2.2 Bestimmen Sie für folgende Funktionen die jeweilige Ableitungsfunktion mit Hilfe der
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- Gotthilf Knopp
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1 II Grlagen der Differentialrechnung Kurvendiskussion (Kapitel ) Schuljahr 7- FOS Kostenlose Funktionenplotter zur Überprüfung Ihrer Skizzen Ihrer Wertetabellen finden Sie zb auf matheplotterde (online im Browser) oder mathegrafide Bestimmen Sie für folgende Funktionen die jeweilige Ableitungsfunktion mit Hilfe der Ableitungsregeln erläutern Sie ausführlich Ihr Vorgehen a) f () b) f ( ) + c) f( ) d) f ( ) + e) f) f ( ) Bestimmen Sie für die folgenden beiden Funktionen die ersten drei Ableitungen: g) f ( ) + + h) 7 + f ( ) g( ) Die allgemeine Regel für die Ableitung von ganzrationalen Funktionen mit n n n f ( ) an + an + an + + a + a m lautet f n n n ( ) n an + (n )an + (n )an + + a (Das heißt beim Ableiten wird der Eponent um kleiner der neue Koeffizient ergibt sich durch die Multiplikation des alten Koeffizienten mit dem ursprüglichen noch nicht verkleinerten Eponenten) Hinweis: Die Vorzeichen im Funktionsterm ändern sich beim Ableiten nicht! Damit ergibt sich: a) f b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) + + e) f 7 ( ) + + f) f ( ) g) f ( ) + + ) f ( ) f ( ) h) g( ) g ( ) m g ( ) g ( ) m m Hinweis: Das m ist eine Variable für die jede beliebige Zahl eingesetzt werden kann Daher wird das m auch beim Ableiten wie eine weitere Zahl behandelt Bestimmen Sie für folgende Funktionen die jeweilige Ableitungsfunktion mit Hilfe der Ableitungsregeln erläutern Sie ausführlich Ihr Vorgehen a) f ( ) 7 b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) + e) f ( ) + f) f ( ) + 7 Lösung Die allgemeine Regel für die Ableitung von ganzrationalen Funktionen mit f ( ) a n n n n + an + an + + a + a n n n lautet: ) n an + (n )a n + (n )an + + a a) f ( ) 7 f ( ) da Ableitung einer konstanten Funktion b) f ( ) f ( ) da Ableitung einer linearen Funktion c) f( ) f ( ) alternativ: f ( ) auf Gr der Ableitungsregel für Differenzen sowie der Faktorregel der Ableitung einer linearen Funktion
2 d) f ( ) + + f ( ) ( ) + (Summenregel Differenzenregel Faktorregel Ableitung von konstanten Funktionen werden benutzt) e) f ( ) f ( ) ( ) + + alternativ: 7 f ( ) ( ) + + auf Gr der Ableitungsregel für Summen sowie der Faktorregel der Ableitung einer linearen Funktion f) f ( ) + Lösung: f ( ) + + (Summenregel Differenzenregel Faktorregel die Ableitungsregeln für lineare konstante Funktionen werden benutzt) Bestimmen Sie für folgende Funktionen alle sinnvollen Ableitungsfunktionen (bis sich als Ableitung Null ergibt) erläutern Sie ausführlich Ihr Vorgehen a) Bestimmen Sie für die Funktion f mit f ( ) -Werte bei denen der Graph der Funktion die Steigung Die Steigung wird mit Hilfe der ersten Ableitung bestimmt f( ) + ) + Die Stellen mit der Steigung + ( + ) m ergeben sich somit mit der Bedingung ( ) + + ( ) pq Formel ( ) alle m besitzt f An den Stellen 7 7 besitzt der Graph der Funktion f die Steigung m g + alle b) Bestimmen Sie für die Funktion g mit ( ) -Werte bei denen der Graph der Funktion die Steigung m 7 besitzt ( ) g + g ( ) + Bedingung: g ( ) 7 g) f ( ) + + f ( ) f ( ) + + f ( ) + f ( ) f ( ) g ( ) + m h) g ( ) g ( ) + m + m g ( ) + m g ( ) g ( ) g ( ) + m + m :( ) + ( ) + An den Stellen besitzt der Graph der Funktion g die Steigung m 7
3 Bestimmen Sie für die Funktion h mit + die h ( ) + a) Intervalle der -Achse in denen die Funktion f positive bzw mit negative Funktionswerte besitzt b) Intervalle der -Achse in denen die Funktion f eine positive bzw mit negative Lösung zu a) Steigung besitzt Begründen Sie jeweils Ihre Zuordnung Die Unterteilung der -Achse in die Intervalle erfolgt anhand der Nullstellen Be ( ) ausklammer n pq Forme + Somit ergeben sich die folgenden Intervalle: Lösung zu b) Die Unterteilung der -Achse in diese Intervalle erfolgt anhand der potentiellen Etremstellen Bed: ( ) h ( ) Ausklammern pq Formel + Somit ergeben sich die folgenden Intervalle: Intervalle Überprüfung Monotonie I ] ; [ ) ( ) + ( ) + 9 ( ) 7 Streng monoton fallend Intervalle Überprüfung Funktionswerte I I ] ; [ ( ) + ( ) + ( ) h ] [ ( ) + ( ) + ( ) ; h I ] ; [ ( ) + ( ) + ( ) h Positive Funktionswerte Negative Funktionswerte Positive Funktionswerte I ] [ ) ( ) + ( ) + 9 ( ) 9 ; I ] ; [ ) ( ) + ( ) + 9 ( ) ] ; + [ ) ( ) + ( ) + 9 ( ) 7 I Streng monoton wachsend Streng monoton wachsend Streng monoton fallend ] ; + [ ( ) + ( ) + ( ) I h 7 Negative Funktionswerte
4 h( ) + + die Bestimmen Sie für h mit Positive Funktionswerte () I ] ; [ () negative Funktionswerte + + Positive Funktionswerte g m i l I ] ; + [ ( ) Lösung zu a) I ] ; [ Begründen Sie jeweils Ihre Zuordnung ( ) + g Steigung besitzt g Intervalle der -Achse in denen die Funktion h eine positive bzw mit negative Funktionswerte b) I ] ; [ g Funktionswerte besitzt m i l Intervalle der -Achse in denen die Funktion h positive bzw mit negative Überprüfung / Begründung a) Intervalle Negative Funktionswerte + Bedingung: g ( ) Lösung zu b) NR ( ) ( ) ( + + ) Intervalle der -Werte mit positiver bzw mit negativer Steigung die Polynomdiv ision NR g : ( ) p q F ( ) + Bedingung: ( ) g ( ) + 7 p q Formel Intervalle ( ) ( ) 7 )+ Streng monoton + ( ) ( ) ( g I ] ; + [ + Streng monoton fallend wachsend ( + + ) : ( ) + + ( + ) )+ Monotonie + ( )+ ) g I ] ; [ ( ) ( + ( ) ( ) ( f ( ) () + () + () + + Überprüfung / Begründung g I ] ; [ NEBENRECHNUNG: einsetzen: + + : ( ) Streng monoton fallend
