Stochastik für Ingenieure

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Markus Hartmann
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1 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Stochastik Stochastik für Ingenieure (Vorlesungsmanuskript) von apl.prof. Dr. Waltraud Kahle Empfehlenswerte Bücher: Beichelt, F.: Stochastik für Ingenieure. Teubner, Stuttgart, Beyer, O.; Hackel, H.; Pieper, V.; Tiedge, J.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. Stuttgart-Leipzig: Teubner-Verlag Christoph/Hackel: Starthilfe Stochastik. Teubner-Verlag 2002 bzw Henze, N.: Stochastik für Einsteiger. Braunschweig: Vieweg-Verlag Kahle, W., Liebscher, E.: Zuverlässigkeitsanalyse und Qualitätssicherung. Stuttgart: Oldenbourg-Verlag Lehn, J.; Wegmann, H.: Einführung in die Statistik. Teubner Lehn, J.; Wegmann, H.; Rettig, S.: Aufgabensammlung zur Einführung in die Statistik. Teubner Müller, Ch., Denecke, L.: Stochastik in den Ingenieurwissenschaften. Eine Einführung mit R. Berlin Heidelberg: Springer Nollau, V.; Partzsch, L.; Storm, R.; Lange, C.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben. Teubner Storm, R.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik und Statistische Qualitätskontrolle. Leipzig: Fachbuchverlag

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufällige Versuche (Zufallsvorgänge) und Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse Zufallsgrößen (Zufallsvariablen) und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger Zufallsgrößen Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Der Erwartungswert Standardabweichung, Varianz und Quantile Die Ungleichung von Tschebyschev Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Verteilungen Die Null-Eins-Verteilung (Bernoulli-Verteilung) Die Binomialverteilung Die geometrische Verteilung Die Poissonverteilung Die hypergeometrische Verteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Normalverteilung Die Exponentialverteilung Die gleichmäßig stetige Verteilung Die Weibullverteilung Approximationsmöglichkeiten, das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz Approximationsmöglichkeiten innerhalb der diskreten Verteilungen Gesetz der großen Zahlen Der zentrale Grenzwertsatz Mehrdimensionale Zufallsgrößen Diskrete zweidimensionale Zufallsgrößen Stetige zweidimensionale Zufallsgrößen

4 5.3 Die Kovarianz Der Korrelationskoeffizient Funktionen von Zufallsgrößen und Grundverteilungen der mathematischen Statistik Funktionen von Zufallsgrößen Funktionen zufälliger Vektoren Verteilungen der mathematischen Statistik Die χ 2 Verteilung Die Student Verteilung (t Verteilung) Die F Verteilung Punktschätzungen Eigenschaften von Schätzungen Maximum Likelihood Methode Momentenmethode Methode der kleinsten Quadrate Konfidenzschätzungen Konfidenzschätzungen für den Parameter µ der Normalverteilung bei bekanntem σ Konfidenzschätzungen für den Parameter µ der Normalverteilung bei unbekanntem σ Konfidenzintervalle für den Parameter σ 2 der Normalverteilung Konfidenzschätzungen für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p Testtheorie Aufgabenstellung und Begriffe Parametertests für die Parameter der Normalverteilung Der Gauß Test Der t Test Der χ 2 -Test für die Varianz bei bekanntem µ Der χ 2 -Test für die Varianz bei unbekanntem µ Tests zum Vergleich zweier Mittelwerte Der doppelte Gaußtest Der doppelte t Test Der Test von Welch Der t Differenzentest Der einfache Gauß Test für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p Der χ 2 -Anpassungstest Der χ 2 -Unabhängigkeitstest Tabellen 53 4

5 1 Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 1.1 Zufällige Versuche (Zufallsvorgänge) und Ereignisse Definition 1.1 Ein zufälliger Versuch ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist. Die möglichen, nicht mehr zerlegbaren, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnisse heißen Elementarereignisse ω 1,..., ω n. Definition 1.2 Die Menge aller Elementarereignisse eines zufälligen Versuches heißt Ereignisraum Ω = {ω 1,..., ω n }. Wir betrachten im weiteren Ereignisse, die aus Elementarereignissen zusammengesetzt sind und sich nicht gegenseitig ausschließen müssen. Für die Ereignisse A 1, A 2,..., B, C,... sowie für die Beziehungen zwischen ihnen gibt es Sprech- und Schreibweisen, die in der Tabelle 1.1 zusammengestellt sind. 1.2 Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff (Laplace sche Definition der Wahrscheinlichkeit): P (A) = Anzahl der für A günstigen Ausgänge Anzahl der möglichen Ausgänge Dabei wird die Gleichwahrscheinlichkeit der Versuchsausgänge vorausgesetzt! Die von Mises sche Definition der Wahrscheinlichkeit (Häufigkeitsinterpretation): Bezeichnen wir mit h n (A) die absolute Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses A in n Versuchen. P (A) h n(a) n für große n. Die geometrische Wahrscheinlichkeit: P (A) = Fläche der für A günstigen Ausgänge Fläche der möglichen Ausgänge 5

