Determinanten 3. Ordnung. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
|
|
|
- Paul Krüger
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Determinanten 3. Ordnung 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
2 ) ( Determinanten 3. Ordnung a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 c 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 c 3 ( a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( x1 x 2 ) x 3 c1 c 2 c 3 ) A X C Dieses System besitzt nur dann genau eine Lösung, wenn det A von Null verschiedenen ist: det A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 0 a 31 a 32 a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
3 Regel von Sarrus Die Regel von Sarrus ist ein Schema, mit dem die Determinante einer (3,3)- Matrix berechnet werden kann. Benannt ist diese Regel nach dem französischen Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus ( ). a 1 1 a 1 2 a 1 3 det A a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 1 1 a 2 2 a a 1 2 a 2 3 a a 1 3 a 2 1 a 3 2 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 1 3 a 2 2 a 3 1 a 1 1 a 2 3 a 3 2 a 1 2 a 2 1 a 3 3! Die Regel von Sarrus gilt nur für 3-reihige Determinanten. 1-2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
4 Regel von Sarrus det A a 1 1 a 1 2 a 1 3 a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 a 3 1 a Hauptdiagonalprodukte Nebendiagonalprodukte Die erste und die zweite Spalte der Determinante werden noch einmal rechts angeschrieben. Den Wert der Determinante berechnet man, indem man die drei Hauptdiagonalprodukte addiert (rot gekennzeichnet) und von dieser Summe die drei Nebendiagonalprodukte subtrahiert. 1-3 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
5 Regel von Sarrus: Aufgabe 1 Aufgabe 1: Berechnen Sie die Determinante der 3-reihigen Matrix M nach der Regel von Sarrus: a ) M ( ) 1 3 2, b ) M ( ) c ) M ( ), d ) M ( ) e ) M ( a b c d e f g h i ) 1-4 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
6 Regel von Sarrus: Lösung 1 a ) M ( ) 1 3 2, det M ( ) b ) M 0 3 2, det M c ) M ( ), det M 0 ( ) d ) M 2 2 0, det M e ) M ( a b c d e f g h i ), det M a e i + c d h + b f g c e g b d i a f h 1-5 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
7 Entwicklungssatz von Laplace Entwicklung einer Determinante 3. Ordnung nach der 1. Zeile: a 1 1 a 1 2 a 1 3 det A a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 11 ( 1) 1+1 a 2 2 a 23 a 32 a 33 + a 12 ( 1)1+2 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 ( 1)1+3 a 21 a 2 2 a 31 a 32 A 1 1 A 1 2 A 1 3 a 1 1 A a 1 2 A a 1 3 A D k 1 3 D i 1 a i k A i k a i k A i k Entwicklung nach der i-ten Zeile (i 1, 2, 3) Entwicklung nach der k-ten Spalte (k 1, 2, 3) A i k ( 1) i + k U i k Algebraisches Komplement von in D U i k 2-1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya a i k 2-reihige Unterdeterminante von D (in D wird i-te Zeile und k-te Spalte gestrichen).