5 Gegeben ist die Funktion g mit g ( ) + a) Bestimmen Sie die Intervalle in die die -Achse durch die Nullstellen unterteilt wird begründen bzw belegen Sie für jedes Intervall ob die Funktion g dort positive oder negative Funktionswerte besitzt LÖSUNG b) Bestimmen Sie die (Teil-)Intervalle der -Achse in denen der Graph von g eine positive bzw negative Steigung besitzt (dh streng monoton steigt bzw streng monoton fällt) begründen bzw belegen Sie diese Eigenschaften jeweils für jedes Intervall Um die gesuchten Intervalle angeben zu können müssen die Etremstellen der Funktion bestimmt werden Um die gesuchten Intervalle angeben zu können müssen die Nullstellen der Funktion bestimmt werden Schnittstellen mit der -Achse Bedingung: f ( ) + ( + ) : ( ) ( 7) ( ) 7 7 ausklammern ( + ) Fallunterscheidung + pq Formel Etremstellen g ( ) + g ( ) + Bedingung: ) + ( + ) : ( ) ( + ) Fallunterscheidung + pq Formel ( ) ( ) ausklammern 9 Somit ergeben sich die folgenden Intervalle: Somit ergeben sich die folgenden Intervalle: Intervalle Überprüfung Verlauf Intervalle Überprüfung Verlauf I ] ; g ( ) ( ) ( ) + ( ) fällt I ] ; [ ( ) ( ) ( ) + ( ) g (+) ] [ g( ) ( ) ( ) + ( ) I ; (--) ] [ g ( ) ( ) ( ) + ( ) I ; steigt I ] ; 9 [ g ( ) ( ) ( ) + ( ) steigt I ] ; [ g ( ) ( ) ( ) + ( ) (+) ] ; + [ ( ) ( ) ( ) ( ) + I g (--) ] ; + [ g ( ) ( ) ( ) + ( ) I 9 fällt 9
6 7 Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + LÖSUNG a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( ) + a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f Der Graph der Funktion verläuft achsensymmetrisch zur y-achse da im Funktionsterm nur gerade Eponenten vorhanden sind b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f Es gilt: lim f ( ) lim f ( ) + gerade ( n ) sein Koeffizient negativ ist ( a ) da der höchste Eponent im Funktionsterm c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der y-achse: Bed f ( ( ) + ( ) ) also: S y ( / ) Schnittpunkt mit der -Achse: Bed f ( ) z z + 9 z z z z ( ) 9 z 9 9 ( ) Substitution : z pq Formel Rücksubstitution : : also: N( / ) N ( / ) N ( / ) N ( / ) d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f f ( ) + f ( ) + I Notwendige Bed: ) + ( + ) ( + ) : ( ) II Hinreichende Bed: überprüfen: ausklammern ( ) ( ) pq Formel z ) ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) Hier liegt ein (+/-)-VZW vor dh bei liegt ein HP
7 überprüfen: überprüfen: ) ) ( ) + ( ) + Hier liegt ein (-/+)-VZW vor dh bei liegt ein TP Gegeben ist die Funktion f mit f( ) a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f + Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-achse ) b) Erläutern Sie welche Grenzwerte die Funktion f besitzt ) ( ) + ( ) + Hier liegt ein (+/-)-VZW vor dh bei liegt ein HP lim f( ) lim + f( ) weil der höchste Eponent von der im Funktionsterm auftritt gerade ist (n ) sein Koeffizient negativ ist ( a ) f ( III Y-Koordinaten: ( ) + ( ) 9 + ) f ( ) c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den beiden Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der y-achse Bedingung: f ( ) ( ) + ( ) ( ) somit: ( / ) S y f ( ( ) + ( ) 9 + ) Somit ergeben sich die folgenden Punkte: HP ( ) TP ( / ) HP ( ) / / e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Schnittpunkte mit der -Achse Bedingung: f ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + pq Formel ( ) + also N ( ) N ( ) ( ) / / N /
8 d) Bestimmen Sie die Etrempunkte des Graphen der Funktion f Überprüfung von 7: f( ) + ) + ) ) ( ) + ( ) ( ) I notwendige Bedingung: ) + ( + ) + ( ) Bei 7 findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Hochpunkt vor III y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): + pq Formel f ( ) ( ) f( 7 ) ( 7 ) + ( 7 ) ( 7 ) f( 7) ( 7) + ( 7) ( 7) 9 9 II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Somit ergeben sich die Punkte: HP ( / ) TP( 7 / 9) HP ( 7 / 9 9 ) Überprüfung von : ) ( ) + ( ) ( ) ) ( ) + ( ) ( ) e) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f anhand der bisher bestimmten Punkte (Bezeichnen Sie alle benutzten Punkte) Y -*X^+*X^-*X^ y Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Hochpunkt vor Überprüfung von 7: ) ) ( ) + ( ) ( ) Bei 7 findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt - dh hier liegt ein Tiefpunkt vor
9 f) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit dem Graphen der Funktion g mit g ( ) + 7 I Schnittstellen bestimmen: Bed: f ( ) g( ) 9 Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f Symmetrieverhalten Hier liegt weder Achsensymmetrie zur y-achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor da sowohl gerade als auch ungerade Eponenten vorhanden sind ( + 7) ( + ) ausklammern : ( ) pq Formel b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f Grenzwertverhalten: Da der größte Eponent ungerade sein Koeffizient negativ ist gilt für die Grenzwerte: lim f ( ) + lim f ( ) + c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen ( ) + Schnittpunkt mit der y-achse f Bedingung: ( ) ( ) ( ) + ( ) somit: ( / ) S y II III y-koordinaten bestimmen f ( ( ) + ( ) ( ) ) ( ) + ( ) ( ) f( ) ( ) + ( ) ( ) f ( ) Punkte angeben: S ( / ) S( / ) S ( / 7 ) Schnittpunkte mit der -Achse Bedingung: f ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + pq Formel ( ) also N ( 7 ) N ( ) ( 7 ) / / N / 7
10 Etrempunkte: d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f ) ( ) ( ) + 7 ( ) (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: + 7 f ( ) + ) + 7 Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Notwendige + 7 Bed : ) ( + 7 ) ( + 7 ) : ( ) + auskl pq Formel Überprüfung von: ) ) ( ) ( ) + 7 ( ) Da ein (+/ )-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt ( ) + 7 (IV) Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: Bei können somit Etrempunkte vorliegen Um die y-koordinaten der Hoch- Tiefpunkte von f zu bestimmen setzt man stets die ermittelten -Werte in den Funktionsterm f ( ) der Ursprungsfunktion ein f ( ) ( ) ( ) + ( ) (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): Überprüfung von: ) ( ) ( ) + 7 ( ) ) ( ) ( ) + 7 ( ) f ( ) ( ) ( ) + ( ) Somit erhält man den Tiefpunkt TP( / ) den Hochpunkt ( ) H Da ein ( /+)-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt Überprüfung von: ) 9
