Abb. 5.10: Funktion und Tangentialebene im Punkt ( ) ( ) ( ) 3.) Die Zahlenwerte und in Gleichung (Def. 5.11) berechnen sich durch ( ) ( )

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1 Abb. 5.0: Funktion und Tangentialebene im Punkt Aus der totalen Differenzierbarkeit folgt sowohl die partielle Differenzierbarkeit als auch die Stetigkeit von : Satz 5.2: Folgerungen der totalen Differenzierbarkeit Ist in total differenzierbar, dann folgt.) ist in stetig. 2.) Es existieren die partiellen Ableitungen 3.) Die Zahlenwerte und in Gleichung (Def. 5.) berechnen sich durch 4.) Der Graph der Funktion lässt sich in der Nähe des Punktes annähern durch die Tangentialebene Bemerkung: Die totale Differenzierbarkeit ist aber im konkreten Fall oft schwierig nachzuprüfen. Man kann aber anhand der partiellen Ableitungen entscheiden, ob eine Funktion total differenzierbar ist. Dies führt auf den nächsten Satz. Satz 5.3: Entscheidungskriterium zur totalen Differenzierbarkeit ist in einer Umgebung von partiell nach und differenzierbar und die partiellen Ableitungen und sind in stetig. Dann ist in total differenzierbar. 67

2 Beispiel: Gegeben ist folgende Funktion: Gesucht wird die Tangentialebene im Punkte. Die partiellen Ableitungen der Funktion sind stetig. Nach Satz 5.3 ist die Funktion total differenzierbar und die Tangentialebene ist gegeben durch Abbildung 5. zeigt das Ergebnis: Abb. 5.: Funktion und Tangentialebene im Entwicklungspunkt. Man erkennt, dass die Tangentialebene im Entwicklungspunkt den Graphen der Funktion berührt. Aufgaben: Berechnung der Tangentialebene im Punkt P. im Punkt 2. ( ) im Punkt 68

3 5.3.3 Gradient und Richtungsableitung Der Gradient Bei Funktionen einer Variablen gibt die Ableitung der Funktion im Punkte (=Steilheit) der Funktion an. die Steigung Abb. 5.2: Steigung einer Parabel am Punkt Bei Funktionen zweier Variablen berücksichtigt man als Maß sowohl die partiellen Ableitungen in -Richtung als auch in -Richtung. Um eine Funktion bezüglich ihrer Steigung in einem Punkt zu charakterisieren, führt man einen Vektor ein, dessen Komponenten aus den partiellen Ableitungen nach und besteht. Man nennt diesen Vektor den Gradienten. Definition 5.4: Gradient einer Funktion mit zwei Variablen Der Vektor heißt der Gradient von an der Stelle. ( ) Bemerkungen: Da dieser Vektor den Grad der Steigung der Funktion angibt, nennt man ihn den Gradienten. Für den Gradienten wird oft der sog. Nabla-Operator verwendet. Der Operator grad (Nabla-Operator) ist ein Differentialoperator. Ordnung Der Gradient eines ebenen Skalarfeldes ist ein ebener Vektor, der senkrecht zu den Niveaulinien verläuft. 69

4 Der Gradient eines räumlichen Skalarfeldes steht immer senkrecht auf der Niveauflächen und zeigt in die Richtung des größten Zuwachses von (siehe nachfolgende Beispiele) Allgemein ist der Gradient folgendermaßen definiert: Beispiele: a) Gesucht ist der Gradient der Funktion Abb. 5.3: Links: Die Funktion in der räumlichen Darstellung Rechts: Niveaulinien der Funktion f projiziert auf die - Ebene Der Gradient berechnet sich nach Def. 5.4 zu ( ) Stellt man dieses Ergebnis in Form einer Vektorgraphik dar, erhält man die zweidimensionale Darstellung: Abb. 5.4: Zweidimensionale Darstellung des Gradienten einer Funktion 70

