Ein Turbo-Pascal-Programm zur Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Zahlensysteme

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1 Ein Turbo-Pascal-Programm zur Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Zahlensysteme Stefan Ackermann Mathematisches Institut der Universität Leipzig 11. November 2005 Zusammenfassung Dezimalzahlen bzw. Dezimalbrüche lassen sich auf recht einfache Weise in ein anderes Zahlensystem zur Basis p umrechnen. Ausgangspunkt ist die Darstellung einer Zahl z in dem gewünschten Zahlensystem. Zweckmäßigerweise behandelt man ganzen Anteil [z] und den gebrochenen Anteil {z} auf unterschiedliche Art. Neben der Beschreibung der Algorithmen und der Angabe des vollständigen Programmes werden qualitative Aussagen zur Periodizität der entstehenden p-adischen Zahl getroffen. 0 Dieses Lehrmaterial wurde im Rahmen der studentischen Ausbildung am Mathematischen Institut der Universität Leipzig entwickelt. Es kann in der vorliegenden Form frei kopiert und weitergegeben werden. Eigenmächtige Änderungen sind unerwünscht. Anregungen und Änderungswünsche sind jedoch stets willkommen und werden bei Einverständnis in absehbarer Zeit eingearbeitet. ackermann@mathematik.uni-leipzig.de 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Umrechnung des ganzen Teils in eine p-adische Zahl Die Darstellung von z g im p-adischen System Beispiele Codierung des Algorithmus Umrechnung des gebrochenen Anteils in eine p-adische Zahl Die Darstellung von z b im p-adischen System Periodenn und -länge Codierung des Algorithmus Beispiele Anwendung des Programmes Weitere ganzzahlige Beispiele Probleme mit der Rechengenauigkeit Ein nicht ganzzahliges Beispiel Umrechnung aus anderen Zahlensystemen heraus Das kleine Einmaleins zur Basis Beispiel Beispiel A PROGRAMM: 10 2

3 1 Umrechnung des ganzen Teils in eine p-adische Zahl Sei z R gegeben, so bezeichne man den ganzen Teil von z mit z g := [z] und den gebrochenen Anteil von z mit z b := {z}. 1.1 Die Darstellung von z g im p-adischen System Den ganzen Teil z g kann man nun in Anlehnung an das bekannte HORNER-Schema folgendermaßen darstellen: z g = z k p k + z k 1 p k z 2 p 2 + z 1 p + z 0 = (z k p k 1 + z k 1 p k z 2 p + z 1 )p + z 0 = ((z k p k 2 + z k 1 p k z 2 )p + z 1 )p + z 0 = (...(z k p + z k 1 )p z 2 )p + z 1 )p + z 0 Die z i sind die Ziffern im p-adischen System, d. h. es gilt 0 z i < p. Durch das iterative Ausklammern von p sieht man sofort: z 0 ist der Rest von z g bei der Teilung durch p, also z 0 = z g MOD p; z 1 ist der Rest des bei der obigen Division erhaltenen ganzzahligen Quotienten bei der erneuten Teilung durch p, d. h. z 1 = [z g /p] MOD p bzw. z 1 = (z g DIV p) MOD p usw. Den ganzen Anteil im neuen p-adischen System erhält man daher einfach durch fortwährendes Dividieren durch die Basis p und Aufsammeln der Reste in einer Zeichenkette von rechts nach links, solange bis als Ergebnis der Division 0 auftritt. 1.2 Beispiele Man stelle die Zahl 43 in den Zahlensystemen zur Basis 7 bzw. zur Basis 11 dar! Es ist 43 : 7 = 6 Rest 1 43 : 11 = 3 Rest 10 6 : 7 = 0 Rest 6 3 : 11 = 0 Rest = 61 [7] 3 43 = 3A [11] 2 Das für die Darstellung maßgebliche Zahlensystem wird als Index in eckigen Klammern angegeben. Fehlt diese Angabe, dann ist das Dezimalsystem maßgebend. 3 Bei Zahlensystemen zu einer Basis größer als 10 werden die fehlenden Ziffern durch große Buchstaben dargestellt, also A = 10, B = 11 usw. 3

