Mathematik-Aufgabenpool > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I

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1 Michael Buhlmann Mathematik-Aufgabenpool > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I Einleitung: Elemente der Vektorrechnung im dreidimensionalen reellen kartesischen x -x -x 3-Koordinatensystem sind Punkte P(p p p 3), Ortsvektoren p -> = OP -> = (p p p 3), Differenzvektoren PQ -> = OQ -> OP ->, Geraden g: x -> = a -> tu -> (PF, a ->, reeller Parameter t, Richtungsvektor u -> ), Ebenen E: x -> = b -> tv -> sw -> (PF, b ->, reelle Parameter r, s, Richtungsvektoren v ->, w -> ), E: n -> (x -> -p -> ) = 0 (NF, Normalenvektor n -> ), E: bx cx 3 (KF, Normalenvektor n -> = (a b c) ). Geraden und Ebenen sind Linearkombinationen aus Vektorvielfachen tp -> und Vektorsummen p -> q -> mit Nullvektor 0 -> = (0 0 0), Gegenvektor -p -> zu p -> oder Mitte 0,5(p -> q -> ). Vektoren haben Richtung und Länge, der Betrag eines Vektors ist: p -> = (p p p 3 ) /, der Einheitsvektor berechnet sich als p 0 -> = p -> / p ->. Daneben sind für Vektoren p -> = (p p p 3) und q -> = (q q q 3) das Skalarprodukt p -> q -> = p q p q p 3q 3, das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) p -> q -> = (p q 3 p 3q p 3q p q 3 p q p q ) und das Spatprodukt (p -> q -> ) r -> definiert. Die Vektorrechnung kreist um die Konstruktion von Geraden und Ebenen, um die Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (Schnittpunkte, Schnittgeraden, Schnittwinkel, Abstände), um Abbildungen (Verschiebungen von Punkten, Geraden und Ebenen, Streckungen, Projektionen, Spiegelungen von Punkten, Geraden und Ebenen an Punkten, Geraden und Ebenen u.a.). Konstruktionen Punkt A, Richtungsvektor u > Punkte A, B Gerade g : Punkt A g Gerade g : Punkt A g Geraden g: (PF) = a su x (PF) = a su x (PF) x = a t u h: x = b t u x = b r v s w (PF) bzw. E: n ( x b ) = 0 ( n = v w ) (NF) bzw. E: bx cx Punkt A 3 ( =( n a b c) ) (KF), Punkt A, Richtungsvektoren v >, w > Konstruktion Gerade: g: Gerade: g: > a = OA, Richtungsvektor x = a t u (PF) a = OA, Richtungsvektor x = OA t AB = a t u (PF) u, Parameter t -> u = AB, Parameter t -> > a = OA, Richtungsvektor u u, Parameter t -> = Gerade: g: x = OA t u = a t u (PF) als zu g parallele Gerade durch den Punkt A (g g ) Lotfußpunkt Fεg mit: AF u = 0, a = OA, Richtungsvektor u = AF, Parameter t -> Gerade: g: x = OA t AF = a t u (PF) als zu g senkrechte Gerade durch den Punkt A (g g ) Mitte OM = ( a b ) -> Mittelparallele k: (k g h) a = OA, Richtungsvektor = n x = OM t u (PF) u, Parameter t -> Gerade: g: x = OA t n = a t n (PF) als zu E senkrechte Gerade durch den Punkt A (g E) Konstruktion > a = OA, Richtungsvektoren Ebene: E: x = OA r v s w (PF) Geradenkonstruktionen u, v, Parameter r, s -> Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I