11 e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Etrempunkte (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: Die Ableitungsfunktion lautet + ) (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Bed : ) ( + + ) ausklammern + ( ) binomische Formel ( + )( ) Die Nullstellen der Ableitungsfunktion sind bei hier können daher Etrempunkte vorliegen Um festzustellen ob dies auch der Fall ist betrachte ich die Werte der Ableitungsfunktion in der Umgebung der ermittelten Punkte Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + 7 Erläutern Sie das Lösung: Symmetrieverhalten das Grenzwertverhalten des Funktionsgraphen bestimmen Sie die Etrempunkte dieser Funktion Skizzieren Sie den Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse Berücksichtigen Sie dabei dass unter anderem N ( ) ( ) N / Schnittpunkte mit der -Achse von f sind / Symmetrieverhalten Achsensymmetrie zur y-achse da nur gerade Eponenten vorhanden sind Grenzwertverhalten: Da der größte Eponent gerade sein Koeffizient negativ ist haben wir lim f ( ) lim f ( ) + (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): Überprüfung von Betrachte die Ableitungen an den Stellen ) ( ) + ( ) ) ( ) + ( ) 7 Da ein (+/-) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt Überprüfung von: Betrachte die Ableitungen an den Stellen ) ( ) + ( ) ) + + Da ein (-/+) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunktpunkt
12 Überprüfung von Betrachte die Ableitungen an den Stellen ) ) + + Da ein (+/-) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt (IV) Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: Um die y-koordinaten der Hoch- Tiefpunkte von f zu bestimmen setze ich diese Werte in f ( ) ein erhalte f ( ) ( ) f () ( ) 7 f () Hoch- bzw Tiefpunkte sind damit: HP ( / 7 ) TP ( / ) ( / 7 ) Y -*X^+7*X^- y HP Gegeben ist die Funktion f mit f( ) + a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Lösung: Symmetrieverhalten Weder Achsensymmetrie zur y-achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung da sowohl gerade als auch ungerade Eponenten vorhanden sind Grenzwertverhalten: Da der größte Eponent gerade sein Koeffizient positiv ist haben wir lim f ( ) + lim f ( ) + + Schnittpunkt y-achse: Bed: f () + Damit ist der Schnittpunkt mit der y-achse S y ( / ) Schnittpunkt -Achse: Bed : f( ) + ( + ) ausklammern : pq Formel 7 7 Die Nullstellen sind damit N( 7/) N(/) N(7/ )
13 Etrempunkte: (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: Die Ableitung ist ) + Überprüfung von: 9 Betrachte die Ableitungen an den Stellen ) + + ) + + (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Notwendige Bed : ( + + ) ) ausklammern Da ein (-/+) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt (IV) Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: Um die y-koordinaten der Hoch- Tiefpunkte von f zu bestimmen setze ich die ermittelten Werte in f ( ) ein erhalte + ( ) + pq Formel f( 9 ) ( 9) + ( 9) ( 9) 9 + f () f( 9 ) Bei 9 9 können somit Etrempunkte vorliegen somit ergeben sich die Punkte TP ( 9 / ) HP ( / ) ( 9 / ) TP (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): Y (/ )*X^+X^-*X^ y Überprüfung von: 9 Betrachte die Ableitungen an den Stellen ) ( ) + ( ) ( ) ) ( ) + ( ) ( ) + + Da ein (-/+) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt Überprüfung von: Betrachte die Ableitungen an den Stellen ) ( ) + ( ) ( ) ) + + Da ein (+/-) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt
14 Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) 7 + a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: f ( ) 7 + ) 7 b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: LÖSUNG beiden Koordinatenachsen d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Notwendige 7 Bed : 7 ( ) ) + 7 : pq Formel Symmetrieverhalten Hier liegt weder Achsensymmetrie zur y-achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor da sowohl gerade als auch ungerade Eponenten vorhanden sind Grenzwertverhalten: Da der größte Eponent ungerade sein Koeffizient positiv ist gilt für die Grenzwerte: lim f ( ) lim f ( ) Bei 7 können somit Etrempunkte vorliegen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): Schnittpunkt y-achse: Bed: ( ) ( ) 7 ( ) f ( ) + Überprüfung von: 7 ) ( ) ( ) Damit ist der Schnittpunkt mit der y-achse S y ( / ) Schnittpunkt -Achse: Bed : f( ) ) ( ) ( ) Da ein (+/ )-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt 7 + Polynomdivision ( + ) ( + ) pq Formel Überprüfung von: ) 7 ) ( ) ( ) Die Nullstellen sind damit N ( / ) N ( / ) N ( / ) Da ein ( /+)-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt Etrempunkte: 7
15 (IV) Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: Um die y-koordinaten der Hoch- Tiefpunkte von f zu bestimmen setzt man stets die ermittelten -Werte in den Funktionsterm f ( ) der Ursprungsfunktion ein ( 7) ( 7) 7 ( 7) f ( 7) f ( ) ( ) ( ) 7 ( ) Somit erhält man den Hochpunkt HP ( 7 / 9) den Tiefpunkt ( / 7) TP Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Symmetrieverhalten Hier liegt weder Achsensymmetrie zur y-achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor da sowohl gerade als auch ungerade Eponenten vorhanden sind Grenzwertverhalten: Da der größte Eponent ungerade sein Koeffizient negativ ist gilt für die Grenzwerte: lim f ( ) + lim f( ) + Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: Schnittpunkt y-achse: f ( ) ( ) ( ) + ( ) Bed: Damit ist der Schnittpunkt mit der y-achse S y ( / ) Schnittpunkt -Achse: Bed : f ( ) + ( + ) ( + ) : ( ) ( ) ( ) 7 auskl + 7 pq Formel Somit ergibt sich: N( / ) N ( / ) N ( / ) 9
16 Etrempunkte: (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: f ( ) + ) + 7 Überprüfung von: ) ) ( ) ( ) + 7 ( ) (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Notwendige Bed : ) Da ein (+/ )-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt + 7 auskl ( + 7 ) ( + 7 ) : ( ) + pq Formel (IV) Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: Um die y-koordinaten der Hoch- Tiefpunkte von f zu bestimmen setzt man stets die ermittelten - Werte in den Funktionsterm f ( ) der Ursprungsfunktion ein f ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 7 + Bei können somit Etrempunkte vorliegen f ( ) ( ) ( ) + ( ) (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): Somit erhält man den Tiefpunkt TP( / ) den Hochpunkt ( / ) HP Überprüfung von: ) ( ) ( ) + 7 ( ) ) ( ) ( ) + 7 ( ) Da ein ( /+)-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt Überprüfung von: ) ( ) ( ) + 7 ( ) + 7 ) Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt
17 Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f Hier liegt eine Achsensymmetrie zur y-achse vor da nur gerade Eponenten vorhanden sind b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f Da der größte Eponent gerade sein Koeffizient positiv ist gilt für die Grenzwerte: lim f ( ) + lim f( ) + + c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen Nullstellen (- ) (- ) ( ) ( ) Schnittpunkt y-achse (; ) d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f Etrempunkte Minimum ( -7 ; - ) Maimum ( ; ) Gegeben ist die Funktion f mit f( ) a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Definitionsmenge Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR Minimum ( 7 ; - ) Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-achse
18 Grenzwertverhalten lim f( ) weil der höchste Eponent von der im Funktionsterm auftritt ungerade ist ( ) lim f( ) + Schnittpunkt mit der y-achse + n sein Koeffizient negativ ist ( ) a Bedingung: f ( ) somit: ( / ) S y II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von 7 : ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Bei 7 findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Hochpunkt vor Schnittpunkt mit der -Achse Bedingung: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + also N ( ) N ( ) ( ) / Ableitungen 7 Etrempunkte f( ) / N / pq Formel ) f ( ) I notwendige Bedingung: ) ALTERNATIV: Überprüfung von : ) ) ( ) ( ) ( ) Bei findet also kein Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt weder ein Hoch- noch ein Tiefpunkt vor (Hier könnte ein Sattelpunkt vorliegen) Überprüfung von : ) ) ( ) ( ) ( ) Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Tiefpunkt vor f ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) < also liegt hier ein HP vor ( ) :( ) pq Formel ( ) + 7 f ( ) ( ) ( ) ( ) also liegt hier weder ein TP noch ein HP vor Es könnte somit ein SP vorliegen (su) f ( ) ( ) ( ) ( ) 77 > also liegt hier ein TP vor
19 III y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f( ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) 9 7 ) f( ( ) ( ) ( ) ) Somit ergeben sich die Punkte: HP( 7 / 9) TP( / ) + Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Symmetrie Y (/ )*X^-*X^-*X^ y Grenzwertverhalten lim f( ) lim + f ( ) + auftritt ungerade ist (n ) sein Koeffizient positiv ist ( a ) weil der höchste Eponent von der im Funktionsterm Schnittpunkt mit der y-achse Bedingung: f() ( ) ( ) ( ) + somit: ( /) S y Schnittpunkt mit der -Achse Bedingung: f ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) + + ( ) : ( ) + p q Formel + also: N ( / ) ; N ( / ) N ( / ) 7
20 Ableitungen f() + 7 Wertemenge Wertetabelle Es gilt: lim f() lim f() + + das heißt es gilt: \W IR f () f () -Wert y-wert Etrempunkte I notwendige Bedingung: ) ( ) ( ) + ( ) p q Formel : Eigenschaften N HP S y N TP N Skizze des Graphen II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : f ( ) f () ( ) ( ) ( ) ( ) Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Hochpunkt vor Überprüfung von : f () f () ( ) ( ) Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Tiefpunkt vor III y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f( ) ( ) ( ) ( ) + 7 Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + f() ( ) ( ) ( ) + Somit ergeben sich die Punkte: HP( /) TP(/ ) a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-achse 9
21 b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f lim f( ) + lim f ( ) + weil der höchste Eponent von der im Funktionsterm auftritt ungerade ist (n ) sein Koeffizient negativ ist ( a ) c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen Nullstellen S (- ) S ( ) S ( ) Schnittpunkt y-achse Sy(; -) d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f Etrempunkte Minimum ( ; - ) Maimum ( ; ) Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + a) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen b) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f c) Bestimmen Sie für die Schnittpunkte der Funktion f mit der Funktion g wobei g die Funktionsgleichung g ( ) + besitzt Schnittpunkte mit der -Achse Bedingung: f ( ) + ( + ) ( + ) + ( ) also N ( ) N ( ) ( ) / / N / ausklammern pq Formel e) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse kennzeichnen bzw bezeichnen Sie alle bekannten Punkte Ableitungen f ( ) + f ( ) + f ( ) + Etrempunkte I notwendige Bedingung: )
22 + ausklammern ( + ) + + pq Formel ( ) 9 7 ALTERNATIV: (hinr Bed gesamt: P) f ( ) + ( ) + f ( ) > dh LK also liegt hier ein TP vor ( 9 ) ( 9 ) + 9 f ( 9 ) < dh RK also liegt hier ein HP vor ( 7) ( 7) + 7 f ( 7) > dh LK also liegt hier ein TP vor III y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : ) ( ) ( ) + ( ) ) ( ) ( ) + ( ) + 9 Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Tiefpunkt vor f ( f ( TP ( / ) ( ) ( ) + ( ) ) ( 9 ) ( 9 ) + ( 9 ) f ( 9 ) ( 7) ( 7) + ( 7) + 9 7) Somit ergeben sich die Punkte: ; HP( 9 / ) TP ( 7 / ) Überprüfung von 9: ) 9 ) ( ) ( ) + ( ) + 9 Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Hochpunkt vor Überprüfung von 7: ) ) ( ) ( ) + ( ) + Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt 9 Schnittstelle bestimmen: Bed: ( ) t ( ) t ( ) ( ) 9 + ( ) ( ) + + pq Formel ausklammern dh hier liegt ein Tiefpunkt vor
23 II y-koordinaten bestimmen: f ( ) f ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ) Schnittpunkt mit der -Achse: Bed f ( ) + : + 9 Substitution : z f( ( ) ( ) + ( ) + 9 ) z z + 9 z ( ) 9 pq Formel III Schnittpunkte angeben: z Somit ergeben sich die Schnittpunkte z 7 S ( ) S ( ) S ( / ) / / z z Rücksubstitution : z also: N( / ) N( / ) N ( / ) N ( / ) 9 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( ) + a) Erläutern Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f Der Graph der Funktion verläuft achsensymmetrisch zur y-achse da im Funktionsterm nur gerade Eponenten vorhanden sind d) Bestimmen die Etrempunkte des Funktionsgraphen von f f ( ) + ) I Notwendige Bed: ) b) Erläutern Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f Es gilt: lim f( ) lim f( ) + + da der höchste Eponent im Funktionsterm gerade ( n ) sein Koeffizient negativ ist ( ) a c) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit den beiden Koordinatenachsen ( Hinweis: Die Schnittstellen mit der -Achse sind: ) ( ) ( ) ausklammern : ( ) ( ) pq Formel Schnittpunkt mit der y-achse: Bed ( ) ( ) + f ( ) also: S ( / ) y
