7 Z 7 Z 7 ist eine Verknüpfung, für die gilt: a 7 b = (a b) mod 7 (a) Begründen Sie, warum Z 7 ein Körper ist. (b) Berechnen Sie: (b.1) (b.2) ( ) (b.3) (c) Bestimmen Sie mit Hilfe einer diophantischen Gleichung das multiplikative Inverse von 3 in Z 7. (d) Wie lautet der Satz von Euler-Fermat und warum gilt nach diesem Satz folgende Gleichung? ( ) + ( ) mod 7 = 2 Aufgabe 2 Lineare Algebra & Vektorräume (6 Punkte) Geben Sie bei jeder Teilaufgabe den Rechenweg mit an! (a) Bestimmen Sie wieviele Lösungen das folgende Gleichungssystem über R hat (keine, genau eine, unendlich viele) und geben Sie eine Lösung an, falls es eine gibt. 4 x x 3 = 11 1 x x 3 = 10 1 x x x 3 = 15 (b) Gegeben ist die folgende Menge von Vektoren: 1 1 M = 2 0, 0 0, , a b c d Geben Sie passende Werte für a, b, c und d an, damit M eine Basis des R 4 wird und begründen Sie, warum es sich um eine Basis handelt.

3 Aufgabe 3 Kombinatorik an der Uni (8 Punkte) Geben Sie bei jeder Teilaufgabe eine kurze Begründung für Ihren Ansatz mit an! (a) Ein Student muss in seinem Studiengang 3 Vorlesungen aus dem Bereich Informatik hören. Es werden 5 Informatik-Vorlesungen angeboten. Wieviele mögliche Vorlesungs-Kombinationen gibt es, aus denen der Student wählen kann? (b) Für die Fachprüfung muss der Student festlegen, über welches der drei Fächer er 20 Minuten, über welches 15 und über welches 10 Minuten geprüft werden will. Wieviele mögliche Prüfungen gibt es, wenn der Student sich bereits auf die 3 Fächer festgelegt hat? Dabei ist die Reihenfolge der Prüfungen fest vorgegeben (erst 20, dann 15, dann 10 Minuten). (c) Jede Teilprüfung wird mit 1, 2, 3, 4 oder 5 bewertet (Schulnoten, keine Zwischenschritte). Wieviele mögliche Benotungen der drei Teilprüfungen gibt es? Dabei kommt es auf die Reihenfolge der Noten an. (d) Um die Prüfung zu bestehen, muss die erste Teilprüfung (20 Min.) mit 3 oder besser bestanden werden, die anderen beiden Teilprüfungen mit 4 oder besser. Wieviele mögliche Benotungen gibt es, mit denen man die Prüfung bestehen kann? Aufgabe 4 Funktionen (7 Punkte) Geben Sie bei jeder Teilaufgabe den Rechenweg mit an! Betrachten Sie folgende Funktionen: f : R R f(x) = x + 1 g : R R g(x) = x (a) Begründen Sie ausführlich, warum g nicht bijektiv ist. (b) Geben Sie Definitions-, Wertebereich und Funktionsterm von f g an. Lösen Sie die Klammern möglichst weit auf. (c) Geben Sie Definitions-, Wertebereich und Funktionsterm von f (g f) an. Lösen Sie die Klammern möglichst weit auf.

4 Aufgabe 5 Multiple Choice (10 Punkte) Kreuzen Sie zu jeder Aufgabe alle richtigen Aussagen und keine falsche Aussagen an. Nur dann bekommen Sie für die Aufgabe die volle Punktzahl. Bei jeder Aufgabe ist immer mindestens eine richtige Aussage dabei. Es kann also nicht vorkommen, dass Sie überhaupt kein Kreuz machen müssen. (a) G = (M, ) ist eine Gruppe und für alle g 1, g 2 aus M gilt: g 1 g 2 = g 2 g 1. G ist ein Monoid. G ist eine kommutative Gruppe. G ist ein Körper. (b) Damit man eine n n Matrix über dem Körper R invertieren kann, reicht es, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind.... eine Basis bilden.... ein Erzeugendensystem für den R n bilden. (c) Die diophantische Gleichung 10x 2y = 3 ist nicht lösbar weil? Der Faktor 10 keine Primzahl ist. 3 nicht durch den ggt von 10 und 2 teilbar ist. Ein Minuszeichen vorkommt. (d) Potenzmengen Es gibt Mengen A und B, so dass gilt: P(A) P(B) = { } Es gibt eine Menge A, für die gilt: P(A) = 5 Für alle endlichen Mengen A gilt: P(A) > A. (e) Wahrscheinlichkeiten Wenn man zwei faire Münzen wirft, ist die Wahrscheinlichkeit eine der Sequenzen (Kopf-Kopf) oder (Zahl-Zahl) zu erhalten genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit eine der Sequenzen (Kopf-Zahl) oder (Zahl-Kopf) zu erhalten. Wenn man bei k Münzwürfen die Reihenfolge beachtet, gibt es 2 k mögliche Ergebnisse. Bei einer unfairen Münze (Wahrscheinlichkeit Kopf: 0, 7, Wahrscheinlichkeit Zahl: 0, 3) ist bei zwei Würfen die Wahrscheinlichkeit für (Kopf-Zahl) gleich der Wahrscheinlichkeit für (Zahl-Kopf)

5 (f) Endliche Körper = 3 Für alle x {1, 2, 3, 4} gilt: x x 4 mod 5 = 1 Im Körper Z 13 gilt: Falls a das multiplikative Inverse von a ist, und b das multiplikative Inverse von b, dann ist (b 13 a ) das multiplikative Inverse von (a 13 b). (g) Welche der folgenden Vektormengen bilden eine Basis des R 2? {( ) ( )} 1 1, 0 1 {( ) ( ) ( )} 1 1 2,, {( ) ( )} 4 3, 1 3 (h) Jeopardy! Auf welche der folgenden Fragen kann die Antwort 13 sein? Geben Sie ein x an, so dass gilt: (14 x) mod 12 = 11? Geben Sie ein x an, so dass gilt: (x 2 1) mod 7 = 0? Wieviele Möglichkeiten gibt es, 3 aus 10 numerierten Kugeln aus einer Urne zu ziehen, wenn man die Kugeln nicht zurücklegt, es aber auf die Reihenfolge ankommt. (i) Gegeben sind zwei bijektive Funktionen f, g : R R f g ist die inverse Funktion von g f. f g ist surjektiv. g f ist nicht surjektiv. (j) Mengenlehre Seien A, B und C endliche Mengen: A B A + B Aus A B folgt: A B Aus A B und A C folgt A (B C)

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