Pumping-Lemma 2 Pumping-Lemma Sei L eine von einem endlichen Automaten erkannte Sprache. Dann existiert eine natürliche Zahl p N derart, dass jedes Wo

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1 1 Endliche Automaten Modellierungskonzept mit vielen brauchbaren Eigenschaften schnelle Spracherkennung graphisch-visuelle Beschreibung automatische Korrektheitsbeweise gute Kompositionalitätseigenschaften Aber: Was können endliche Automaten nicht?

2 Pumping-Lemma 2 Pumping-Lemma Sei L eine von einem endlichen Automaten erkannte Sprache. Dann existiert eine natürliche Zahl p N derart, dass jedes Wort w L mit length(w) p zerlegt werden kann in drei Teilwörter w = xyz mit 1. length(xy) p 2. y λ 3. xy i z L für alle i 0.

3 Pumping-Lemma 3 Beispiel L = {a(bc) n d n N} EA für L: s 3 b c a s 0 s d 1 s 2 Für p = 4 hat jedes w L mit length(w) 4 die Form a(bc) n d mit n 1. Eine mögliche Zerlegung von w in xyz ist x = a, y = bc, z = (bc) n 1 d, denn length(xy) = 3 4, y λ und xy i z = a(bc) i (bc) n 1 d L i N.

4 Pumping-Lemma 4 Anwendung des Pumping-Lemmas Das Pumping-Lemma kann benutzt werden, um zu zeigen, dass eine Sprache von keinem endlichen Automaten erkannt wird.

5 Pumping-Lemma 5 Ziel: mit Hilfe des Pumping-Lemmas beweisen, dass eine Sprache L von keinem EA erkannt wird. Vorgehensweise (Widerspruchsbeweis) (a) Nimm an: L wird von einem EA erkannt. (b) Wähle w L mit length(w) p, wobei p die Konstante aus dem Pumping-Lemma ist. (c) Finde für jede Zerlegung xyz = w mit y λ und length(xy) p ein i N, so dass xy i z / L. Falls dies gelingt, ist der Beweis fertig. Sonst gehe zu Schritt 2.

6 Pumping-Lemma 6 Behauptung: Die Sprache L balance = {a n b n n N} wird von keinem endlichen Automaten erkannt. Beweis (Widerspruch) 1. Annahme: L wird von einem endlichen Automaten erkannt. Sei p die Konstante aus dem Pumping-Lemma. 2. Sei w = a p b p (d.h. w L balance und length(w) p). 3. Sei w = xyz mit y λ und length(xy) p. Dann liegt das Teilwort y in der ersten Hälfte von w, d.h. y = a k für ein k > 0 und es gilt xy 0 z = xz = a p k b p / L balance für k 0. (Widerspruch)

7 Endliche Automaten: Ausblick

8 Endliche Automaten: Ausblick 8 Varianten endlicher Automaten Endliche Automaten mit λ-übergängen können aktuellen Zustand wechseln, ohne ein Zeichen zu lesen; sind nützlich für die Modellierung mit endlichen Automaten; sind äquivalent zu DEA s.

9 Endliche Automaten: Ausblick 9 Verallgemeinerte endliche Automaten lesen in jedem Schritt ein Wort statt eines Zeichens; sind nützlich für die Modellierung mit endlichen Automaten ( Abkürzen möglich); sind äquivalent zu DEA s.

10 Endliche Automaten: Ausblick 10 Minimierung endlicher Automaten Algorithmus, der für jeden DEA einen äquivalenten minimalen DEA liefert (minimale Anzahl von Zuständen), der bis auf Zustandsnamen eindeutig ist. Minimierungsverfahren kann benutzt werden, um zu entscheiden, ob zwei endliche Automaten äquivalent sind, d.h., ob sie dieselbe Sprache erkennen.

11 Kontextfreie Grammatiken

12 Motivation 12 Motivation Programme aller bekannten Programmiersprachen lassen sich nicht durch endliche Automaten erkennen (z.b. wegen der Klammerstrukturen). Endliche Automaten erkennen aber einzelne Konstrukte (Schlüsselwörter, Namen,... ) und erlauben lexikalische Analyse. Erkennung der Gesamtprogramme im Rahmen der Syntaxanalyse auf der Basis kontextfreier Grammatiken. Ursprünglich von Chomsky in den 1950er Jahren eingeführt zur Beschreibung natürlicher Sprachen.

