Höhere Mathematik 1. Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: 3. Gruppenübung zur Vorlesung. Wintersemester 2016/17

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1 T. Conde, J. Meinel, D. Seus, S. Thelin, R. Tielen, A. Wünsch. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 6/7 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Lineare Unabhängigkeit und Untervektorräume Gegeben seien in R 5 die Vektoren v, v, v, v 4, p, q 4. a) Geben Sie zwei verschiedene Basen von L v, v, v ) an. b) Geben Sie zwei verschiedene Basen von L v, v, v 4 ) an. c) Betrachten Sie die Ebene E L v, v 4 ) in R 5. Liegt p in E? Ist {p + x x E} ein Untervektorraum von R 5? d) Liegt q in E? Ist {q + x x E} ein Untervektorraum von R 5? Lösungshinweise hierzu: a) Wir untersuchen v, v, v zunächst auf lineare Abhängigkeit: Dazu prüfen wir, ob es reelle Zahlen α, α, α R gibt, sodass α v + α v + α v und mindestens ein α j ungleich ist. Wir stellen also das lineare Gleichungssstem α + α + α α + )α + )α α + α + )α α + α + )α α + α + α auf und lösen es. Dabei können wir die erste und die letzte Gleichung ignorieren, erhalten nach zwei Umformungsschritten das äquivalente Gleichungssstem α + )α + )α α + α + )α α + 4α + α und damit α und weiterhin α und α als einzig mögliche Lösung. Somit sind v, v, v linear unabhängig. Der Untervektorraum L v, v, v ) R 5 ist nach Definition von v, v, v erzeugt und wir haben soeben nachgerechnet, dass v, v, v linear unabhängig sind. Daher ist durch B : v, v, v eine Basis von L v, v, v ) gegeben. Eine andere Basis C : w, w, w für L v, v, v ) erhält man beispielsweise auf folgende Weise: i) Indem man mindestens einen der Basisvektoren um einen Skalarfaktor aus R {} ändert, etwa w : v, w : v, w : v. Seite 4

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik ii) Indem man zu einem der Basisvektoren v j eine Linearkombination der anderen Basisvektoren hinzuaddiert, etwa w : v + v v, w : v, w : v. iii) Indem man einfach nur die alte Basis etwas umsortiert: w : v, w : v, w : v. Dies liegt daran, dass wir festgelegt haben, dass die Basisvektoren immer eine feste Anordnung haben müssen, siehe Bemerkung.8.. Vorsicht: Auch wenn diese Festlegung sehr geläufig ist, wird in einigen Büchern kein Unterschied zwischen verschiedenen Anordnung der Basisvektoren gemacht. Bei den beschriebenen Methoden ist direkt klar, dass w, w, w wieder eine Basis von L v, v, v ) ist. Natürlich könnte man auch eine aufwändigere andere Basis wie w : v + v v, w : v + v, w : 4v + v betrachten, in dem Fall wäre es aber nicht mehr offensichtlich, dass die drei Vektoren weiterhin ein linear unabhängiges Erzeugendensstem von L v, v, v ) ergeben und man müsste dies erneut nachprüfen. b) Wir stellen zuerst fest, dass v, v, v 4 linear abhängig sind, beispielsweise gilt v v v 4 und damit v + v + v 4. Wir erhalten L v, v, v 4 ) L v, v 4 ). Die Vektoren v, v 4 sind nun linear unabhängig, wie man an dem linearen Gleichungssstem α v + α 4 v 4 α + α 4 α + α 4 α + α 4 α + α 4 α + α 4 α und α 4 abliest. Daher ist B : v, v 4 eine Basis von L v, v, v 4 ). Eine zweite Basis erhalten wir wie in a) beispielsweise durch C : v, v 4. c) In dem Fall, dass p in E liegt, müsste es eine Linearkombination p λv + µv 4 für λ, µ R geben. Wir müssten also eine Lösung des linearen Gleichungssstems λ + µ λ + µ λ + µ λ + µ λ + µ finden, allerdings ist dieses Gleichungssstem nicht lösbar, wie man an der ersten oder letzten Zeile direkt sieht. Also gilt p / E. Die Menge {p + x x E} ist kein Untervektorraum von R 5. Dies zeigt man beispielsweise, indem man nachweist, dass mindestens eins der Vektorraumaxiome verletzt wird. Wir zeigen, dass nicht in der Menge enthalten ist: Alle Elemente der Menge {p + x x E} haben die Form p + λv + µv 4 für Skalare λ, R. Daher ist genau dann in der Menge enthalten, wenn es eine Lösung λ, R für + λ + µ + λ + µ + λ + µ + λ + µ + λ + µ Seite 5