4 1.3 Codierung des Algorithmus In einem Turbo-Pascal-Programm sähe das folgendermaßen aus: var z, zb : real; { eventuell auch double oder extended } p, zg, rest, : integer; { eventuell auch longint } ganz, bruch : string; {*** Behandlung des ganzen Anteils ***} ganz:= ; Repeat rest:=zg MOD p; if rest>9 then rest:=rest+7; ganz:=chr(48+rest)+ganz; zg:=zg DIV p; until zg=0; {Vgl. ASCII-Code-Tabelle} 2 Umrechnung des gebrochenen Anteils in eine p- adische Zahl Es sei nochmal an die unter 1. beschriebene Zerlegung z = z g + z b erinnert. 2.1 Die Darstellung von z b im p-adischen System Den gebrochenen Anteil z b stellt man nun folgendermaßen dar: z b = z 1 p 1 + z 2 p z 1 m p 1 m + z m p m +... = (z 1 + z 2 p z 1 m p 2 m + z m p 1 m +...)/p = (z 1 + (z z 1 m p 3 m + z m p 2 m +...)/p)/p Im Grunde ist dies wieder das HORNER-Schema, diesmal mit der Variablen 1 p. Aus der letzten Zeile, die durch fortwährendes Ausklammern von p 1 entstanden ist, kann man nun ablesen: z 1 ist der ganze Anteil des Produktes z b p, also z 1 = [z b p], z 2 ist der ganze Anteil des Produktes von p mit dem gebrochenen Anteil des obigen Produktes, d.h. z 2 = [p {z b p}] usw. Den gebrochenen Anteil im neuen p-adischen System erhält man daher einfach durch fortwährendes Multiplizieren mit der Basis p und Abspalten der ganzen Anteile der Zwischenprodukte, die man in einer Zeichenkette von links nach rechts aufsammelt. Dieser Prozeß endet, wenn ein solches Produkt ganzzahlig wird. Das kann nur dann passieren, wenn der Nenner von z b (in der Darstellung als gekürzter Bruch) nur Primfaktoren enthält, die auch in p enthalten sind. Anderenfalls ist der p-adische Bruch periodisch bzw. bei einer irrationalen Zahl auch unendlich. 2.2 Periodenn und -länge z sei nun ein vollständig gekürzter, echter Bruch, also z = m n ggt(m, n) = 1. mit m < n N und 4

5 Unabhängig von p, d. h. vom Zahlensystem, in dem m und n dargestellt sind, treten höchstens n 1 verschiedene Reste bei der Division durch n auf, d. h. spätestens nach n Divisionen wiederholen sich die p-adischen Ziffern. Somit ist die Periodenlänge höchstens n. Abhängig von p tritt dieser Fall allerdings häufig viel früher ein. Dabei können noch einige Vorziffern auftreten, bevor die Periode nt. Sei z b = m n = 0, z 1...z k z (k+1)...z (k+l), also k die Anzahl der Vorziffern und l die Periodenlänge. n läßt sich noch als Produkt n = n 1 n 2 schreiben, wobei n 1 das Produkt aller zu p teilerfremden Primfaktoren von n ist. Mit anderen Worten ist ggt(p, n 1 ) = 1 und ggt(p, n 2 ) = ggt(p, n). Dann gilt: k ist die kleinste der nichtnegativen ganzen Zahlen x, für die n 2 Teiler von p x ist. l ist die kleinste der natürlichen Zahlen y, für die n 1 Teiler von p y 1 ist bzw. für die p y bei der Teilung durch n 1 den Rest 1 läßt. Ist n 1 = 1, dann ist l = 0. Um sich diesen Sachverhalt zu veranschaulichen, benutzt man den hier beschriebenen Algorithmus zur Bestimmung der p-adischen Ziffern, d. h. die fortlaufende Multiplikation mit p und das Abspalten des ganzzahligen Anteils. Ist z = m n 1n 2, so kann man in dem nach k Multiplikationen mit p entstandenen Bruch mit n 2 kürzen, d. h. es ist z p k = m p k = qm. n 1 n 2 n 1 Die bei folgenden Multiplikationen auftretenden ganzzahligen Anteile, die ja gerade die gesuchten p-adischen Ziffern sind, hängen nun nicht mehr von n 2 ab. Nach weiteren l Multiplikationen ist z p k p l = qm n 1 p l qm n 1 mod n 1, da p l 1 mod n 1, d. h. es treten von nun an wieder die gleichen ganzzahligen Anteile auf wie bereits vor l Multiplikationen. An dieser Stelle sieht man auch, dass im Falle n 1 = 1, also wenn n nur aus Primfaktoren besteht, die auch in p enthalten sind, der Algorithmus nach k Schritten endet. Im Falle n 2 = 1, also wenn n und p teilerfremd sind, treten keine Vorziffern auf. 2.3 Codierung des Algorithmus In Turbo-Pascal könnte man dies wieder folgendermaßen programmieren: {*** Behandlung des gebrochenen Anteils ***} bruch:= ; If zb>0 then 5