8 Algebraisches Komplement oder Adjunkte Die Größe A i k ( 1) i + k U i k heißt algebraisches Komplement oder Adjunkte des Elementes a i k in der Determinante D. Der Vorzeichenfaktor ( 1) i +k kann nach der Schachbrettregel bestimmt werden Schachbrettregel: Das Vorzeichen von Zeile mit k-ten Spalte. A i k steht im Schnittpunkt der i-ten 2-2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
9 Entwicklungssatz von Laplace Entwicklung einer Determinante 3. Ordnung nach der 1. Zeile: a 1 1 a 1 2 a 1 3 det A a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 11 ( 1) 1+1 a 22 a 23 a 32 a 33 + a 1 2 ( 1)1+2 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 ( 1)1+3 a 21 a 22 a 31 a 32 U 1 1 U 1 2 U 1 3 a 1 1 U 1 1 a 1 2 U a 1 3 U D k 1 ( 1) i + k a i k U i k Entwicklung nach der i-ten Zeile 3 D i 1 ( 1) i + k a i k U i k Entwicklung nach der k-ten Spalte U i k 2-reihige Unterdeterminante von D 2-3 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
10 Algebraisches Komplemen, Unterdeterminante: Beispiel 1 Gegeben ist die 3-reihige Determinante D. Berechnen Sie die Unterdeterminanten D 12, D 33 und die zugehörigen algebraischen Komplemente D Die Unterdeterminante mit den Indices 1 2 bekommt man durch Streichen der 1. Zeile und 2. Spalte: D , A 12 ( 1)1+2 D 12 ( 1) ( 4) 4 Die Unterdeterminante mit den Indices 3 3 bekommt man durch Streichen der 1. Zeile und 2. Spalte: D , A 33 ( 1)3+3 D Ma 1 Lubov Vassilevskaya
11 Determinanten 3. Ordnung: Aufgaben 2-4 Aufgabe 2: Berechnen Sie folgende Determinanten D , D , D Aufgabe 3: Berechnen Sie folgende Determinante durch Entwicklung nach der 1. Zeile mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace D Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Determinanten D , D , D A1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
12 Determinanten 3. Ordnung: Aufgaben 5, 6 Aufgabe 5: Für welche Werte des Parameters nehmen diese Determinanten den Wert Null an? D , D D , D Aufgabe 6: Berechnen Sie die folgenden Determinanten. Für welche Werte des Parameters t nehmen diese Determinanten den Wert Null an? D t 1 D 1 4 t 2 1, D t 0 0 t t 1 t t 1 2 t 0 2 t 1 2 t 0 2 t t t 1 0 t 3, D 1 5 t 0 t 3-A2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
13 Determinanten 3. Ordnung: Lösungen 2, 3 Lösung 2: D Spalten 1 und 2 sind zueinander proportional D D Lösung 3: D Ma 1 Lubov Vassilevskaya
14 Determinanten 3. Ordnung: Lösung 4 Die Determinante einer unteren (3, 3)-Dreiecksmatrix, ist gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente D Die Determinante einer oberen (3, 3)-Dreiecksmatrix, ist gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente D D Ma 1 Lubov Vassilevskaya
15 Determinante 3. Ordnung: Lösung 5 1. Wir verwenden die Regel von Sarrus zur Berechnung der Determinante: D Die Determinante wird gleich Null gesetzt. Es entsteht eine Gleichung zur Bestimmung des Parameters: D det D 9 6, det D 9 0, 6 det D α, det D 10 0, α 11 4 det D 11 α α + 1, det D 11 0 : α 1 1 2, α Ma 1 Lubov Vassilevskaya
16 Determinante 3. Ordnung: Lösung 6 D t 1 0 t t 2 t 2 t t (2 t + 1), t 1 1 2, t 2 0 D 13 t t t 1 4 t t 4 4 ( t 2 + t 1) t 2 + t 1 0, ( t 1 2) Für keinen reellen Wert des Parameters t nimmt diese Determinante den Wert Null an. D 14 1 t t 1 2 t 0 t 3 2 t t + 6, t 1, (3 ± 57 ) D 15 t 0 t 2 t 0 2 t t t 1 4 t 3, t Ma 1 Lubov Vassilevskaya
17 Vandermonde-Determinante: Aufgabe 7 Unter einer Vandermonde-Matrix versteht man eine Matrix, die folgende Form hat: ( 2 3 n 1 1 x1 x1 x 1... x x 2 x 2 x 2... x 2 ) n 1 V ( x 1, x 2, x 3,..., x n ) 2 3 n 1 1 x 3 x 3 x 3... x n 1 1 x n x n x n... x n ( x 1, x 2,..., x n ) n-tupel reeller Zahlen. Die Matrix wurde nach dem französischer Musiker, Mathematiker und Chemiker Alexandre-Théophile Vandermonde ( ) benannt. Die Determinante wird auch Vandermonde-Determinante genannt. Aufgabe 7: Berechnen Sie folgende Vandermonde-Determinante: 1 a a 2 V 1 1 b b 2 1 c c 2 3-5a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
18 Vandermonde-Determinante: Lösung 7 V 1 1 a a 2 1 b b 2 1 c c a a 0 b a b 2 a 2 0 c a c 2 a a a 0 b a (b a) (b+ a) 0 c a (c a)(c+ a) 2Z 1Z, 3Z 1Z 1 a a (b a) (c a) b+ a 0 1 c+ a 2 1 a a (b a) (c 0 1 b+ a a) 0 0 c b 3Z 2Z (b a)(c a)(c b) 3-5b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
19 Determinante 3. Ordnung: Aufgabe 8 Berechnen Sie die folgenden Determinanten a ) D a , b ) D b a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
20 Determinante 3. Ordnung: Lösung 8 a ) D a Z 1Z, 3Z 1Z b ) D b Z 1Z, 3Z 2Z b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
21 3-5 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
Matrizen und Determinanten
Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von
Mathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 73 Ergänzungen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 73 Ergänzungen 1 / 17 1 Reguläre Matrizen Prof Dr
4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante
4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer
Serie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.
Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13
4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist ein System aus Gleichungen mit Unbekannten, die nur linear vorkommen. Dieses kann abkürzend auch in Matrizenschreibweise 1 notiert werden:
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen.
1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 2008 Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen
1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2
1. Formatbedingungen der Matrixoperationen Die Addition (Subtraktion) A ± B verlangt gleiches Format der Operanden A und B. Das Ergebnis hat das Format der Operanden. Skalarmultiplikation λa: Es gibt keine
In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)
34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Binomische Formeln Stand März 2015 (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) =a 2 b 2 Fakultät (Faktorielle) n! =1 2 3 4 (n 1) n Intervalle Notation
Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel
Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3
Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation
. Inhaltsverzeichnis.............. Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1 Matrizen Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen 1.1 Was sind Matrizen 1.2 Arten von Matrizen Kapitel 2 Matrizenoperation
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.
Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar
LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme.2 Determinanten 3 iii 2 LINEARE GLEIHUNGSSYSTEME UND DETERMINANTEN KAPITEL
7 Die Determinante einer Matrix
7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =
Zahlen und Gleichungen
Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen
4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
Reihen, Einleitung. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Reihen, Einleitung 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Einleitung Im Folgenden werden wir Reihen, d.h. Summen von Zahlen untersuchen. Wir unterscheiden zwischen einer endlichen Reihe, bei der die Summe endlich
3.11 Volumen und Determinanten
Im Wintersemester 2012/13 wurde in der Vorlesung Höhere Mathematik 1 für Ingenieurstudiengänge die Behandlung der Determinante neu gefasst: 311 Volumen und Determinanten 3111 Berechnung von Flächeninhalten
Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten
Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
) in der Ebene aufgespannten Parallelogramms ist, wie wir wissen, gleich a 1. b 2. ) und b = ( b 1
45 Determinanten Die orientierte Fläche eines von zwei Vektoren a ( a, a und b ( b, b in der Ebene aufgespannten Parallelogramms ist, wie wir wissen, gleich a b a b Bis auf das Vorzeichen ist dies der
MC-Serie 11: Eigenwerte
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung
Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Folgen und Reihen: Beispiele Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe n i= versteht man einen funktionalen Zusammenhang
Gilt jedoch. det A = 0, so besagt dies:
3 eterminanten 3 efinition - Bedeutung - Anwendung urch eine spezielle Rechenvorschrift lassen sich jeder quadratischen Matrix A reelle Zahlenwerte zuordnen Man bezeichnet den Zahlenwert, der einer quadratischen
Einführung in die Mathematik für Informatiker
Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 12.12.2016 9. Vorlesung Eigenschaften linearer Abbildungen Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen... Eigenschaften
1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren
.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch
Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.
Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen
Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung
Matrixzerlegungen. 7. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 29. April 2010 Gliederung Elimination faktorisiert A = L R Die A = L R Faktorisieren: Zerlege A in ein Produkt (einfacherer) Angenommen,
Kapitel 17. Determinanten
Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n
Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix
5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix Jörn Loviscach Versionsstand: 20. März 2012, 16:02 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:
2. Aufgabe Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so, dass möglichst wenige Multiplikationen ausgeführt werden müssen!