3 . Gruppenübung Höhere Mathematik gibt. Wir sehen aber wieder an der ersten oder letzten Zeile, dass dies unmöglich ist. d) Wir prüfen wieder, ob es eine Linearkombination q λv + µv 4 für λ, µ R gibt, was äquivalent dazu ist, dass das lineare Gleichungssstem λ + µ λ + µ λ + µ λ + µ 4 λ + µ eine Lösung hat. Tats chlich ist λ, µ eine Lösung, also q E. Daher ist {q + x x E} E L v, v 4 ), und letzteres ist ein Untervektorraum von R 5. Aufgabe H 8. Unterschied zwischen Teilmengen und Untervektorräumen Untersuchen Sie, ob diese Teilmengen von R Untervektorräume bilden: ) ) ) ) { )} U R, U R R, U R + R, U 4, U 5 R x +, U 6 R x >, U 7 R x + 9, U 8 R x + 4x + 4. Welche zwei dieser Teilmengen stimmen überein? Lösungshinweise hierzu: a) U ist ein UVR von R : Man hat U L immer ein Untervektorraum. )), und der Aufspann einer Menge ist b) U ist kein UVR von R : Beispielsweise ist das Axiom verletzt, dass ) in einem ) Untervektorraum immer der Nullvektor enthalten sein muss. Wir haben R, also ) ) / R R. Alternativ kann man einen Widerspruch dazu herstellen, dass ) ) für u, v U 5 auch u + v U 5 liegen muss: Mit u, v gibt es zwei ) ) Elemente von U, deren Summe u + v in R liegt und damit nicht in U. ) )) c) U ist ein UVR von R : Man hat U L, R, und der gesamte Vektorraum ist immer ein Untervektorraum von sich selbst. Seite 6

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik d) U 4 ist ein UVR von R : Man prüft die Axiome für einen Untervektorraum nach. ) ) ) u + v + U 4 für alle u, v U 4, wobei es in U 4 nur ) ) u, v gibt. ) ) s U 4 für alle s R. ) Der Nullvektor ist in U 4 enthalten. e) U 5 ist kein UVR von R : Wir können wie bei U mit dem fehlenden Nullvektor argumentieren, da + gilt. ) ) f) U 6 ist kein UVR von R : Es gilt u U 6, jedoch ist )u nicht in U 6 enthalten. g) U 7 ist ein UVR von R : Lösungsmengen homogener linearer Gleichungsssteme sind stets Untervektorräume. h) U 8 ist ein UVR von R : Wir können diese Menge als U 8 R x + 4x + 4 R x + ) R x + umschreiben. Letzteres ist die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssstem und damit ein Untervektorraum von R. Die Untervektorräume U und U 7 sind identisch: U 7 R x + 9 R x { ) } R ) R. Aufgabe H 9. Abstände mittels Skalarprodukt Für f, g C [, ]) ist ein Skalarprodukt definiert durch f g : ft)gt) dt. Der Abstand von f und g sei df, g) : f g f g /. Sei b: [, ] R: x x. Sei f j : [, ] R: x x j für j N. Seite 7

5 . Gruppenübung Höhere Mathematik a) Bestimmen Sie df, f ) und df, b). b) Bestimmen Sie α R derart, dass df + αf, b) minimal wird. Skizzieren Sie für dieses α die Graphen von f + αf und von b in ein Koordinatensstem. Lösungshinweise hierzu: a) Wir berechnen df, f ) dx, x) x x) dx und [ x 4 x + x dx 5 x5 x4 + x ) 7 9. ] ) df, b) dx, x ) x x ) dx x x ) dx + x x)) dx + x x ) dx x x) dx 4x dx + [4 x ] ) ) Seite 8

6 . Gruppenübung Höhere Mathematik b) Wir rechnen zunächst den Abstand df + αf, b) für ein beliebiges α R aus: df + αf, b) d + αx, x ) + αx x ) dx + αx x)) dx α)x + + α) x ) dx + αx x) dx + + α )x + α ) x ) dx ) [ x + + α)x + + α) x ] [ + x + α )x + ] α ) x [ 4 + α) + 8 ] + α) ) α + α α α ) ) α + 5 ) ) ) [ + α ) + α ) ] ) ) ) Damit wird der minimale Abstand ) angenommen, falls der quadratische Term verschwindet, d.h. falls α 5. 8 Alternativ hätte man auch den Tiefpunkt der Parabel p : α + 5α + α mit Mitteln der Differentialrechnung bestimmen können.) Seite 9

7 . Gruppenübung Höhere Mathematik Zur Funktion x 5 x ist noch gestrichelt das Steigungsdreieck eingezeichnet 8 8 Kästchen nach rechts, 5 Kästchen nach unten). Online-Aufgabe. Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite. Seite

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