6 bruch:=. ; Repeat zb:=p*zb; rest:=trunc(zb); zb:=frac(zb); if rest>9 then rest:=rest+7; {Vgl. ASCII-Code-Tabelle} bruch:=bruch+chr(48+rest); until (zb=0) or (length(bruch)=21); if (length(bruch)=21) and (zb>0) then bruch:=bruch+... ; end; 2.4 Beispiele Man stelle den Dezimalbruch in den Systemen zur Basis 7 und zur Basis 14 dar! Vorüberlegung Es ist = 1 8 und 8 = 23, d. h. für p = 7 ist n 1 = 8 und n 2 = 1, somit k = 0 wegen und l = 2 wegen = 48, aber nicht = 6. Dagegen ist für p = 14 = 7 2 n 1 = 1 und n 2 = 8, somit k = 3 wegen = 2744, aber nicht = 196 und l = 0 wegen Umrechnung = = = = = = = = = 0.06 [7] = 0.1A7 [14] Bemerkung Im Falle p = 14 bricht der Prozeß ab, weil der Nenner 8 nur den Primfaktor 2 enthält, der auch in 14 enthalten ist. 3 Anwendung des Programmes Versieht man die oben angegebenen Teil-Routinen noch mit Programmtext zur Datenein- und -ausgabe, dann erhält man das im Anhang A angegebene Turbo- Pascal-Programm. Die nun folgenden Beispiele wurden mit diesem Programm gerechnet. 3.1 Weitere ganzzahlige Beispiele Umzuwandlungen der Zahl 39 in Zahlen zur Basis 2 bis 17 6

7 Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = 14 2B Basis = 7 54 Basis = Basis = 8 47 Basis = Basis = 9 43 Basis = Umzuwandlungen der Zahl 123 in Zahlen zur Basis 2 bis 17 Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = Basis = 12 A3 Basis = Basis = Basis = Basis = 14 8B Basis = Basis = Basis = Basis = 16 7B Basis = Basis = Probleme mit der Rechengenauigkeit Der angebene Algorithmus funktioniert natürlich nur, wenn man exakt rechnen kann. Dazu könnte man ihn z. B. in einem Computeralgebrasystem wie Maple oder Mathematica realisieren. Die hier vorgestellte Implementierung verwendet das Rechenwerk des Turbo-Pascal- Compilers. Im ganzzahligen Fall kann man exakt rechnen, solange die Zahlen nicht den in Turbo-Pascal vorgebenen Typenbereich (Integer: ) bzw. (LongInt: ) verlassen. Bei größeren Zahlen muss man auf real-typen ausweichen, was sofort Rundungs- und Rechenfehler bei den Divisionen nach sich zieht. Bei der Umrechnung des gebrochenen Anteils treten von vornherein Rechenungenauigkeiten auf. Je nachdem, ob man sich für den Typ real, double oder extended entscheidet, muss man spätestens im Bereich von (dezimal) 10 13, oder damit rechnen, dass die Ergebnisse fehlerbehaftet sind. Um exakte Ergebnisse auch unter Turbo-Pascal zu erhalten, müsste man die Zahlen als Zeichenketten darstellen und für diese zwei der schriftlichen Multiplikation bzw. Division nachempfundene Routinen zur Multiplikation und Division mit Rest programmieren. Mit diesen Unterprogrammen könnte man dann auch mit beliebig großen ganzen Zahlen rechnen. Fügte man einem solchen Programm noch einen Euklidischen Algorithmus hinzu, dann könnte man mit den in 2.2 beschriebenen Mitteln innerhalb des Programmes auch die Anzahl der Vorziffern und die Periodenlänge bestimmen. Im folgenden Beispiel sind Periodenlänge und Anzahl der Vorziffern allerdings nachträglich mit der Hand ausgerechnet worden. 3.3 Ein nicht ganzzahliges Beispiel Ergebnisse der Umwandlung der Zahl 7.41 = in einen p-adischen Bruch für 2 p 20 bei 30 ausgerechneten Nachkommastellen. 7

