Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration

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1 Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d = cosh + C cosh d = sinh + C d = rctn + C + d = Artnh + C f () f()d = (f()) + C z. B: cos sin d = sin + C f () + 5 d = ln f() + C z. B: f() d = ln C sin oder tn d = d = ln cos + C cos Diese und viele weitere nützliche Integrle finden sich uf Tbellen in Formelsmmlungen. Mit diesen Tbellen knn mn sich oft sehr viel rechenufwnd erspren! Prtielle Integrtion Produkte von Funktionen lssen sich oft prtiell integrieren u () v()d = u() v() u() v () d b u () v() d = [u() v()] b u() v () d b Crmeri, Grss

2 Beispiel : v cos() u d = sin() sin() d = sin() + cos() + C Beispiel: (Trick: Gleichung für ds Integrl) sin d = sin u sin Drus folgt die Gleichung v d = cos sin + cos d = cos sin + ( sin )d sin d = cos sin + sin d und dmit sin d = cos sin + sin d = ( sin cos ) + C Beispiel: (Trick: mit multiplizieren) rctn d = rctn u v d = rctn() + d = rctn() + = rctn() ln( + ) + C Integrtion durch Substitution Die Integrtion durch Substitution funktioniert, indem mn einen geeigneten Term in (d.h. ein Term, welcher ls Vrible enthält) durch einen geeigneten Term in u ersetzt. Um zu sehen ws geeignete Terme sind, brucht es etws Übung. Mn knn ber die folgende Tbelle ls Hilfestellung verwenden: Crmeri, Grss

3 Wichtig ist jeweils, dss nch der Substitution ds komplette Integrl nur noch von u bhängt, lso kein mehr enthält. Ausserdem muss uch ds d durch einen Term mit u ersetzt werden. Dies knn mn uf zwei verschiedene Arten tun. (siehe Beispiele unten). Bei einem bestimmten Integrl müssen uch die Integrtionsgrenzen ngepsst werden. Beispiel : cos( + ) d =? Eine Substitution funktioniert oft gut, wenn die Ableitung des Terms, den mn substituieren will, im Integrnd vorkommt. Dieser kürzt sich dnn nchher oft rus. Bei diesem Beispiel versuchen wir die Substitution u() +. Dss dies eine gute Idee sein könnte, sieht mn drn, dss die Ableitung u () = ein Vielfches von dem Term ist, der im Integrnd schon vorkommt. Es gibt nun zwei Vrinten ds d zu ersetzten:. Vrinte: u () = du d berechnen u() = + Ableiten nch : u () = du du = d = d. Vrinte: (u) = d du berechnen u() = + Umkehrfunktion: (u) = u Ableiten nch u: (u) = d du = = du d = u = Die zweite Vrinte ist jetzt bei diesem Beispiel unnötig kompliziert. Es gibt ber Integrle, bei denen diese einfcher ist. Setzt mn die Substitutionen in ds ursprüngliche Integrl ein, so erhält mn: cos( + ) d = cos(u) du =d = sin u cos u du = = sin ( + ) Wäre nun ds bestimmte Integrl cos( + )d gesucht, knn mn entweder die gleichen Integrtionsgrenzen (lso bis ) erst nch der Rücksubstitution einsetzen, oder mn knn die Integrtionsgrenzen der Substitution npssen und muss dnn nichts mehr Rücksubstituieren. Mit Rücksubstitution: cos( + ) d = [ sin( + ) ] = sin(6) sin() + C 3 Crmeri, Grss

4 Mit Grenzen npssen: u() = + untere Grenze: u() = + = obere Grenze: u() = + = 6 cos( + ) d 6 = cos u du = 6 cos u du sin u = [ ] 6 = sin(6) sin() Ein zweites etws komplizierteres Beispiel: Mn soll folgendes Integrl ohne Integrltbelle lösen. 4 d =? Bei solchen Wurzeln ist die Idee, dss mn unter der Wurzel sows wie sin u = cos u, + sinh u = cosh u oder cosh u = sinh u zu stehen bekommt. Dvon knn mn dnn leicht die Wurzel ziehen, und ds Integrl wird lösbr. Zunächst formen wir ein wenig um: 4 d = 4 ( 4 ) d = 4 d Nun substituieren wir: 4 = cosh (u) bzw. = cosh u BEMERKUNG: Diese Substitution wird für unser Integrl uch von obiger Tbelle vorgeschlgen. Hier geht nun die Berechnung von d einfcher mit d du ls mit : du d Ableiten von = cosh u nch u ergibt: (u) = d = sinh u d = sinh u du 4 =cosh u d sinh u du = cosh u =sinh u du sinh u du = 4 sinh u du Dieses Integrl knn dnn durch prtielle Integrtion und mithilfe von cosh u sinh u = gelöst werden: sinh u u sinh u v du = cosh u sinh u cosh u du = cosh u sinh u ( + sinh u) =cosh u du Formt mn diese Gleichung um, so erhält mn: sinh u du = cosh u sinh u du = cosh u sinh u u + C Dmit folgt für unser Integrl 4 d = 4 sinh u du = cosh u sinh u u + C Die Rücksubstitution ergibt 4 d = cosh (Arcosh ( ) ) sinh (Arcosh ( )) Arcosh ( ) + C =u = sinh (Arcosh ( )) Arcosh ( ) + C Dies ist eigentlich schon eine Lösung. Wenn mn Zeit und Lust ht, knn mn ds Ergebnis noch etws umformen. Dfür verwenden wir folgende zwei Beziehungen: 4 Crmeri, Grss