2 Punkte A(a a a 3 ), B(b b b 3 ), C(c c c 3 ) Gerade g: x = a s u (PF) Punkt P g Gerade g: Punkt P Gerade g : x = a s u (PF) = a s u = a t u x (PF), Gerade g : x (PF), Schnittpunkt S (g g = {S}), Punkte P(p p p 3 ), Q(q q q 3 )εg, R(r r r 3 )εg Gerade g : = a s u x (PF), Gerade g : x = a t u (PF), g g, g g = {}, Punkte P(p p p 3 ), Q(q q q 3 )εg, R(r r r 3 )εg E: bx (KF) Punkt P, Normalenvektor E: bx (KF) Abstand D, Normalenvektor Ebene: E: n = ( a b c) n = ( a b c) x = b r v s w (PF), bzw. E: n ( x b ) = 0 ( n = v w ) (NF) bzw. E: bx cx 3 ( Punkte A, B Ebene: E: =( n a b c) ) (KF), x = b r v s w (PF), bzw. E: n ( x b ) = 0 ( n = v w ) (NF) bzw. E: bx cx 3 ( Gerade: g: =( x = a t u (PF) n a b c) ) (KF), r, s -> Ebene: E: a = OA, Richtungsvektor x = OA r AB s AC (PF); v = AB, w = AC, Parameter αa βa γa3 = Lineares Gleichungssystem: αb βb γb3 = -> αc βc γc3 = Ebene: E: bx (KF, mit O(0 0 0) E) Ebene: E: a = OA, Richtungsvektor x = a s u t v (PF) v = AP, Parameter t -> Ebene: E: u ( x OP) = 0 (NF) als zur Gerade g senkrechte Ebene durch den Punkt P (E g) s, t -> Ebene: E: b = OS, Richtungs-/Spannvektoren u >, u >, Parameter = b s u t u x (PF); αp βp γp3 = LGS: αq βq γq3 = -> αr βr γr3 = Ebene: E: bx (KF, mit O(0 0 0) E) b, Richtungs-/Spannvektoren u >, = a, Parameter s, t -> Ebene: E: x = b s u t v αp βp γp3 = LGS: αq βq γq3 = -> αr βr γr3 = Ebene: E: bx (KF, mit O(0 0 0) E) v = a a Ebene: F: n ( x OP) = 0 (NF) als zur Ebene E parallele Ebene durch den Punkt P (F E) F : bx n D, F : bx cx n D 3 als zur Ebene E parallele Ebenen im Abstand D (F F E) Normalenvektor n, Parameter t, u -> Ebene: F: x = OA t AB u n als zur Ebene E senkrechte Ebene F durch die Gerade g (F E) Normalenvektor n, Parameter t, u -> Ebene: F: x = a t u u n als zur Ebene E senkrechte Ebene F durch die Gerade g (F E) Ebenenkonstruktionen Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I

3 E: x = b r u s v (PF) -> E: bx (KF) -> LGS: E: n ( x b ) = 0 (NF) -> E: E: bx cx 3 ( n = v w -> E: n ( x b) = 0 (NF) -> E: bx x x 3 cx = r = s 3 -> E: n x = n b -> E: bx cx 3 (KF) n x = n b -> E: bx cx 3 (KF) d b c a a a x = 0 r s 0 (PF) 0 0 n =( a b c) ) (KF) -> E: bx d = 0 (HNF) a b c Ebene in Parameter-, Normalen-, Koordinatenform Aufgabe : Bestimme die (Parameter-) Gleichung der Geraden durch die Punkte A(- 5) und B(3-4 -4). Vorgehensweise: Punkte A, B -> Gerade g: Lösung: Gerade g: 4 = t x. x = OA t AB (PF). Aufgabe : Bestimme die (Parameter-) Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P(8-4 5) 0 und parallel zur Geraden g: x = 0 t 3 verläuft. 5 7 Vorgehensweise: Punkt P g, Gerade g: Lösung: Gerade h: 0 = 0 t x. x = a t u -> Gerade h: x = OP t u g (PF). Aufgabe 3: Bestimme die (Parameter-, Koordinaten-) Gleichung der Ebene E, auf der die Punkte A(0 - -4), B(- 5 0), C( 0 4) liegen. Vorgehensweise: Punkte A, B, C -> n = AB AC -> Ebene E: n ( x OA) = 0 (NF) -> bx cx 3 (KF). x = OA r AB s AC (PF); Punkte A, B, C -> -> Lösung: 0 = r 3 s x (PF), E: 3x 0x x 3 = 36 (KF). Aufgabe 4: Bestimme die (Koordinaten-) Gleichung der Ebene F, die den Ursprung des Koordinatensystems enthält und parallel zur x = 3 r 3 s 0 verläuft Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 3