24 II Hinreichende Bed: 77 überprüfen: ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ) Hier liegt ein (-/+)-VZW vor dh bei 77 liegt ein TP e) Skizzieren Sie den Graphen von f bezeichnen Sie die von Ihnen benutzten Punkte y 7 77 ) ) ( ) ( ) Hier liegt ein (+/-)-VZW vor dh bei liegt ein HP ) ( ) ( ) ) Hier liegt ein (-/+)-VZW vor dh bei 77 liegt ein TP Y-Koordinaten: f( 77 ) ( 77 ) ( 77 ) f) Bestimmen Sie für die Schnittpunkte der Funktion f mit der Funktion g wobei g die Funkti- onsgleichung g ( ) 7 + besitzt () Schnittstellen bestimmen: Bed: f ( ) g( ) ( ) ( ) + f ( ) f( 77 ) ( 77 ) ( 77 ) Somit ergeben sich die folgenden Punkte: TP ( 77 / ) HP ( / ) TP ( 77 / ) ( ) ausklammern : pq Formel ( ) + 7
25 () y-koordinaten bestimmen: (durch Einsetzen der -Werte in die Funktionsgleichung) Nebenrechnung: f ( ( ) ( ) + + ) einsetzen: g ( ) ( ) 7 ( ) + + ( ) ( ) + f ( ) ( ) ( ) + + f ( ) ( 7 + ) ( + ) 9 + : ( + ) 9 + () Schnittpunkte angeben: Die Schnittpunkte sind: S ( ) S ( / ) ( / ) / S ( 9 ) + ( + ) g) Bestimmen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von g mit den beiden Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der y-achse: Bed ( ) 7 ( ) + g ( ) also: S ( / ) y Schnittpunkt mit der -Achse: Bed g ( ) 7 + ( + ) ( 9 + ) ( + ) 9 9 NR : Polynomdivision + pq Formel h) Geben Sie die Intervalle an in denen der Graph von g positive bzw negative Funktionswerte besitzt begründen Sie dies für jedes Intervall Intervalle Überprüfung Funktionswerte 7 I ] ; [ g( ) ( ) ( ) I ] [ g ( ) ; 7 I ] [ g( ) ( ) ( ) + + ; 7 ] ; + [ g ( ) ( ) ( ) + + I Negative Funktionswerte Positive Funktionswerte Negative Funktionswerte Positive Funktionswerte ( ) + i) Zeichnen Sie den Graphen von g - anhand Ihrer Ergebnisse aus den Aufgabenteilen f) bis h) in Ihre Skizze des Graphen von f ein (e) bezeichnen Sie die von Ihnen benutzten Punkte also: N( / ) N( / ) N ( / ) 9
26 a) Bestimmen Sie die Produktionsmenge bei der das Unternehmen den maimale Gewinn erzielt wird Stellen Sie sicher dass dort tatsächlich ein Maimum vorliegt geben Sie auch den zu erwartenden Gewinn (in Geldeinheiten GE) an Um die Produktionsmenge mit dem maimalen Gewinn zu erzielen muss ich das Maimum (den Hochpunkt) der Gewinnfunktion berechnen G ( ) + 9 (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: G ( ) + 7 (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Notwendige Bed: G ( ) : ( ) pq Formel 7 + Bei können somit Etrempunkte vorliegen Bei Herstellung Verkauf eines Produkts bezeichnet man mit den Produktions- Output bzw die am Markt abgesetzte (verkaufte) Menge (in Mengeneinheiten ME) Die Erlösfunktion E mit E( ) p bezeichnet den Erlös (oder Umsatz) den man bei der abgesetzten Menge dem Preis p erzielen kann Zieht man vom Erlös die Kosten K (in Abhängigkeit von der produzierten Menge ) ab so erhält man den Gewinn des Unternehmens in Abhängigkeit von der produzierten bzw abgesetzten Menge (angegeben in Geldeinheiten GE) Dabei gilt: G( ) E( ) K( ) [Gewinn Erlös (Umsatz) Kosten] Natürlich wollen die Unternehmen einen möglichst großen (maimalen) Gewinn erzielen Untersuchen wir nun ein Unternehmen das für seine Produktion die Erlösfunktion E mit E( ) die Kostenfunktion K mit K ( ) ermittelt hat Aus diesen beiden Funktionen wird die Gewinnfunktion G erstellt mit G ( ) + 9 Da keine negativen Stückzahlen produziert werden können zudem das Unternehmen eine maimale Produktionskapazität von ME besitzt gilt für die Definitionsmenge der drei Funktionen: [ ; ] ID (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): Überprüfung von: Betrachte die Ableitungen an den Stellen G () G () + 7 Da ein (-/+) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier Tiefpunkt Wir suchen aber einen Hochpunkt Überprüfung von: Betrachte die Ableitungen an den Stellen G () + 7 G () + 7 Da ein (+/-) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier Hochpunkt Es wäre für das Unternehmen optimal Mengeneinheiten des Produkts herzustellen
27 (IV) Der Gewinn liegt dann bei GE da G () + 9 a) Bestimmen Sie die Zeiträume (Intervalle) innerhalb des Definitionsbereiches ID in denen Kursverluste (dh negative Werte bei K () ) oder Kursgewinne (dh positive Werte) erzielt werden können weisen Sie dies für die jeweiligen Intervalle nach b) Weisen Sie rechnerisch nach dass die Kostenfunktion K kein (relatives) Maimum besitzt Wenn die Kostenfunktion K kein (relatives) Maimum besitzt bedeutet dies dass die notwendige Bedingung für ein Etremum ( Ableitung gleich Null ) für diese Funktion nicht erfüllt werden kann K ( ) b) Weisen Sie rechnerisch nach zu welchem Zeitpunkt die Kursentwicklung den LÖSUNG a) Bed : K( ) maimalen (größten) Kursgewinn erreicht bestimmen Sie wie hoch ist dieser Kursgewinn in Geldeinheiten ist? K () 7 + Notw Bed: K ( ) QED unlösbar ( ) : ( ) pq Formel Es gibt somit keine Lösung für die notwendige Bedingung das bedeutet dass es auch kein (relatives) Maimum geben kann + ( + ) + + ( ) ( ) ausklammern Fallunterscheidung : ( ) pq Formel Da die Gültigkeit dieser Analysen jeweils auf ein Jahr beschränkt ist gilt: ID [ ;] Somit ergeben sich die folgenden Intervalle: Intervalle Überprüfung Eigenschaft I ] [ K( ) ( ) + ( ) ( ) + ; Kursverluste Die Entwicklung des Aktienkurses der Firma Marien AG lässt sich durch die Funktion K mit + beschreiben Dabei gibt der K( ) y-wert der Funktion den Kursverlust oder Kursgewinn der Aktien in Geldeinheiten (GE) im Vergleich zum Ausgabewert zum Zeitpunkt an Der -Wert gibt den Zeitpunkt innerhalb des Jahres (in Monaten) an Da die Gültigkeit dieser Analysen jeweils auf ein Jahr beschränkt ist gilt: [ ;] ID I ] [ K ( ) ( ) + ( ) ( ) ; ] [ Kursgewinne I ; K ( ) + Kursverluste LÖSUNG b) Der Hochpunkt der Funktion K muss bestimmt werden Hierzu muss zuerst die Ableitungsfunktion bestimmt werden
