Zusammenfassung: Differenzialrechnung 2

Transkript

1 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Zusammenfassung: Differenzialrechnung Inhaltsverzeichnis Etrem- und Wendepunkte... 1 Etremwertprobleme... 8 Etrem- und Wendepunkte Definition: Ist eine reelle Zahl, dann heißt jedes offene Intervall, das enthält, eine Umgebung von. Schreibweise: U Eine Umgebung stellt man sich als ein kleines offenes Intervall vor. Definition: Gegeben ist eine Funktion f mit der Definitionsmenge D sowie eine Stelle 1. Wenn es eine Umgebung U gibt, so dass für alle D mit U f f, f f dann heißt die Stelle eine Maimumstelle von f. Der Funktionswert gilt:, Minimumstelle D. f heißt ein lokales Maimum lokales Minimum von f, und der Punkt P f heißt ein Hochpunkt Tiefpunkt des Graphen von f. Eine Etremstelle von f ist eine Maimumstelle oder eine Minimumstelle von f. Ein Etremwert (Etremum) von f ist ein lokales Maimum oder ein lokales Minimum von f. Ein Etrempunkt des Graphen von f ist ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt des Graphen.. Wenn für alle D gilt: f f, f f dann heißt der Funktionswert f das globale Maimum, globale Minimum von f. 3. Ist eine Etremstelle von f und liegt im Innern der Definitionsmenge, dann heißt eine innere Etremstelle von f, und f heißt ein inneres Etremum von f; am Rand von D, dann heißt f ein Randetremum von f. Achtung: In der Definition ist nicht von der Ableitung die Rede! Hat eine differenzierbare Funktion eine innere Etremstelle, dann verläuft die Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle waagrecht. Daraus folgt die oder zus_differenzialrechnung 1/9

2 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Notwendige Bedingung für innere Etremstellen: Hat eine differenzierbare Funktion f eine innere Etremstelle, dann gilt f. Für Eperten: 1. Die Voraussetzungen differenzierbar und innere Stelle sind wesentlich.. Die notwendige Bedingung ist nicht hinreichend. Achtung: Nicht jede Nullstelle der Ableitung ist eine Etremstelle der Funktion! Zum Beispiel gilt 3 für die Funktion f mit f : Die Ableitung f 3 hat an der Stelle den Wert f 3, aber die Stelle ist keine Etremstelle von f, sondern der Graph hat an dieser Stelle einen Sattelpunkt. Merke: Als innere Etremstellen kommen nur die Nullstellen der Ableitung infrage. Wir betrachten nun eine differenzierbare Funktion f, für die an einer inneren Stelle ihrer Definitionsmenge gilt: f. Dann gibt es in einer Umgebung von vier Möglichkeiten: 1. Die Ableitung f hat an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von + nach, d. h. für ist f, und für ist f. Nach dem Monotoniesatz ist f für streng monoton wachsend und für streng monoton fallend. Also hat f an der Stelle ein lokales Maimum.. Die Ableitung f hat an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von nach +, d. h. für ist f, und für ist f. Nach dem Monotoniesatz ist f für streng monoton fallend und für streng monoton wachsend. Also hat f an der Stelle ein lokales Minimum. 3. Die Ableitung f hat an der Stelle keinen Vorzeichen- wechsel, sondern für und für ist f. Nach dem Monotoniesatz ist f für und für streng monoton wachsend. Also hat f an der Stelle kein lokales Etremum, sondern der Graph hat einen Sattelpunkt. zus_differenzialrechnung /9