5 Die folgende Abbildung verdeutlicht anschaulich, dass der Gradient der Funktion auf den Niveaulinien steht. senkrecht Abb. 5.5: steht senkrecht auf den Niveaulinien der Funktion f b) Gesucht ist der Gradient der Funktion Der Gradient berechnet sich nach Bemerkung Def. 5.4 ( ) Stellt man dieses Ergebnis in Form einer Vektorgraphik dar, erhält man die dreidimensionale Darstellung: Abb. 5.6: Dreidimensionale Darstellung des Gradienten einer Funktion 7

6 Anwendungsbeispiel Physik: Elektrisches Feld einer Punktladung Gegeben ist eine Punktladung an der Stelle. Gesucht ist das Potential und das elektrische Feld in einem beliebigen Punkt des Raumes. Für das induzierte Potential (Skalarfeld) einer Punktladung gilt: Das elektrische Feld ist definiert durch Für die erste Komponente des Gradienten ergibt sich für das elektrische Feld ( ) Die beiden anderen Komponenten werden analog berechnet. Somit ergibt sich für das elektrische Feld (der negative Gradient des elektrischen Potentials einer Punktladung): Man bezeichnet als Vektorfeld. Auf den Äquipotentialflächen (konzentrische Kugelschalen) ist das Potential konstant. Die Äquipotentiallinien sind die Schnittlinien der Äquipotentialflächen mit der Zeichenebene. Bewegt man eine weitere Ladung entlang dieser Flächen, so ändert sich ihre potentielle Energie nicht. Abb. 5.7: Potential und elektrisches Feld einer Punktladung. Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf den Äquipotentialflächen. 72

7 Die Richtungsableitung Häufig interessiert man sich für die Änderung des Funktionswertes einer skalaren Funktion, wenn man von einem Punkt aus in einer bestimmten Richtung fortschreitet. Abb. 5.8: Höhenliniendiagramm eines Skalarfeldes Punkt und Vektor. Die Richtungsableitung eines Skalarfeldes in Richtung des Vektors ist ein Maß für die Änderung des Funktionswertes von, wenn man von einem Punkt P aus in Richtung von um eine Längeneinheit fortschreitet. Definition 5.5: Richtungsableitung Die Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen in Richtung des Vektors ist gegeben durch Sie heißt Richtungsableitung von in Richtung. Abb. 5.9: Richtungsableitung von in Richtung. 73

8 Bemerkungen: ist die Projektion des Gradienten von Der normierte Richtungsvektor ist gegeben durch auf den normierten Richtungsvektor. mit Achtung: Im Gegensatz zum Gradienten stellt die Richtungsableitung keinen Vektor, sondern eine skalare Größe dar. Die Richtungsableitungen eines ebenen Skalarfeldes in Richtung eines Einheitsvektors ist Abb. 5.20: Werte der Richtungsableitung bei verschiedenen Winkeln des Gradienten Satz 5.6: Gefolgerte Eigenschaften der Richtungsableitung.) Die Richtungsableitung ist von Richtung zu Richtung verschieden und erreicht ihren Maximalwert, wenn der Richtungsvektor und damit der entsprechende Einheitsvektor parallel zum Gradienten von ist für 2.) Die Richtungsableitung ist Null, wenn senkrecht zum Gradienten steht bzw. für 3.) Der Gradientenvektor zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs bzw. Abfalls der Funktion. Sein Betrag gibt die Größe der Steigung bzw. Abfalls an. 74

9 Bemerkung: Die folgende Graphik verdeutlicht nochmal Satz 5.6/3 für eine Funktion Abb. 5.2: Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs einer Funktion, entsprechend in Richtung des steilsten Abfalls. Der Vektor Gegenrichtung von zeigt durch das zusätzliche Vorzeichen immer genau in die Beispiele: a) Gegeben ist die Funktion Gesucht ist die Ableitung von f in Richtung Die partiellen Ableitungen von nach und sind Damit bestimmt sich die Richtungsableitungen in Richtung zu b) Gegeben ist die Funktion Gesucht ist die Ableitung von in Richtung Die partiellen Ableitungen sind 75

