Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

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1 Pflichtteil... Wahlteil Analysis... 7 Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analytische Geometrie... 9 Wahlteil Analytische Geometrie...

2 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten, Integrale berechnen, Potenzgleichung lösen, ganzrationale Funktionen aufstellen, senkrechte und waagrechte Asymptoten. Analytische Geometrie: Abstandsberechnung, Lage zwischen Gerade und Ebene, Normalenform von Ebenen. Aufgabe : Die Ableitung der Funktion f() = muss mit der Quotientenregel bestimmt werden. Mit u() = und v() = erhält man: u () = und v () =. Mit der Quotientenregel folgt: f () = ( ) ( ) = 8 8 ( ) = ( ) Ergebnis: f () = ( ) Aufgabe : Eine beliebige Stammfunktion von g() ist G() = + cos () + C ; mit C IR. Die Konstante C berechnet man durch eine Punktprobe mit P(0 ): = 0 + cos ( 0) + C = + C C = = 0, Ergebnis: Die Funktionsgleichung von G ist G() = + cos () + 0,. Aufgabe : Mit der Substitution = u lautet die Gleichung Mit der Formel u, = b ± b a ac 6 + = : u6 + u erhält man: u = und u = Rücksubstitution mit u = : = = und = Rücksubstitution mit u = : = keine weitere Lösung Ergebnis: Die Gleichung hat die Lösungen = und =. = u 6 + u = u 6 u 0 = u u 6 (mit u g 0) Mathematik-Verlag,

3 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil Aufgabe : Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die allgemeine Form h() = a + b + c; mit a, b, c IR und a 0. Die erste Ableitung ist: h () = a + b Da T( ) der Tiefpunkt ist, gelten die Bedingungen: h( ) = (I) und h ( ) = 0 (II) Da Q( ) ein Punkt des Schaubilds ist, gilt außerdem: h() = (III) Mit h() = a + b + c und h () = a + b lauten diese drei Bedingungen: a b + c = (I) a + b = 0 (II) a + b + c = (III) a b + c = (IV) b + c = 8 (V) = (I) + (II) b + c = a b + c = (VII) b + c = 8 (VIII) (VI) = (II) + (III) 9c = 7 (IX) = (V) + (VI) Aus Gleichung (IX) folgt: c = Einsetzen in Gleichung (VIII) ergibt: b 6 = 8 b = Einsetzen von c = und b = in Gleichung (VII) ergibt: a = a = Ergebnis: Die Funktionsgleichung von h ist h() = +. Aufgabe : a) Die Funktion f gehört zu Bild. Denn es gilt: lim + + a Weil aber nur f mit f() = =, was mit den Schaubildern und übereinstimmt. + a haben kann, muss Bild das Schaubild von f sein. eine Definitionslücke hat und somit eine senkrechte Asymptote Die Funktion g gehört zu Bild, weil das Schaubild von g die waagrechte Asymptote y = hat und in Bild und Bild keine waagrechten Asymptoten vorkommen. Hinweis: Die Funktion g hat deshalb die waagrechte Asymptote y =, weil gilt: lim + b e 0, = + Die Funktion h gehört zu Bild, weil der Funktionsterm h() = c eine Parabel beschreibt. Da in Bild ein Wendepunkt vorkommt und Parabeln keine Wendepunkte haben, muss Bild zur Funktion h gehören. Mathematik-Verlag,

4 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil b) Berechnung der Werte a und b: Wegen der senkrechten Asymptote = muss für die Funktion f gelten: Dies ist nur dann der Fall für a =. lim Den Wert für b erhält man, indem man mit O(0 0) eine Punktprobe in g() macht. Einsetzen der Koordinaten von O(0 0) in den Funktionsterm g() = + b e 0, ergibt: 0 = + b b = (Man beachte: e 0 = ) Ergebnis: Die gesuchten Werte sind a = und b =. + a Aufgabe 6: Der Abstand zweier paralleler Geraden g und h ist gleich dem Abstand eines Punktes von h (zum Beispiel P( )) zur Geraden g. Der Abstand von P zur Geraden g ist der Betrag des Vektors PF, wobei F der Lotfußpunkt von P auf g ist (siehe Zeichnung). Die Berechnung geht folgendermaßen: Die Gerade g hat die Gleichung g: = 9 + s Zur Berechnung des Lotfußpunktes F von P( ) auf g stellt man die Hilfsebene E H auf, die den Punkt P( ) enthält und senkrecht zur Geraden g steht. F ist dann der Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Ebene E H (siehe Zeichnung). Aufstellen der Hilfsebene E H : Der Normalenvektor von E H ist der Richtungsvektor der Geraden g. Die Ebene E H hat also die (unvollständige) Koordinatengleichung E H : + = c. Den Wert für c erhält man durch Einsetzen der Koordinaten von P( ): 8 + = c c = 0. Damit ist E H : + = 0 Schnitt zwischen g und E H : Einsetzen der Koordinaten von g in die Ebenengleichung ergibt: ( + s) (9 s) + + s = s = 0 s = Einsetzen in die Geradengleichung von g ergibt: = Damit hat der Lotfußpunkt F die Koordinaten F( ). 9 + Der gesuchte Abstand ist der Betrag des Vektors PF. Man erhält: PF = Ergebnis: Der Abstand zwischen g und h beträgt LE. = 0 E H P.. F PF = = g Mathematik-Verlag,