4 Vorgehensweise: Punkt P E, x = OB r u s v (PF) ->Ebene F: -> Ebene F: n ( x OP) = 0 (NF) -> Ebene F: bx cx 3 (KF). x = OP r u s v E (PF) -> n = u v Lösung: 5 = r 3 s 0 0 x (PF), E: -6x 4x -5x 3 = 0 (KF). Aufgabe 5: Bestimme die (Parameter-) Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P(-4 7 ) 5 läuft und die Gerade g: x = 0 t senkrecht schneidet. 0 Vorgehensweise: Punkt P, Gerade g: Lösung: Lotfußpunkt F( 6 6) (t=3) -> Gerade h: x = a t u -> Lotfußpunkt Fεg zu P -> Gerade h: 6 = 6 t 6 4 x. x = OF t FP g (PF). Aufgabe 6: Bestimme die (Parameter-) Gleichung der Lotgeraden h durch den Punkt P( -4 ) senkrecht zur x 3x = 0. Vorgehensweise: Punkt P, n ( x OB) = 0 (NF) -> Lotgerade h: x = OP t n E (PF). Lösung: Normalenvektor der = 3 0 n ; Gerade h: = 4 t 3 0 x. Aufgabe 7: Bestimme die (Parameter-) Gleichung der Ebene E, die senkrecht zu einer Geraden g durch einen Punkt P verläuft. Dabei sind: g: 6 x = 6 t, P(7-3). 6 4 Vorgehensweise: Punkt P, Gerade g: bx cx 3 (KF) -> x = a t u -> u ( x OP) = 0 g (NF); d b c a a a = 0 r s x (PF) Lösung: -6x x 4x 3 = -53 (KF), E: x = r s (PF). 6 0 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 4

5 Aufgabe 8: Bestimme die (Parameter-) Gleichung der Mittelparallelen k zu den parallelen Geraden g: x = r und h: x = 8 s Vorgehensweise: Geraden g: k: x = OM t u (PF). Lösung: Mitte M(3,5-5 0); Gerade k: x = a t u h: x = b t u (PF) -> Mitte OM = ( a b ) -> Mittelparallele 3,5 0 = 5 t 0 x. 5 4 Aufgabe 9: Bestimme aus der Geraden g: x = 5 t 3 und Punkt P(4 0 7) die (Koordinaten-) Gleichung der Ebene E, die Gerade und Punkt enthält. Vorgehensweise: Punkt P g, Gerade g: x = OA t u -> n ( x OA) = 0 (NF) -> bx cx 3 (KF). x = OA t u s AP (PF) -> n = u AP -> Lösung: 5 4 = 5 t 3 u 5 5 x (PF), E: -5x -x 7x 3 = 9 (KF). 3 Aufgabe 0: Bestimme aus den parallelen Geraden g: x = 5 r und h: 7 die (Koordinaten-) Gleichung der Ebene E, die die Geraden enthält. = x 8 s Vorgehensweise: Geraden g: x = OA t u h: x = OB t u -> n ( x OA) = 0 (NF) -> bx cx 3 (KF). x = OA t u s AB (PF) -> n = u AB -> Lösung: 3 5 = 5 r s x (PF), E: 8x -x 9x 3 = 77 (KF). Aufgabe : Wie heißt die (Parameter-) Gleichung der senkrecht zur Ebene E stehenden Ebene F durch die Punkte A und B? Dabei sind: E: 4x x 0x 3 =, A( 0), B(0 ). Vorgehensweise: Punkte A, B, n ( x OP) = 0 (NF) -> Ebene F: x = OA r AB s n E (PF). Lösung: Normalenvektor der F: 46x 3x 9x 3 = 5 (KF). 4 = 0 n ; Ebene F: 4 = r 9 s 0 0 x (PF), Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 5