28 K( ) I: notwendige Bedingung: K ( ) + K ( ) ( + 9 ) II Hinreichende Bedingung: VZW bei G () Überprüfung von + ( ) ausklammern Fallunterscheidung ( ) pq Formel Da bei solchen Anwendungsaufgaben eine Produktionsmenge von NULL nicht sinnvoll ist kann auf die Überprüfung dieses Wertes verzichtet werden Überprüfung von K ( ) K ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) + 9 ( ) + 9 ( ) ( ) 7 + Hier findet ein (-/+)VZW statt das bedeutet dass die Funktion hier einen Tiefpunkt besitzt Überprüfung von K ( ) K ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) 7 + ( ) + 9 ( ) ( ) + 9 Hier findet ein (+/-)VZW statt das bedeutet dass die Funktion hier einen Hochpunkt besitzt Man kann festhalten dass das Unternehmen bei einer Produktionsmenge von ME den maimalen Kursgewinn erzielt III y-koordinate des Hochpunktes bestimmen ( ) + ( ) ( ) K( ) Antwort: Nach einer Zeit von Monaten erzielt das Unternehmen den maimalen Kursgewinn in einer Höhe von 9 GE (Geldeinheiten) Bei der Kostenkalkulation einer Firma werden die Gesamtkosten durch die Kostenfunktion K ( ) + + dargestellt Die erzielten Erlöse werden durch die Erlösfunktion + E( ) beschrieben Die Gewinnfunktion G erhält man mit: G( ) E( ) K( ) Dies ergibt: G ( ) + + (Achtung: aus technischen Gründen kann maimal sein dh es gilt: [ ; ] ID ) a) Bestimmen Sie die Produktionsmenge bei der das Unternehmen den maimale Gewinn erzielt wird Stellen Sie sicher dass dort tatsächlich ein Maimum vorliegt geben Sie auch den zu erwartenden Gewinn (in Geldeinheiten GE) an b) Bestimmen Sie die Gewinnzone des Unternehmens (dh den Produktionsbereich bzw dasjenige Intervall - bei dem das Unternehmen positive - Gewinne erzielt) Geben Sie auch diejenigen Teilintervalle des Definitionsbereiches an in denen die Firma Verluste erzielt weisen Sie jeweils nach ob dort tatsächlich Gewinne bzw Verluste erzielt werden Lösung a) Hierzu muss zuerst die Ableitungsfunktion bestimmt werden G () + + G () + +
29 I: notwendige Bedingung: G ( ) Lösung b) + + ( ) ( ) : ( ) pq Formel Um die Gewinnzone zu bestimmen müssen die Nullstellen der Funktion bestimmt werden Da es sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handelt bei der ein Absolutanteil gegeben ist muss eine Polynomdivision durchgeführt werden Nebenrechnung G ( ) ( ) + ( ) + ( ) Linearfaktor : ( ) II Hinreichende Bedingung: VZW bei G ( ) Polynomdivision: Überprüfung von Da bei solchen Anwendungsaufgaben keine negativen -Werte zulässig sind (dies würde hier eine negative Produktionsmenge bedeuten!!!) kann auf die Überprüfung dieses Wertes verzichtet werden Überprüfung von ( + + ) ( + ) + ( ) ( ) : ( ) + + G ( ) G ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Hier findet ein (+/-)VZW statt das bedeutet dass die Funktion hier einen Hochpunkt besitzt Man kann festhalten dass das Unternehmen bei einer Produktionsmenge von ME den maimalen Gewinn erzielt III y-koordinate des Hochpunktes bestimmen G( ) ( ) + ( ) + ( ) Bed : G( ) ( ) ( Nebenrechnung + + ) + + ( ) ( ) : ( ) pq Formel Auf Gr des Ergebnisses aus Aufgabenteil a) das besagt dass das Gewinnmaimum bei liegt kann die Gewinnzone nur aus dem Intervall I ] ; [ bestehen Antwort: Bei einer produzierten Menge von ME erzielt das Unternehmen den maimalen Gewinn in einer Höhe von GE (Geldeinheiten) 7
30 Alternativ: Aus technischen Gründen kann maimal sein Somit ergeben sich die folgenden Intervalle: Intervalle Überprüfung Eigenschaft I ] [ ( ) ( ) + ( ) + ( ) ; G Verluste I ] [ ( ) ( ) + ( ) + ( ) + + ; G Gewinne I ] [ ( 9) ( 9) + ( 9) + ( 9) ; G Verluste (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Notwendige t ) ( 9 t t + ) ( ) Bed : 9 t t + t t + 7 ( ) : ( 9 ) pq Formel Bei 7 können somit Etrempunkte vorliegen (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen: (Vorzeichenwechsel VZW bei ) ) Ein Biologiekurs an einer Fachoberschule misst an einem Tag im Herbst die Oberflächentemperatur T eines nahe liegenden Sees Die Auswertung der Messwerte ergab dass der Temperaturverlauf für diesen einen Tag (das heißt für t [ ;] ) durch die Funktion f modelliert werden kann Dabei ist f(t ) ( ) t t + t (Hinweis: t ist die Zeit in Sten) a) Bestimmen Sie die maimale Temperaturdifferenz die an diesem Tag gemessen wurde Berücksichtigen Sie dabei auch die Randwerte des Definitionsintervalls b) Erläutern Sie warum beim Bestimmen der maimalen Temperaturdifferenz die Randwerte des Definitionsintervalls berücksichtigt werden müssen (ev mit Skizze) (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: ( f ( t) ) t t + t ( ) t ) 9 t t + f ( t) t 9 ( ) Überprüfung von: ( 9 ( ) ( ) + ) 9 ) ( 9 ( ) ( ) + ) ) Überprüfung von: 7 ) ( 9 ( ) ( ) + ) 7 ) Somit findet hier ein ( /+)-VZW statt das heißt hier liegt ein TP Somit findet hier ein (+/ )-VZW statt das heißt hier liegt ein HP 9
31 (IV) Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: mit f (t ) Um die y-koordinaten der Hoch- Tiefpunkte von f zu bestimmen setzt man stets die ermittelten - Werte in den Funktionsterm f ( t ) der Ursprungsfunktion ein f( ( ( ) ( ) + ( ) ) 7 ) ( ( 7 ) ( 7 ) + ( 7 ) ) f( 7 ) Somit erhält man den Tiefpunkt TP ( / 7 ) den Hochpunkt ( 7 / ) (V) Überprüfung auf Randetrema : HP Um zu überprüfen ob am Rande des Definitionsbereiches ein Randetrema vorliegt werden die y-werte der Ränder des Definitionsintervalls bestimmt mit den Werten der Hoch- Tiefpunkte verglichen ( ( ) ( ) + ( ) ) 7 f ( ) Um zu bestimmen nach welcher Zeit das Bobbycar am schnellsten bzw am langsamsten ist müssen die Hoch- Tiefpunkte der Funktion in dem Intervall ] ; [ I bestimmt werden Etrempunkte: (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: f ( ) + + ) 7 + (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: ( ( ) ( ) + ( ) ) f ( ) Damit liegt am rechten Rand ein absolutes Minimum vor Die maimale Temperaturdifferenz beträgt somit: t ma Notwendige Bed : ( ) ) : 7 pq Formel + 9 (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): Ein Bobbycar-Verein veranstaltet jedes Jahr ein Berg--Tal-Rennen Die Funktion f mit ( ) + + f stellt im Intervall ] ; [ I die Geschwindigkeit eines Renn-Bobbycars für die ersten fünf Seken nach dem Durchfahren einer Lichtschranke dar (s u) a) Bestimmen Sie nach welcher Zeit das Bobbycar am schnellsten bzw am langsamsten ist Überprüfung von: ) 7 ) 7 ( ) ( ) + ( ) ( ) Da ein (+/ )-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt 9