8 p 7.41 n 1 n 2 k l ? A A A B A0B62A64B41515BA A018C7C C314B A507BA8D623507B65A0BDDA5B92B B3B3B3B3B3B3A BB F 5C28F 5C28F 5C G85A64F DD1902EC7D0CGGDF F 22F F 22F F 22F E3597CHE5E8BAA F 03BB3IF 77F C904IF H8H JJJJJJJJJJJJF 91044F 8D1619DF Man beachte die Rechenungenauigkeit des Computers: Bei p = 8, p = 12, p = 13 und p = 17 kann man die Periode nicht erkennen. Bei p = 10 und p=20 müsste der Algorithmus nach jeweils zwei Schritten beendet sein, also 7.41 bzw als Ergebnis liefern. 4 Umrechnung aus anderen Zahlensystemen heraus Im Prinzip kann man diese Umrechnungen aus jedem Zahlensystem heraus vornehmen, in dem man die Multiplikation und die Division - d. h. das kleine Einmaleins - beherrscht. Da wir - und auch alle Computerhochsprachen - noch immer die Division im Zehnersystem bevorzugen, sind uns diese Rechenregeln nicht so geläufig. (Es soll sogar Leute geben, die für das kleine Einmaleins im Dezimalsystem den Taschenrechner bemühen müssen.) Auch das im Anhang angegebene Programm leistet nur Umrechnungen vom Zehnersystem in ein System mit der Basis 2 bis 36. Für mehr Ziffern reicht das Alphabet nicht aus. Am Beispiel des Zahlensystems zur Basis 5 soll im folgenden trotz allem demonstriert werden, wie solche Umrechnungen vorzunehmen sind. 4.1 Das kleine Einmaleins zur Basis 5... angegeben als Multiplikationstafel. Da beim mehrstelligen Multiplizieren auch addiert werden muss, sei auch noch eine Additionstafel angegeben: 8

9 Man beachte 5 = 10 [5]! Es ist z. B. 4 [5] 4 [5] = 4 4 = 16 = = 31 [5] und 13 [5] : 2 [5] = 8 : 2 = 4 = 4 [5]. 4.2 Beispiel 1 Man rechne die Zahl [5] in einen 3-adischen Bruch um! Umrechnung des ganzen Teils: 12 [5] : 3 = 2 Rest 1, da 2 3 = 11 [5] 13 [5] : 3 = 2 Rest 2, da 2 3 = 11 [5] 24 [5] : 3 = 4 Rest 2, da 4 3 = 22 [5] Insgesamt ist also 1234 [5] : 3 = 224 [5] Rest 2. Analog erhält man 224 [5] : 3 = 41 [5] Rest 1, ebenso 41 [5] : 3 = 12 [5] Rest 0, und 12 [5] : 3 = 2 Rest 1, 2 [5] : 3 = 0 Rest 2. Zusammengefasst erhält man daraus 1234 [5] = [3]. In der Tat ist 1234 [5] = = = 194 = = = = [3]. Umrechnung des gebrochenen Teils [5] 3 = [5] [5] 3 = [5] [5] 3 = [5] [5] 3 = [5] usw. (Man beachte 2 3 = 11 [5] bei ständigem Übertrag 1.) Es ist also 0.12 [5] = [3]. Die Periode hat die Länge 4. Tatsächlich ist 0.12 [5] = = ( 1 i 25 i=0 5) geometrische Reihe = = Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 2.2 ist dann n 1 = 10, n 2 = 1, k = 0 und l = 4 wegen