6 Aufgabe : Wie heißt die (Koordinaten-) Gleichung der senkrecht zur Ebene E stehenden Ebene F durch die Gerade g? Dabei sind: E: -x 7x 3 =, g: 3 x = t Vorgehensweise: Punkte A, B, n ( x OP) = 0 (NF) -> Ebene F: x = OA s AB t n E (PF). Lösung: Normalenvektor der = 0 7 n ; Ebene F: 3 = t0 s x (PF), E: x = - (KF). Lagebeziehungen Punkte P(p p p 3 ), Q(q q q 3 ) Spurpunkte, Lage der Geraden Abstand: d(p,q) = PQ = ( q p p) ( q p) ( q3 3) Lage Punkt Punkt Gerade g: a 0, b 0, c 0 b 0, c 0 a 0, c 0 a 0, b 0 a 0 b 0 x = a t u bx cx 3 bx cx 3 cx 3 bx bx Spurpunkte, Lage der Geraden x = 0 -> a tu = 0 -> t = t = -a /u -> S (0 a t u a 3 t u 3 ) (Spurpunkt mit x -x 3 -Ebene, falls u 0; kein Spurpunkt, falls u =0) x = 0 -> a tu = 0 -> t = t = -a /u -> S (a t u 0 a 3 t u 3 ) (Spurpunkt mit x -x 3 -Ebene, falls u 0; kein Spurpunkt, falls u =0) x 3 = 0 -> a 3 tu 3 = 0 -> t = t 3 = -a 3 /u 3 -> S 3 (a t 3 u a t 3 u 0) (Spurpunkt mit x -x -Ebene, falls u 3 0; kein Spurpunkt, falls u 3 =0) u = 0 -> g x -x 3 -Ebene u = 0 -> g x -x 3 -Ebene u 3 = 0 -> g x -x -Ebene u = 0, u 3 = 0 -> g x -Achse u = 0, u 3 = 0 -> g x -Achse u = 0, u = 0 -> g x 3 -Achse Spurpunkte, Lage der Ebene S (d/a 0 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) S (0 d/b 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) S 3 (0 0 d/c) (Schnittpunkt mit der x 3 -Achse) S (0 d/b 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) S 3 (0 0 d/c) (Schnittpunkt mit der x 3 -Achse) -> Ebene parallel zur x -Achse S (d/a 0 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) S 3 (0 0 d/c) (Schnittpunkt mit der x 3 -Achse) -> Ebene parallel zur x -Achse S (d/a 0 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) S (0 d/b 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) -> Ebene parallel zur x 3 -Achse S (d/a 0 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) -> Ebene parallel zur x - und x 3 -Achse -> Ebene parallel zur x -x 3 -Ebene S (0 d/b 0) (Schnittpunkt mit der x -Achse) -> Ebene parallel zur x - und x 3 -Achse -> Ebene parallel zur x -x 3 -Ebene Spurpunkte, Lage von Geraden Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 6

7 c 0 cx 3 S 3 (0 0 d/c) (Schnittpunkt mit der x 3 -Achse) -> Ebene parallel zur x - und x -Achse -> Ebene parallel zur x -x -Ebene Spurpunkte, Lage von Ebenen Punkt P Gerade: g: x = a t u (PF) Lage, Abstand a) Punktprobe: OP = a t u -> Lösung: Pεg; keine Lösung: P g b) Abstand (Lotfußpunktverfahren): Fεg mit: PF u = 0, d(p,g) = PF c) Abstand (Hilfsebenenverfahren): Hilfsebene E H : u ( x p) = 0 mit p = OP, Schnittpunkt F von Hilfsebene EH und Gerade g als Lotfußpunkt (Einsetzen der Geradenkomponenten x, x, x 3 in die Ebene -> t*) für errechnetes t* mit OF = a t * u, d(p,g) = PF d) Abstand (Kreuzproduktformel): d(p,g) = u ( OP a) u e) Abstand (Abstandsfunktion): F t (a tu a tu a 3 tu 3 ) εg als laufenden Punkt -> Abstandsfunktion d(t) = PF -> Minimum der Abstandsfunktion (d (t)=0) bei t* -> Lotfußpunkt OF = a t * u, d(p,g) (t*) = PF t Lage Punkt Gerade = a su = a t u Gerade g : x (PF) Gerade g : x (PF) Lage, Abstand a) Gleichsetzen der Geradengleichungen: a s u = a t u -> unendlich viele Lösungen: g = g, Lösung: Schnittpunkt S mit g g = { }; keine Lösung: Geraden parallel oder windschief S b) Überprüfung auf Parallelität: u = k u -> Lösung: g g, keine Lösung: g, g windschief c) Abstand (bei parallelen Geraden): d(g,g ) (A,g ) mit Punkt A εg, z.b. mit a = OA d) Abstand (bei windschiefen Geraden, Lotfußpunktverfahren): P L εg, Q L εg mit: P L Q L u = 0, P L Q L u = 0, d(g,g ) = P ; L Q L e) Abstand (bei windschiefen Geraden, Hilfsebenenverfahren): Normalenvektor = u u n, Hilfsebene E H : n ( x a ) = 0 (NF) mit E H g, d(g,g ) (A, E H ) mit A εg, z.b. mit a = OA (Hess- esche Normalform); Formel: d(g,g ) = na a n f) Schnittwinkel (bei sich schneidenden Geraden): ϕ = cos u u u u Lage Gerade Gerade Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 7