32 Überprüfung von: 9 ) ( ) ( ) ) 7 Da ein ( /+)-Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt 9 b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maimalen Beschleunigung die dabei erreichte Geschwindigkeit c) Zeichnen Sie die in a) b) ermittelten Punkte in der Grafik Abb (so) ein zu a) maimale Geschwindigkeit (Hochpunkt) bestimmen: (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: (IV) Antwort: h ( ) + + Nach Seken (beim Hochpunkt) erreicht das Bobbycar die höchste Geschwindigkeit nach 9 Seken (beim Tiefpunkt) erreicht das Bobbycar die niedrigste Geschwindigkeit (Die y-koordinaten müssen hier nicht ermittelt werden da nicht danach gefragt wurde wie hoch die jeweils erreichten Geschwindigkeiten sind) h ( ) + 9 h ( ) + 9 h ( ) ( für spätere Berechnungen) (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: b) Geben Sie die Zeitintervalle an in denen das Bobbycar beschleunigt bzw abgebremst wird Das Bobbycar beschleunigt so lange bis es seine höchste Geschwindigkeit erreicht das heißt bis zum Hochpunkt Nach dem Hochpunkt wird es langsamer (bremst ab) bis es den Tiefpunkt erreicht Danach beschleunigt es erneut (wird wieder schneller) Dabei ist zu beachten dass die Definitionsmenge auf das Intervall I ] ; [ beschränkt ist Zudem wird jeweils am Hoch- bzw Tiefpunkt nicht weiter beschleunigt bzw abgebremst (die Beschleunigung beträgt dort Null) Auf Gr der Ergebnisse aus a) ergeben sich folgende Intervalle: Intervalle in denen beschleunigt wird Intervalle in denen abgebremst wird I ] ; [ I ] 9 [ I ] ; 9 [ ; Notwendige + 7 Bed : h ( ) pq Formel : ( ) Bei können somit Etrempunkte vorliegen (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen: (Kurvenverhalten mit h ( ) Überprüfung von: ( ) + 9 h ( ) > Somit liegt hier ein Tiefpunkt überprüfen) Der bereits bekannte Bobbycar-Verein möchte wissen welche Beschleunigung die Bobbycars erreichen können Die maimale Beschleunigung wird auf dem Streckenabschnitt erreicht den die Bobbycars im Zeitraum von bis Seken durchfahren Die dort erreichte Geschwindigkeit kann mit der Funktion h mit h ( ) + + näherungsweise dargestellt werden Die Beschleunigung entspricht dabei der Ableitung der Funktion h a) Bestimmen Sie die maimale Geschwindigkeit für den obigen Zeitraum Überprüfung von: (Da der Wert der Ableitung hier größer als Null ist befindet sich die zu überprüfende Stelle in einer Linkskurve Dies bedeutet dass hier nur ein TP vorliegen kann ( ) + 9 h ( ) < Somit liegt hier ein Hochpunkt (Da der Wert der Ableitung hier kleiner als Null ist befindet sich die zu überprüfende Stelle in einer Rechtskurve Dies bedeutet dass hier nur ein HP vorliegen kann
33 (IV) Bestimmung der maimalen Geschwindigkeit: mit h ( ) + + Um die maimale Geschwindigkeit zu bestimmen setzt man die Stelle der maimalen Geschwindigkeit in die Ausgangsfunktion ein Die Geschwindigkeit beträgt dabei: h ( ) ( ) + ( ) ( ) Stenkilometer h() () + () () Die maimale Geschwindigkeit wird nach sec erreicht beträgt km/h Zu b) maimale Beschleunigung bestimmen Die Beschleunigung entspricht wie in der Aufgabenstellung angegeben der ersten Ableitung Die maimale Beschleunigung erfolgt somit dort wo die erste Ableitung ihren höchsten Wert hat Somit muss hier der Hochpunkt der ersten Ableitung bestimmt werden Der Hochpunkt der ersten Ableitung ist aber wie man auch den Graphen aus Aufgabe entnehmen kann an der gleichen Stelle wie der Wndepunkt der Funktion f Letztlich muss also zur Lösung dieser Aufgabe der Wendepunkt der Funktion f bestimmt werden Dort liegt die höchste Steigung vor (die Tangente dort verläuft am steilsten ) (I) notwendige Bedingung für Wendestellen: Notwendige Bed : h ( ) : ( ) Bei könnte ein Wendepunkt vorliegen 9 (II) hinreichende Bedingung für Wendestellen: (Kurvenverhalten mit h ( ) Überprüfung von: h ( ) Somit liegt hier ein Wendepunkt überprüfen) (Da der Wert der Ableitung hier kleiner als Null ist hat die Ableitung vor dieser Stelle einen negativen Wert nach dieser Stelle einen positiven Wert Daher liegt vor 7 eine Linkskurve danach eine Rechtskurve dh die Beschleunigung ist dort maimal In ein Krankenhaus wird ein Patient eingeliefert der von einem Virus befallen ist der ein starkes Fieber verursacht Die Fieberkurve (Körpertemperatur in C) des Patienten (in Abhängigkeit von der Zeit in Sten) kann näherungsweise durch den folgenden Funktionsterm beschrieben werden: f () Diese Näherung gilt nur für positive -Werte ( > ) bezogen auf die ersten Sten Durch die Behandlung mit einem fiebersenkenden Medikament erreicht die Körpertemperatur einen Maimalwert sinkt danach auf die Normaltemperatur ab a) Welchen Maimalwert erreicht die Fieberkurve in ihrem Gültigkeitsbereich nach wie vielen Sten ist dies der Fall? An den Wendepunkten der Kurve steigt fällt das Fieber am stärksten Man geht davon aus dass von demjenigen Wendepunkt an bei dem das Fieber fällt das Fieber linear weiterfällt zwar sinkt es entsprechend dem Verlauf der Wendetangente