5 Arcosh() = ln ( + ) cosh sinh = sinh (Arcosh ( )) = cosh ( ) = 4 Setzen wir diese Beziehungen in die Lösung von oben ein, erhlten wir sinh (Arcosh ( )) Arcosh ( ) + C = 4 ln ( + ) + C 4 = 4 ln ( ( + 4)) + C = 4 ln ( + 4) ln ( ) + C C (neue Konstnte) = 4 ln ( + + 4) + C Integrtion von gebrochenrtionlen Funktionen Gebrochenrtionle Funktionen sind Brüche, deren Zähler und Nenner Polynome sind. Um diese zu Integrieren sollte mn folgendes Schem verwenden:. Ist der Grd des Zählerpolynoms höher oder gleich dem Grd des Nennerpolynoms, so muss zuerst eine Polynomdivision durchgeführt werden. Dnch ds Polynom so weit wie möglich in Prtilbrüche zerlegen 3. Diese Prtilbrüche können dnn (evtl. durch Substitutionen, Ausklmmern oder ndere Umformungen) uf eine der folgenden Stndrdintegrle zurückgeführt werden: d = ln + C d = rctn + C bzw. + + d = rctn ( ) + C; d = Artnh + C bzw. d = Artnh ( ) + C d = s s + C (für s ) s + b + c d = + b rctn ( + C c b c b) (Diese Letzte Formel gilt nur, wenn b c < + b + c keine reelle Nullstelle ht. ) Prtilbruchzerlegung Um eine Prtilbruchzerlegung durchzuführen, muss zuerst der Nenner in Linerfktoren zerlegt werden. Dies bedeutet mn muss lle Nullstellen des Nenners finden. Dbei knn es sein, dss mn eine Nullstelle errten muss und die restlichen mit Polynomdivision findet. Dnch mcht mn je nch Art der Nullstellen die folgenden Ansätze für die Prtilbruchzerlegung: 5 Crmeri, Grss

6 ( 3)( 4) = Bei mehrfchen Nullstellen: ( 3) 3 ( 4) = A 3 + B 4 A 3 + B ( 3) + C ( 3) 3 + D 4 Flls es komplee Nullstellen gibt lässt mn im Nenner den qudrtischen Term stehen. Für den Zähler muss dnn ein Anstz A + B gemcht werden ( + + 5)( 3) = Oder Flls mehrfche: A + B C 3 ( + + 5) ( 3) = A + B C + D ( + + 5) + E 3 usw. Beispiel: d =? Zunächst müssen wir lle Nullstellen von finden. D wir für Polynome 3. Ordnung keine llgemeine Lösungsformel hben, müssen wir mindestens eine Nullstelle errten. Einige Tipps zum errten von Nullstellen: Oft ist - oder eine Nullstelle. Flls es weitere gnzzhlige Nullstellen gibt, sind diese immer Teiler des Konstnten Glieds des Polynoms (hier lso Teiler von 9). Wir würden für dieses Polynom lso zuerst ml -,, -3, 3,-9 und 9 ls Nullstellen usprobieren. Wir sehen dnn durch einsetzen dss und 3 ttsächlich Nullstellen sind. Die dritte Nullstelle knn dnn z.b. durch Polynomdivision gefunden werden: ( 3)( ) = ( ) ( 4 + 3) = ( 3) 3 ist lso eine doppelte Nullstelle. Die Fktorisierung des Nenners lutet: = ( )( 3). Der Anstz für die Prtilbruchzerlegung ist dmit + ( )( 3) = A + B 3 + C ( 3) Um die Konstnten A, B und C zu bestimmen bringt mn zunächst lle Brüche uf den gleichen Nenner + ( )( 3) = A( 3) B( )( 3) + ( )( 3) ( )( 3) + C( ) ( )( 3) Drus folgt dnn die Gleichung + = A( 3) + B( )( 3) + C( ) Um drus A, und C zu bestimmen gibt es folgende zwei Möglichkeiten: Möglichkeit : Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich Ausmultiplizieren und Zusmmenfssen der Terme Gleicher Potenz bei obiger Gleichung ergibt + = (A + B) + ( 6A 4B + C) + (9A + 3B C) 6 Crmeri, Grss