Studiengang: PT/LOT/PVHT Semester: WS 9/ lgebra Serie: 2 Thema: Matrizen, Determinanten. ufgabe Gegeben sind die Matrizen = µ 2 3 2 µ 3 2 4, B = 2 Berechnen Sie: a) 2 + 3B b) B 2 c) B T d) B T e) T B f)
Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe
Teil III Lineare Algebra Inhaltsangabe 3 Lineare Algebra 22 3.1 Einführung.......................... 22 3.2 Matrizen und Vektoren.................... 23 3.3 Spezielle Matrizen...................... 24
Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,
Klapptest Lineare Gleichungen I
Klapptest Lineare Gleichungen I (Lösungen als ganze Zahlen) 1. 6(x + 2)(x - 7) = x(6x + 6) - 48 1. x = -1 2. -7(x + 3)(x + 1) = x(-7x - 2) - 255 2. x = 9 3. 4(x - 7)(x + 7) = x(4x - 8) - 156 3. x = 5 4.
Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden:
Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a a 1 gelöst werden: ax b x b a a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax b mit einer n nmatrix A: Wenn es
Lineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
3 Matrizen und Determinanten
31 Matrizen 311 Matrizen und Gleichungssysteme Grundlegende Begriffe der linearen Algebra und linearen Optimierung sind die Begriffe Matrix, Vektor, Determinante und lineares Gleichungssystem Beispiel
Lösungen zur Klausur A Grundkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaft
Lösungen zur Klausur A Grundkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaft Wintersemester 29/21 16.2.21 Aufgabe A.1. Betrachten Sie die Polynomfunktion p : R R, welche durch die Abbildungsvorschrift p(x)
Eigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung
Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter
Lineare Gleichungssysteme
KAPITEL 2 Lineare Gleichungssysteme Lernziele dieses Abschnitts sind: Begrie: Matrix, Vektor spezielle Matrix, transponierte Matrix, inverse Matrix nur fur quadratische Matrizen erklart, Determinante,
A2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.
LINEARE FUNKTIONEN heißt Anstieg oder Steigung heißt y-achsenabschnitt Graphen linearer Funktionen sind stets Geraden Konstante Funktionen Spezialfall Graphen sind waagerechte Geraden (parallel zur x-achse)
( ) Lineare Gleichungssysteme
102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv
Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt
Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2
Lineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00
Vektoren: Grundbegriffe. 6-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Vektoren: Grundbegriffe 6-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Parallele Vektoren Abb. 6-1: Vektoren a, b, c und d liegen auf drei zueinander parallelen Linien l, l' und l'' und haben gleiche Richtung Linien l,
4.13. Permutationen. Definition. Eine Permutation der Elementen {1,..., n} ist eine bijektive Abbildung
43 Permutationen Definition Eine Permutation der Elementen {,, n} ist eine bijektive Abbildung σ : {,,n} {,,n} Es ist leicht zu sehen, dass die Hintereinanderführung zweier Permutationen ergibt wieder
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange
Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und
Aufgabe 1: Gleichungssystem mit Parameter ( / 12) Für welche Werte des reellen Parameters α besitzt das lineare Gleichungssystem
1 Hochschule München Fakultät 03 FA SS 2008 Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra) Fahrzeugtechnik Arbeitszeit: Hilfsmittel: Aufgabensteller: 90 Minuten Formelsammlung, Skripten, Bücher, Taschenrechner
Lineare Algebra II 5. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,
Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER
Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL THEORETISCHE CHEMIE Juli 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen............................. 5 1.1 Einführung............................