34 b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte dieser Funktion erläutern Sie die jeweilige Bedeutung dieser Wendepunkte im Sachzusammenhang Lösung zu a) Der Maimalwert wird am (höchsten) Hochpunkt der Kurve erreicht Somit müssen die Hochpunkte der Kurve bestimmt werden I notwendige Bedingung: ) f ( ) + + ( + ) + ( ) + pq Formel ( 7 ) 7 7 : Überprüfung von : ) ( ) ( ) + ( ) 7 + ) Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Tiefpunkt vor Der Maimalwert wird also bei dh nach Sten erreicht Um zu ermitteln wie hoch dieser Wert ist muss der zugehörige y-wert berechnet werden III y-koordinate bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): ( ) ( ) + ( ) f ( ) Antwort: Die Fieberkurve erreicht somit nach Sten ihren Maimalwert Dieser beträgt C Lösung zu b) II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ) Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt I notwendige Bedingung: f ( ) f ( ) + + : ( ) + pq Formel ( ) dh hier liegt ein Tiefpunkt vor Überprüfung von : ) ) ( ) ( ) + ( ) Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Hochpunkt vor II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : ( ) ( ) + f ( ) f ( ) ( ) ( ) + + Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Wendepunkt vor Es findet ein Wechsel von einer LK zu einer RK statt 7
35 Überprüfung von 79: + :( ) f ( ) + pq Formel ( ) ( ) + + f ( ) I notwendige Bedingung: f ( ) ( ) ( ) Bei 79 findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt 9 dh hier liegt ein Wendepunkt vor Es findet ein Wechsel von einer RK zu einer LK statt III y-koordinate bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f ( f ( ) 9 7 9) 7 79 ( ) ( ) + ( ) ( 7 9) ( 7 9) + ( 7 9) Somit ergibt sich die Punkte WP ( / 9 ) ( 7 9 / 9 ) WP Beim WP findet ein Wechsel von einer LK zu einer RK statt dort steigt der Graph also Da dort ein WP vorliegt ist dort die Steigung maimal (ein WP ist HP bzw TP der Ableitung dh dort ist die Steigung maimal bzw minimal) II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von - : f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Wendepunkt (Übergang RK/LK) vor Überprüfung von : f ( ) f ( ) ( ) ( ) Beim WP findet ein Wechsel von einer RK zu einer LK statt dort fällt der Graph also Da dort ein WP vorliegt ist dort ein TP der Steigung Dies bedeutet dass dort das Fieber am stärksten fällt Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt dh hier liegt ein Wendepunkt (Übergang LK/RK)vor III y-koordinaten der Wendepunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f ( ) ( ) ( ) + ( ) Bestimmen Sie für die Funktion f mit Koordinaten der Wendepunkte die f ( ) + f ( ) ( ) ( ) + ( ) + Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: Bestimmung der Wendepunkte: Es gilt: ) + f ( ) + WP( / 9 ) WP ( / ) 9 7
36 Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte der Funktion f mit f( ) + (III) hinreichende Bedingung für Wendestellen: (Kurvenverhalten mit f ( ) Überprüfung von: f ( ) + 9 überprüfen) (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: f ( ) + f ( ) ( ) + ( ) Somit liegt hier ein Wendepunkt ) f ( ) (Da der Wert der Ableitung hier größer als Null ist hat die Ableitung vor dieser Stelle einen negativen Wert nach dieser Stelle einen positiven Wert Daher liegt vor 7 eine Rechtskurve danach eine Linkskurve f ( ) + 9 Überprüfung von: (II) notwendige Bedingung für Wendestellen: Notwendige + ( ) ( Bed : f ( ) ) : NR pq Formel Nebenrechnung: Zum Ermitteln der Wendestellen ist hier eine Polynomdivision erforderlich da der Grad der zu untersuchenden Funktion f () größer als zwei ist die Möglichkeit des Ausklammerns auf Gr des Absolutanteils - entfällt f () ( ) + ( ) 9 ( ) + 7 Also ist der Linearfaktor: ( ) Polynomdivision: ( + 9 ) ( ) + 9 ( ) ( ) : ( ) + + f ( ) ( ) + ( ) 9 9 Somit liegt hier ein Wendepunkt Überprüfung von: (Da der Wert der Ableitung hier kleiner als Null ist hat die Ableitung vor dieser Stelle einen positiven Wert nach dieser Stelle einen negativen Wert Daher liegt vor eine Linkskurve danach eine Rechtskurve f () () + () Somit liegt hier ein Wendepunkt Alternativ: (Da der Wert der Ableitung hier größer als Null ist hat die Ableitung vor dieser Stelle einen negativen Wert nach dieser Stelle einen positiven Wert Daher liegt vor 7 eine Rechtskurve danach eine Linkskurve (III) hinreichende Bedingung für Wendestellen (Vorzeichenwechselkriterium): f ( ) + Überprüfung von f ( ) f ( ) 9 ( ) + ( ) 9 ( ) ( ) + ( ) 9 ( ) Da ein (-/+)-Vorzeichenwechsel vorliegt eistiert hier ein RK-LK-Übergang somit liegt ein Wendepunkt vor 7
37 Überprüfung von f ( ) f () ( ) + ( ) 9 Da ein (+/-)-Vorzeichenwechsel vorliegt eistiert hier ein LK-RK-Übergang somit liegt ein Wendepunkt vor Überprüfung von: f ( ) f () ( ) + ( ) Da ein (-/+)-Vorzeichenwechsel vorliegt eistiert hier ein RK-LK-Übergang somit liegt ein Wendepunkt vor (IV) Bestimmung der Koordinaten der Wendepunkte: mit f ( ) + Um die y-koordinaten der Wendepunkte von f zu bestimmen setzt man stets die ermittelten -Werte in den Funktionsterm f ( ) der Ursprungsfunktion ein f ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) 9 f ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) f () () + () () () () 7 Somit erhält man die Wendepunkte WP ( /9 ) WP ( / ) ( / 7 ) 7 WP 9 Bestimmen Sie die Etrempunkte die Wendepunkte der Funktion f mit f( ) Etrempunkte: + Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer Ergebnisse der Nullstellen N ( ) N ( ) ( ) (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: Die Ableitungsfunktion lautet / (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Bed : ) ( + + ) / ) + + ( 7 ) + 79 ausklammern (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen pq Formel Hier können zwei gleichwertige Alternativen benutzt werden! N Es besteht weiterhin die Möglichkeit die Steigung mit dem Vorzeichenwechselkriterium der ersten Ableitung zu überprüfen das in den bisherigen Aufgaben (A9 A) zum Nachweis von Hoch- oder Tiefpunkten verwendet wurde Man kann aber auch den Nachweis eines Hoch- oder Tiefpunktes anhand des Kurvenverhaltens des Graphen führen Das Kurvenverhalten kann mit der zweiten Ableitung überprüft werden hinreichende Bedingung für Etremstellen (Vorzeichenwechselkriterium): mit ) + Überprüfung von 9 ) ( ) ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + + ( ) Da ein (-/+) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt / Kriterium mittels zweiter Ableitung (Kurvenverhalten) ( f ( ) ) mit f () + Überprüfung von 9 f ( 9) 7 ( 9 ) + ( 9 ) Da f ( 9) > liegt hier eine Linkskurve Daher kann hier nur ein Tiefpunkt vorliegen
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