7 vergleicht mn jeweils die Terme mit, und die Konstnten Terme links und recht ergibt sich ds Gleichungssystem A + B = 6A 4B + C = 9A + 3B C = Dieses ht die Lösung A =, B = c = Möglichkeit : Geeignete Werte für einsetzten Unsere Gleichung + = A( 3) + B( )( 3) + C( ) muss für lle Werte von erfüllt sein. Oft bekommt mn sehr einfche Gleichungen wenn mn geschickte Werte für einsetzt. Geschickte Werte sind meist die Nullstellen des Nennerpolynoms (d dnn viel wegfällt). Weitere geschickte Werte sind einfche Werte wie oder. Für = 3 wird die Gleichung zu: 4 = C C = Für = wird die Gleichung zu: = A ( ) = 4A A = Und für = erhlten wir = 9A + 3B C = 9 + 3B B = BEMERKUNG: Die. Vrinte ist oft deutlich weniger rechenufwendig, d nicht usmultipliziert und kein Gleichungssystem gelöst werden muss. Für unser Integrl folgt schlussendlich d = ( 3 + ( 3) ) d = ln ln C Beispiel: Ht mn einen qudrtischen Term der sich nicht weiter fktorisieren lässt (=komplee Nullstelle) so hilft oft die Identität d = rctn + ( ). Meist muss mn vorher noch etws umformen und substituieren. + 3 d = ( ) + d Nun substituieren wir =, leiten b du = und erhlten du = d. Dmit wird ds Integrl zu ( ) + d = u + du d Jetzt können wir die Formel d = rctn + ( ) mit = und = u verwenden. u + du = rctn ( u ) + C = rctn ( ) + C BEMERKUNG: Dieses Integrl geht uch schneller mit der oben ufgelisteten Formel + b + c d = + b rctn ( + C c b c b) 7 Crmeri, Grss

8 Beispiel: Flls im Zähler nicht nur eine Konstnte steht, sondern irgendws nerviges mit, können Umformungen wie die im folgenden Beispiel hilfreich sein. + d =? + 3 Bei solchen Integrlen versuchen wir zuerst den Zähler so herzurichten, dss ein Teil dvon der Ableitung des Nenners entspricht, so dss wir die Formel f () d = ln f() verwenden können: d = d = d = [ + 3 d Integrl d ] Integrl Integrl knn mit f () d = ln f() berechnet werden. Integrl wird nlog zum vorherigen Beispiel berechnet. f() Integrl = + 3 d = ln( + 3) 4 Integrl = + 3 d = 4 ( ) + d = 4 rctn ( ) Drus folgt für die Gesmtlösung d = [Integrl + Integrl] = ln( + 3) + rctn ( ) + C f() Beispiel: Wenn der Grd des Zählerpolynoms Grd des Nennerpolynoms ist, muss zuerst Polynomdivision durchgeführt werden. + d =? + 3 Polynomdivision: ( + ) ( + 3) = ( + + ) d = d = + ln( + 3) + C 8 Crmeri, Grss

9 Bestimmte Integrle von sin n und cos n Bestimmte Integrle der Form s r sin n d oder uch s r cos n d wobei r, s Z und n Knn mn mit folgenden Rekursionsformeln ziemlich effizient berechnen s r s r s sin n d = n n sinn d r s cos n d = n n cosn d r ACHTUNG: Die Grenzen müssen gnzzhlige vielfche von sein und n muss sein! Die Formel knn uch mehrfch ngewendet werden. Beispiele: sin 3 d = sin d = 3 3 [ cos ] = 3 = 3 sin 7 d = 6 7 sin5 d = sin3 d = sin d Im folgenden Beispiel wird usgenutzt, dss die Formel uch für n = gilt = = cos 4 d = 3 4 cos d = 3 4 cos d = 3 4 d = 3 8 (3 3 = 3 ) = 3 6 Bestimmte Integrle von gerden und ungerden Funktionen Ein bestimmtes Integrl über ein symmetrisches Intervll (d.h. z.b. von -3 bis 3) von einer ungerden Funktion ergibt. f() ist ungerde, wenn f( ) = f() ungerdefkt() d = Ein bestimmtes Integrl über ein symmetrisches Intervll (d.h. z.b. von -3 bis 3) von einer gerden Funktion knn mn wie folgt etws vereinfchen: f() ist gerde, wenn f( ) = f() gerdefkt()d = gerdefkt()d 9 Crmeri, Grss

10 Ableitung von Integrlen Flls mn die Ableitung von Integrlen berechnen soll ist es oft einfcher den Huptstz der Infinitesimlrechnung zu benutzen, nsttt ds Integrl uszurechnen und nschliessend bzuleiten: Flls eine Grenze des Integrls Konstnt ist gilt: d d f(t) dt = f() Flls die Grenzen Funktionen von sind: d bzw. d f(t)dt = f() d b() d f(t)dt = f(b()) b () f(()) () () Im llgemeinsten Fll hängt uch der Integrnd f von b. Dnn gilt: d d b() () b() f(t, )dt = f(b(), ) b () f((), ) () + f(t, )dt () Crmeri, Grss