8 Punkt P(p p p 3 ) Ebene: E: x = b r v s w (PF) bzw. E: bx (KF) Lage, Abstand a) Punktprobe: OP = b ru s v -> Lösung: Pεg; keine Lösung: P g b) Punktprobe: ap bp cp3 -> wahre Aussage: Pεg; falsche Aussage: P g c) Abstand (Hessesche Normalform): d(p,e) = n OP d n Lage Punkt Ebene x = b r v s w (PF) bzw. E: n ( x b ) = 0 ( n = v w ) (NF) bzw. E: bx cx 3 ( Gerade: g: =( x = a t u (PF) n a b c) ) (KF) Lage, Abstand a) Gleichsetzen von Ebenen- und Geradengleichung: b r v s w = a t u (PF) bzw. Einsetzen der Geradenkomponenten x, x, x 3 in die Ebene (KF, NF) -> unendlich viele Lösungen: g E, Lösung: Schnittpunkt S mit g E = {S} ; keine Lösung: g E b) Abstand (bei Parallelität von Gerade und Ebene): d(g,e) = d(a,e) mit Punkt Aεg, z.b. mit a = OA (Hessesche Normalform c) Schnittwinkel (bei sich schneidender Gerade und Ebene): ϕ = sin n u n u Lage Gerade Ebene = b r v s w bx E : x (PF) bzw. E : (KF), = b t v u w ex fx gx3 E : x (PF) bzw. E : (KF) n = v w, n = v w Lage, Abstand a) Gleichsetzen der Ebenengleichungen E, E (PF): r v s w = b t v u w b bzw. Einsetzen der Ebenenkomponenten x, x, x 3 der Ebene E (PF) in die Ebene E (KF) bzw. Lösen des linearen Gleichungssystems der Ebenen E, E (KF): bx cx ex fx gx 3 3 -> unendlich viele Lösungen (mit zwei Parametern): E = E, unendlich viele Lösungen (mit einem Parameter): Schnittgerade g mit E E = g ; keine Lösung: E E b) Abstand (bei Parallelität der Ebenen): d(e,e ) (A,E ) mit Punkt AεE (Hessesche Normalform) c) Schnittwinkel (bei sich schneidenden Ebenen): ϕ = cos n n n n Lage Ebene Ebene Gerade: g: x = a t u (PF) E: n ( x b) = 0 ( n x = b r v s w (PF) bzw. E: bx cx 3 ( = v w ) (NF) bzw. =( n a b c) ) (KF) Lage a) u n = 0 -> g E b) u = k n -> g E Orthogonalität, Parallelität Gerade Ebene Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 8