10 4.3 Beispiel 2 Man rechne die Zahl [5] in einen 14-adischen Bruch um! Dabei beachte man 14 = 24 [5] Umrechnung des ganzen Teils: 123 [5] : 24 [5] = 2 Rest 20 [5], da 24 [5] 2 = 103 [5] 204 [5] : 24 [5] = 3 Rest 22 [5], da 24 [5] 3 = 132 [5] Insgesamt ist also 1234 [5] : 22 [5] = 23 [5] Rest 22 [5]. Analog erhält man 23 [5] : 24 [5] = 0 [5] Rest 23 [5]. Unter Beachtung von 22 [5] = 12 = C [14] und 23 [5] = 13 = D [14] erhält man daraus 1234 [5] = DC [14]. In der Tat ist 1234 [5] = = = 194 = = = DC [14]. Umrechnung des gebrochenen Teils [5] 24 [5] = [5] [5] 24 [5] = [5] [5] 24 [5] = [5] Die erste Zeile rechnet man beispielsweise so aus: [5] 20 [5] = [5] [5] 4 [5] = [5] Die Addition der beiden Zwischenergebnisse liefert [5]. Mit 21 [5] = 11 = B [14] ist also 0.12 [5] = 0.42B [14]. Die Periode hat die Länge 2. Tatsächlich ist wegen 0.12 [5] = 3 10 unter Verwendung der Bezeichnungen aus Abschnitt 2.2 n 1 = 5, n 2 = 2, d. h. k = 1 wegen 2 14 und l = 2 wegen A PROGRAMM: Programm zur Umrechnung einer positiven Dezimalzahl in ein Zahlensystem mit einer Basis zwischen 2 und 36. Ziffern größer als 9 werden durch die Buchstaben A, B, C,... dargestellt. program zsys;\\ {Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Zahlensysteme Stefan Ackermann, Universit"at Leipzig, November 1992} uses crt; var z, zb : double; p, zg, rest, line: integer; 10

11 ganz, bruch : string; clrscr; window(5,1,75,25); clrscr; WriteLn( Programm zur Umrechnung einer positiven Dezimalzahl in ein ); WriteLn( Zahlensystem mit einer Basis zwischen 2 und 36 ); WriteLn; WriteLn( Ziffern groesser als 9 werden durch die Buchstaben A, B, C,... ); WriteLn( dargestellt. ); WriteLn( ); WriteLn; p:=1; While p>0 do {*** Eingabe ***} if p=1 then window(1,8,80,25); clrscr; Write( Eingabe der umzuwandelnden Zahl: ); ReadLn(z); window(2,24,80,25); WriteLn( 1 +chr(26)+ Neue Zahl/0 +chr(26)+ Beenden ); window(1,10,80,22); clrscr; end; zg:=trunc(z); {ganzen Teil abspalten} zb:=frac(z); {gebrochenen Teil abspalten} Write( Basis= ); line:=wherey; p:=-1; While not ((p=trunc(p)) and (p>-1) and (p<37)) do GotoXY(10,line); clreol; ReadLn(p); if line=13 then line:=12; end; if p>1 then {*** Behandlung des ganzen Anteils ***} ganz:= ; Repeat rest:=zg MOD p; if rest>9 then rest:=rest+7; ganz:=chr(48+rest)+ganz; zg:=zg DIV p; until zg=0; {Vgl. ASCII-Code-Tabelle} 11

12 {*** Behandlung des gebrochenen Anteils ***} bruch:= ; If zb>0 then bruch:=. ; Repeat zb:=p*zb; rest:=trunc(zb); zb:=frac(zb); if rest>9 then rest:=rest+7; {Vgl. ASCII-Code-Tabelle} bruch:=bruch+chr(48+rest); until (zb=0) or (length(bruch)=21); if (length(bruch)=21) and (zb>0) then bruch:=bruch+... ; end; {*** Ausgabe der Ergebnisse ***} GotoXY(13,line); WriteLn( :, ganz, bruch); end; end; window(1,1,80,25); clrscr; end. Interessenten stelle ich das Programm gern auch auf Diskette oder noch lieber per 1 zur Verfügung. 1 ackermann@mathematik.uni-leipzig.de 12

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