10 Der zum Vektor gehörende normierte Einheitsvektor ist Daraus folgt Aufgaben: Berechnung der Richtungsableitung a) Bestimmen Sie die Richtungsableitung von im Raumpunkt in Richtung des Vektors b) Bestimmen Sie die Richtungsableitung von im Raumpunkt in Richtung des Vektors 5.4 Anwendungen der Differenzialrechnung 5.4. Das Differenzial als lineare Näherung Wir untersuchen das Verhalten der Funktion in unmittelbarer Umgebung des Punktes, indem wir den Zuwachs der Tangentialebene mit dem Zuwachs der Funktion vergleichen. Abb. 5.22: Zum Begriff des vollständigen Differenzials 76

11 Die Tangentialebene ergibt sich nach Satz 5.2 zu Im Punkte ( ) hat die Tangentialebene den Wert Die Änderung der Tangentialebene ist daher Wir bezeichnen und definieren unabhängiges Differenzial abhängiges Differenzial (=Änderung der Tangentialebene) Definition 5.7: Totales Differenzial einer Funktion mit zwei Variablen Das totale Differenzial einer Funktion im Punkte ist Es beschreibt die Änderung der Tangentialebene im Punkte ( zum Punkt übergeht. ), wenn man vom Punkt Bemerkungen: Statt schreibt man auch Für das totale Differenzial einer Funktion mit n Variablen gilt folgender Differenzialausdruck: Das totale Differenzial beschreibt näherungsweise, wie sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Variablen geringfügig um änderen: Beispiele: a) Gesucht ist das totale Differenzial der Funktion im Punkte. Die partiellen Ableitungen ergeben sich zu 77

12 Daraus folgt für das totale Differenzial ( ) ( b) Ein ideales Gas genügt für Mol der Zustandsgleichung Das totale Differenzial dieser Funktion lautet Es beschreibt näherungsweise die Änderung des Gasdrucks bei einer geringfügigen Änderung des Volumens um und gleichzeitig der Temperatur um Aufgabe: Gesucht ist das totale Differenzial der Funktion im Punkte Linearisierung einer Funktion Für eine Funktion gilt für kleine und näherungsweise d.h. für kleine und kann die Änderungen der Funktion über die Änderung der Tangentialebene (totales Differenzial) angenähert werden. Man nennt dieses Vorgehen die Linearisierung der Funktion. Oft wird die Linearisierung benutzt, um Differenzen der Form näherungsweise zu bestimmen: 78

13 Definition 5.8: Linearisierung einer Funktionen mit zwei Variablen In der Umgebung eines Flächenpunktes ( Arbeitspunktes ) kann die nichtlineare Funktion näherungsweise durch die lineare Funktion (Tangentialebene) oder ersetzt werden. Dabei bedeuten Arbeitspunkt. Abweichungen eines beliebigen Flächenpunktes gegenüber dem Bemerkungen: In den Anwendungen verwendet man für die linearisierte Funktion meist die Schreibweise Der Index 0 kennzeichnet dabei den Arbeitspunkt. Die Linearisierung lässt sich auf Funktionen mit n Variablen übertragen. Beispiel: Wir linearisieren die Funktion in der unmittelbaren Umgebung des Punktes Nach Def. 5.8 und den partiellen Ableitungen lautet die lineare Näherungsfunktion Als Rechenbeispiel wählen wir und und erhalten für den Näherungswert Daher ist Der exakte Funktionswert beträgt dagegen. 79

14 5.4.3 Lineare Fehlerfortpflanzung Eine Anwendung des totalen Differenzials tritt bei der Fehlerrechnung auf, die überall dort eine Rolle spielt, wo mit ungenauen Messwerten gearbeitet wird. Folgende Definition sollte bekannt sein. Definition 5.9: Auswertung einer Messreihe Das Ergebnis einer aus Messwerten bestehenden Messreihe wird in der Form angegeben. Mit dem arithmetischen Mittelwert der Messwerte und die Messunsicherheit (hier gleichgesetzt mit der Standardabweichung Mittelwertes) des Beispiel: Wiederholte Kapazitätsmessung mit 6 Messwerten ergab: i ,5 50,9 50, 5,8 49,7 50,3 Arithmetischer Mittelwert: Standardabweichung des Mittelwertes: Messunsicherheit: Messergebnis: 80