5 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil Aufgabe 7: Die Gerade g verläuft nur dann parallel zur Ebene E, wenn es keinen Schnittpunkt zwischen g und E gibt. Zur Bestimmung der Schnittmenge muss zunächst die Ebenengleichung aufgestellt werden: Aufstellen einer Ebenengleichung von E: Zunächst sollte man die Parametergleichung der Ebene aufstellen. Mit dem Stützvektor OA und 0,, 0,, den Spannvektoren AB = 0 = und AC = 0 0 = 0 lautet die ,,, Parametergleichung der Ebene E: = 0 + s + t Um die Koordinatengleichung der Ebene E aufzustellen, muss man zuerst den Normalenvektor n bestimmen. Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, muss gelten: (I) n AB = 0 und (II) n AC = 0 Zur Erinnerung: Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt 0. Mit n = n n n (I),n + n = 0 (II),n + 6n = 0 erhält man durch Ausmultiplizieren beider Skalarprodukte das Gleichungssystem: Da dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, darf man eine Koordinate von n frei wählen ( 0). (Anmerkung: Da der Normalenvektor beliebig lang sein darf, muss das LGS unendlich viele Lösungen haben.) Mit n = erhält man aus Gleichung (II): n = Und mit Gleichung (I) folgt: n = Damit lautet die (unvollständige) Koordinatengleichung der Ebene E: + + = d Den Wert für d erhält man durch Einsetzen der Koordinaten eines Ebenenpunktes. Mit A(, 0 0) folgt:, = d d = 6 Eine Koordinatengleichung ist also: E: + + = 6 (Anmerkung: Jedes Vielfache dieser Gleichung ist auch eine Lösung.) Mathematik-Verlag,

6 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil Schnittmenge zwischen g und E: Einsetzen der Koordinaten von g in die Ebenengleichung ergibt: ( t) + ( + t) + + t = t = 6 9 = 6 falsche Aussage. Es gibt also keinen gemeinsamen Punkt zwischen g und E. Ergebnis: Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E. Hinweis: Man kann die Parallelität von g bezüglich E auch folgendermaßen zeigen: Der Richtungsvektor von g steht senkrecht zum Normalenvektor der Ebene wegen = 0. Somit kann g nur in E liegen oder parallel zu E verlaufen. Dass g nicht in E liegt, erkennt man anhand einer Punktprobe mit einem Punkt von g; zum Beispiel mit P( ). Einsetzen der Koordinaten von P in E: + + = 6 ergibt eine falsche Aussage. Aus P E und g n folgt dann, dass g parallel zu E verläuft. Aufgabe 8: Zunächst vergleicht man die Lage der beiden Normalenvektoren n und n zueinander. Wenn die Normalenvektoren parallel zueinander sind, sind beide Ebenen entweder parallel zueinander oder identisch. Wenn die Normalenvektoren nicht parallel sind, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Im Fall paralleler Normalenvektoren muss man noch prüfen, ob der durch p gegebene Punkt P der Ebene E auf der Ebene E liegt (Punktprobe mit P in ( p ) n = 0). Falls P in E liegt, sind beide Ebenen identisch. Übersichtsschema: Sind die Normalenvektoren parallel zueinander? ja nein Liegt ein Punkt von E auf E? E und E schneiden sich in einer Geraden. ja nein E und E sind identisch. E und E sind parallel. Mathematik-Verlag, 6