13 Motivation 13 Anwendungsgebiete kontextfreier Grammatiken Definition und Implementierung von Programmier- und Markup-Sprachen Java, C, HTML,... Compilerbau: Parser Automatische Generierung von Parsern DTD s in XML

14 Motivation 14 Definition von Programmiersprachen Übliches Vorgehen beim Programmieren (im Kleinen) Texteditor Zeichenkette als Quellprogramm Compiler Zielprogramm ProgrammiererIn: Welche Form muss ein Text bekommen, um ein Programm zu sein? Computer: Wie unterscheidet der Compiler zwischen Texten, die Programme sind und die keine Programme sind? = kontextfreie Grammatiken

15 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen 15 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen Kontextfreie Grammatik: G = (N, T, P, S) mit N: Menge nichtterminaler Zeichen, T : Menge terminaler Zeichen mit N T =, P N (N T ) : endliche Menge kontextfreier Produktionen S N : Startsymbol Schreibweise für Produktionen (A, u) P : A ::= u Abkürzung für A ::= u 1, A ::= u 2,... A ::= u k : A ::= u 1 u 2 u k

16 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen 16 Beispiel G bracket0 = ({S}, {a, b}, {S ::= asb λ}, S)

17 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen 17 Ableitungen Direkte Ableitung: w = xay xuy = w p mit w, w, x, y, u, v (N T ), p = (A ::= u). Schreibweise: w w, P falls P eine Menge von Produktionen ist mit p P. Beispiel: asb S ::= asb a2 Sb 2

18 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen 18 Ableitung (Iteration direkter Ableitungen) w 0 p1 w 1 p2 pn w n für w 0,..., w n (N T ) und Produktionen p 1,..., p n (n 1) Schreibweisen: w 0 P P w n oder w 0 n P w n oder w 0 P w n, w falls p 1,..., p n P. w, falls P aus dem Kontext klar ist.

19 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen 19 Beispiel G bracket0 = ({S}, {a, b}, {S ::= asb λ}, S) S S ::= asb asb S ::= asb a2 Sb 2 S ::= asb a3 Sb 3 a 3 b 3 S ::= λ

20 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen 20 Nullableitung für alle w (N T ). w 0 P w

21 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen 21 Erzeugte Sprache G = (N, T, P, S): kontextfreie Grammatik Erzeugte Sprache L(G) = {w T S P w}

22 Beispiele kontextfreier Grammatiken 22 Beispiele kontextfreier Grammatiken G bracket0 = ({S}, {a, b}, {S ::= asb λ}, S) S λ, S asb ab S ::= λ S ::= asb S ::= λ S asb S ::= asb S ::= asb a2 Sb 2 a 2 b 2 S ::= λ S asb S ::= asb S ::= asb a2 Sb 2 S ::= asb a3 Sb 3 a 3 b 3 S ::= λ... S S ::= asb asb S ::= asb a2 Sb 2 L(G bracket0 ) = {a n b n n N}. S ::= asb a3 Sb 3 S ::= asb S ::= λ an b n

23 Beispiele kontextfreier Grammatiken 23 Wörter über A ({<word>}, A, P, <word>) mit den Produktionen für alle x A. <word> ::= λ x<word> Erzeugung von abc: <word> a<word> ab<word> abc<word> abc

24 Beispiele kontextfreier Grammatiken 24 Klammerstrukturen G bracket1 = ({S}, {[, ]}, {S ::=[S] <S > SS λ}, S) S SS S[S] < S > [S] < SS > [S] < [S]S > [S] < []S > [S] < []S > [< S >] < []S > [<>] < [][S] > [<>] < [][] > [<>]

25 Beispiele kontextfreier Grammatiken 25 Wörter der Form a 2k b 3l G 2a3b = ({S, A, B}, {S ::= AB, A ::= a 2 A λ, B ::= b 3 B λ}, S) oder S AB a 2 AB a 4 AB a 4 B a 4 b 3 B a 4 b 3 S AB Ab 3 B a 2 Ab 3 B a 2 Ab 3 a 4 Ab 3 a 4 b 3 L(G 2a3b )= {a 2k b 3l k, l N}

26 Beispiele kontextfreier Grammatiken 26 Reguläre Ausdrücke über I <reg > ::= empty lambda x (<reg > + <reg >) (<reg > <reg >) (<reg > ) für alle x I. <reg > (<reg > + <reg >) (lambda + <reg >) (lambda + (<reg >) ) (lambda + (a) )

27 Beispiele kontextfreier Grammatiken 27 Boolesche Ausdrücke <boolexp> ::= true false <var > ( <boolexpr >) (<boolexpr ><boolop><boolexpr >) <boolop> ::= <var > ::= b<cipherseq > <cipherseq > ::= <cipher > <cipher ><cipherseq > <cipher > ::=

28 Beispiele kontextfreier Grammatiken 28 Syntaktische Beschreibung von PASCALchen <prog > ::= <comp> <comp> ::= begin <stmtlist> end begin end <stmtlist> ::= <stmt> <stmt>; <stmtlist> <stmt> ::= <comp> <assign> <while> <assign> ::= <var > := <expr > <while> ::= while <var > <var > do <stmt> <expr > ::= 0 succ(<var >) pred(<var >) <var > ::= X<nat> <nat> ::= <one nine><cipherseq > <cipherseq > ::= λ <cipher ><cipherseq > <cipher > ::= 0 <one nine> <one nine> ::=

29 Kontextfreiheitslemma 29 Kontextfreiheitslemma Sei G = (N, T, P, S) eine kontextfreie Grammatik, u eine Ableitung der Länge n und u = u 1 u 2 u k eine Zerlegung von u in k Teilwörter. Dann gibt es k Ableitungen u i v i, so dass v = v 1 v k und n = k i=1 n i. n i P n P v