3 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 4. Die Ableitung f hat an der Stelle keinen Vorzeichen- wechsel, sondern für und für ist f. Nach dem Monotoniesatz ist f für und für streng monoton fallend. Also hat f an der Stelle kein lokales Etremum, sondern der Graph hat einen Sattelpunkt. Daraus folgt die Erste hinreichende Bedingung für innere Etremstellen: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle ihrer Definitionsmenge. Ist f und hat f an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von + nach, von nach +, dann ist eine Maimumstelle. Minimumstelle. Ergänzung: Hat f an der Stelle keinen Vorzeichenwechsel, dann ist keine Etremstelle, sondern der Graph hat einen Sattelpunkt. Zweite hinreichende Bedingung für innere Etremstellen: Gegeben ist eine zweimal differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle ihrer Definitionsmenge. Ist f und f, f, dann ist eine Minimumstelle. Maimumstelle. Achtung: Ist f, dann ist keine Aussage möglich! Das zeigen folgende Beispiele: 3 1. Die Funktion f mit f hat die Ableitungen f 3 und f 6. An der Stelle ist f 3 und 6 keine Etremstelle von f. f An der Stelle ist 3 4 eine Etremstelle von f. f, und die Stelle ist 4 3. Die Funktion f mit hat die Ableitungen f 4 und f 1 f und Für Eperten: Die zweite hinreichende Bedingung ist nicht notwendig.. f 1, und die Stelle ist zus_differenzialrechnung 3/9

4 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Standardaufgabe: Bestimme die Etrempunkte des Graphen einer Funktion f. Erste Möglichkeit (Wenn die zweite Ableitung schwierig zu berechnen ist): 1. Ableitung: Leite die Funktion f ab.. Notwendige Bedingung: Bestimme die Nullstellen von f, d. h. löse die Gleichung f. Wir nehmen an, dass es genau eine Nullstelle gibt. 3. Erste hinreichende Bedingung: Untersuche, ob die Ableitung f an der Stelle einen VZW hat. Berechne dazu den Wert von f an einer Stelle links von (also an einer Stelle kleiner als ) und an einer Stelle rechts von (also an einer Stelle größer als ). Hat f an der Stelle einen VZW von + nach, dann ist eine Maimumstelle; hat f an der Stelle einen VZW von nach +, dann ist eine Minimumstelle; hat f an der Stelle keinen VZW, dann ist keine Etremstelle (sondern der Graph hat einen Sattelpunkt). 4. Funktionswert: Falls eine Etremstelle ist: Berechne den Funktionswert f. Zweite Möglichkeit (Wenn die zweite Ableitung einfach zu berechnen ist oder sowieso berechnet werden muss): 1. Ableitungen: Leite die Funktion f zweimal ab.. Notwendige Bedingung: Bestimme die Nullstellen von f, d. h. löse die Gleichung f. Wir nehmen an, dass es genau eine Nullstelle gibt. 3. Zweite hinreichende Bedingung: Berechne f. Ist f, dann ist eine Minimumstelle; ist f, dann ist eine Maimumstelle; ist f, dann verwende die erste hinreichende Bedingung (siehe oben). 4. Funktionswert: Falls eine Etremstelle ist: Berechne den Funktionswert f. Definition: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle ihrer Definitionsmenge. Ist eine Etremstelle der Ableitung f, dann heißt eine Wendestelle von f, und der W f heißt ein Wendepunkt des Graphen von f. Punkt zus_differenzialrechnung 4/9

5 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Die Tangente in einem Wendepunkt verläuft also steiler oder flacher als die Tangenten in einer Umgebung des Wendepunkts. oder Achtung: In der Definition ist nicht von der zweiten Ableitung die Rede! In einem Wendepunkt geht der Graph einer Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve über oder umgekehrt. oder Da eine Wendestelle eine innere Etremstelle der Ableitung ist, erhält man die Bedingungen für Wendestellen, indem man bei den Bedingungen für innere Etremstellen immer die nächsthöhere Ableitung nimmt: Bedingungen für Wendestellen: Gegeben ist eine dreimal differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle ihrer Definitionsmenge. 1. Notwendige Bedingung: Ist eine Wendestelle, dann ist f. Achtung: Nicht jede Nullstelle der zweiten Ableitung ist eine Wendestelle! Merke: Als Wendestellen kommen nur die Nullstellen der zweiten Ableitung infrage.. Erste hinreichende Bedingung: Ist f und hat f an der Stelle einen VZW, dann ist eine Wendestelle. Ergänzung: Hat f an der Stelle keinen VZW, dann ist keine Wendestelle. und f, dann ist 3. Zweite hinreichende Bedingung: Ist f eine Wendestelle. Achtung: Ist f, dann ist keine Aussage möglich! Standardaufgabe: Bestimme die Wendepunkte des Graphen einer Funktion f. Erste Möglichkeit: (Wenn die dritte Ableitung schwierig zu berechnen ist): 1. Ableitungen: Leite die Funktion f zweimal ab. zus_differenzialrechnung 5/9