7 008 Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung 008: Wahlteil - Analysis Benötigte Kenntnisse: Ganzrationale Funktionen und ihre Ableitungen, Schaubilder zeichnen, Steigungen, Flächenberechnung mit Integralen, vollständige Induktion. Aufgabe a): Querschnitt des Geländes: Steilste Stelle der östlichen Talseite: y Schaubild von f W Die steilste östliche Stelle ist dort, wo die Ableitungsfunktion f ihr Maimum hat. Mit f () = 0,7 +, folgt aus f () = 0: 0,7 +, = 0 = Wegen f () = 0,7 < 0 hat f bei = einen Hochpunkt. Da = auf der östlichen Talseite liegt, ist das die gesuchte steilste Stelle. Der entsprechende Punkt im Schaubild von f ist der Wendepunkt W( f()) bzw. W(,). - Stelle der westlichen Talseite mit Steigung m =,: Die größte Steigung der östlichen Talseite ist m ost = f () =,. Somit ist nach der Stelle mit der Steigung m west =, gefragt. Zur Berechnung der Stelle mit der Steigung m west =, muss man die Gleichung f () =, lösen. Mit f () = 0,7 +, erhält man: 0,7 +, =, +, 0,7 +, +, = 0 = 0 :( 0,7) Die Lösungen dieser Gleichung sind = +,8 und = 0,8. Da,8 nicht an der westlichen Talseite liegt, ist = 0,8 die gesuchte Lösung. Breite der Staumauer an der Oberkante: Der tiefste Punkt des Tals ist T(0,). Da die Staumauer, m hoch ist, liegt die Oberkante der Staumauer auf der -Achse. Zur Berechnung der Breite der Staumauer müssen somit die ersten beiden Nullstellen von f berechnet werden. Mit f() = 0 folgt: 0, + 0,7, = 0 Mit dem GTR erhält man:,79 und,79. Damit beträgt die Breite der Staumauer an der Oberkante,79 (,79) =,8 LE = 8 m. (Hinweis: Die Gleichung f() = 0 kann auch algebraisch gelöst werden, wenn man mit der Nullstelle 0 = die Polynomdivision f() : ( ) = 0, + 0, + 0,6 durchführt und anschließend die Gleichung 0, + 0, + 0,6 = 0 löst. Man erhält: = 0, 0, und = 0, + 0, ) y Staumauer Mathematik-Verlag, 7

8 008 Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung 008: Wahlteil - Analysis Flächeninhalt der Staumauer: Zur Berechnung des Flächeninhalts der Staumauer muss das,79 Integral 0, + 0,7, d berechnet werden.,79 Mit dem GTR erhält man:,79 A = 0, + 0,7, d 9,0 FE = 9000 m.,79 y (Hinweis: Man kann dieses Integral auch mit einer Stammfunktion von f - Staumauer berechnen: F() = +, ) - Aufgabe b): Mindesthöhe zur Beleuchtung des Tiefpunkts T: Man muss vom Tiefpunkt T(0,) eine Tangente an die Kurve legen. Die Gerüsthöhe ist dann die Höhe, um die die Tangente an der Stelle = über dem Hochpunkt H( 0,87) liegt (vgl. nebenstehende Skizze). Mit der Zweipunkte-Formel erhält man: y B(b f(b)) - - h f (b) = f(b) (,) b f (b) = f(b) +, b Mit f(b) = 0, b + 0,7 b, und f (b) = 0,7 b +, b folgt: - T(0,) 0,7 b +, b = 0,b + 0,7b, +, 0,7 b +, b = 0, b + 0,7 b +0, b 0,7 b 0, b + 0,7 b = 0 0, b (b ) = 0 b = 0 und b = b Bei b = 0 ist der Tiefpunkt T. Somit ist der Berührpunkt B( f()) = B( 0,). Die Steigung der Tangente ist also m = f () =,. Somit lautet die (unvollständige) Tangentengleichung: t() =, + c. Den Wert für c erhält man durch Einsetzen der Koordinaten von T(0,): c =, Die Tangentengleichung lautet also: t() =,, Mit t() =,7 folgt für die Mindesthöhe: h =,7 0,87 = 0, LE (= 0 m) Ergebnis: Die Mindesthöhe des Spiegelgerüsts zur Beleuchtung des Tiefpunkts beträgt 0 m. Mathematik-Verlag, 8

9 Ende der Musterseiten zu den Lösungen 008. (Die Original-Datei umfasst 7 Seiten.) Mathematik-Verlag, 9