9 = b r v s w bx E : x (PF) bzw. E : (KF), = b t v u w ex fx gx3 E : x (PF) bzw. E : (KF) n = v w, n = v w Lage = n n = a) n k -> E E b) n 0 -> E E Orthogonalität, Parallelität Ebene Ebene 3 Aufgabe 3: Bestimme die Spurpunkte der Geraden g: x = 4 t. 0 5 Vorgehensweise: Gerade g -> a) x = 0 -> S, b) x = 0 -> S, c) x 3 = 0 -> S 3 als (eventuelle) Spurpunkte. Lösung: Spurpunkte S (0 5), S ( 0 0), S 3(3-4 0). 6 Aufgabe 4: Bestimme die Spurpunkte der Geraden g: x = t 0. Welche Aussage kann 4 über die Lage der Geraden im Koordinatensystem getroffen werden? Vorgehensweise: Gerade g: x = a t u -> a) x = 0 -> S, b) x = 0 -> S, c) x 3 = 0 -> S 3 als (eventuelle) Spurpunkte. Lösung: Spurpunkte S (0 4), S 3(7 0) -> g x -x 3-Ebene. Aufgabe 5: Bestimme die Spurpunkte der 3x 4x x 3 =. Zeichne die Ebene (Ebenenausschnitt) in ein kartesisches x -x -x 3 -Koordinatensystem ein. Vorgehensweise: bx cx 3 -> S (d/a 0 0), S (0 d/b 0), S 3 (0 0 d/c) als (eventuelle) Spurpunkte. Lösung: Spurpunkte S (4 0 0), S (0 3 0), S 3(0 0 6). Aufgabe 6: Zeichne die x -x -x 3 -Koordinatensystem ein. 0 x = 5 r s (Ebenenausschnitt) in ein kartesisches 0 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 9

10 Vorgehensweise: x = b r u s v (PF) -> n = v w -> E: n ( x b) = 0 (NF) -> E: n x = n b -> E: bx cx 3 (KF); bx cx 3 -> S (d/a 0 0), S (0 d/b 0), S 3 (0 0 d/c) als (eventuelle) Spurpunkte. Lösung: E: -x x = 5; Spurpunkte S (-5 0 0), S (0 5 0). Aufgabe 7: Liegt der Punkt P(3-8) auf der Geraden g: x = t? 5 Vorgehensweise: Gerade g: x = a t u (PF), Punkt P -> Punktprobe: OP = a t u -> 0 Lsg. bzw. Lsg. -> P g bzw. Pεg. Lösung: Punktprobe -> t= -> Pεg. Aufgabe 8: Bestimme den Abstand zwischen der Geraden g: P(- - 6) g. x = 4 t und dem Punkt 8 Vorgehensweise: Abstand (Lotfußpunktverfahren), Abstand (Hilfsebenenverfahren) o.ä. -> t* -> Lotfußpunkt Fεg -> d(p,g). Lösung: t=-5 -> Lotfußpunkt F(7 6 ) -> d(p,g) = LE. Aufgabe 9: Berechne den Schnittpunkt der Geraden g und h mit: g: x = 4 r und h: 3 Wie groß ist der Schnittwinkel? x = s. 4 3 Vorgehensweise: Geraden g: x = a r u, h: x = b s u (PF) -> Gleichsetzen PF -> g h = {S} ( Lsg.) -> Schnittpunkt S; Schnittwinkel ϕ = cos u u u u. Lösung: LGS -> r=, s=- -> S(-4 7); Schnittwinkel φ = 36,6. Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 0

11 Aufgabe 0: Bestimme den Abstand zwischen den parallelen Geraden g und h mit: g: 5 4 x = 6 r 3, h: x = 4 s 3. 0 Vorgehensweise: Abstand: d(g,h) (P,g) (Pεh) -> Abstand (Lotfußpunktverfahren), Abstand (Hilfsebenenverfahren) o.ä. -> t* -> Lotfußpunkt Fεg -> d(p,g). Lösung: P(0-4 -)εh -> r=, [s=0] -> Lotfußpunkt F(3 0 -)εg -> Abstand d(g,h) (P,g) =5 LE. Aufgabe : Bestimme die Lage der Geraden g und h mit: g: x = 0 r und h: x = s sowie gegebenenfalls Schnittpunkt und Schnittwinkel bzw. den Abstand der Geraden zueinander. Vorgehensweise: Geraden g: x = a r u, h: x = b s u (PF) -> Gleichsetzen PF -> a) g h = {} (0 Lsg.) -> g h ( u = k v ) oder windschief (sonst), b) g h = {S} ( Lsg.) -> Schnittpunkt S; Schnittwinkel ϕ = cos u u u u bzw. Abstand: a) d(g,h) (P,g) (g h, Pεg), b) d(g,h) (P,E H) (g, h windschief; Pεh, E H als Hilfsebene durch g und parallel zu h). Lösung: LGS -> 0 Lsg. -> g, h windschief; Abstand: d(g,h) = 3 LE. Aufgabe : Liegt der Punkt P(-6 5-5) auf der 7 x = 5 r 3 s? 3 6 Vorgehensweise: Punkt P(p p p 3), Ebene: E: bzw. Lsg. -> P g bzw. Pεg. Lösung: LGS -> r=, s=-3 -> Pεg. x = b r v s w (PF) -> Punktprobe: OP = b r u s v -> 0 Lsg. Aufgabe 3: Liegt der Punkt P( -3 5) auf der 4x x x 3 = 0? Wenn nicht, bestimme den Abstand zwischen Punkt und Ebene. Vorgehensweise: Punkt P(p p p 3), 3 (KF) -> Punktprobe: p x px p3x3 bx cx -> wahre Aussage: Pεg bzw. falsche Aussage: P g; Abstand: d(p,e) = n OP d n (HNF). Lösung: Punktprobe: =0 falsch -> P g; Abstand: d(p,e) = 49/40 =,5 LE. Aufgabe 4: Wie liegen Gerade g: 3 x = r4 und x x 3x 3 = zueinander? 5 Vorgehensweise: Gerade g: x = a t u (PF), E: bx cx 3 (KF) -> Einsetzen PF in KF -> a) g E = {} (0 Lsg.) -> g E, b) g E = {S} ( Lsg.) -> Schnittpunkt S, c) g E = g (unendlich viele Lsg.) -> g auf/in E (g E). Lösung: Einsetzen PF in KF -> t=-3,6 -> Schnittpunkt S(-,8-3,4-7). Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I