6 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18. Notwendige Bedingung:. Bestimme die Nullstellen von f, d. h. löse die Gleichung f Wir nehmen an, dass es genau eine Nullstelle gibt. 3. Erste hinreichende Bedingung: Untersuche, ob die zweite Ableitung f an der Stelle einen VZW hat. Berechne dazu den Wert von f an einer Stelle links von (also an einer Stelle kleiner als ) und an einer Stelle rechts von (also an einer Stelle größer als ). Hat f an der Stelle einen VZW, dann ist eine Wendestelle; hat f an der Stelle keinen VZW, dann ist keine Wendestelle. 4. Funktionswert: Falls eine Wendestelle ist: Berechne den Funktionswert f. Zweite Möglichkeit: (Wenn die dritte Ableitung einfach zu berechnen ist): 1. Ableitungen: Leite die Funktion f dreimal ab.. Notwendige Bedingung: Bestimme die Nullstellen von f, d. h. löse die Gleichung f. Wir nehmen an, dass es genau eine Nullstelle gibt. 3. Zweite hinreichende Bedingung: Berechne f. Ist f, dann ist eine Wendestelle; ist f, dann verwende die erste hinreichende Bedingung (siehe oben). 4. Funktionswert: Falls eine Wendestelle ist: Berechne den Funktionswert f. Definition: Eine Tangente an einen Graphen in einem Wendepunkt heißt eine Wendetangente. Verläuft die Wendetangente waagrecht, dann ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt. oder Merke: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, also ein Wendepunkt mit f. Merkschema new für Nullstellen (N), Etremstellen (E) und Wendestellen (W): f N E W f N E W f N E W Achtung: Um von N auf E zu schließen, muss eine hinreichende Bedingung erfüllt sein! zus_differenzialrechnung 6/9

7 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Eigenschaften eines Graphen an einer Stelle: Gegeben ist eine Funktion f und eine Stelle. Ist f, dann verläuft der Graph durch den Punkt P. Sonderfall : Ist f, dann schneidet der Graph die -Achse im Punkt Sonderfall : Ist f, dann schneidet oder berührt der Graph die -Achse im Punkt N. Oder: Der Graph hat mit der -Achse den Punkt N gemeinsam. Sonderfall und : Ist f, dann verläuft der Graph durch den Ursprung. Ist f m, dann hat die Tangente an den Graphen an der Stelle die Steigung m. Sonderfall m : Ist f, dann verläuft die Tangente an den Graphen an der Stelle waagrecht. S. Ist f und f, dann berührt der Graph die -Achse im Punkt Ist f, dann ist der Graph in einer Umgebung von linksgekrümmt. Ist f, dann ist der Graph in einer Umgebung von rechtsgekrümmt. Ist f und f Ist f und N., dann hat der Graph an der Stelle einen Tiefpunkt. f, dann hat der Graph an der Stelle einen Hochpunkt. Ist f und f Sonderfall: Ist f, f und einen Sattelpunkt., dann hat der Graph an der Stelle einen Wendepunkt. f, dann hat der Graph an der Stelle Standardaufgabe: Gegeben ist der Graph einer Funktion. Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion. Hat der Graph der Funktion an der Stelle einen Hochpunkt, dann hat die Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle mit einem VZW von + nach ; einen Tiefpunkt, dann hat die Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle mit einem VZW von nach +; einen Sattelpunkt, dann hat die Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle ohne VZW. einen Wendepunkt, dann hat die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Etremum. Wenn der Wendepunkt kein Sattelpunkt ist: Zeichne nach Augenmaß die Tangente an den Graphen an dieser Stelle und bestimme mithilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung der Tangente; dies ist der Wert der Ableitung an dieser Stelle. Standardaufgabe: Gegeben ist der Graph der Ableitung einer Funktion. Beurteile Aussagen über die Funktion bzw. den Graphen. zus_differenzialrechnung 7/9