6 Beschreibung des zugrundeliegenden Sachverhalts (Sprech- Bezeichnung weise) 1. A tritt sicher ein A ist sicheres Ereignis A = Ω 2. A tritt sicher nicht ein A ist unmögliches Ereignis 3. wenn A eintritt, tritt B ein A ist Teilereignis von B 4. genau dann, wenn A eintritt, tritt A und B sind äquivalente B ein Ereignisse 5. wenn A eintritt, tritt B nicht ein A und B sind disjunkte Ereignisse 6. genau dann, wenn A eintritt, tritt A und B sind komplementäre B nicht ein Ereignisse 7. genau dann, wenn mindestens A ist Vereinigung der ein A j eintritt (auch: genau dann, A j wenn A 1 oder A 2 oder... eintritt), tritt A ein 8. genau dann, wenn alle A j eintreten (auch: genau dann, wenn A 1 und A 2 und... eintreten), tritt A ein Tabelle 1.1: A ist Durchschnitt der A j Darstellung in Ω (Schreibweise als Teilmenge) A = A B A = B A B = B = A A = j A = j Zusammenstellung wichtiger Sprech- und Schreibweisen bei der Bildung von Ereignissen A j A j Axiome der Wahrscheinlichkeiten Die Ereignisse aus Ω (nicht notwendig Elementarereignisse) bilden einen Boolschen Mengenring. Jedem Ereignis A dieser Menge wird eine Maßzahl P (A) zugeordnet, so daß P (A) 0, P (Ω) = 1, P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) für A i A j =, i j. Im weiteren sehen wir vorerst die Wahrscheinlichkeiten als gegeben an und lernen Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen. Später werden Methoden zur Ermittlung des Wahrscheinlichkeitsmaßes behandelt (Statistik). 1.3 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 1. P (A) 1 6

7 A 1 A 2 A 3 B A 4... A n Abbildung 1.1: Eine Zerlegung 2. P ( ) = 0 (jedoch nicht umgekehrt!) 3. A B P (A) P (B) 4. P (A) = 1 P (A) 5. Additionssatz: P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) + P (A 1 A 2 ) P (A 1... A n 1 A n ) P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) bei disjunkten Ereignissen 6. Zerlegung: A 1, A 2,...A n bilden eine Zerlegung von Ω, wenn sie paarweise disjunkt sind (A i A j =, i j) und wenn A 1 A 2... A n = Ω (siehe Abbildung 1.1). Dann gelten B = (B A 1 ) (B A 2 )... (B A n ) und P (B) = n P (B A i ) i=1 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von Interesse, wenn man weiß, daß ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Diese Wahrscheinlichkeit wird als bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B bezeichnet. Schreibweise: P (A B) Für die Wahrscheinlichkeit eines bedingten Ereignisses gilt P (A B) = P (A B) P (B) für P (B) > 0. 7

8 Hieraus erhält man für den Durchschnitt von Ereignissen den Multiplikationssatz: P (A B) = P (B) P (A B) = P (A) P (B A) Formel über die totale Wahrscheinlichkeit: A 1, A 2,...A n bilden eine Zerlegung von Ω. Dann gilt P (B) = = n P (B A i ) i=1 n P (B A i ) P (A i ) i=1 Der Satz von Bayes: A 1, A 2,...A n bilden eine Zerlegung von Ω. Dann gilt P (A i B) = P (A i B) P (B) P (B A i ) P (A i ) = n P (B A i ) P (A i ) P (A i ) heißt a-priori Wissen und P (A i B) heißt a-posteriori Wissen. Unabhängigkeit von Ereignissen: Definition 1.3 Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P (A B) = P (A) oder P (A B) = P (A B). Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse: P (A B) = P (A) P (B). i=1 8

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