12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Seite 1 von Der Abstand eines Punktes von einer Geraden
12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Seite 1 von 5 12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Bestimmung des Abstands eines Punktes von einer Geraden gehört zu den zentralen Problemen
8 Lineare Gleichungssysteme
8 Lineare Gleichungssysteme 8.1 Begriffe Allgemeine Form eines Gleichungssystems bestehend aus drei Gleichungen und drei Unbekannten: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3
Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante
wwwmathematik-netzde Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen Abbildungen Außerhalb der linearen Algebra ist
Rationale Zahlen. Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen
Rationale Zahlen Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Von zwei rationalen Zahlen ist die die kleinere Zahl, die auf der Zahlengeraden weiter links liegt.. Setze das richtige Zeichen. a) -3 4 b) - -3
Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN
Schule Thema Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN Unterlagen LehrerInnenteam Sehr oft treten in der Mathematik
Proseminar Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/11 2. Dezember 2010 Lösungen
Proseminar Einführung in die Mathematik 1 WS 1/11. Deember 1 Lösungen 46) Wie kann man nach Wahl eines Nullpunktes die Zeichenebene in natürlicher Weise als Vektorraum betrachten? Skriptum Kapitel 4, Par.
Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis
Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend
Einleitung 19. Teil I Einführung 23. Kapitel 1 Motivation 25
Inhaltsverzeichnis Einleitung 19 Konventionen in diesem Buch 19 Törichte Annahmen über den Leser 20 Was Sie in diesem Buch finden 20 Was Sie in diesem Buch nicht finden 20 Wie dieses Buch aufgebaut ist
Quadratische Formen und Definitheit
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Quadratische Formen und Definitheit Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Quadratische Formen 2. Quadratische Approximation von Funktionen 3. Definitheit von
(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren
Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(,,, B(,,, C(,,. (a Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche die drei Punkte A, B und C enthält, an. (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (,, 5 zur Ebene
Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:
Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise
Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Übungsblatt 13. Lineare Algebra I, Prof. Dr. Plesken, SS (β α) tr = α tr β tr.
Übungsblatt 13 Lineare Algebra I, Prof Dr Plesen, SS 2008 Aufgabe 1 (Transponierte lineare Abbildung) Sei α : V W linear Zeige: α tr ist injetiv (surjetiv) genau dann, wenn α surjetiv (injetiv) ist Ist
45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)
Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.
Lineare Algebra I Zusammenfassung
Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...
Brückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
Demo: Mathe-CD. Vektorrechnung. Vektorprodukt. Teil 1. Einführung INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.
Vektorrechnung Vektorprodukt Teil Einführung Datei 66 Stand 6. Juli 2009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Inhalt Datei 66 Einführung des Vektorprodukts Datei 662. Vorbemerkungen.2 Das wichtigste
... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn
Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,
Euklidischer Raum Kartesisches Koordinatensystem. 1 E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Euklidischer Raum Kartesisches Koordinatensystem 1 E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Algebra und Geometrie Man zerlegt die Mathematik in Teildisziplinen: Arithmetik, Algebra, Geometrie und so weiter, doch diese
Mathematik Matrizenrechnung
Mathematik Matrizenrechnung Einstufige Prozesse Rechenregeln für Matrizen Mehrstufige Prozesse Inverse Matrix Stochastische Prozesse 6 Zyklisches Verhalten Einstufige Prozesse Einstufige Prozesse Zur Beschreibung
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom
Quadratische Matrizen Inverse und Determinante
Kapitel 2 Quadratische Matrizen Inverse und Determinante In diesem Abschnitt sei A M(n, n) stets eine quadratische n n Matrix. Für nicht-quadratische Matrizen ergeben die folgenden Betrachtungen keinen
Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok
Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de
Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A
133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des
Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
9 Faktorenanalyse. Wir gehen zunächst von dem folgenden Modell aus (Modell der Hauptkomponentenanalyse): Z = F L T
9 Faktorenanalyse Ziel der Faktorenanalyse ist es, die Anzahl der Variablen auf wenige voneinander unabhängige Faktoren zu reduzieren und dabei möglichst viel an Information zu erhalten. Hier wird davon
Lösungen - Serie 2 zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie
Lösungen - Serie zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Aufgabe : Berechnen Sie für die folgenden Elemente x in einer Körpererweiterung L K die Norm Nm L K (x) und die Spur T r
Lösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
Der Rang einer Matrix A. Beispiel
Der Rang einer Matrix A ist gleich Anzahl der Zeilen ungleich 0, nachdem die Matrix durch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenform gebracht worden ist. Bezeichnung: ranga oder rga. Beispiel A =