12 3 Aufgabe 5: Zeige, dass Gerade g: x = 0 r und 4x 3x 3 = 3 zueinander 5 4 parallel liegen. Bestimme den Abstand zwischen Gerade und Ebene. Vorgehensweise: Gerade g: 3 4 = 4 3 x = a t u (PF), E: bx cx 3 (KF) -> u n = 0 Lösung: u n 0 = 0 -> g E -> d(g,e) = LE. -> g E. Aufgabe 6: Berechne die (Parameter-) Gleichung der Schnittgeraden und die Größe des Schnittwinkels zwischen den Ebenen E und F mit: E: x x 3x 3 = und F: 7 x = 5 r 3 s. 3 6 Vorgehensweise: Ebenen E: x = b r u s v (PF), F: bx cx 3 (KF) -> Einsetzen PF in KF -> E F = g (unendlich viele Lsg, Parameter) -> Schnittgerade g; Schnittwinkel: ϕ = cos n n n n. Lösung: Einsetzen PF in KF -> Schnittgerade g: 4 = 0 r x ; Schnittwinkel: φ = 77,05. Aufgabe 7: Berechne die (Parameter-) Gleichung der Schnittgeraden und die Größe des Schnittwinkels zwischen den Ebenen E und F mit: E: 5x x 3x 3 = 5 und F: x x 4x 3 = 8. Zeichne Ebenen und Schnittgerade in ein kartesisches x -x -x 3 -Koordinatensystem ein. Vorgehensweise: Ebenen E: bx cx 3, F: ex fx gx 3 = h (KF) -> LGS -> E F = g (unendlich viele Lsg, Pa- rameter) -> Schnittgerade g; Schnittwinkel: ϕ = cos n n n n. Lösung: LGS -> Schnittgerade g: 5 = 0 r 4 0 x ; Schnittwinkel: φ = 3,83 ; Ebene E -> Spurpunkte S (3 0 0), S (0 7,5 0), S 3(0 0 5); Ebene F -> Spurpunkte S (4 0 0), S (0 8 0), S 3(0 0 ). Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I

