Hans Walser, [ a] Wurzeln aus Matrizen

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1 Hans Walser, [ a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn wir eine quadratische,-matri B mit den Eigenwerten µ 1, und Eigenvektoren u 1, quadrieren, erhalten wir eine Matri A = B mit denselben Eigenvektoren und den Eigenwerten 1, = µ 1,. Beweis: Aus Bu = µu ergibt sich: BBu = B( Bu)= µ ( Bu)= µ ( µu)= µ u. 3 Quadratwurzeln Wir gehen davon aus, dass die Matri A zwei verschiedene Eigenwerte 1 und hat. (Der Fall 1 = ist recht kompliziert.) Dazu gehören die Eigenvektoren u 1 und u. Um eine Matri B mit B = A zu finden, bestimmen wir deren Eigenwerte µ 1, aus 1, = µ 1,. Man beachte, dass es hier vier verschiedene Vorzeichenkombinationen geben kann. Dann bestimmen wir B aus den Eigenwerten µ 1, und den Eigenvektoren u 1,. 4 Beispiel Wir bearbeiten die Matri A: A = Eigenwerte und Eigenvektoren der Matri A Die charakteristische Gleichung für die Eigenwerte ist = 0. Daraus erhalten wir ( 4) ( 9)= 0 und damit die Eigenwerte 1 = 4 und = 9. Zum Eigenwert 1 = 4 muss ein Eigenvektor µ 1 die folgende Bedingung erfüllen: ( A 1 E)u 1 = u1 = u 1 = 0 0

2 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen /9 Eine mögliche Lösung ist: u 1 = 3 4 Analog finden wir für = 9 eine mögliche Lösung: u = 1 4. Wurzelmatri Die gesuchte Wurzelmatri B hat also die Eigenwerte µ 1 =± und µ =±3. Es gibt vier Vorzeichenkombinationen. Wir bearbeiten eemplarisch den Fall plus-plus, also µ 1 = und µ = 3. Die Eigenvektoren sind dieselben wie die der Matri A Erster Lösungsweg Für die Matri B machen wir den Ansatz: B = a b c d Damit muss gelten: Bu 1 = µ 1 u 1 und Bu = µ u. Bu 1 = µ 1 u 1 Bu = µ u a b 3 c d 4 = 3 a b 4 und c d 1 = 3 1 3a 4b = 6 a b = 6 3c 4d = 8 c d = 3 Für das Gleichungssstem 3a 4b = 6 3c 4d = 8 a b = 6 c d = 3 ergibt sich die Lösung: a = 18 5, b = 6 5, c = 4 5,d = 7, also die Matri B: 5 B = a c b 18 d = Zweiter Lösungsweg U sei die Matri mit den Spaltenvektoren u 1 und u. Dann gilt: B = U µ µ U 1 Hintergrund: Die Matri U 1 bringt die Eigenvektoren auf die Koordinatenachsen. Dann wird in Richtung der beiden Koordinatenachsen mit µ 1 beziehungsweise µ gestreckt. Die Matri U schließlich bringt die gestreckten Vektoren wieder in die Richtung

3 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen 3/9 der ursprünglichen Eigenvektoren. Die Zusammensetzung ist aber genau das, was die Matri B bewirken soll. 4.3 Lineare Abbildung In der folgenden Figur haben wir ein grünes Urbild. Magenta ist das Bild bei der linearen Abbildung mit der Matri B, rot das Bild bei der linearen Abbildung mit der Matri A = B. Blau sind die Geraden in den Richtungen der Eigenvektoren eingezeichnet Urbild, Zwischenbild und Bild 5 MuPAD Das folgende MuPAD-Programm liefert alle vier Vorzeichenkombinationen bei den Eigenwerten von B. 5.1 Erster Lösungsweg Matr:= Dom::Matri(): // Eigenwerte und Eigenvektoren A A := Matr([[1, 6], [-4, 1]]); B := Matr([[a, b], [c, d]]): EA := linalg::eigenvectors(a); u:=j->ea[j][3][1]: lambda:=j->ea[j][1]: for p from 0 to 1 do // Vorzeichenkombinationen for q from 0 to 1 do mu[p,q,1]:=(-1)^p*sqrt(lambda(1)): mu[p,q,]:=(-1)^q*sqrt(lambda()): Gleichung:=(p,q)- >{(((B*u(j))[i]=mu[p,q,j]*u(j)[i])$j=1..)$i=1..}: for p from 0 to 1 do // Berechnen der Matri B for q from 0 to 1 do s:=solve(gleichung(p,q), {a,b,c,d}): B1:=Matr([[s[1][1][], s[1][][]], [s[1][3][], s[1][4][]]]): print(tpeset, B1):