8 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 1. Hat die Ableitung an der Stelle den Wert m, dann hat die Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle die Steigung m; Sonderfall: den Wert, dann verläuft die Tangente an den Graphen von f an dieser Stelle waagrecht; eine Nullstelle mit einem VZW von + nach, dann hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt; eine Nullstelle mit einem VZW von nach +, dann hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt; ein lokales Etremum, dann hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Wendepunkt; ein lokales Etremum mit dem Wert Null (äquivalent: eine Nullstelle ohne VZW), dann hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Sattelpunkt.. Hat die Ableitung f in einem Intervall nur positive Werte, dann ist die Funktion f in diesem Intervall streng monoton wachsend, d. h. für alle Stellen 1 und aus diesem Intervall gilt: Ist 1, dann f f ; ist 1 nur negative Werte, dann ist die Funktion f in diesem Intervall streng monoton fallend, d. h. für alle Stellen 1 und aus diesem Intervall gilt: Ist 1, dann ist f 1 f. 3. Ist die Ableitung f in einem Intervall streng monoton wachsend, dann ist der Graph der Funktion in diesem Intervall linksgekrümmt; streng monoton fallend, dann ist der Graph der Funktion in diesem Intervall rechtsgekrümmt. Achtung: Man kann nicht auf einen einzelnen Funktionswert schließen, weil man zu der Funktion eine beliebige Zahl addieren kann! Etremwertprobleme Standardaufgabe: Bestimme das globale Maimum bzw. Minimum einer Funktion f in einem Intervall ab. ; ab. ; 1. Bestimme die inneren Maimumstellen bzw. Minimumstellen von f im Intervall. Bestimme die Funktionswerte an diesen Stellen und bestimme die Randwerte f a und f b. Daraus ergibt sich das globale Maimum bzw. Minimum. Bei einem Etremwertproblem untersucht man eine Größe auf ihren maimalen bzw. minimalen Wert. Lösungsidee: 1. Stelle die zu untersuchende Größe als Funktion von einer Variablen dar (Zielfunktion). Notiere auch die zulässigen Werte der Variablen.. Bestimme das globale Maimum bzw. Minimum der Zielfunktion in diesem Bereich. zus_differenzialrechnung 8/9

9 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Standardaufgabe: Bestimme den etremalen senkrechten Abstand der Graphen zweier Funktionen f und g in einem Intervall ab. ; Haben f und g im Intervall ab ; keine Schnittstelle und gilt f g (gleichbedeutend: Wenn der Graph von f oberhalb des Graphen von g verläuft), dann betrachte die Differenzfunktion d mit d f g ; g f (gleichbedeutend: Wenn der Graph von g oberhalb des Graphen von f verläuft), dann betrachte die Differenzfunktion d mit d g f. ab. ; Bestimme das Maimum bzw. Minimum der Funktion d im Intervall Standardaufgabe: Gegeben sind eine Funktion f und ein Rechteck oder ein Dreieck, von dem eine Seite auf der - Achse und ein Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt. Bestimme die Lage dieses Eckpunkts, für die der Flächeninhalt bzw. der Umfang des Rechtecks oder des Dreiecks etremal ist, und gib den etremalen Umfang bzw. Flächeninhalt an. Beispiele: Rechteck mit einem Eckpunkt im Ursprung: f u Dreieck mit einem Eckpunkt im Ursprung: f u Flächeninhalt Au u f u Umfang U u u f u u u 1 Flächeninhalt Au u f u Umfang U u u f u u f u zus_differenzialrechnung 9/9