13 4 6 4 Aufgabe 8: Bestimme die zur x = 7.5 r.5 s7.5 parallelen Ebenen mit Abstand 5 von E. Zeichne die Ebenen in ein kartesisches x -x -x 3 -Koordinatensystem ein. Vorgehensweise: E: bx cx 3 (KF); x = b r u s v (PF) -> bx cx n = v w -> E: n ( x b) = 0 (NF) -> E: n x = n b -> E: 3 (KF), Abstand D -> F : bx n D, F : bx n D als zur Ebene E parallele Ebenen im Abstand D (F F E). Lösung: Ebene E (PF) -> E: 5x 8x = 0 -> Normalenvektor der 5 > n = 8 mit: = 7 0 n ; Ebene E -> parallele Ebenen mit Abstand 5 -> F : 5x 8x = 05, F : 5x 8x = 35; Ebene E -> Spurpunkte S (8 0 0), S (0 5 0); Ebene F -> Spurpunkte S (4/3 0 0), S (0 05/8 0); Ebene F -> Spurpunkte S (7/3 0 0), S (0 35/8 0). Aufgabe 9: Werden die Punkt P(4-3) und Q(- - 5) durch die 4x 5x 6x 3 = 30 getrennt oder liegen sie auf derselben Seite der Ebene? Vorgehensweise: bx cx / / 3 (KF), Punkt P -> Punktprobe: p x px p3x3 > = < d. Lösung: Ebene E -> Punkt P: - < 30, Punkt Q: 7 < 30 -> Punkte P, Q auf derselben Seite der Ebene E. Aufgabe 30: Berechne die Punkte auf der x -, x -, x 3 -Achse, die zur x x x 3 = 0 den Abstand 4 haben. Zeichne Ebene und errechnete Achsenpunkte in ein kartesisches x -x -x 3 - Koordinatensystem ein. Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 3

14 Vorgehensweise: E: Abstand D -> F : bx cx 3 (KF), bx n D, F : bx n D als zur Ebene E parallele Ebenen im Abstand D (F F E) -> Achsenpunkte als Spurpunkte der parallelen Ebenen F, F. Lösung: Normalenvektor der = 3 = n mit: n ; Ebene E -> parallele Ebenen mit Abstand 4 -> F : x x x 3 =, F : x x x 3 = -; Ebene E -> Spurpunkte S (5 0 0), S (0 0 0), S 3(0 0 5); Ebene F -> Achsenpunkte P ( 0 0), P (0 0), P 3(0 0 ); Ebene F -> Achsenpunkte P (- 0 0), P (0-0), P 3(0 0 -). Aufgabe 3: Bestimme den Punkt F auf der 3x 4x x 3 = 9, der vom Ursprung O(0 0 0) des Koordinatensystems den kleinsten Abstand hat. bx cx 3 Vorgehensweise: (KF), Punkt O -> Lotgerade h: Schnittpunkt E h = {F} als Lotfußpunkt auf E bzgl. O. x = t n -> Lösung: Ebene E, Ursprung O -> Punkt F(3 4 )εe mit Abstand d(o,e) = = 9 OF LE. Aufgabe 3: Wie lautet die (Parameter-) Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt ( -4 7) parallel zur 4x 7x 4x 3 = 8 verläuft und die x -Achse schneidet? Wie groß ist der Abstand zwischen Ebene und Gerade? Vorgehensweise: bx cx F E -> Spurpunkt von F: Q(5 0 0) -> Gerade g: g E -> d(g,e) (P,E) = 3 (KF), Punkt P -> Ebene F: bx durch Punkt P mit: x = OP t PQ E, g F; n OP d n (Hessesche Normalform). Lösung: Ebene E, Punkt P-> Ebene F: 4x 7x 4x 3 = 00 -> Q(5 0 0) -> g: d(g,e) (P,E) = 8 LE. 4 x = 4 t 4 ; 7 7 Aufgabe 33: Zeige, dass sich die drei Ebenen E : x 3x 4x 3 = -, E : -x x 3x 3 = 9, E 3 : 3x 4x 5x 3 = -3. in einer Schnittgeraden g schneiden. Wie lautet die (Parameter-) Gleichung dieser Schnittgeraden? Vorgehensweise: Ebenen E, E, E 3 (KF) -> LGS -> E E E 3 = g (unendlich viele Lsg, Parameter) -> Schnittgerade g. Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 4

15 Lösung: LGS -> Schnittgerade g: 5 = 7 t 0 x. Abkürzungen: = orthogonal, = parallel, FE = Flächeneinheiten, HNF = Hessesche Normalform, KF = Koordinatenform, LE = Längeneinheiten, LGS = lineares Gleichungssystem, Lsg. = Lösung/en, NF = Normalenform, PF = Parameterform, = transponiert. / / Mathematik-Aufgabenpool: Grundaufgaben der Vektorrechnung I / Aufgaben Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpol > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I 5