4 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen 4/9 Zur Matri A erhalten wir die Eigenwerte mit Vielfachheit und die Eigenvektoren und der Reihe nach die zu den verschiedenen Vorzeichenkombinationen passenden Lösungen: 5. Zweiter Lösungsweg Matr:= Dom::Matri(): // Eigenwerte und Eigenvektoren A A := Matr([[1, 6], [-4, 1]]); EA := linalg::eigenvectors(a): u:=j->ea[j][3][1]: lambda:=j->ea[j][1]: U:=Matr([[EA[1][3][1][1], EA[][3][1][1]], [EA[1][3][1][], EA[][3][1][]]]); for p from 0 to 1 do // Vorzeichenkombinationen for q from 0 to 1 do mu[p,q,1]:=(-1)^p*sqrt(lambda(1)): mu[p,q,]:=(-1)^q*sqrt(lambda()): for p from 0 to 1 do // Berechnen der Matri B for q from 0 to 1 do Di:=Matr([[mu[p,q,1], 0], [0, mu[p,q,]]]): B:=U*Di*U^(-1): print(tpeset, B):

5 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen 5/9 Zur Matri A erhalten wir die Matri U aus den Eigenvektoren und der Reihe nach die zu den verschiedenen Vorzeichenkombinationen passenden Lösungen: 6 Abbildungen Im Folgenden zu jeder Lösung die Abbildungen: Erste Lösung

6 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen 6/ Zweite Lösung Dritte Lösung

7 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen 7/ Vierte Lösung Die magenta Zwischenbilder sehen unterschiedlich aus. In der ersten und vierten Lösung sind sie gleich orientiert (Locke beachten) wie das Urbild und das Endbild, in der zweiten und dritten Lösung sind sie entgegengesetzt orientiert. 7 Die Drehung Als interessantes Beispiel behandeln wir die Drehmatri A: Aus geometrischen Gründen ist die Drehung um den halben Winkel sicher eine Lösung: cos t sin t ( ) sin( t ) ( ) cos( t ) Für die Matri U der Eigenvektoren liefert MuPAD:

8 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen 8/9 MuPAD liefert als erste Lösung: Dies ist tatsächlich die aus geometrischen Gründen gefundene Lösung, es genügt, die erste Zeile zu kontrollieren: b 1,1 = cos()sin t ()i t + cos()+isin t () t = 1 e it + e it ( ) = 1 t ei + e i t = cos ( t ) b 1, = i cos t ()sin t ()i cos()+isin t t MuPAD liefert als zweite Lösung: ( ) = 1 i ()i = 1 i eit i e it ( ) e i t e i t = sin t Diese Matri kann umgeformt werden zu: Kontrolle: isin t icos t Die dritte Lösung sieht so aus: isin t icos t ( ) icos( t ) ( ) isin( t ) ( ) icos( t ) ( ) isin( t ) = cos () t sin () t sin() t cos() t Diese Matri kann umgeformt werden zu: isin t icos t ( ) icos( t ) ( ) isin( t )

9 Hans Walser: Wurzeln aus Matrizen 9/9 Für die vierte Lösung liefert MuPAD: Diese Matri kann umgeformt werden zu: cos t sin t Es ist: ( ) sin( t ) ( ) sin( t ) ( ) cos( t ) cos t cos t + = sin( t ) cos ( t ) sin( t + ) cos ( t + ) Damit ist es aus geometrischen Gründen klar, dass es sich um eine Wurzel der Drehmatri handelt. ( ) sin( t + )